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author | Reto <reto.fritsche@ost.ch> | 2021-08-31 23:42:02 +0200 |
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committer | Reto <reto.fritsche@ost.ch> | 2021-08-31 23:42:02 +0200 |
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-rw-r--r-- | buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex | 18 |
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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex index 21b29c2..3b2780a 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex @@ -13,6 +13,7 @@ Eine ähnliche Situation haben wir bei $M_n(\Bbbk)$ angetroffen. $M_n(\Bbbk)$ ist eine zunächst eine Gruppe bezüglich der Addition, hat aber auch noch eine Multiplikation, die nicht immer umkehrbar ist. Diese Art von Struktur nennt man einen Ring. +\index{Ring} \subsubsection{Definition eines Rings} @@ -21,6 +22,7 @@ Diese Art von Struktur nennt man einen Ring. Eine Menge $R$ mit einer additiven Operation $+$ mit neutralem Element $0$ und einer multiplikativ geschriebenen Operation $\cdot$ heisst ein {\em Ring}, wenn folgendes gilt. +\index{Ring}% \begin{enumerate} \item $R$ ist eine Gruppe bezüglich der Addition. @@ -56,14 +58,15 @@ kein neutrales Element hat oder beides. \begin{definition} \index{Ring mit Eins}% -Ein Ring $R$ heisst ein Ring mit Eins, wenn die Multiplikation ein +Ein Ring $R$ heisst ein {\em Ring mit Eins}, wenn die Multiplikation ein neutrales Element hat. +\index{Ring mit Eins}% \end{definition} \begin{definition} \index{Ring!kommutativ}% \index{kommutativer Ring}% -Ein Ring $R$ heisst kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ +Ein Ring $R$ heisst {\em kommutativ}, wenn die Multiplikation kommutativ ist. \end{definition} @@ -93,7 +96,7 @@ für $a,b\in c(\mathbb{Z})$. Die Algebra ist kommutativ und hat die konstante Folge $u_n = 1\;\forall n$ als Eins. -Wir betrachten jetzt ein Unterring $c_0(\mathbb{Z})\subset c(\mathbb{Z})$ +Wir betrachten jetzt den Unterring $c_0(\mathbb{Z})\subset c(\mathbb{Z})$ bestehend aus den Folgen, die nur für endlich viele Folgenglieder von $0$ verschieden sind. Für eine Folge $a\in c_0(\mathbb{Z})$ gibt es eine Zahl $N$ derart, dass @@ -138,8 +141,8 @@ Ebenso ist das Produkt dieser Zahlen weil Realteil $ac-bd\in\mathbb{Z}$ und der Imaginärteil $ad+bc\in\mathbb{Z}$ ganze Zahlen sind. Die Menge $\mathbb{Z}[i]$ ist also ein kommutative Ring mit Eins, er -heisst der Ring der ganzen {\em Gaussschen Zahlen}. -\index{Gausssche Zahlen}% +heisst der Ring der {\em ganzen Gaussschen Zahlen}. +\index{ganze Gausssche Zahlen}% \end{beispiel} \begin{beispiel} @@ -214,14 +217,17 @@ $U(M_n(\Bbbk))=\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$. \subsubsection{Nullteiler} Ein möglicher Grund, warum ein Element $r\in R$ nicht invertierbar -ist, kann sein, dass es ein Element $s\in R$ gibt mit $rs=0$. +ist, kann sein, dass es ein Element $s\in R$ mit $rs=0$ gibt. Wäre nämlich $t$ ein inverses Element, dann wäre $0=t0 = t(rs) = (tr)s=s$. \begin{definition} +\label{buch:grundlagen:def:nullteiler} Ein Element $r\in R^*$ heisst ein {\em Nullteiler} in $R$, wenn es ein $s\in R^*$ gibt mit $rs=0$ Ein Ring ohne Nullteiler heisst {\em nullteilerfrei}. \end{definition} +\index{Nullteiler}% +\index{nullteilerfrei}% In $\mathbb{R}$ ist man sich gewohnt zu argumentieren, dass wenn ein Produkt $ab=0$ ist, dann muss einer der Faktoren $a=0$ oder $b=0$ sein. |