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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 465c862..de3deda 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -79,8 +79,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
          An der neuen Position \(B\) von \(A'\) muss also auch ein Punkt des Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
      \item \(B\) ist unser Name für diesen neuen Punkt.
          Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_n\) auch auf \(A'\) anwenden.
-         Also wenden wir \(C_n\) invertiert
-         \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.
+         Also wenden wir \(C_n\) invertiert\footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.
          Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
          auch auf \(A'\) an. 
          Dies dreht \(A\) auf einen neuen Punkt.
@@ -119,21 +118,20 @@ ein.
     \caption{
       Stereografische Projektion einer \(C_{i}\) Symmetrie. Es wird eine Linie vom magentafarbenen Punkt auf der oberen Hälfte der Kugel zum Südpol gezogen.
       Wo die Linie die Ebene schneidet (\(z = 0\)), ist die Projektion des Punktes.
-      Die Koordinaten der Projektionen sind einfach zu berechnen:
-      ein Punkt auf eine Kugel mit Radius \(r\) mit den Koordinaten \(x, y, z,\) wird auf \(xr/(r + z), yr/(r + z)\) projiziert.
+      Die Koordinaten der Projektionen sind einfach zu berechnen: ein Punkt auf eine Kugel mit Radius \(r\) mit den Koordinaten \(x, y, z,\) wird auf \(xr/(r + z), yr/(r + z)\) projiziert.
       Für den orangefarbenen Punkt unterhalb des Äquators wird die Linie zum Nordpol gezogen und die Projektionsformel hat stattdessen einen Nenner von \(r - z\).
     }
     \label{fig:punktgruppen:stereographic-projections}
 \end{figure}
 
 \subsection{Kristallklassen}
+
 Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
-Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
-nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische
-Symmetriegruppen bilden können.
-Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
-Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen.
-Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographischen Projektion ermöglicht (siehe Abb. \ref{fig:punktgruppen:stereographic-projections}), wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. 
+ Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische Symmetriegruppen bilden können.
+ Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+ Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen.
+ Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographischen Projektion ermöglicht (siehe Abbildung \ref{fig:punktgruppen:stereographic-projections}), wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden.
+
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -145,26 +143,18 @@ Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographi
 \subsubsection{Schönflies-Symbilok}
 
 Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem zugehörigen Schöönflies-Symbol bezeichnet.
-Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
-welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
-Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
-Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Untergruppen von Schönflies verwendet.
-Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
-Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
-Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
-Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen,
-Weol das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
-Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt 
-\ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
-Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
-Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum
-\footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.}
-\(i\) oder eine horizontale
-\footnote{Als Orientierungspunkt wird die Symmetrieachse höchster Ordnung (\(n\)) als vertikal definiert} 
-Spiegelachse \(h\). 
-Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
-\(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer
-sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
+ Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
+ Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
+ Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Untergruppen von Schönflies verwendet.
+ Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
+ Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
+ Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
+ Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen, Weol das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
+ Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
+ Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
+ Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum\footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.} \(i\) oder eine horizontale\footnote{Als Orientierungspunkt wird die Symmetrieachse höchster Ordnung (\(n\)) als vertikal definiert} Spiegelachse \(h\).
+ Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
+ \(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
 
 
 
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index 07f2bc5..0bb4aec 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -1,196 +1,134 @@
 \section{Symmetrie}
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
-ursprünglichen griechischen Wort
-\(\mathrm{\Sigma\upsilon\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
-\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
-verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
-locker definierter Begriff sein, in der Mathematik hat Symmetrie jedoch eine sehr
-präzise Bedeutung.
+ursprünglichen griechischen Wort \(\mathrm{\Sigma\upsilon\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,verhältnismässig} fast nicht verändert.
+In der Alltagssprache mag es ein locker definierter Begriff sein, in der Mathematik hat Symmetrie jedoch eine sehr präzise Bedeutung.
 \begin{definition}[Symmetrie]
-	Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer
-	bestimmten Operation invariant ist.
+  Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer bestimmten Operation invariant ist.
 \end{definition}
-Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
-einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
-ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.  
+Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit einigen geometrischen Beispielen beginnen.
+Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.
 
 \begin{figure}
-	\centering
-	\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes}
-	\caption{
-		Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
-		\label{fig:punktgruppen:geometry-example}
-	}
+  \centering
+  \includegraphics{papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes}
+  \caption{
+    Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
+    \label{fig:punktgruppen:geometry-example}
+  }
 \end{figure}
 
 \subsection{Geometrische Symmetrien}
 
-In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen,
-die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade,
-an deren es gespiegelt(Operation) werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern(invariant). %What do you think about the ()
-Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine
-diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine
-Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur 
-unverändert lässt.  Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine
-unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele
-Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. 
-Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.  Als Beispiel, kann das
-Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um
-\(\sigma\) sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht
-werden.  Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine
-Symmetriegruppe.
+In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind.
+Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
+Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt.
+Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
+Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
+Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
+Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-	\(g\) und \(h\) sein umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt
-	unverändert lassen. Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung 
-	der Operationen nacheinander. Alle möglichen Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, 
-	die Symmetriegruppe genannt wird.
-\end{definition} % rewritten, make shore it works for you
+  \(g\) und \(h\) sein umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
+  Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander.
+  Alle möglichen Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+\end{definition}
 
-Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir
-mit \(\mathds{1}\) bezeichnen. Die Anwendung der neutralen Operation ist
-gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen. \(\mathds{1}\) ist auch
-äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen
-(ihre Umkehrung anzuwenden).
-Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben,
-es wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben. Das liegt daran, dass
-in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet
-wird. Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige
-Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B. durch Verwendung von Potenzen \(r^n =
-r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition. 
+Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
+Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
+\(\mathds{1}\) ist auch äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen (ihre Inverse anzuwenden).
+ Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, es wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
+Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
+Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B.
+durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition.
 
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
-	\(g\) sei ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
-	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
-	Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird. Die von \(g\)
-	erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z}
-	\right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
+  \(g\) sei ein Element einer Symmetriegruppe \(G\).
+  Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird.
+  Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z} \right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-	Um die Syntax zu verstehen, betrachten Sie eine durch \(a\) erzeugte Gruppe
-	\(G = \langle a \rangle\).  Das bedeutet, dass \(G\) die Elemente \(a, aa,
-	aaa, \ldots\) sowie \(a^{-1}, a^{-1}a^{-1}, \ldots\) und ein neutrales
-	Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält.
+  Um die Syntax zu verstehen, betrachten wir eine durch \(a\) erzeugte Gruppe \(G = \langle a \rangle\).
+  Das bedeutet, dass \(G\) die Elemente \(a, aa, aaa, \ldots\) sowie \(a^{-1}, a^{-1}a^{-1}, \ldots\) und ein neutrales Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält.
 \end{beispiel}
 \begin{beispiel}
-	Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine Zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon 
-	formalisieren. Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn
-	von \(360^\circ/n\) um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die
-	gesamte Symmetriegruppe
-	\[
-		C_n = \langle r \rangle
-			= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
-	\]
-	der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch
-	die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die
-	Rotationssymmetrie bewahrt. In ähnlicher Weise, aber weniger interessant  
-	enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur
-	\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
+  Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine Zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren.
+  Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) um einen Punkt.
+  Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
+  \[
+    C_n = \langle r \rangle
+      = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+  \]
+  der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen.
+  Das liegt daran, dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die Rotationssymmetrie bewahrt.
+  In ähnlicher Weise, aber weniger interessant  enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
 \end{beispiel}
 
 Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystemen
 komplexere Strukturen aufbauen.
 
 \begin{definition}[Erzeugendensysteme]
-	% please fix this unreadable mess
-	Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert
-	werden.  Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
-	Symmetriegruppe sein.  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die
-	sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die
-	Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls
-	in den Klammern angegeben. Die erzeugende Elementen zusammen mit der
-	Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
+  Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
+  Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
+  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
+  Die Gleichungen sind ebenfalls in den Klammern angegeben.
+  Die erzeugende Elementen zusammen mit der Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-	Wir werden nun alle Symmetrien eines \(n\)-Gons beschreiben, was bedeutet,
-	dass wir die Operationen \(r\) und \(\sigma\) kombinieren. Die
-	Definitionsgleichungen sind \(r^n = \mathds{1}\), \(\sigma^2 =
-	\mathds{1}\) und \((\sigma r)^2 = \mathds{1}\).
-	Die ersten beiden sind ziemlich offensichtlich. Die letzte wird oft auch als
-	Inversion bezeichnet, weil die Anwendung von \(\sigma r\) dasselbe ist wie
-	das Ziehen einer Linie von einem Punkt, die durch den Ursprung geht, und das
-	Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts. Wenn man dies
-	zweimal macht, geht man zurück zum Anfangspunkt.
-	Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe 
-	\begin{align*}
-		D_n &= \langle r, \sigma : r^n = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle \\
-			&= \left\{
-					\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
-			\right\}.
-	\end{align*}
+  Wir werden nun alle Symmetrien eines \(n\)-Gons beschreiben, was bedeutet, dass wir die Operationen \(r\) und \(\sigma\) kombinieren.
+  Die Definitionsgleichungen sind \(r^n = \mathds{1}\), \(\sigma^2 = \mathds{1}\) und \((\sigma r)^2 = \mathds{1}\).
+  Die ersten beiden sind ziemlich offensichtlich.
+  Die letzte wird oft auch als Inversion bezeichnet, weil die Anwendung von \(\sigma r\) dasselbe ist wie das Ziehen einer Linie von einem Punkt, die durch den Ursprung geht, und das Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts.
+  Wenn man dies zweimal macht, geht man zurück zum Anfangspunkt.
+  Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe 
+  \begin{align*}
+    D_n &= \langle r, \sigma : r^n = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle \\
+      &= \left\{
+          \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
+      \right\}.
+  \end{align*}
 \end{beispiel}
 
-Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer
-mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im
-Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der
-Spiegelachse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es
-Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
-Diesen Spezialfall, bei dem immer mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
-Punktsymmetrie.
+Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird.
+Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der Spiegelachse.
+Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
+ Diesen Spezialfall, bei dem immer mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man Punktsymmetrie.
 \begin{definition}[Punktgruppe]
-	Wenn es einen Punkt gibt, der von jeder Gruppenoperation unverändert gelassen
-	wird, ist die Symmetriegruppe eine Punktgruppe.
+  Wenn es einen Punkt gibt, der von jeder Gruppenoperation unverändert gelassen wird, ist die Symmetriegruppe eine Punktgruppe.
 \end{definition}
 
 \subsection{Algebraische Symmetrien}
-Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
-möglich ist, Gleichungen zu schreiben.  Die anschliesende Frage ist dann, ob wir
-bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die
-sich auf die gleiche Weise verhalten. Die Antwort lautet natürlich ja.  Um es
-formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
+Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich möglich ist, Gleichungen zu schreiben.
+Die anschliesende Frage ist dann, ob wir bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die sich auf die gleiche Weise verhalten.
+Die Antwort lautet natürlich ja.
+Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
-	\(G\) und \(H\) seien  Gruppen mit unterschiedlichen Operationen \(\diamond\)
-	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
-	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
-	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
-	\(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man sagt, dass der Homomorphismus
-	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
+  \(G\) und \(H\) seien  Gruppen mit unterschiedlichen Operationen \(\diamond\) bzw.
+  \(\star\).
+  Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).
+  Man sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
-	Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
-	komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
-	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
+  Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem komplexen Einheitskreis.
+  Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\) ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
 \end{beispiel}
 
 \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe]
-	Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe
-	auf eine Menge von Matrizen abbildet.
-	\[
-		\Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
-	\]
-	Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen
-	Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
+  Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe auf eine Menge von Matrizen abbildet.
+  \[
+    \Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
+  \]
+  Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
-	Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar. Die mit der Matrix 
-	\[
-		\Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
-			\cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
-			\sin(2\pi k/n) &  \cos(2\pi k/n)
-		\end{pmatrix}
-	\]
-	definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
-	\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
-	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
-	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+  Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar.
+  Die mit der Matrix 
+  \[
+    \Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
+      \cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
+      \sin(2\pi k/n) &  \cos(2\pi k/n)
+    \end{pmatrix}
+  \]
+  definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von \(C_n\).
+  In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und die zweite die Matrixmultiplikation.
+  Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
 \end{beispiel}
-
-%% TODO: title / fix continuity
-% Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
-% eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
-% nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
-% Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
-% hat, wenn es die Gleichung 
-% \[
-% 	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
-% \]
-% für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
-% Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
-% zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
-% dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
-
-% \subsection{Sch\"onflies notation} 
-
-% vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de: