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index 2fcf199..3ad51f1 100644..100755
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
@@ -33,7 +33,7 @@ aber mit Punkten kann man trotzdem noch nicht rechnen.
 Ein Vektor fasst die Koordinaten eines Punktes in einem Objekt zusammen,
 mit dem man auch rechnen und zum Beispiel Parallelverschiebungen
 algebraisieren kann.
-Um auch Streckungen ausdrücken zu können, wird auch eine Menge von 
+Um auch Streckungen ausdrücken zu können, wird auch eine Menge von
 Streckungsfaktoren benötigt, mit denen alle Komponenten eines Vektors
 multipliziert werden können.
 Sie heissen auch {\em Skalare} und liegen in $\Bbbk$.
@@ -73,7 +73,7 @@ a+b
 =
 \begin{pmatrix}\lambda a_1\\\vdots\\\lambda a_n\end{pmatrix}.
 \]
-Die üblichen Rechenregeln sind erfüllt, nämlich 
+Die üblichen Rechenregeln sind erfüllt, nämlich
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 &\text{Kommutativität:}
@@ -149,7 +149,7 @@ kann als (abstrakter) Vektor betrachtet werden.
 \begin{definition}
 Eine Menge $V$ von Objekten, auf der zwei Operationen definiert,
 nämlich die Addition, geschrieben $a+b$ für $a,b\in V$ und die
-Multiplikation mit Skalaren, geschrieben $\lambda a$ für $a\in V$ und 
+Multiplikation mit Skalaren, geschrieben $\lambda a$ für $a\in V$ und
 $\lambda\in \Bbbk$, heisst ein {\em $\Bbbk$-Vektorraum} oder {\em Vektorraum
 über $\Bbbk$} (oder
 einfach nur {\em Vektorraum}, wenn $\Bbbk$ aus dem Kontext klar sind),
@@ -172,7 +172,7 @@ $\mathbb{C}$ ein Vektorraum über $\mathbb{R}$.
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}
-Die Menge $C([a,b])$ der stetigen Funktionen $[a,b]\to\mathbb{Re}$ 
+Die Menge $C([a,b])$ der stetigen Funktionen $[a,b]\to\mathbb{Re}$
 bildet ein Vektorraum.
 Funktionen können addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden:
 \[
@@ -188,7 +188,7 @@ Die Vektorraum-Rechenregeln
 \end{beispiel}
 
 Die Beispiele zeigen, dass der Begriff des Vektorraums die algebraischen
-Eigenschaften eine grosse Zahl sehr verschiedenartiger mathematischer 
+Eigenschaften eine grosse Zahl sehr verschiedenartiger mathematischer
 Objekte beschreiben kann.
 Alle Erkenntnisse, die man ausschliesslich aus Vekotorraumeigenschaften
 gewonnen hat, sind auf alle diese Objekte übertragbar.
@@ -300,7 +300,7 @@ folgt, dass alle $\lambda_1,\dots,\lambda_n=0$ sind.
 Lineare Abhängigkeit der Vektoren $a_1,\dots,a_n$ bedeutet auch, dass
 man einzelne der Vektoren durch andere ausdrücken kann.
 Hat man nämlich eine
-Linearkombination~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhdef} und 
+Linearkombination~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhdef} und
 ist der Koeffizient $\lambda_k\ne 0$, dann kann man nach $a_k$ auflösen:
 \[
 a_k = -\frac{1}{\lambda_k}(\lambda_1a_1+\dots+\widehat{\lambda_ka_k}+\dots+\lambda_na_n).
@@ -323,7 +323,7 @@ offenbar eine besondere Bedeutung.
 Eine linear unabhängig Menge von Vektoren
 $\mathcal{B}=\{a_1,\dots,a_n\}\subset V$
 heisst {\em Basis} von $V$.
-Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in $V$ heisst 
+Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in $V$ heisst
 {\em Dimension} von $V$.
 \end{definition}
 
@@ -331,7 +331,7 @@ Die Standardbasisvektoren bilden eine Basis von $V=\Bbbk^n$.
 
 \subsubsection{Unterräume}
 Die Mengen $\langle a_1,\dots,a_n\rangle$ sind Teilmengen
-von $V$, in denen die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit 
+von $V$, in denen die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit
 Skalaren immer noch möglich ist.
 
 \begin{definition}
@@ -352,7 +352,7 @@ gilt.
 %
 \subsection{Matrizen
 \label{buch:grundlagen:subsection:matrizen}}
-Die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems finden in einem 
+Die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems finden in einem
 Zeilen- oder Spaltenvektor nicht Platz.
 Wir erweitern das Konzept daher in einer Art, dass Zeilen- und
 Spaltenvektoren Spezialfälle sind.
@@ -378,14 +378,14 @@ M_{m\times n}(\Bbbk) = \{ A\;|\; \text{$A$ ist eine $m\times n$-Matrix}\}.
 \]
 Falls $m=n$ gilt, heisst die Matrix $A$ auch {\em quadratisch}
 \index{quadratische Matrix}%
-Man kürzt die Menge der quadratischen Matrizen als 
+Man kürzt die Menge der quadratischen Matrizen als
 $M_n(\Bbbk) = M_{n\times n}(\Bbbk)$ ab.
 \end{definition}
 
-Die $m$-dimensionalen Spaltenvektoren $v\in \Bbbk^m$ sind $m\times 1$-Matrizen 
+Die $m$-dimensionalen Spaltenvektoren $v\in \Bbbk^m$ sind $m\times 1$-Matrizen
 $v\in M_{n\times 1}(\Bbbk)$, die $n$-dimensionalen Zeilenvetoren $u\in\Bbbk^n$
 sind $1\times n$-Matrizen $v\in M_{1\times n}(\Bbbk)$.
-Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{ij}$ besteht aus 
+Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{ij}$ besteht aus
 den $n$ Spaltenvektoren
 \[
 a_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix},\quad
@@ -435,7 +435,7 @@ werden kann.
 \begin{definition}
 Eine $m\times n$-Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ und eine
 $n\times l$-Matrix $B\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ haben als Produkt
-eine $n\times l$-Matrix $C=AB\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ mit den
+eine $m\times l$-Matrix $C=AB\in M_{m\times l}(\Bbbk)$ mit den
 Koeffizienten
 \begin{equation}
 c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
@@ -483,7 +483,7 @@ I
 1     &0     &\dots &0     \\
 0     &1     &\dots &0     \\[-2pt]
 \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
-0     &0     &\dots &1  
+0     &0     &\dots &1
 \end{pmatrix}.
 \]
 
@@ -521,10 +521,10 @@ Ein Gleichungssystem mit $0$ auf der rechten Seite ist also bereits
 ausreichend um zu entscheiden, ob die Lösung eindeutig ist.
 Ein Gleichungssystem mit rechter Seite $0$ heisst {\em homogen}.
 \index{homogenes Gleichungssystem}%
-Zu jedem {\em inhomogenen} Gleichungssystem $Ax=b$ mit $b\ne 0$ 
+Zu jedem {\em inhomogenen} Gleichungssystem $Ax=b$ mit $b\ne 0$
 ist $Ax=0$ das zugehörige homogene Gleichungssystem.
 
-Ein homogenes Gleichungssytem $Ax=0$ hat immer mindestens die 
+Ein homogenes Gleichungssytem $Ax=0$ hat immer mindestens die
 Lösung $x=0$, man nennt sie auch die {\em triviale} Lösung.
 Eine Lösung $x\ne 0$ heisst auch eine nichttriviale Lösung.
 Die Lösungen eines inhomgenen Gleichungssystem $Ax=b$ ist also nur dann
@@ -535,7 +535,7 @@ Lösung hat.
 Der Gauss-Algorithmus oder genauer Gausssche Eliminations-Algorithmus
 löst ein lineare Gleichungssystem der
 Form~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}.
-Die Koeffizienten werden dazu in das Tableau 
+Die Koeffizienten werden dazu in das Tableau
 \[
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
@@ -552,7 +552,7 @@ Der Algorithmus is so gestaltet, dass er nicht mehr Speicher als
 das Tableau benötigt, alle Schritte operieren direkt auf den Daten
 des Tableaus.
 
-In jedem Schritt des Algorithmus wird zunächst eine Zeile $i$ und 
+In jedem Schritt des Algorithmus wird zunächst eine Zeile $i$ und
 Spalte $j$ ausgewählt, das Elemente $a_{ij}$ heisst das Pivotelement.
 \index{Pivotelement}%
 Die {\em Pivotdivision}
@@ -646,7 +646,7 @@ In der Phase der {\em Vorwärtsreduktion} werden Pivotelemente von links
 nach rechts möglichst auf der Diagonale gewählt und mit Zeilensubtraktionen
 die darunterliegenden Spalten freigeräumt.
 \index{Vorwärtsreduktion}%
-Während des Rückwärtseinsetzens werden die gleichen Pivotelemente von 
+Während des Rückwärtseinsetzens werden die gleichen Pivotelemente von
 rechts nach links genutzt, um mit Zeilensubtraktionen auch die
 Spalten über den Pivotelemnten frei zu räumen.
 \index{Rückwärtseinsetzen}%
@@ -800,7 +800,7 @@ $x = b_1c_1+b_2c_2+\dots+b_nc_n$ konstruieren.
 Tatsächlich gilt
 \begin{align*}
 Ax
-&= 
+&=
 A( b_1c_1+b_2c_2+\dots+b_nc_n)
 \\
 &=
@@ -837,7 +837,265 @@ Seite~\pageref{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln}
 die Eigenschaft $A^{-1}A=I$ ganz allgemein gezeigt.
 
 \subsubsection{Determinante}
-XXX TODO
+Ein Gleichungssystem mit $n$ Gleichungen und $n$ Unbekannten ist genau
+dann lösbar, wenn sich der Gauss-Algorithmus bis zum Ende durchführen lässt.
+Das ist gleichbedeutend damit, dass keines der Pivot-Elemente verschwindet.
+Das Produkt der Pivot-Elemente ist also eine aus der Koeffizientenmatrix
+$A$ berechnete Kennzahl, die zu entscheiden erlaubt, ob ein Gleichungssystem
+lösbar ist.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:linear:determinate:def}
+Das Produkt der Pivot-Elemente bei der Durchführung des Gauss-Algorithmus
+für eine Gleichungssystem mit quadratischer Koeffizientenmatrix $A$
+heisst die Determinante $\det(A)$ der Matrix $A$.
+\end{definition}
+
+Aus den Regeln für die Durchführung des Gauss-Algorithmus kann man die
+folgenden Regeln für die Determinante ableiten.
+Wir stellen die Eigenschaften hier nur zusammen, detaillierte Herleitungen
+kann man in jedem Kurs zur linearen Algebra finden, zum Beispiel im
+Kapitel~2 des Skripts \cite{buch:linalg}.
+\begin{enumerate}
+\item
+\label{buch:linear:determinante:einheitsmatrix}
+Die Determinante der Einheitsmatrix ist $\det(I)=1$.
+\item
+Sind zwei Zeilen einer Matrix gleich, dann tritt beim Gauss-Algorithmus
+eine Nullzweile auf, die Matrix kann also nicht regulär sein und die
+Determinante ist $0$.
+\item
+\label{buch:linear:determinante:vorzeichen}
+Vertauscht man zwei Zeilen einer Matrix, dann kehrt das Vorzeichen der
+Determinante.
+\item
+Addiert man ein Vielfaches einer Zeile der Matrix zu einer anderen Zeile,
+dann ändert der Wert der Determinante nicht.
+\item
+Wird eine Zeile der Matrix mit einer Zahl $\lambda$ multipliziert, dann
+wird auch der Wert der Determinanten mit $\lambda$ multipliziert.
+\item
+\label{buch:linear:determinante:asymetrisch}
+Die Determinante ist eine lineare Funktion der Zeilen von $A$.
+Zusammen mit der Eigeschaft~\ref{buch:linear:determinante:vorzeichen}
+folgt, dass die Determinante eine antisymmetrische lineare Funktion
+der Zeilen ist.
+\item
+Die Determinante ist durch die Eigenschaften
+\ref{buch:linear:determinante:einheitsmatrix}
+und
+\ref{buch:linear:determinante:asymetrisch}
+eindeutig bestimmt.
+\item
+Der Entwicklungssatz von Laplace.
+\index{Entwicklungssatz Laplace}%
+Die Determinante der $n\times n$-Matrix $A$ kann mit der Formel
+\begin{equation}
+\det(A)
+=
+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det(A_{ij})
+\end{equation}
+wobei die $(n-1)\times(n-1)$-Matrix $A_{ij}$ die Matrix $A$ ist, aus der
+man Zeile $i$ und Spalte $j$ entfernt hat.
+$A_{ij}$ heisst ein {\em Minor} der Matrix $A$.
+\index{Minor einer Matrix}%
+\end{enumerate}
+
+Die bekannte Formel $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$
+ist ein Spezialfall des Entwicklungssatzes von Laplace.
+Auch für $3\times 3$-Matrizen ist eine übersichtliche Form möglich,
+die als die Sarrus-Formel bekannt ist.
+\index{Sarrus-Formel}%
+
+\begin{satz}[Sarrus]
+\label{buch:linear:determinate:sarrus}
+Die Determinante einer $3\times 3$-Matrix ist
+\[
+\left|\begin{matrix}
+a&b&c\\
+d&e&f\\
+g&h&i
+\end{matrix}\right|
+=
+aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.
+\]
+\end{satz}
+
+\subsubsection{Die Regel von Cramer}
+Die Determinanten ermöglicht auch, eine Formel für die Lösung eines
+Gleichungssystems zu geben.
+Dies ist bekannt als die {\em Regel von Cramer}.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:linear:determinante:cramer}
+Die Lösung $x_k$ eines $n\times n$-Gleichungssystem $Ax=b$ mit
+Koeffizientenmatrix $A$ und rechter Seite $b$ hat die Lösungen
+\begin{equation}
+x_k
+=
+\frac{
+\left|\begin{matrix}
+a_{11}&a_{12}&\dots &b_1   &\dots &a_{1n}\\
+a_{21}&a_{22}&\dots &b_2   &\dots &a_{2n}\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\
+a_{n1}&a_{n2}&\dots &b_n   &\dots &a_{nn}
+\end{matrix}\right|
+}{
+\det(A),
+}
+\end{equation}
+wobei im Zähler die Spalte $k$ der Matrix $A$ durch den Vektor $b$
+der rechten Seiten ersetzt worden ist.
+\end{satz}
+
+Die Cramersche Formel ist besonders nützlich, wenn die Abhängigkeit
+einer Lösungsvariablen von den Einträgen der Koeffizientenmatrix
+untersucht werden soll.
+Für die Details der Herleitung sei wieder auf \cite{buch:linalg}
+verwiesen.
+
+\subsubsection{Die inverse Matrix mit Hilfe der Determinanten}
+Die inverse Matrix löst ein quadratisches Gleichungssystem $Ax=b$ mit
+Hilfe der Formel $x=A^{-1}b$.
+Man kann daher auch erwarten, dass sich die inverse Matrix dank
+der Cramerschen Regel mit Hilfe von Determinanten ausdrücken lässt.
+Tatsächlich gilt der folgende Satz.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:linalg:inverse:adjunkte}
+Die Inverse der $n\times n$-Matrix $A$ ist gegeben durch
+\index{Formel für die inverse Matrix}%
+\index{inverse Matrix, Formel für}%
+\begin{equation}
+(A^{-1})_{ij}
+=
+\frac{1}{\det(A)}
+\begin{pmatrix}
+\det(A_{11}) & -\det(A_{21}) & \dots & (-1)^{i+1}\det(A_{i1}) & \dots
+	& (-1)^{1+n} \det(A_{n1}) \\
+-\det(A_{12}) & \det(A_{22}) & \dots & (-1)^{i+2}\det(A_{i2}) & \dots
+	& (-1)^{2+n} \det(A_{n2}) \\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+(-1)^{1+j}\det(A_{1j}) & (-1)^{2+j}\det(A_{2j}) & \dots
+	& (-1)^{i+j} \det(A_{ji})
+	& \dots & (-1)^{j+n} \det(A_{nj}) \\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+(-1)^{1+n}\det(A_{1n}) & (-1)^{2+n}\det(A_{2n}) & \dots
+	& (-1)^{i+n}\det(A_{in})
+	& \dots & \det(A_{nn})
+\end{pmatrix}
+\label{buch:linalg:inverse:formel}
+\end{equation}
+Die Transponierte der Matrix auf der rechten Seite (ohne den Vorfaktor
+$1/\det(A)$
+heisst die {\em Adjunkte} $\operatorname{adj}A$ von $A$.
+\index{Adjunkte}%
+\end{satz}
+
+Der Satz~\ref{buch:linalg:inverse:adjoint} liefert eine algebraische
+Formel für die Elemente der inversen Matrix.
+Für kleine Matrizen wie im nachfolgenden Beispiel ist die
+Formel~\eqref{buch:linalg:inverse:formel} oft einfachter anzuwenden.
+Besonders einfach wird die Formel für eine $2\times 2$-Matrix,
+wo man
+\[
+\begin{pmatrix}
+a&b\\c&d
+\end{pmatrix}^{-1}
+=
+\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
+d&-b\\
+-c&a
+\end{pmatrix}
+\]
+erhält.
+
+\begin{beispiel}
+Die Inverse der Matrix
+\begin{equation}
+A=\begin{pmatrix}
+1&a&a\\
+a&1&a\\
+a&a&1
+\end{pmatrix}
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn1}
+\end{equation}
+ist mit Hilfe von Determinanten besonders einfach zu invertieren.
+Die Determinante von $A$ ist nach der Sarrus-Formel
+\[
+\operatorname{adj}A
+=
+1 + 2a^3  - 3a^2.
+\]
+Die Adjunkte ist
+\begin{align*}
+(\operatorname{adj}A)^t
+&=
+%\frac{1}{\det{A}}
+\begin{pmatrix*}[r]
+ \det A_{11} & -\det A_{21} &  \det A_{31} \\
+-\det A_{12} &  \det A_{22} & -\det A_{32} \\
+ \det A_{13} & -\det A_{23} &  \det A_{33}
+\end{pmatrix*}
+\intertext{und damit ist die inverse Matrix}
+A^{-1}
+&=
+\frac{1}{2a^3-3a^2+1}
+\renewcommand\arraystretch{1.1}
+\begin{pmatrix*}[r]
+\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right|
+&
+-\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right|
+&
+\left|\begin{matrix}a&a\\1&a\end{matrix}\right|
+\\
+-\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right|
+&
+\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right|
+&
+-\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right|
+\\
+\left|\begin{matrix}a&1\\a&a\end{matrix}\right|
+&
+-\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right|
+&
+\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right|
+\end{pmatrix*}
+\\
+&=
+\frac{1}{2a^3-3a^2+1}
+\begin{pmatrix}
+1-a^2 & a^2-a & a^2-a\\
+a^2-a & 1-a^2 & a^2-a\\
+a^2-a & a^2-a & 1-a^2
+\end{pmatrix}.
+\end{align*}
+Mit $1-a^2=(1+a)(1-a)$ und $a^2-a=a(a-1)$ kann man dies noch etwas
+vereinfachen, indem man den gemeinsamen Faktor $1-a$ ausklammern.
+Man erhält so die Form
+\begin{equation}
+A^{-1}
+=
+\frac{1-a}{2a^3-3a^2+1}
+\begin{pmatrix}
+1+a &  -a &  -a \\
+ -a & 1+a &  -a \\
+ -a &  -a & 1+a
+\end{pmatrix}.
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn2}
+\end{equation}
+für die Inverse einer Matrix der Form
+\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn1}.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Produktregel für die Determinante}
+Aus der Charakterisierung der Determinanten kann man auch ableiten,
+dass  die Produktregel 
+\[
+\det (AB) = \det(A) \cdot \det(B)
+\]
+gilt.
+Daraus folgt auch, dass $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$.
 
 %
 % Lineare Abbildungen
@@ -860,7 +1118,7 @@ Eine Abbildung $f\colon V\to U$ zwischen Vektorräumen $V$ und $U$
 heisst linear, wenn
 \[
 \begin{aligned}
-f(v+w) &= f(v) + f(w)&&\forall v,w\in V 
+f(v+w) &= f(v) + f(w)&&\forall v,w\in V
 \\
 f(\lambda v) &= \lambda f(v) &&\forall v\in V,\lambda \in \Bbbk
 \end{aligned}
@@ -871,16 +1129,16 @@ gilt.
 Lineare Abbildungen sind in der Mathematik sehr verbreitet.
 
 \begin{beispiel}
-Sie $V=C^1([a,b])$ die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen 
+Sie $V=C^1([a,b])$ die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen
 auf dem Intervall $[a,b]$ und $U=C([a,b])$ die Menge der
-stetigen Funktion aif $[a,b]$. 
+stetigen Funktion aif $[a,b]$.
 Die Ableitung $\frac{d}{dx}$ macht aus einer Funktion $f(x)$ die
 Ableitung $f'(x)$.
-Die Rechenregeln für die Ableitung stellen sicher, dass 
+Die Rechenregeln für die Ableitung stellen sicher, dass
 \[
 \frac{d}{dx}
 \colon
-C^1([a,b]) \to  C([a,b]) 
+C^1([a,b]) \to  C([a,b])
 :
 f \mapsto f'
 \]
@@ -899,7 +1157,7 @@ eine lineare Abbildung.
 \end{beispiel}
 
 \subsubsection{Matrix}
-Um mit linearen Abbildungen rechnen zu können, ist eine Darstellung 
+Um mit linearen Abbildungen rechnen zu können, ist eine Darstellung
 mit Hilfe von Matrizen nötig.
 Sei also $\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ eine Basis von $V$ und
 $\mathcal{C} = \{ c_1,\dots,c_m\}$ eine Basis von $U$.
@@ -907,12 +1165,12 @@ Das Bild des Basisvektors $b_i$ kann als Linearkombination der
 Vektoren $c_1,\dots,c_m$ dargestellt werden.
 Wir verwenden die Bezeichnung
 \[
-f(b_i) 
+f(b_i)
 =
 a_{1i} c_1 + \dots + a_{mi} c_m.
 \]
 Die lineare Abbildung $f$ bildet den Vektor $x$ mit Koordinaten
-$x_1,\dots,x_n$ ab auf 
+$x_1,\dots,x_n$ ab auf
 \begin{align*}
 f(x)
 &=
@@ -935,7 +1193,7 @@ x_n(a_{1n} c_1 + \dots + a_{mn} c_m)
 +
 ( a_{m1} x_1 + \dots + a_{mn} x_n ) c_m
 \end{align*}
-Die Koordinaten von $f(x)$ in der Basis $\mathcal{C}$ in $U$ sind 
+Die Koordinaten von $f(x)$ in der Basis $\mathcal{C}$ in $U$ sind
 also gegeben durch das Matrizenprodukt $Ax$, wenn $x$ der Spaltenvektor
 aus den Koordinaten in der Basis $\mathcal{B}$ in $V$ ist.
 
@@ -973,7 +1231,7 @@ b_{m1}x_1&+& \dots &+&b_{mn}x_n&=&b_{m1}'x_1'&+& \dots &+&b_{mn}'x_n'
 \end{linsys}
 \]
 Dieses Gleichungssystem kann man mit Hilfe eines Gauss-Tableaus lösen.
-Wir schreiben die zugehörigen Variablen 
+Wir schreiben die zugehörigen Variablen
 \[
 \renewcommand{\arraystretch}{1.1}
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$} >{$}c<{$} >{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
@@ -1019,7 +1277,7 @@ Für zwei Vektoren $u$ und $w$ in $U$ gibt es daher Vektoren $a=g(u)$
 und $b=g(w)$ in $V$ derart, dass $f(a)=u$ und $f(b)=w$.
 Weil $f$ linear ist, folgt daraus $f(a+b)=u+w$ und $f(\lambda a)=\lambda a$
 für jedes $\lambda\in\Bbbk$.
-Damit kann man jetzt 
+Damit kann man jetzt
 \begin{align*}
 g(u+w)&=g(f(a)+f(b)) = g(f(a+b)) = a+b = g(u)+g(w)
 \\
@@ -1057,7 +1315,7 @@ Der Kern oder Nullraum der Matrix $A$ ist die Menge
 \]
 \end{definition}
 
-Der Kern ist ein Unterraum, denn für zwei Vektoren $u,w\in \ker f$ 
+Der Kern ist ein Unterraum, denn für zwei Vektoren $u,w\in \ker f$
 \[
 \begin{aligned}
 f(u+v)&=f(u) + f(v) = 0+0 = 0 &&\Rightarrow& u+v&\in\ker f\\
@@ -1073,7 +1331,7 @@ Wir definieren daher das Bild einer linearen Abbildung oder Matrix.
 
 \begin{definition}
 Ist $f\colon V\to U$ eine lineare Abbildung dann ist das Bild von $f$
-der Unterraum 
+der Unterraum
 \[
 \operatorname{im}f = \{ f(v)\;|\;v\in V\} \subset U
 \]
@@ -1117,7 +1375,7 @@ $\operatorname{def}A=\dim\ker A$.
 \end{definition}
 
 Da der Kern mit Hilfe des Gauss-Algorithmus bestimmt werden kann,
-können Rang und Defekt aus dem Schlusstableau 
+können Rang und Defekt aus dem Schlusstableau
 eines homogenen Gleichungssystems mit $A$ als Koeffizientenmatrix
 abgelesen werden.
 
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
index d951221..408bfeb 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
@@ -197,7 +197,7 @@ mit Gleichheit genau dann, wenn $x=ty$ ist für ein $t\ge 0$.
 &=
 (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2
 \\
-\|x\|_2 + \|y\|_2
+\|x + y\|_2
 &\le \|x\|_2 + \|y\|_2,
 \end{align*}
 Gleichheit tritt genau dann ein, wenn