Merge pull request #2 from Ayexor/master

Typos.

17 files changed, 115 insertions, 113 deletions

diff --git a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex
index a6b62b1..8433572 100644
--- a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex
@@ -44,10 +44,9 @@ Zum Beispiel beschreibt die Gleichung
 x^2+(y-1)^2=4
 \]
 einen Kreis mit Radius $2$ um den Punkt $(0,1)$.
-Der Kreis hat natürlich zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse, wie jede
-Gerade, deren Abstand vom Mittelpunkt des Kreises kleiner als der Radius
-ist.
-Die Schnittpunkte haben die Koordinaten $(x_S,0)$ und $x_S$ muss die
+Der Kreis hat natürlich zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse, wie mit jeder
+Gerade, deren Abstand vom Mittelpunkt des Kreises kleiner ist als der Radius.
+Schnittpunkte haben die Koordinaten $(x_S,0)$ und $x_S$ muss die
 Gleichung
 \[
 x_S^2 + (0-1)^2 = x_S^2+1=4
@@ -75,14 +74,15 @@ hinzufügt, welches als spezielle Eigenschaft die Gleichung $i^2=-1$ hat.
 Bei $\sqrt{2}$ hat die geometrische Anschauung suggeriert, dass es eine
 solche Zahl ``zwischen'' den rationalen Zahlen gibt, aber für $i$
 gibt es keine solche Anschauung.
-Die imaginäre Einheit $i$ erhielt daher auch diesen durchaus 
+Die imaginäre Einheit $i$ erhielt daher auch diesen durchaus
 abwertend gemeinten Namen.
 
 Die Zahlensysteme lassen sich also verstehen als einfachere Zahlensysteme,
 denen man zusätzliche Objekte mit besonderen algebraischen Eigenschaften
 hinzufügt.
-Doch was sind das für Objekte, gibt es die überhaupt?
-Kann man deren Existenz einfach so postulieren, so wie man das mit $i$ 
+Doch was sind das für Objekte?
+Gibt es die überhaupt?
+Kann man deren Existenz einfach so postulieren, so wie man das mit $i$
 gemacht hat?
 Und was macht man, wenn man sich den nächsten ``algebraischen Wunsch''
 erfüllen will, auch einfach wieder die Existenz des neuen Objektes
@@ -100,7 +100,7 @@ a_{21}&a_{22}
 gruppiert und die Rechenoperationen
 \begin{align*}
 A+B
-&
+&=
 \begin{pmatrix}
 a_{11}&a_{12}\\
 a_{21}&a_{22}
@@ -128,8 +128,8 @@ b_{21}&b_{22}
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{21} + a_{12}b_{22} \\
-a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{21} + a_{22}b_{22} 
+a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
+a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}
 \end{pmatrix}
 \end{align*}
 definiert, kann man neue Objekte mit zum Teil bekannten, zum Teil
@@ -161,7 +161,7 @@ J^2 =
 -E = -A_1.
 \]
 Das neue Objekt $J$ ist ein explizit konstruiertes Objekt, welches
-die genau die rechnerischen Eigenschaften der imaginären Einheit $i$.
+genau die rechnerischen Eigenschaften der imaginären Einheit $i$ hat.
 
 Die imaginäre Einheit ist nicht die einzige Grösse, die sich auf diese
 Weise konstruieren lässt.
@@ -171,7 +171,7 @@ W=\begin{pmatrix} 0&2\\1&0 \end{pmatrix}
 \qquad\text{die Gleichung}\qquad
 W^2 = \begin{pmatrix} 2&0\\0&2\end{pmatrix} = A_2,
 \]
-die Menge der Matrizen der 
+die Menge der Matrizen
 \[
 \mathbb{Q}(\sqrt{2})
 =
@@ -184,8 +184,8 @@ a,b\in\mathbb{Q}
 verhält sich daher genau so wie die Menge der rationalen Zahlen, denen
 man ein ``imaginäres'' neues Objekt $\sqrt{2}$ hinzugefügt hat.
 
-Matrizen sind also ein Werkzeug, mit dem sich algebraisches Systeme
-mit fast beliebigen Eigenschaften konstruieren lassen.
+Matrizen sind also ein Werkzeug, mit dem sich ein algebraisches Systeme
+mit fast beliebigen Eigenschaften konstruieren lässt.
 Dies führt zu einer Explosion der denkbaren algebraischen Strukturen.
 Kapitel~\ref{buch:chapter:vektoren-und-matrizen} bringt etwas Ordnung
 in diese Vielfalt, indem die grundlegenden Strukturen charakterisiert
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
index fe294d6..56ef096 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
@@ -10,10 +10,10 @@
 
 Das Thema dieses Buches ist die Konstruktion interessanter 
 mathematischer Objekte mit Hilfe von Matrizen.
-Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen, wir wollen
-von diesen als den grundlegenden Bausteinen ausgehen.
+Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen.
+Wir wollen von diesen grundlegenden Bausteinen ausgehen.
 Dies schliesst natürlich nicht aus, dass man auch Zahlenmengen
-mit Hilfe Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die
+mit Hilfe von Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die
 komplexen Zahlen machen werden.
 
 In diesem Kapitel sollen daher die Eigenschaften der bekannten
@@ -21,7 +21,7 @@ Zahlensysteme der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und
 komplexen Zahlen nochmals in einer Übersicht zusammengetragen
 werden.
 Dabei wird besonderes Gewicht darauf gelegt, wie in jedem Fall
-einerseits neue Objekte postuliert werden können, andererseits
+einerseits neue Objekte postuliert, andererseits
 aber auch konkrete Objekte konstruiert werden können.
 
 \input{chapters/05-zahlen/natuerlich.tex}
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
index 8dd4a62..8a13de8 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
@@ -57,7 +57,7 @@ a+b' = a'+b.
 \]
 Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$.
 
-Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} Ist die Menge aller solchen
+Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen
 Äquivalenzklassen.
 Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist in evidenter Weise
 darin eingebettet als die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren der
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
index 0c5eb70..3cbf473 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
@@ -6,8 +6,8 @@
 \section{Komplexe Zahlen
 \label{buch:section:komplexe-zahlen}}
 \rhead{Komplexe Zahlen}
-In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen,
-andere, z.~B.~die Gleichung
+In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen.
+Andere, z.~B.~die Gleichung
 \begin{equation}
 x^2+1=0,
 \label{buch:zahlen:eqn:igleichung}
@@ -50,7 +50,7 @@ wie folgt definiert werden:
 \end{aligned}
 \label{buch:zahlen:cregeln}
 \end{equation}
-Diese Regeln sich ganz natürlich, sie ergeben sich aus den Rechenregeln
+Diese Regeln ergeben sich ganz natürlich aus den Rechenregeln
 in $\mathbb{R}$ unter Berücksichtigung der Regel $i^2=-1$.
 
 Eine komplexe Zahl ist ein solches Paar, die Menge der komplexen Zahlen
@@ -68,7 +68,7 @@ reeller Vektorraum.
 Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der Realteil $a=\Re z$
 und $b$ heisst der Imaginärteil $\Im z$.
 Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$,
-sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechen
+sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend
 auch die reelle und die imaginäre Achse heissen.
 
 Die Multiplikation mit $i$ vertauscht Real- und Imaginärteil:
@@ -122,8 +122,8 @@ In $\mathbb{R}$ kann man die Ordnungsrelation dazu verwenden zu entscheiden,
 ob eine Zahl $0$ ist. 
 Wenn $x\ge 0$ ist und $x\le 0$, dann ist $x=0$.
 In $\mathbb{C}$ steht diese Ordnungsrelation nicht mehr zur Verfügung.
-Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn der Vektor in der
-Zahlenebene Länge verschieden von $0$ ist.
+Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn die Länge des Vektors in der
+Zahlenebene verschieden von $0$ ist.
 Wir definieren daher den Betrag einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als
 \[
 |z|^2
@@ -145,7 +145,7 @@ Der Betrag ist immer eine reelle Zahl.
 \subsubsection{Division}
 Die Erweiterung zu den komplexen Zahlen muss auch die Division erhalten.
 Dies ist durchaus nicht selbstverständlich.
-Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums, nur für
+Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums nur für
 einige wenige, niedrige Dimensionen überhaupt möglich ist.
 Für die Division sind die Einschränkungen noch gravierender, die einzigen
 Dimensionen $>1$, in denen ein Produkt mit einer Division definiert werden
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
index 278aa5e..086658f 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -34,7 +34,7 @@ $n'\in \mathbb{N}$.
 \item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben,
 $n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$.
 \item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren
-Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$.
+Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. %TODO: X = N?...
 \end{enumerate}
 
 \subsubsection{Addition}
@@ -145,7 +145,7 @@ a\cdot(b+c) = ab+ac
 \qquad\text{und}\qquad
 (a+b)c = ac+bc
 \]
-gilt.
+gelten.
 Das Distributivgesetz drückt die wohlbekannte Regel des
 Ausmultiplizierens aus.
 Ein Distributivgesetz ist also grundlegend dafür, dass man mit den
@@ -165,13 +165,14 @@ Lösung in $\mathbb{N}$ hat.
 \index{teilbar}%
 Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ teilbar und auch durch sich selbst,
 denn $n\cdot 1 = n$.
-Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich, die Zahlen
+Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich.
+Die Zahlen
 \[
 \mathbb{P}
 =
-\{2,3,5,7,11,17,19,23,29,\dots\}
+\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dots\}
 \]
-haben keine weiteren Teiler, sie heissen {\em Primzahlen}.
+haben keine weiteren Teiler. Sie heissen {\em Primzahlen}.
 \index{Primzahl}%
 Die Menge der natürlichen Zahlen ist die naheliegende Arena
 für die Zahlentheorie.
@@ -205,7 +206,7 @@ Die natürlichen Zahl sind also nacheinander die Mengen
 \begin{align*}
 0 &= \emptyset 
 \\
-1 &= \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{0\}
+1 &= 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{0\} = \{0\}
 \\
 2 &= 1 \cup \{ 1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\}
 \\
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
index 1f241a2..4064887 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
@@ -12,8 +12,8 @@ Dass die Gleichung $x^2=2$ keine rationale Lösung hat, ist schon den
 Pythagoräern aufgefallen.
 Die geometrische Intuition der Zahlengeraden führt uns dazu, nach
 Zahlen zu suchen, die gute Approximationen für $\sqrt{2}$ sind.
-Wir können zwar keine Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber 
-wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft git, dann können
+Wir können zwar keinen Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber
+wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft gibt, dann können
 wir dank der Ordnungsrelation feststellen, dass sie in all den folgenden,
 kleiner werdenden Intervallen
 \[
@@ -28,13 +28,13 @@ schnell, sie sind mit der sogenannten Kettenbruchentwicklung der
 Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen.}.
 Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und
 die intervalllänge konvergiert gegen 0.
-Eine solche Intervallschachtelung beschreibt also genau eine Zahl,
+Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine Zahl,
 aber möglicherweise keine, die sich als Bruch schreiben lässt.
 
-Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann auch als die Menge 
-aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$. 
-Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn für jedes $\varepsilon>0$
-es eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$
+Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man auch als Menge
+aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ betrachten.
+Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jedes $\varepsilon>0$
+eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$
 für $n,m>N(\varepsilon)$.
 Ab einer geeigneten Stelle $N(\varepsilon)$ sind die Folgenglieder also
 mit Genauigkeit $\varepsilon$ nicht mehr unterscheidbar.
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
index b044bcd..c7fc9e9 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
@@ -15,7 +15,7 @@ p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} + \cdots a_2X^2 + a_1X + a_0.
 Ursprünglich stand das Symbol $X$ als Platzhalter für eine Zahl.
 Die Polynomgleichung $Y=p(X)$ drückt dann einen Zusammenhang zwischen
 den Grössen $X$ und $Y$ aus.
-Zum Beispiel drückt 
+Zum Beispiel drückt
 \begin{equation}
 H = -\frac12gT^2 + v_0T +h_0 = p(T)
 \label{buch:eqn:polynome:beispiel}
@@ -53,14 +53,14 @@ gelten.
 In dieser algebraischen Sichtweise können je nach den gewählten algebraischen
 Rechenregeln für $X$ interessante rechnerische Strukturen abgebildet werden.
 \index{algebraische Sichtweise}%
-Ziel dieses Kapitels ist zu zeigen, wie man die Rechenregeln für $X$ 
+Ziel dieses Kapitels ist zu zeigen, wie man die Rechenregeln für $X$
 mit Hilfe von Matrizen allgemein darstellen kann.
 Diese Betrachtungsweise wird später in Anwendungen ermöglichen,
-handliche Realisierungen für das Rechnen mit Grössen zu finden, 
+handliche Realisierungen für das Rechnen mit Grössen zu finden,
 die polynomielle Gleichungen erfüllen.
 Ebenso sollen in späteren Kapiteln die Regeln
 \eqref{buch:eqn:polynome:basic}
-erweitert werden oder abgelöst werden um weitere Anwendungen zu erschliessen.
+erweitert oder abgelöst werden um weitere Anwendungen zu erschliessen.
 
 Bei der Auswahl der zusätzlichen algebraischen Regeln muss man sehr
 vorsichtig vorgehen.
@@ -71,7 +71,7 @@ Aber auch eine Regel wie $X^2 \ge 0$, die für alle reellen Zahlen gilt,
 würde die Anwendungsmöglichkeiten zu stark einschränken.
 Es gibt zwar keine reelle Zahl, die man in das Polynom $p(X)=X^2+1$
 einsetzen könnte, so dass es den Wert $0$ annimmt.
-Man könnte $X$ aber als ein neues Objekt ausserhalb von $\mathbb{R}$ 
+Man könnte $X$ aber als ein neues Objekt ausserhalb von $\mathbb{R}$
 betrachten, welches die Gleichung $X^2+1=0$ erfüllt.
 In den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ gibt es mit der imaginären
 Einheit $i\in\mathbb{C}$ tatsächlich ein Zahl mit der Eigenschaft
@@ -80,7 +80,8 @@ verletzt.
 
 Für das Symbol $X$ sollen also die ``üblichen'' Rechenregeln gelten.
 Dies ist natürlich nur sinnvoll, wenn man auch mit den Koeffizienten
-$a_0,\dots,a_n$ rechnen kann, sind müssen also Elemente einer 
+$a_0,\dots,a_n$ rechnen kann.
+Sie müssen also Elemente einer
 algebraischen Struktur sein, in der mindestens die Addition und die
 Multiplikation definiert sind.
 Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ kommen dafür in Frage, aber auch
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
index 82356d7..4794dea 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
@@ -6,7 +6,7 @@
 \section{Definitionen
 \label{buch:section:polynome:definitionen}}
 \rhead{Definitionen}
-In diesem Abschnitt stellen wir einige grundlegende Definitionen für das 
+In diesem Abschnitt stellen wir einige grundlegende Definitionen für das
 Rechnen mit Polynomen zusammen.
 
 %
@@ -26,7 +26,7 @@ unter einer ``Zahl'' vorstellen.
 Wir bezeichnen die Menge, aus der die ``Zahlen'' kommen können mit $R$ und
 nennen sie die Menge der Skalare.
 \index{Skalar}%
-Wenn wir uns vorstellen, dass man die Elemente von $R$ an Stelle von $X$ 
+Wenn wir uns vorstellen, dass man die Elemente von $R$ an Stelle von $X$
 in das Polynom einsetzen kann, dann muss es möglich sein, in $R$ zu
 Multiplizieren und zu Addieren, und es müssen die üblichen Rechenregeln
 der Algebra gelten, $R$ muss also ein Ring sein.
@@ -44,7 +44,7 @@ R[X]
 p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_1X+a_0\;|\; a_k\in R, n\in\mathbb{N}
 \}
 \]
-heisst die Menge der {\em Polynome} mit Koeffizienten in $R$ 
+heisst die Menge der {\em Polynome} mit Koeffizienten in $R$
 oder
 {\em Polynome über} $R$.
 \index{Polynome über $R$}%
@@ -77,7 +77,7 @@ Ein Polynom heisst {\em normiert} oder auch {\em monisch}, wenn der
 höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynomus $1$ ist,
 also $a_n=1$.
 \index{Leitkoeffizient}%
-Wann man in $R$ durch $a_n$ dividieren kann, dann kann man aus dem Polynom
+Wenn man in $R$ durch $a_n$ dividieren kann, dann kann man aus dem Polynom
 $p(X)=a_nX^n+\dots$ mit Leitkoeffizient $a_n$ das normierte Polynom
 \[
 \frac{1}{a_n}p(X) = \frac{1}{a_n}(a_nX^n + \dots + a_0)=
@@ -86,9 +86,8 @@ X^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1} + \dots + \frac{a_0}{a_n}
 machen.
 Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde normiert.
 
-Die Beschreibung der Rechenoperationen wird etwas verkompliziert durch
-die Tatsache, zwei Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene
-Koeffizienten haben müssen.
+Die Tatsache, dass zwei  Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten haben müssen,
+verkompliziert die Beschreibung der Rechenoperationen ein wenig.
 Wir werden daher im Folgenden oft für ein Polynom
 \[
 p(X)
@@ -118,7 +117,7 @@ definiert ist.
 Die Menge $R[X]$ aller Polynome über $R$ wird zu einem Ring, wenn man die
 Rechenoperationen Addition und Multiplikation so definiert, wie man das
 in der Schule gelernt hat.
-Die Summe von zwei Polynomen 
+Die Summe von zwei Polynomen
 \begin{align*}
 p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0\\
 q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0
@@ -129,7 +128,7 @@ p(X)+q(X)
 =
 \sum_{k} (a_k+b_k)X^k,
 \]
-wobei die Summe wieder so zu interpretieren ist, über alle Terme 
+wobei die Summe wieder so zu interpretieren ist, über alle Terme
 summiert wird, für die mindestens einer der Summanden von $0$
 verschieden ist.
 
@@ -234,7 +233,7 @@ beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}.
 Es könnte aber passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich,
 dass der Grad kleiner ist.
 Schliesslich kann der höchsten Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser
-als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was 
+als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was
 \eqref{buch:eqn:polynome:gradskalar} beweist.
 \end{proof}
 
@@ -253,7 +252,7 @@ a_nb_m = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
 \end{equation}
 Diese unangehme Situation tritt immer ein, wenn es von Null verschiedene
 Elemente gibt, deren Produkt $0$ ist.
-In Matrizenringen ist das der Normalfall, man kann diesen fall also nicht
+In Matrizenringen ist das der Normalfall, man kann diesen Fall also nicht
 einfach ausschliessen.
 In den Zahlenmengen wie $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ passiert
 das natürlich nie.
@@ -262,13 +261,13 @@ das natürlich nie.
 Ein Ring $R$ heisst {\em nullteilerfrei}, wenn für zwei Elemente
 $a,b\in R$ aus $ab=0$ immer geschlossen werden kann, dass
 $a=0$ oder $b=0$.
-Ein von $0$ verschiedenes Element $a\in R$ heisst ein Nullteiler,
-wenn es eine $b\in R$ mit $b\ne 0$ gibt derart dass $b=0$.
+Ein von $0$ verschiedenes Element $a\in R$ heisst Nullteiler,
+wenn es eine $b\in R$ mit $b\ne 0$ gibt derart dass $ab=0$.
 \index{Nullteiler}
 \index{nullteilerfrei}
 \end{definition}
 
-Die beiden Matrizen in 
+Die beiden Matrizen in
 \eqref{buch:eqn:definitionen:nullteilerbeispiel}
 sind Nullteiler im Ring $M_2(\mathbb{Z})$ der $2\times 2$-Matrizen.
 Der Matrizenring $M_2(\mathbb{Z})$ ist also nicht nullteilerfrei.
@@ -294,17 +293,17 @@ Dann gilt
 
 \begin{proof}[Beweis]
 Der Fall, dass der höchste Koeffizient verschwindet, weil $a_n$, $b_m$
-und $\lambda$ Nullteiler sind, kann unter den gegebenen Voraussetzungen
+oder $\lambda$ Nullteiler sind, kann unter den gegebenen Voraussetzungen
 nicht eintreten, daher werden die in
 Lemma~\ref{lemma:rechenregelnfuerpolynomgrad} gefunden Ungleichungen
-exakt für Produkte exakt.
+für Produkte exakt.
 \end{proof}
 
 Die Gleichung
 \eqref{buch:eqn:polynome:gradskalarexakt}
 kann im Fall $\lambda=0$ natürlich nicht gelten.
 Betrachten wir $\lambda$ wieder als ein Polynom, dann folgt aus
-\eqref{buch:eqn:polynome:gradproduktexakt}, dass
+\eqref{buch:eqn:polynome:gradsummeexakt}, dass
 \[
 \begin{aligned}
 \lambda&\ne 0  &&\Rightarrow& \deg (\lambda p) &= \deg\lambda + \deg p = 0+\deg p
@@ -312,13 +311,14 @@ Betrachten wir $\lambda$ wieder als ein Polynom, dann folgt aus
 \lambda&=0     &&\Rightarrow& \deg (0 p) &= \deg 0 + \deg p = \deg 0
 \end{aligned}
 \]
-Diese Gleichung kann also nur aufrechterhalten werden, wenn $\deg 0$ eine
-Zahl ist mit der Eigenschaft, dass man immer noch $\deg 0$ bekommt,
-wenn man irgend eine Zahl $\deg p$ hinzuaddiert.
-So eine Zahl gibt es in den ganzen Zahlen nicht, wenn zu einer ganzen
-Zahl eine andere ganze Zahl hinzuaddiert, ändert sich fast immer etwas.
-Man muss daher $\deg 0 = -\infty$ setzen mit der Festlegung, dass
-$-\infty + n = -\infty$ gilt für beliebige ganze Zahlen $n$.
+Diese Gleichung kann also nur aufrechterhalten werden, wenn die ``Zahl'' $\deg 0$ die Eigenschaft besitzt, dass man immer noch $\deg 0$ bekommt,
+wenn man irgend eine Zahl $\deg p$ hinzuaddiert. Wenn also
+\[\deg 0 + \deg p = \deg 0 \qquad \forall \deg p \in \mathbb Z\]
+gilt.
+So eine Zahl gibt es in den ganzen Zahlen nicht.
+Wenn man zu einer ganzen Zahl eine andere ganze Zahl hinzuaddiert, ändert sich fast immer etwas.
+Man muss daher $\deg 0 = -\infty$ setzen und festlegen, dass
+$-\infty + n = -\infty$ für beliebige ganze Zahlen $n$ gilt.
 
 \begin{definition}
 \label{buch:def:definitionen:polynomfilterung}
@@ -338,18 +338,18 @@ R^{(-\infty)}[X] & \subset
 	& R^{(0)}[X] & \subset
 		& R^{(1)}[X] & \subset & \dots & \subset
 			& R^{(k)}[X] & \subset
-				& R^{(k+1)}[x] & \subset & \dots & \subset
+				& R^{(k+1)}[X] & \subset & \dots & \subset
 					& R[X]\\[3pt]
 \bigg\| &
 	&\bigg\| &
-		&\bigg\| & & & 
+		&\bigg\| & & &
 			&&
 				&& & &
 					&
 \\[3pt]
 \{0\} & \subset
 	& R & \subset
-		& \{ax+b\;|a,b\in R\} & \subset & \dots &
+		& \{a_1X+a_0\;|a_k\in R\} & \subset & \dots &
 \end{array}
 \]
 und ihre Vereinigung ist $R[X]$.
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
index a797c09..408587d 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
@@ -35,17 +35,17 @@ Die Abbildung von Vektoren auf Polynome
 \colon  R^n \to R[X]
 :
 \begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}
-\mapsto 
+\mapsto
 a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0
 \]
-erfüllt also 
+erfüllt also
 \[
 \varphi( \lambda a) = \lambda \varphi(a)
 \qquad\text{und}\qquad
 \varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)
 \]
 und ist damit eine lineare Abbildung.
-Umgekehrt kann man auch zu jedem Polynom $p(X)$ vom Grad $\le n$ einen 
+Umgekehrt kann man auch zu jedem Polynom $p(X)$ vom Grad~$\le n$ einen
 Vektor finden, der von $\varphi$ auf das Polynom $p(X)$ abgebildet wird.
 Die Abbildung $\varphi$ ist also ein Isomorphismus
 \[
@@ -108,7 +108,7 @@ b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots
 \end{pmatrix}
 .
 \]
-Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber 
+Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
 alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring
 $R[X]$ abgebildet werden.
 \begin{center}
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
index 1f51fca..57a72a2 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
@@ -75,7 +75,7 @@ Beim Rechnen mit Resten modulo $n$ können Vielfache von $n$ ignoriert werden.
 Zum Beispiel gilt 
 \[
 \begin{aligned}
-49&\equiv -1\mod 7& 49&=-1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$}
+48&\equiv -1\mod 7& 48&=-1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$}
 \\
 3\cdot 5=15&\equiv 1\mod 7 & 3\cdot 5&=1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.}
 \end{aligned}
@@ -278,7 +278,7 @@ zeigt.
 Man berechnet in $\mathbb{F}_{13}$ die Potenz $11^{666}$.
 Nach dem kleinen Satz von Fermat ist $11^{13} = 11$ oder $11^{12}=1$,
 man kann also den Exponenten modulo $12$ reduzieren.
-Weil $666=55\cdot 12 + 6$ erhält man $11^{666}= 11^5$.
+Weil $666=55\cdot 12 + 6$ erhält man $11^{666}= 11^6$.
 Da die Potenzen von $11$ etwas mühsam zu berechnen sind,
 kann man sie wegen $11=-2$ in $\mathbb{F}_{13}$ auch als Potenzen
 von $-2$ bekommen.
@@ -385,7 +385,7 @@ Wenn andererseits eines der Vielfachen von $1$ in $\Bbbk$
 verschwindet, dann wissen wir aus
 Abschnitt~\ref{buch:subsection:arithmetik-modulo-p}, dass
 der Körper $\mathbb{F}_p$ in $\Bbbk$ enthalten sein muss.
-Dies ist der kleinste Teilkörper, der $\Bbbk$ enthalten ist.
+Dies ist der kleinste Teilkörper, der in $\Bbbk$ enthalten ist.
 
 \begin{definition}
 Der kleinste Teilkörper eines Körpers $\Bbbk$ heisst der 
@@ -417,7 +417,7 @@ Auf Zeilen, die zu Exponenten der Form $2^k$ gehören, sind alle
 Koeffizienten ausser dem ersten und letzten durch $2$ teilbar.
 \label{buch:endliche-koerper:fig:binomial2}}
 \end{figure}
-Die Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomail2} zeigt den
+Die Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomial2} zeigt den
 Rest bei Teilung durch $2$ der Binomialkoeffizienten.
 Man kann daraus ablesen, dass $\binom{n}{m}\equiv 0\mod 2$ für $n=2^k$ 
 und $0<m<n$.
@@ -455,7 +455,7 @@ In $\mathbb{F}_p$ gilt
 für $0<k<p$.
 \end{satz}
 
-\subsubsection{Frobenius-Homomorphismus}
+\subsubsection{Frobenius-Automorphismus}
 Die Abbildung $x\mapsto x^n$ ist weit davon entfernt, sich mit den
 algebraischen Strukturen zu vertragen.
 Zum Beispiel kann man nicht erwarten, dass $(a+b)^n = a^n + b^n$,
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex
index 5c8f169..55c3344 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex
@@ -215,7 +215,7 @@ selbst.
 Ein Unterraum $U\subset V$ heisst {\em invarianter Unterraum},
 wenn
 \[
-f(U) = \{ f(x)\;|\; x\in U\} \subset U.
+f(U) = \{ f(x)\;|\; x\in U\} \subset U
 \]
 gilt.
 \end{definition}
@@ -278,7 +278,7 @@ $\mathcal{J}(A)$, muss $\mathcal{J}(A)\cap\mathcal{K}(A)=0$.
 Es folgt, dass $V=\mathcal{J}(A) + \mathcal{K}(A)$.
 
 In $\mathcal{K}(A)$ und $\mathcal{J}(A)$ kann man unabhängig voneinander
-jeweils aine Basis wählen.
+jeweils eine Basis wählen.
 Die Basen von $\mathcal{K}(A)$ und $\mathcal{J}(A)$ zusammen ergeben
 eine Basis von $V$.
 Die Matrix $A'$ in dieser Basis wird die Blockform
@@ -719,8 +719,8 @@ berechnen wir
 =
 b_2.
 \end{align*}
-Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-E)$ invariant ist und man kann ablesen,
-dass in dieser Basis, die von $A-E$ beschriebene lineare Abbildung 
+Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-E)$ invariant ist.
+In dieser Basis hat die von $A-E$ beschriebene lineare Abbildung
 auf $\mathcal{J}(A-E)$ die Matrix
 \[
 A_{\mathcal{J}(A-E)}
@@ -731,7 +731,7 @@ A_{\mathcal{J}(A-E)}
 \end{pmatrix}.
 \]
 
-Für den Kern $\mathcal{K}(A-E)$ 
+Für den Kern $\mathcal{K}(A-E)$ findet man analog
 \[
 \left.
 \begin{aligned}
@@ -749,7 +749,7 @@ A_{\mathcal{K}(A-E)}
 \begin{pmatrix}
 0&-1\\
 0& 0
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}.
 \]
 In der Basis $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ hat $A$ die Matrix
 in Blockform
@@ -899,7 +899,7 @@ nicht mehr als einen Eigenvektor (d.~h.~einen eindimensionalen Eigenraum)
 erwarten.
 
 Wenn das charakteristische Polynom von $A$ keine Nullstellen in $\Bbbk$ hat,
-dann kann es auch keine Eigenvektoren in $Bbbk^n$ geben.
+dann kann es auch keine Eigenvektoren in $\Bbbk^n$ geben.
 Gäbe es nämlich einen solchen Vektor, dann müsste eine der Komponenten
 des Vektors von $0$ verschieden sein, wir nehmen an, dass es die Komponente
 in Zeile $k$ ist.
@@ -956,14 +956,14 @@ hat das charakteristische Polynom
 x^2-2.
 \]
 Die Nullstellen sind $\pm\sqrt{2}$ und damit nicht in $\mathbb{Q}$.
-Wir gehen daher über zum Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, in dem 
+Wir gehen daher über zum Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, in dem
 sich zwei Nullstellen $\lambda=\pm\sqrt{2}$ finden lassen.
 Zu jedem Eigenwert lässt sich auch ein Eigenvektor
-$v_{\pm\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})^2$, und unter Verwendung dieser
-Basis ist bekommt die Matrix $A'=TAT^{-1}$ Diagonalform.
+$v_{\pm\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2})^2$, und unter Verwendung dieser
+Basis bekommt die Matrix $A'=TAT^{-1}$ Diagonalform.
 Die Transformationsmatrix $T$ enthält Matrixelemente aus
-$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, die nicht in $\mathbb{Q}$ liegen.
-Die Matrix $A$ lässt sich also über dem Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$
+$\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, die nicht in $\mathbb{Q}$ liegen.
+Die Matrix $A$ lässt sich also über dem Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$
 diagonalisieren, nicht aber über dem Körper $\mathbb{Q}$.
 
 Da $A'$ Diagonalform hat mit $\pm\sqrt{2}$ auf der Diagonalen, folgt
@@ -975,9 +975,9 @@ A^{\prime 2}-E= \chi_{A}(A) = 0.
 Dies is ein Spezialfall des Satzes von Cayley-Hamilton~\ref{XXX}
 welcher besagt, dass jede Matrix $A$ eine Nullstelle ihres 
 charakteristischen Polynoms ist: $\chi_A(A)=0$.
-Da in Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel}
-wurde zwar in $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ hergeleitet, aber in ihr kommen
-keine Koeffizienten aus $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ vor, die man nicht auch
+Die Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel}
+wurde zwar in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ hergeleitet, aber in ihr kommen
+keine Koeffizienten aus $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ vor, die man nicht auch
 in $\mathbb{Q}$ berechnen könnte.
 Sie gilt daher ganz allgemein.
 \end{beispiel}
@@ -1014,7 +1014,7 @@ Die charakteristische Gleichung $\chi_A(x)=0$ hat in $\mathbb{R}$
 keine Lösungen, daher gehen wir zum Körper $\Bbbk'=\mathbb{C}$ über,
 in dem dank dem Fundamentalsatz der Algebra alle Nullstellen zu finden
 sind, sie sind $\pm i$.
-In $C$ lassen sich dann auch Eigenvektoren finden, man muss dazu die
+In $\mathbb C$ lassen sich dann auch Eigenvektoren finden, man muss dazu die
 folgenden linearen Gleichungssyteme lösen:
 \begin{align*}
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex
index 536fa7d..c21c403 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex
@@ -24,7 +24,7 @@ Polynom in Linearfaktoren
 =
 (x-\lambda_1)^{k_1}\cdot (x-\lambda_2)^{k_2}\cdot\dots\cdot (x-\lambda_m)^{k_m}
 \]
-mit Vielfachheiten $k_m$ zerfällt, $\lambda_i\in\Bbbk'$.
+mit Vielfachheiten $k_1$ bis $k_m$ zerfällt, $\lambda_i\in\Bbbk'$.
 Zu jedem Eigenwert $\lambda_i$ gibt es sicher einen Eigenvektor, wir 
 wollen aber in diesem Abschnitt zusätzlich annehmen, dass es eine Basis
 aus Eigenvektoren gibt.
@@ -101,7 +101,7 @@ Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} liefern
 die verallgemeinerten Eigenräume $V_i=\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ eine
 Zerlegung von $V$ in invariante Eigenräume
 \[
-V=V_1\oplus V_2\oplus \oplus \dots\oplus V_l,
+V=V_1\oplus V_2\oplus \dots\oplus V_l,
 \]
 derart, dass $A-\lambda_iE$ auf $V_i$ nilpotent ist.
 Wählt man in jedem der Unterräume $V_i$ eine Basis, dann zerfällt die
@@ -239,7 +239,7 @@ charakteristischen Polynom $\chi_A(x)$.
 
 
 
-\begin{satz}[Cayley-Hamilton]]
+\begin{satz}[Cayley-Hamilton]
 Ist $A$ eine $n\times n$-Matrix über dem Körper $\Bbbk$, dann gilt
 $\chi_A(A)=0$.
 \end{satz}
@@ -254,7 +254,7 @@ $\chi_A(x)
 \dots
 (\lambda_p-x)^{m_p}$
 zerfällt.
-Im Vektorraum $\Bbbk''$ kann man eine Basis finden, in der die Matrix
+Im Vektorraum $\Bbbk'$ kann man eine Basis finden, in der die Matrix
 $A$ in Jordan-Matrizen $J_1,\dots,J_p$ zerfällt, wobei $J_i$ eine
 $m_i\times m_i$-Matrix ist.
 Für den Block mit der Nummer $i$ erhalten wir
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex
index 3afac18..bdc725f 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex
@@ -31,7 +31,7 @@ Linearfaktoren
 \]
 zerfällt.
 
-Für jedes beliebige Polynome $p(X)=\Bbbk[X]$ der Form
+Für jedes beliebige Polynome $p(X)\in\Bbbk[X]$ der Form
 \[
 p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_1x + a_0
 \]
@@ -80,7 +80,7 @@ mit den Matrixelementen
 \[
 (J_n(\lambda)^k)_{ij}
 =
-\binom{k}{j-i}\lambda^{k-j+i}
+\binom{k}{j-i}\lambda^{k-j+i}.
 \]
 Die Binomialkoeffizienten verschwinden für $j<i$ und $j>i+k$.
 \end{satz}
@@ -391,7 +391,7 @@ hat Norm
 =
 \max_{|x|=1} |Mx| 
 =
-\max_{t\in\mathbb R} \sqrt{2^2\cos^2 t +\frac1{3^2}\sin^2t} \ge 2.
+\max_{t\in\mathbb R} \sqrt{2^2\cos^2 t +\frac1{3^2}\sin^2t} = 2.
 \]
 Da aber
 \[
@@ -457,7 +457,7 @@ Iterationsverfahrens Auskunft zu geben.
 Der Grenzwert ist aber sehr mühsam zu berechnen.
 \index{Grenzwert}%
 Es wurde angedeutet, dass der Gelfand-Radius mit dem Spektralradius
-übereinstimmt, dem Betrag des des betragsgrössten Eigenwertes.
+übereinstimmt, dem Betrag des  betragsgrössten Eigenwertes.
 Dies hat uns ein vergleichsweise einfach auszuwertendes Konvergenzkriterium
 geliefert.
 \index{Konvergenzkriterium}%
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex
index 842051b..cadefa3 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex
@@ -9,12 +9,12 @@
 \rhead{}
 Die Berechnung der Determinante einer Matrix macht ausgedehnten
 Gebrauch von der Tatsache, dass die Vertauschung von zwei Zeilen
-oder Spalten das Vorzeichen des Wertes der Determinanten bewirkt.
+oder Spalten das Vorzeichen des Wertes der Determinanten dreht.
 In diesem Kapitel sollen die Permutationen der Zeilen abstrakt
 untersucht werden.
-Wir erhalten so eine abstrakte Gruppe, die Permutationsgruppe.
+Wir erhalten so eine abstrakte Permutationsgruppe.
 Ihre Elemente lassen sich auch durch spezielle Matrizen beschreiben,
-eine Darstellung der Gruppe, die auch unmittelbar zu einer 
+eine Darstellung dieser Gruppe, die auch unmittelbar zu einer
 Formel für die Determinante einer Matrix führt.
 
 \input{chapters/50-permutationen/endlich.tex}
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
index 9514f88..c004d64 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
@@ -231,8 +231,8 @@ Basiswechsel auseinander hervorgehen.
 Dasselbe lässt sich auch im Kontext der symmetrischen Gruppe sagen.
 
 Seien $\sigma_1$ und $\sigma_2$ zwei konjugierte Permutationen in $S_n$.
-Es gibt also eine Permutation $\gamma\in S_n$ derat, dass
-$\sigma_1=\gamma\sigma_2\sigma^{-1}$ oder $\gamma^{-1}\sigma_1\gamma=\sigma_2$.
+Es gibt also eine Permutation $\gamma\in S_n$ derart, dass
+$\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$ oder $\gamma^{-1}\sigma_1\gamma=\sigma_2$.
 Dann gilt auch für die Potenzen
 \begin{equation}
 \sigma_1^k = \gamma\sigma_2^k\gamma^{-1}.
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
index 14aba7a..7e55364 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
@@ -62,7 +62,7 @@ A_\sigma
 
 \begin{definition}
 Eine Permutationsmatrix ist eine Matrix $P\in M_n(\Bbbk)$ 
-derart, die in jeder Zeile und Spalte genau eine $1$ enhalten,
+derart, die in jeder Zeile und Spalte genau eine $1$ enthalten ist,
 während alle anderen Matrixelemente $0$ sind.
 \end{definition}
 
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
index 426ece4..baed2fb 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
@@ -196,10 +196,10 @@ Permutationen.
 \end{definition}
 
 Die alternierende Gruppe $A_n$ ist tatsächlich eine Untergruppe.
-Zunächst ist $\operatorname{sign}(e)=(-1)^0=01$, also ist $e\in A_n$.
+Zunächst ist $\operatorname{sign}(e)=(-1)^0=1$, also ist $e\in A_n$.
 Es wurde schon gezeigt, dass mit jedem Element $\sigma\in A_n$ auch
 das inverse Element $\sigma^{-1}\in A_n$ ist.
-Es muss aber noch sichergestellt sein, dass das Produkt von zwei
+Es muss aber noch sichergestellt werden, dass das Produkt von zwei
 geraden Transpositionen wieder gerade ist:
 \[
 \begin{aligned}