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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-01-08 13:36:54 +0100
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-01-08 13:36:54 +0100
commite5dec2d8164c7c8d53e5db824b50a481edf71ede (patch)
tree9d4661e338b16eec0d2a3521f219fd3c0b486ca1
parentAbschnitt über den euklidischen Algorithmus hinzugefügt (diff)
downloadSeminarMatrizen-e5dec2d8164c7c8d53e5db824b50a481edf71ede.tar.gz
SeminarMatrizen-e5dec2d8164c7c8d53e5db824b50a481edf71ede.zip
zwei Aufgaben hinzugefüegt
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex7
-rw-r--r--buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex76
-rw-r--r--buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex23
-rw-r--r--cover/Makefile7
-rw-r--r--cover/buchcover.tex14
-rw-r--r--cover/matrix.pdfbin0 -> 170861 bytes
-rw-r--r--cover/matrix.tex50
7 files changed, 169 insertions, 8 deletions
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
index 95665f7..2913ca5 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
@@ -13,3 +13,10 @@
\input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex}
\input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex}
+\section*{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{4001}
+\uebungsaufgabe{4002}
+\end{uebungsaufgaben}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex
new file mode 100644
index 0000000..2fab61a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex
@@ -0,0 +1,76 @@
+Verwenden Sie die Matrixdarstellung komplexer Zahlen, um $i^i$ zu
+berechnen.
+
+\begin{hinweis}
+Verwenden Sie die eulersche Formel um $\log J$ zu bestimmen.
+\end{hinweis}
+
+\begin{loesung}
+Wir berechnen $J^J$ mit Hilfe des Logarithmus als
+$J^J = \exp(J\log J)$.
+Zunächst erinnern wir an die Eulersche Formel
+\[
+\exp tJ
+=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{t^k J^k}{k!}
+=
+\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i}(-1)^i}{(2i)!}\cdot E
++
+\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i+1}(-1)^i}{(2i+1)!}\cdot J
+=
+\cos t\cdot E
++
+\sin t\cdot J.
+\]
+Daraus liest man ab, dass
+\[
+\log \begin{pmatrix}
+\cos t&-\sin t\\
+\sin t& \cos t
+\end{pmatrix}
+=
+tJ
+\]
+gilt.
+Für die Matrix $J$ heisst das
+\begin{equation}
+J = \begin{pmatrix}
+0&-1\\1&0
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\frac{\pi}2&-\sin\frac{\pi}2\\
+\sin\frac{\pi}2& \cos\frac{\pi}2
+\end{pmatrix}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\log J = \frac{\pi}2 J.
+\label{4001:logvalue}
+\end{equation}
+Als nächstes müssen wir $J\log J$ berechnen.
+Aus \eqref{4001:logvalue} folgt
+\[
+J\log J = J\cdot \frac{\pi}2J = - \frac{\pi}2 \cdot E.
+\]
+Darauf ist die Exponentialreihe auszuwerten, also
+\[
+J^J
+=
+\exp (J\log J)
+=
+\exp(-\frac{\pi}2 E)
+=
+\exp
+\begin{pmatrix}
+-\frac{\pi}2&0\\
+0&-\frac{\pi}2
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+e^{-\frac{\pi}2}&0\\
+0&e^{-\frac{\pi}2}
+\end{pmatrix}
+=
+e^{-\frac{\pi}2} E.
+\]
+Als komplexe Zahlen ausgedrückt folgt also $i^i = e^{-\frac{\pi}2}$.
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex
new file mode 100644
index 0000000..6c0223e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex
@@ -0,0 +1,23 @@
+Seien $z$ und $w$ komplexe Zahlen derart, dass $z=e^w$, d.~h.~$w$ ist
+ein Wert des Logarithmus von $z$.
+Zeigen Sie, dass die Zahlen $w+2\pi ik$ für $k\in\mathbb Z$ ebenfalls
+Logarithmen von $z$ sind.
+Dies zeigt, dass eine komlexe Zahl unendlich viele verschiedene
+Logarithmen haben kann, die Logarithmusfunktion ist im Komplexen
+nicht eindeutig.
+
+\begin{loesung}
+Aus der Eulerschen Formel folgt
+\begin{align*}
+e^{w+2\pi ik}
+&=
+e^w\cdot e^{2\pi ik}
+=
+e^w (\underbrace{\cos 2\pi k}_{\displaystyle=1} + i \underbrace{\sin 2\pi k}_{\displaystyle = 0})
+=
+e^w
+=
+z.
+\qedhere
+\end{align*}
+\end{loesung}
diff --git a/cover/Makefile b/cover/Makefile
index 76ae56f..6f682dc 100644
--- a/cover/Makefile
+++ b/cover/Makefile
@@ -3,9 +3,12 @@
#
# (c) 2018 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
#
-all: buchcover.png front.pdf back.pdf
+all: matrix.pdf buchcover.png front.pdf back.pdf
-buchcover.pdf: buchcover.tex
+matrix.pdf: matrix.tex
+ pdflatex matrix.tex
+
+buchcover.pdf: buchcover.tex matrix.pdf
pdflatex buchcover.tex
buchcover.png: buchcover.pdf Makefile
diff --git a/cover/buchcover.tex b/cover/buchcover.tex
index 1fdf2dc..f7da81b 100644
--- a/cover/buchcover.tex
+++ b/cover/buchcover.tex
@@ -42,11 +42,12 @@
\hsize=13.6cm
\begin{scope}
-%\clip (0,0) rectangle({\bogenbreite},{\bogenhoehe});
-\clip (0,3) rectangle ({\bogenbreite},14.2);
+\clip (0,0) rectangle({\bogenbreite},{\bogenhoehe});
+%\clip (0,0) rectangle ({\bogenbreite},20.2);
%\node at (18.7,8.9) [scale=5.0]{\includegraphics{nozzle-hell.jpg}};
%\node at (18.7,8.9) [scale=5.0]{\includegraphics{nozzle-hell3.jpg}};
%\node at (18.7,8.9) [scale=5.0]{\includegraphics{nozzle.jpg}};
+\node at ({\bogenbreite/2},13.0) {\includegraphics[width=42cm]{matrix.pdf}};
\end{scope}
\node at ({\einschlag+2*\gelenk+\ruecken+1.5*\breite},24.3)
@@ -89,24 +90,25 @@
{\hbox to\hsize{\hfill%
\sf \fontsize{13}{5}\selectfont
Naoki Pross, % E
- Pascal Andreas Schmid, % B
- Thierry Schwaller%, % E
+ Michael Schmid, % MSE
+ Pascal Andreas Schmid%, % B
}};
\node at ({\einschlag+2*\gelenk+\ruecken+1.5*\breite},16.45)
[color=white,scale=1]
{\hbox to\hsize{\hfill%
\sf \fontsize{13}{5}\selectfont
+ Thierry Schwaller, % E
Michael Steiner, % E
Tim Tönz, % E
- Fabio Viecelli, % B
- Lukas Zogg%, % B
+ Fabio Viecelli%, % B
}};
\node at ({\einschlag+2*\gelenk+\ruecken+1.5*\breite},15.8)
[color=white,scale=1]
{\hbox to\hsize{\hfill%
\sf \fontsize{13}{5}\selectfont
+ Lukas Zogg%, % B
%
}};
diff --git a/cover/matrix.pdf b/cover/matrix.pdf
new file mode 100644
index 0000000..385e283
--- /dev/null
+++ b/cover/matrix.pdf
Binary files differ
diff --git a/cover/matrix.tex b/cover/matrix.tex
new file mode 100644
index 0000000..338435b
--- /dev/null
+++ b/cover/matrix.tex
@@ -0,0 +1,50 @@
+%
+% matrix.tex -- Hintergrund für Bucheinband
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\w{30}
+\def\h{10}
+\def\l{7}
+\def\s{0.155}
+\def\vs{0.245}
+
+\fill[color=blue] (0,{-0.3*\h}) rectangle (\w,{2*\h});
+
+\def\verticalline#1{
+ \pgfmathparse{int(random(0,\h/\vs))*\vs}
+ \xdef\initialheight{\pgfmathresult}
+ \foreach \y in {0,\vs,...,\l}{
+ \pgfmathparse{100*(1-(sqrt(\y/\l)))}
+ \xdef\farbe{\pgfmathresult}
+ \pgfmathparse{int(random(0,9))}
+ \xdef\zeichen{\pgfmathresult}
+ \node[color=white!\farbe!blue,opacity={(1-\y/\l)}]
+ %\node[color=white!\farbe!blue]
+ at (#1,{\initialheight+\y}) {\tt\zeichen};
+ }
+}
+
+\begin{scope}
+\clip (0,{-0.3*\h}) rectangle (\w,{2*\h});
+
+\foreach \x in {0,\s,...,\w}{
+ \verticalline{\x}
+}
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+