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author | Andreas Müller <andreas.mueller@hsr.ch> | 2020-12-04 21:07:55 +0100 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@hsr.ch> | 2020-12-04 21:07:55 +0100 |
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Kapitel 1
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-rw-r--r-- | buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex | 145 |
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diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex new file mode 100644 index 0000000..c1a660d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex @@ -0,0 +1,145 @@ +% +% vektoren.tex -- Darstellung von Polynomen als Vektoren +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule Rapperswil +% +\section{Polynome als Vektoren +\label{buch:section:polynome:vektoren}} +Ein Polynom +\[ +p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_1X+a_0 +\] +mit Koeffizienten in einem Ring $R$ +ist spezifiziert, wenn die Koeffizienten $a_k$ bekannt sind. +Die Potenzen von $X$ dienen hier nur dazu, die verschiedenen +Koeffizienten zu unterscheiden. +Das Polynom $p(X)$ vom Grad $n$ ist also auch gegeben durch den +$n+1$-dimensionalen Vektor +\[ +\begin{pmatrix} +a_0\\ +a_1\\ +\vdots\\ +a_{n-1}\\ +a_{n} +\end{pmatrix} +\in +R^n. +\] +Diese Darstellung eines Polynoms gibt auch die Addition von Polynomen +und die Multiplikation von Polynomen mit Skalaren aus $R$ korrekt wieder. +Die Abbildung von Vektoren auf Polynome +\[ +\varphi +\colon R^n \to R[X] +: +\begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} +\mapsto +a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0 +\] +erfüllt also +\[ +\varphi( \lambda a) = \lambda \varphi(a) +\qquad\text{und}\qquad +\varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b) +\] +und ist damit eine lineare Abbildung. +Umgekehrt kann man auch zu jedem Polynom $p(X)$ vom Grad $\le n$ einen +Vektor finden, der von $\varphi$ auf das Polynom $p(X)$ abgebildet wird. +Die Abbildung $\varphi$ ist also ein Isomorphismus +\[ +\varphi +\colon +\{p\in R[X]\;|\; \deg(p) \le n\} +\overset{\equiv}{\to} +R^{n+1} +\] +zwischen der Menge +der Polynome vom Grad $\le n$ auf $R^{n+1}$. +Für alle Rechnungen, bei denen es nur um Addition von Polynomen oder +um Multiplikation mit Skalaren geht, ist also diese vektorielle Darstellung +mit Hilfe von $\varphi$ eine zweckmässige Darstellung. + +In zwei Bereichen ist die Beschreibung von Polynomen mit Vektoren allerdings +ungenügend: einerseits können Polynome können beliebig hohen Grad haben, +während Vektoren in $R^{n+1}$ höchstens $n+1$ Komponenten haben können. +Andererseits geht bei der vektoriellen Beschreibung die multiplikative +Struktur vollständig verloren. + +\subsection{Polynome beliebigen Grades +\label{buch:subsection:polynome:beliebigergrad}} +Ein Polynom +\[ +q(X) += +b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0 +\] +vom Grad $m<n$ kann dargestellt werden als ein Vektor +\[ +\begin{pmatrix} +b_0\\ +b_1\\ +\vdots\\ +b_{m-1}\\ +b_{m}\\ +0\\ +\vdots +\end{pmatrix} +\in +R^{n+1} +\] +mit der Eigenschaft, dass die Komponenten mit Indizes +$m+1,\dots n$ verschwinden. +Polynome vom Grad $m<n$ bilden einen Unterraum der Polynome vom Grad $n$. +Wir können auch die $m+1$-dimensionalen Vektoren in den $n+1$-dimensionalen +Vektoren einbetten, indem wir die Vektoren durch ``auffüllen'' mit Nullen +auf die richtige Länge bringen. +Es gibt also eine lineare Abbildung +\[ +R^{m+1} \to R^{n+1} +\colon +\begin{pmatrix} +b_0\\b_1\\\vdots\\b_m +\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix} +b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots +\end{pmatrix} +. +\] +Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber +alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring +$R[X]$ abgebildet werden. +\begin{center} +\begin{tikzcd} +\{0\}\ar[r] %\arrow[d,"\varphi"] + &R \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"] + &R^2 \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"] + &\dots \ar[r] + &R^k \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"] + &R^{k+1} \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"] + &\dots +\\ +R^{(0)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drrr,hook] + &R^{(1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drr,hook] + &R^{(2)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dr,hook] + &\dots\arrow[r,hook] + &R^{(k)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dl,hook] + &R^{(k+1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dll,hook] + &\dots +\\ + & + & + &R[X] + & + & + & +\end{tikzcd} +\end{center} +\subsection{Multiplikative Struktur +\label{buch:subsection:polynome:multiplikativestruktur}} + + + + + |