Beispiel vollständig

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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima
index 4770926..bc8e967 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima
@@ -11,56 +11,41 @@ factor(m);
 modulus:false;
 
 M: matrix(
-	[ 0, 0, 0, -3 ],
-	[ 1, 0, 0, -2 ],
-	[ 0, 1, 0, -2 ],
-	[ 0, 0, 1, -1 ]
+	[ 0, 0, -3 ],
+	[ 1, 0, -2 ],
+	[ 0, 1, -2 ]
 );
 M: mod(M, 7);
 M0: identfor(M);
 M1: M;
 M2: M.M1;
-M3: M.M2;
 
 a0: 1;
 a1: 2;
-a2: 9;
-a3: 1;
+a2: 2;
 
-a: a0 + a1*X + a2*X^2 + a3*X^3;
+a: a0 + a1*X + a2*X^2;
 
-A: a0*M0 + a1*M1 + a2*M2 + a3*M3;
+A: a0*M0 + a1*M1 + a2*M2;
 A: mod(A, 7);
 
 T: matrix(
-	[ A[1,1], A[1,2], A[1,3], A[1,4], 1, 0, 0, 0 ],
-	[ A[2,1], A[2,2], A[2,3], A[2,4], 0, 1, 0, 0 ],
-	[ A[3,1], A[3,2], A[3,3], A[3,4], 0, 0, 1, 0 ],
-	[ A[4,1], A[4,2], A[4,3], A[4,4], 0, 0, 0, 1 ]
+	[ A[1,1], A[1,2], A[1,3], 1, 0, 0 ],
+	[ A[2,1], A[2,2], A[2,3], 0, 1, 0 ],
+	[ A[3,1], A[3,2], A[3,3], 0, 0, 1 ]
 );
 
 t: inv_mod(T[1,1], 7);
 T[1]: mod(t * T[1], 7);
 T[2]: mod(T[2] - T[2,1]*T[1], 7);
 T[3]: mod(T[3] - T[3,1]*T[1], 7);
-T[4]: mod(T[4] - T[4,1]*T[1], 7);
 
 t: inv_mod(T[2,2], 7);
 T[2]: mod(t * T[2], 7);
 T[3]: mod(T[3] - T[3,2] * T[2], 7);
-T[4]: mod(T[4] - T[4,2] * T[2], 7);
 
 t: inv_mod(T[3,3], 7);
 T[3]: mod(t * T[3], 7);
-T[4]: mod(T[4] - T[4,3] * T[3], 7);
-
-t: inv_mod(T[4,4], 7);
-T[4]: mod(t * T[4], 7);
-T;
-
-T[3]: mod(T[3] - T[3,4] * T[4], 7);
-T[2]: mod(T[2] - T[2,4] * T[4], 7);
-T[1]: mod(T[1] - T[1,4] * T[4], 7);
 
 T[2]: mod(T[2] - T[2,3] * T[3], 7);
 T[1]: mod(T[1] - T[1,3] * T[3], 7);
@@ -70,10 +55,9 @@ T[1]: mod(T[1] - T[1,2] * T[2], 7);
 T;
 
 C: matrix(
-	[ T[1,5], T[1,6], T[1,7], T[1,8] ],
-	[ T[2,5], T[2,6], T[2,7], T[2,8] ],
-	[ T[3,5], T[3,6], T[3,7], T[3,8] ],
-	[ T[4,5], T[4,6], T[4,7], T[4,8] ]
+	[ T[1,4], T[1,5], T[1,6] ],
+	[ T[2,4], T[2,5], T[2,6] ],
+	[ T[3,4], T[3,5], T[3,6] ]
 );
 
 mod(A.C, 7);
@@ -81,17 +65,14 @@ mod(A.C, 7);
 b0: C[1,1];
 b1: C[2,1];
 b2: C[3,1];
-b3: C[4,1];
 
-Cc: mod(b0*M0 + b1*M1 + b2*M2 + b3*M3, 7);
+Cc: mod(b0*M0 + b1*M1 + b2*M2, 7);
 C - Cc;
 
-b: b0 + b1*X + b2*X^2 + b3*X^3;
+b: b0 + b1*X + b2*X^2;
 p: expand(a*b);
 
-p: expand(p - 5 * m * X^3);
-p: expand(p - 40 * m * X^2);
-p: expand(p + 35 * m * X);
-p: expand(p + 9 * m);
+pp: 3*X^4 + X^3 + 3*X^2 + 6*X;
+
+divide(pp, m, X);
 
-mod(28 * M0 + 125*M1 - 18*M2,7);
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
index 2fb8d96..c9fb6d1 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
@@ -371,20 +371,19 @@ das Inverse von $a(\alpha)$ sein.
 \begin{beispiel}
 Wir betrachten das Polynom 
 \[
-m(X) = X^3 + 2X^2 + 2X + 3 \in \mathbb{F}_{7}
+m(X) = X^3 + 2X^2 + 2X + 3 \in \mathbb{F}_{7}[X],
 \]
 es irreduzibel.
 Sei $\alpha$ eine Nullstelle von $m$, wir suchen das inverse Element zu
 \[
-a(\alpha)=1+2\alpha+2\alpha^2+\alpha^3\in\mathbb{F}_{7}(\alpha).
+a(\alpha)=1+2\alpha+2\alpha^2\in\mathbb{F}_{7}(\alpha).
 \]
 Die Matrix $a(M_\alpha)$ bekommt die Form
 \[
 A=\begin{pmatrix}
- 1& 4& 4& 3\\
- 2& 6& 2& 6\\
- 2& 0& 4& 4\\
- 1& 1& 6& 5
+ 1& 1& 6\\
+ 2& 4& 5\\
+ 2& 5& 1
 \end{pmatrix}.
 \]
 Die Inverse kann man bestimmen, indem man den
@@ -392,17 +391,39 @@ Gauss-Algorithmus in $\mathbb{F}_{17}$ durchführt.
 Man bekommt
 \[
 B=\begin{pmatrix}
- 1& 6& 0& 2\\
- 0& 5& 6& 6\\
- 5& 4& 5& 5\\
- 5& 0& 4& 1
+ 0& 6& 5\\
+ 6& 4& 0\\
+ 5& 3& 5
 \end{pmatrix}.
 \]
 Daraus können wir jetzt das inverse Element
 \[
-b(\alpha) = 1 + 5\alpha^2 + 5\alpha^3
+b(\alpha) = 6\alpha+5\alpha^2
 \]
 ablesen.
+Das Produkt $b(X)\cdot a(X)$ ist
+\begin{align*}
+(1+2X+2X^2)(6X+5X^2)
+&=
+10X^4 + 22X^3 + 17X^2 + 6X
+\\
+&=
+3X^4+X^3+3X^2+6X
+\intertext{
+Diese Polynom muss jetzt mit dem Minimalpolynom $m(X)$ reduziert
+werden, wir subtrahieren dazu $3Xm(X)$ und erhalten}
+&=
+-5X^3-3X^2-3X
+\\
+&=
+2X^3+4X^2+4X
+\intertext{Die vollständige Reduktion wird erreicht, indem wir nochmals
+$2m(X)$ subtrahieren:}
+&=
+-6 \equiv 1\mod 7,
+\end{align*}
+das Element $b(\alpha)=6\alpha+5\alpha^2$ ist also das Inverse Element von
+$a(\alpha)=1+2\alpha+2\alpha^2$ in $\mathbb{F}_7(\alpha)$.
 \end{beispiel}
 
 \subsubsection{Rechnen in $\Bbbk(\alpha)$}