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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-02-01 13:29:17 +0100 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-02-01 13:29:17 +0100 |
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Übersicht algebraische Strukturen
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-rw-r--r-- | buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex | 35 |
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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex index 6b355ee..9e1d3dc 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex @@ -5,6 +5,41 @@ % \subsection{Algebren \label{buch:grundlagen:subsection:algebren}} +Die Skalar-Multiplikation eines Vektorraums ist in einem Ring nicht +vorhanden. +Die Menge der Matrizen $M_n(\Bbbk)$ ist sowohl ein Ring als auch +ein Vektorraum. +Man nennt eine {\em $\Bbbk$-Algebra} oder {\em Algebra über $\Bbbk$} +ein Ring $A$, der auch eine $\Bbbk$-Vektorraum ist. +Die Multiplikation des Ringes muss dazu mit der Skalarmultiplikation +verträglich sein. +Dazu müssen Assoziativgesetze +\[ +\lambda(\mu a) = (\lambda \mu) a +\qquad\text{und}\qquad +\lambda(ab) = (\lambda a) b +\] +für $a,b\in A$ und $\lambda,\mu\in\Bbbk$ +und eine Regel der Form +\begin{equation} +a(\lambda b) = \lambda (ab) +\label{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebrakommutativ} +\end{equation} +gelten. +Die Bedingung \eqref{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebrakommutativ} ist +eine Folge der Forderung, dass die Multiplikation +eine lineare Abbildung sein soll. +Dies bedeutet, dass +\begin{equation} +a(\lambda b+\mu c) = \lambda (ab) + \mu (ac), +\label{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebralinear} +\end{equation} +woraus +\eqref{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebrakommutativ} +für $\mu=0$ folgt. +Die Regel \eqref{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebralinear} +beinhaltet aber auch das Distributivgesetz. +$M_n(\Bbbk)$ ist eine Algebra. \subsubsection{Die Algebra der Funktionen $\Bbbk^X$} Sie $X$ eine Menge und $\Bbbk^X$ die Menge aller Funktionen $X\to \Bbbk$. |