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diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex
index d1a38ca..3bdba9a 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex
@@ -205,7 +205,7 @@ G=\begin{pmatrix}
 \end{pmatrix}
 \]
 gibt die Gewinne an, die bei einem Übergang anfallen.
-Die Matrixelemente $g_{ij}b_{ij}$ des elementweisen Produktes 
+Die Matrixelemente $g_{ij}b_{ij}$ des Hadamard-Produktes 
 $G\odot B$
 von $G$ mit $B$ enthält in den Spalten die Gewinnerwartungen
 für die einzelnen Übergänge aus einem Zustand.
@@ -218,7 +218,7 @@ E(Y|K\equiv j)
 für einen Übergang aus dem Zustand $j$.
 Man kann dies auch als einen Zeilenvektor schreiben, der durch Multiplikation
 der Matrix $G\odot B$ mit dem Zeilenvektor
-$\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}$
+$U^t=\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}$
 entsteht:
 \[
 \begin{pmatrix}
@@ -227,7 +227,7 @@ E(Y|K\equiv 1)&
 E(Y|K\equiv 2)
 \end{pmatrix}
 =
-\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}
+U^t
 G\odot B.
 \]
 Die Gewinnerwartung ist dann das Produkt
@@ -237,7 +237,7 @@ E(Y)
 \sum_{i=0}^2
 E(Y|K\equiv i) p_i
 =
-\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}
+U^t
 (G\odot B)p.
 \]
 Tatsächlich ist
@@ -250,7 +250,7 @@ G\odot B
 -\frac9{10} & \frac34 & 0
 \end{pmatrix}
 \quad\text{und}\quad
-\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot B
+U^t G\odot B
 =
 \begin{pmatrix}-\frac{8}{10}&\frac12&\frac12\end{pmatrix}.
 \]
@@ -260,10 +260,10 @@ Dies stimmt mit den Erwartungswerten in
 Die gesamte Geinnerwartung ist dann
 \begin{equation}
 (G\odot B)
-\begin{pmatrix}\frac13&\frac13&\frac13\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}\frac13\\\frac13\\\frac13\end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}-\frac{8}{10}&\frac12&\frac12\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}\frac13&\frac13&\frac13\end{pmatrix}
+\frac13U
 =
 \frac13\biggl(-\frac{8}{10}+\frac12+\frac12\biggr)
 =
@@ -433,6 +433,27 @@ berechnen können.
 Gewinn und Verlust sind also gleich wahrscheinlich, das Spiel $B$ ist also
 ebenfalls fair.
 
+Auch diese Gewinnwahrscheinlichkeit kann etwas formeller mit dem
+Hadamard-Produkt berechnet werden:
+\[
+U^t (G\odot B) p
+=
+\begin{pmatrix}-\frac{8}{10}&\frac12&\frac12\end{pmatrix}
+\frac{1}{13}
+\begin{pmatrix}
+5\\2\\6
+\end{pmatrix}
+=
+-\frac{8}{10}\cdot\frac{5}{13}
++\frac{1}{2} \cdot\frac{2}{13}
++\frac{1}{2} \cdot\frac{6}{13}
+=
+\frac{1}{26}(-8 + 2+ 6)
+=
+0,
+\]
+wie erwartet.
+
 \subsubsection{Das modifizierte Spiel $B$}
 \begin{figure}
 \centering
@@ -545,18 +566,18 @@ E(Y|K\equiv 1)&
 E(Y|K\equiv 2)
 \end{pmatrix}
 &=
-\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot \tilde{B}
+U^t (G\odot \tilde{B})
 \\
 &=
-\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot B
+U^t (G\odot B)
 +
 \varepsilon
-\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot F
+U^t (G\odot F)
 \\
 &=
 \begin{pmatrix} -\frac{8}{10}&\frac12&\frac12 \end{pmatrix}
 +
-\varepsilon\begin{pmatrix}2&2&2\end{pmatrix}
+2\varepsilon U^t
 \\
 &=
 \begin{pmatrix} -\frac{8}{10}+2\varepsilon&\frac12+2\varepsilon&\frac12+2\varepsilon \end{pmatrix}.
@@ -566,20 +587,22 @@ erhält man die Gewinnerwartung
 \begin{align*}
 E(Y)
 &=
-\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot \tilde{B}
+U^t(G\odot \tilde{B})
 \begin{pmatrix}
-\frac13&
-\frac13&
+\frac13\\
+\frac13\\
 \frac13
 \end{pmatrix}
 \\
 &=
-\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot B
-\begin{pmatrix} \frac13& \frac13& \frac13 \end{pmatrix}
+U^t
+(G\odot B)
+\frac13 U
 +
 \varepsilon
-\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot F
-\begin{pmatrix} \frac13& \frac13& \frac13 \end{pmatrix}
+U^t
+(G\odot F)
+\frac13 U
 \\
 &=
 \frac1{15}
@@ -696,37 +719,169 @@ Dazu braucht man das Hadamard-Produkt
 \[
 G\odot \tilde{B}
 =
+G=\begin{pmatrix}
+ 0&-1& 1\\
+ 1& 0&-1\\
+-1& 1& 0
+\end{pmatrix}
+\odot
+\begin{pmatrix}
+0                        &\frac14+\varepsilon & \frac34-\varepsilon \\
+\frac{1}{10}-\varepsilon & 0                  & \frac14+\varepsilon \\
+\frac{9}{10}+\varepsilon &\frac34-\varepsilon & 0
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+ 0                        &-\frac14-\varepsilon & \frac34-\varepsilon \\
+ \frac{1}{10}-\varepsilon & 0                   &-\frac14-\varepsilon \\
+-\frac{9}{10}-\varepsilon & \frac34-\varepsilon & 0
+\end{pmatrix}
 \]
-Wie früher ist
+Wie früher ist der erwartete Gewinn
 \begin{align*}
 E(Y)
 &=
-e^t (G\odot \tilde{B}) p
+U^t (G\odot \tilde{B}) p_{\varepsilon}
 \\
 &=
 \begin{pmatrix}
+-\frac{3}{10}-2\varepsilon & \frac12-2\varepsilon & \frac12-2\varepsilon
 \end{pmatrix}
-p
-=
+p_{\varepsilon}
+\\
+%                               3             2
+%                    480 epsilon  - 48 epsilon  + 294 epsilon
+%(%o50)            - ----------------------------------------
+%                                   2
+%                        240 epsilon  - 16 epsilon + 169
+&=
+-
+\varepsilon\cdot
+\frac{
+294-48\varepsilon+480\varepsilon^2
+}{
+169-16\varepsilon+240\varepsilon^2
+}
+=
+-\frac{294}{169}\varepsilon + O(\varepsilon^2).
 \end{align*}
+Insbesondere ist also die Gewinnerwartung negativ für nicht zu grosse 
+$\varepsilon>0$.
+Das Spiel ist also ein Verlustspiel.
 
 %
 % Die Kombination
 %
 \subsection{Kombination der Spiele
 \label{buch:subsection:kombination}}
+Jetzt werden die beiden Spiele $A$ und $B$ zu einem neuen
+Spiel kombiniert.
+Für das Spiel $A$ haben wir bis jetzt keine Übergansmatrix aufgestellt,
+da das Kapital darin keine Rolle spielt.
+Um die beiden Spiele kombinieren zu können brauchen wir aber die Übergansmatrix
+für die drei Zustände $K\equiv 0,1,2$.
+Sie ist
+\[
+A=\begin{pmatrix}
+0&\frac12&\frac12\\
+\frac12&0&\frac12\\
+\frac12&\frac12&0
+\end{pmatrix}.
+\]
 
-%
-% Gewinn-Erwartung
-%
-\subsection{Gewinnerwartung
-\label{buch:subsection:gewinnerwartung}}
+\subsubsection{Das Spiel $C$}
+In jeder Durchführung des Spiels wird mit einem Münzwurf entschieden,
+ob Spiel $A$ oder Spiel $B$ gespielt werden soll.
+Mit je Wahrscheinlichkeit $\frac12$ werden also die Übergansmatrizen
+$A$ oder $B$ verwendet:
+\[
+P(K\equiv i|K\equiv j)
+=
+A\cdot P(\text{Münzwurf Kopf})
++
+B\cdot P(\text{Münzwurf Kopf})
+=
+\frac12(A+B)
+=
+\begin{pmatrix}
+0            & \frac{3}{8} & \frac{5}{8} \\
+\frac{3}{10} & 0           & \frac{3}{8} \\
+\frac{7}{10} & \frac{5}{8} & 0
+\end{pmatrix}
+\]
+Die Gewinnerwartung in einem Einzelspiel ist
+\begin{align*}
+E(Y)
+&=
+U^t
+(G\odot C)
+\frac13U
+\\
+&=
+U^t
+\begin{pmatrix}
+ 0            &-\frac{3}{8} & \frac{5}{8} \\
+ \frac{3}{10} & 0           &-\frac{3}{8} \\
+-\frac{7}{10} & \frac{5}{8} & 0
+\end{pmatrix}
+\frac13U
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+-\frac{2}{5} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}
+\end{pmatrix}
+\frac13U
+=
+\frac13\biggl(-\frac{2}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\biggr)
+=
+-\frac{1}{30}
+\end{align*}
+Das Einzelspiel ist also ein Verlustspiel.
 
-%
-% Gleichgewichtszustand
-%
-\subsection{Gleichgewichtszustand
-\label{buch:subsection:gleichgewichtszustand}}
+\subsubsection{Das iterierte Spiel $C$}
+Für das iterierte Spiel muss man wieder den Eigenvektor von $C$ zum
+Eigenwert $1$ finden, die Rechnung mit dem Gauss-Algorithmus liefert
+\[
+p=
+\frac{1}{709}
+\begin{pmatrix}
+245\\180\\84
+\end{pmatrix}.
+\]
+Damit kann man jetzt die Gewinnwahrscheinlichkeit im iterierten Spiel
+berechnen, es ist
+\begin{align*}
+E(Y)
+&=
+U^t
+(G\odot C) p
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+-\frac{2}{5} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}
+\end{pmatrix}
+\frac{1}{709}
+\begin{pmatrix}
+245\\180\\84
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\frac{
+-2\cdot 49 + 45 + 71
+}{709}
+=
+\frac{18}{709},
+\end{align*}
+Das iteriert Spiel $B$ ist also ein Gewinnspiel!
+Obwohl die Spiele $A$ und $B$ für sich alleine in der iterierten Form
+keine Gewinnspiele sind, ist das kombinierte Spiel, wo man zufällig
+die beiden Spiel verbindet immer ein Gewinnspiel.
+
+Man kann statt des Spiels $B$ auch das modifizierte Spiel $\tilde{B}$ 
+verwenden, welches für kleine $\varepsilon>0$ ein Verlustspiel ist.
+Die Analyse lässt sich in der gleichen Weise durchführen und liefert
+wieder, dass für nicht zu grosses $\varepsilon$ das kombinierte Spiel
+ein Gewinnspiel ist.
 
 
 
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/rechnungen/btilde.maxima b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/rechnungen/btilde.maxima
index 16be152..6ba2ee6 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/rechnungen/btilde.maxima
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/rechnungen/btilde.maxima
@@ -1,46 +1,103 @@
-Btilde: matrix(
-	[ -1            , 1/4 + epsilon, 3/4 - epsilon ],
-	[ 1/10 - epsilon, -1           , 1/4 + epsilon ],
-	[ 9/10 + epsilon, 3/4 - epsilon, -1            ]
+B: matrix(
+	[ 0   , 1/4, 3/4 ],
+	[ 1/10, 0  , 1/4 ],
+	[ 9/10, 3/4, 0   ]
 );
+F: matrix(
+	[  0, -1,  1 ],
+	[  1,  0, -1 ],
+	[ -1,  1,  0 ]
+);
+G: matrix(
+	[  0, -1,  1 ],
+	[  1,  0, -1 ],
+	[ -1,  1,  0 ]
+);
+U: matrix([1], [1], [1]);
+p: (1/3) * U;
+
+ratsimp(expand((B * G) . p));
+ratsimp(expand(transpose(U) . (B * G) . p));
+
+/* find the eigenvector */
+/* find the eigenvector */
+B0: B - identfor(B);
 
-r: expand(Btilde[1] / Btilde[1,1]);
-Btilde[1]: r;
-Btilde[2]: Btilde[2] - Btilde[2,1] * r;
-Btilde[3]: Btilde[3] - Btilde[3,1] * r;
+r: expand(B0[1] / B0[1,1]);
+B0[1]: r;
+B0[2]: B0[2] - B0[2,1] * r;
+B0[3]: B0[3] - B0[3,1] * r;
 
-Btilde: expand(Btilde);
+B0: expand(B0);
 
-r: Btilde[2] / Btilde[2,2];
-Btilde[2]: r;
-Btilde[3]: Btilde[3] - Btilde[3,2] * r;
+r: B0[2] / B0[2,2];
+B0[2]: r;
+B0[3]: B0[3] - B0[3,2] * r;
 
-Btilde: ratsimp(expand(Btilde));
+B0: ratsimp(expand(B0));
 
-Btilde[1]: Btilde[1] - Btilde[1,2] * Btilde[2];
+B0[1]: B0[1] - B0[1,2] * B0[2];
 
-Btilde: ratsimp(expand(Btilde));
+B0: ratsimp(expand(B0));
 
 l: 78 + 12 * epsilon + 80 * epsilon^2;
 
-D: ratsimp(expand(l*Btilde));
+D: ratsimp(expand(l*B0));
 n: ratsimp(expand(l -D[1,3] -D[2,3]));
 
 p: (1/n) * matrix(
-[ -Btilde[1,3]*l ],
-[ -Btilde[2,3]*l ],
+[ -B0[1,3]*l ],
+[ -B0[2,3]*l ],
 [ l ]
 );
 p: ratsimp(expand(p));
 
-taylor(p, epsilon, 0, 3);
+/* compute the expected gain */
+G*B;
+ratsimp(expand(transpose(U). (G*B) . p));
 
-G: matrix(
-	[  0,  1, -1 ],
-	[ -1,  0,  1 ],
-	[  1, -1,  0 ]
+/* modified game */
+Btilde: B - epsilon * F;
+ratsimp(expand((Btilde * G) . p));
+gain: ratsimp(expand(transpose(U) . (Btilde * G) . p));
+
+/* find the eigenvector */
+B0: Btilde - identfor(Btilde);
+
+r: expand(B0[1] / B0[1,1]);
+B0[1]: r;
+B0[2]: B0[2] - B0[2,1] * r;
+B0[3]: B0[3] - B0[3,1] * r;
+
+B0: expand(B0);
+
+r: B0[2] / B0[2,2];
+B0[2]: r;
+B0[3]: B0[3] - B0[3,2] * r;
+
+B0: ratsimp(expand(B0));
+
+B0[1]: B0[1] - B0[1,2] * B0[2];
+
+B0: ratsimp(expand(B0));
+
+l: 78 + 12 * epsilon + 80 * epsilon^2;
+
+D: ratsimp(expand(l*B0));
+n: ratsimp(expand(l -D[1,3] -D[2,3]));
+
+pepsilon: (1/n) * matrix(
+[ -B0[1,3]*l ],
+[ -B0[2,3]*l ],
+[ l ]
 );
+pepsilon: ratsimp(expand(pepsilon));
+
+/* taylor series expansion of the eigenvector */
+taylor(pepsilon, epsilon, 0, 3);
 
-e: matrix([1,1,1]);
+/* expectation */
 
-ratsimp(expand(e. (G*Btilde) . p));
+G*Btilde;
+gainepsilon: ratsimp(expand(transpose(U). (G*Btilde) . pepsilon));
+taylor(gainepsilon, epsilon, 0, 5);