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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-09-22 21:06:58 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-09-22 21:06:58 +0200
commit7ba2b33ce9ed11753a1bb80d833354393f7e7603 (patch)
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zweite Leseung Kapitel 3 und 4
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-rw-r--r--buch/chapters/20-polynome/chapter.tex14
-rw-r--r--buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex35
-rw-r--r--buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex17
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diff --git a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
index fd72a59..19f0221 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
@@ -33,7 +33,7 @@ In dieser eher arithmetischen Sichtweise ist es aber eigentlich egal, dass in
\eqref{buch:eqn:polynome:polynom} nur einfache Multiplikationen und
Additionen vorkommen.
In einem Programm könnten ja auch beliebig komplizierte Operationen
-verwendet werden, warum also diese Beschränkung.
+verwendet werden, warum also diese Beschränkung?
Für die nachfolgenden Betrachtungen stellen wir uns $X$ daher nicht
mehr einfach als einen Platzhalter für eine Zahl vor, sondern als ein neues
@@ -88,7 +88,8 @@ Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ kommen dafür in Frage, aber auch
die rationalen oder reellen Zahlen $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$.
Man kann sogar noch weiter gehen: man kann als Koeffizienten auch
Vektoren oder sogar Matrizen zulassen.
-Polynome können addiert werden, indem die Koeffizienten addiert werden.
+Polynome können addiert werden, indem die Koeffizienten addiert werden,
+und sie können mit Skalaren aus dem Koeffizentenkörper multipliziert werden.
Polynome können aber auch multipliziert werden, was auf die Faltung
der Koeffizienten hinausläuft:
\begin{align}
@@ -103,15 +104,14 @@ a_{n}b_{m}X^{n+m}
+
(a_{n}b_{m-1}+a_{n-1}b_{m})X^{n+m-1}
+
-\dots
-+
-\sum_{i + j = k}a_ib_j X^k
-+
-\dots
+\ldots
+
(a_1b_0+a_0b_1)X
+
a_0b_0
+\\
+&=
+\sum_{i + j = k}a_ib_j X^k.
\label{buch:eqn:polynome:faltung}
\end{align}
Dies ist aber nur möglich, wenn die Koeffizienten selbst miteinander
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
index 3c541d8..659a972 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
@@ -74,7 +74,7 @@ Ein Polynom heisst {\em normiert} oder auch {\em monisch}, wenn der
\index{normiertes Polynom}%
\index{Polynom!monisch}%
\index{normiertes Polynom}
-höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynomus $1$ ist,
+höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynoms $1$ ist,
also $a_n=1$.
\index{Leitkoeffizient}%
Wenn man in $R$ durch $a_n$ dividieren kann, dann kann man aus dem Polynom
@@ -84,7 +84,7 @@ $p(X)=a_nX^n+\dots$ mit Leitkoeffizient $a_n$ das normierte Polynom
X^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1} + \dots + \frac{a_0}{a_n}
\]
machen.
-Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde normiert.
+Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde {\em normiert}.
Wenn $R$ ein Körper ist, ist die Normierung immer möglich.
Die Tatsache, dass zwei Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten haben müssen,
@@ -136,7 +136,7 @@ p(X)q(X)r(X)
=
p(X)(q(X)r(X))
\end{align*}
-für die Multiplikation besagt, das es keine Rolle spielt, in welcher
+für die Multiplikation besagen, dass es keine Rolle spielt, in welcher
Reihenfolge man die Additionen oder Multiplikationen ausführt.
%
@@ -155,7 +155,7 @@ p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots a_1X + a_0
\]
hat den Grad $n$, wenn $a_n\ne 0$ ist.
Der Grad von $p$ wird mit $\deg p$ bezeichnet.
-Konstante Polynome $p(X)=a_0$ mit $a_0\ne 0$ hat den Grad $0$.
+Das konstante Polynom $p(X)=a_0$ mit $a_0\ne 0$ hat den Grad $0$.
Der Grad des Nullpolynoms $p(X)=0$ ist definiert als
$-\infty$.
\end{definition}
@@ -196,24 +196,23 @@ p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0&&\Rightarrow&\deg p&=n\\
q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0&&\Rightarrow&\deg q&=m.
\end{aligned}
\]
-Dann kann der höchste Koeffizient in der Summe $p+q$ nicht weiter oben
+Dann kann der höchste Koeffizient in der Summe $p+q$ nicht ``weiter oben''
sein als die grössere von den beiden Zahlen $n$ und $m$ angibt, dies
beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradsumme}.
Ebenso kann der höchste Koeffizient im Produkt nach der
-Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht weiter oben als bei
+Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht ``weiter oben'' als bei
$n+m$ liegen, dies beweist
beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}.
In einem Ring mit Nullteilern
(Siehe Definition~\ref{buch:grundlagen:def:nullteiler})
könnte es passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich,
dass der Grad kleiner ist.
-Schliesslich kann der höchsten Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser
+Schliesslich kann der höchste Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser
als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was
\eqref{buch:eqn:polynome:gradskalar} beweist.
\end{proof}
-In einem nullteilerfreien Ring gelten die Rechenregeln für den Grad
-jetzt exakt:
+In einem nullteilerfreien Ring gelten die Rechenregeln für den Grad exakt:
\begin{lemma}
Sei $R$ ein nullteilerfreier Ring und $p$ und $q$ Polynome über $R$
@@ -338,7 +337,7 @@ a &= a_nX^{n} + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X^{1} + a_0
\\
b &= b_mX^{n} + b_{m-1}X^{n-1} + \dots + b_1X^{1} + b_0,
\end{align*}
-mit dem einzigen Unterschied, dass statt $X$ mit der festen Zahl $X=10$
+mit dem einzigen Unterschied, dass statt mit $X$ mit der festen Zahl $X=10$
gearbeitet wird.
Der Divisionsalgorithmus für Polynome lässt sich aber leicht
rekonstruieren.
@@ -399,15 +398,16 @@ Fall, weil der führende Koeffizient $1$ war.
Für beliebige Polynome $b\in R[X]$ ist dies aber nur dann immer der Fall,
wenn die Koeffizienten in Tat und Wahrheit einem Körper entstammen.
+\begin{beispiel}
Im Folgenden betrachten wir daher nur noch Polynomringe mit Koeffizienten
in einem Körper $\Bbbk$.
In $\mathbb{Q}[X]$ ist die Division $a:b$ für die Polynome
\begin{equation}
\begin{aligned}
a(X) &= X^4 - X^3 -7X^2 + X + 6\\
-b(X) &= X^2+X+1,
+b(X) &= 2X^2+X+1,
\end{aligned}
-\label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe}
+\label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe2}
\end{equation}
problemlos durchführbar:
\[
@@ -424,8 +424,9 @@ X^4&-& X^3&-& 7X^2&+& X&+& 6&:&2X^2&+&X&+&1&=&\
\end{array}
\]
Der Algorithmus funktioniert selbstverständlich genauso in $\mathbb{R}[X]$
-oder $\mathbb{C}[X]$, und ebenso in den in
+oder $\mathbb{C}[X]$ und ebenso in den in
Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper} studierten endlichen Körpern.
+\end{beispiel}
\subsubsection{Euklidische Ringe und Faktorzerlegung}
Der Polynomring $\Bbbk[X]$ hat noch eine weitere Eigenschaft, die ihn
@@ -462,7 +463,8 @@ kann auf eindeutige Art und Weise in ein Produkt von Primfaktoren
zerlegt werden.
\subsubsection{Irreduzible Polynome}
-Das Konzept der Primzahl lässt sich wie folgt in den Polynomring übertragen.
+Das Konzept der Primzahl lässt sich wie folgt in die Welt der Polynomringe
+übertragen.
\index{Primzahl}%
\begin{definition}
@@ -479,16 +481,17 @@ Sei jetzt $f=X^2+bX+c$ ein quadratisches Polynom in $\mathbb{Q}[X]$.
Wenn es faktorisierbar sein soll, dann müssen die Faktoren Polynome
ersten Grades sein, also $f=(X-x_1)(X-x_2)$ mit $x_i\in\mathbb{Q}$.
Die Zahlen $x_i$ die einzigen möglichen Lösungen für $x_i$ können mit
-der Lösungsformel für die quadratische Gleichung
+der Lösungsformel
\[
x_i = -\frac{b}2\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}
\]
+für die quadratische Gleichung
gefunden werden.
Die Faktorisierung ist also genau dann möglich, wenn $b^2/4-c$ ein
Quadrat in $\mathbb{Q}$ ist.
In $\mathbb{R}$ ist das Polynom faktorisierbar, wenn $b^2-4c\ge 0$ ist.
In $\mathbb{C}$ gibt es keine Einschränkung, die Wurzel zu ziehen,
-in $\mathbb{C}$ gibt es also keine irreduziblen Polynome im Grad $2$.
+in $\mathbb{C}$ gibt es also keine irreduziblen Polynome vom Grad $2$.
\end{beispiel}
\subsubsection{Faktorisierung in einem Polynomring}
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
index 0743592..e494477 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
@@ -108,7 +108,7 @@ b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots
\end{pmatrix}
.
\]
-Die Moduln $R^{k+1}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
+Die Vektormengen $R^{k+1}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring
$R[X]$ abgebildet werden.
\begin{center}
@@ -165,10 +165,10 @@ der die Multiplikation mit $X$ beschreibt.
Ist $p(X)$ ein Polynom, dann lässt sich die Multiplikation
in von Polynome mit $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben.
-Die Potenz $X^k$ wird durch $k$-fache Iteration des Operators
+Die Potenz $X^k$ wirkt durch $k$-fache Iteration des Operators
$X\cdot$.
-Das Polynom $p(X)$ wird durch Linearkombination, entspricht
-also dem Operator, den man durch Einsetzen von $X\cdot$
+Das Polynom $p(X)$ wirkt als Linearkombination der Operatoren $(X\cdot)^k$,
+entspricht also dem Operator, den man durch Einsetzen von $X\cdot$
in das Polynom erhalten kann:
\[
p(X\cdot)
@@ -192,7 +192,7 @@ $(X\cdot)^k$ auch in Matrixform darstellen:
0&1&0&0&\dots\\
0&0&1&0&\dots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix},
&
(X\cdot)^k
&=
@@ -225,11 +225,14 @@ a_4 &a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & \dots \\
Da die Matrix-Operation als Produkt
$\text{Zeile}\times\text{Spalte}$ ausgeführt wird,
kann man erkennen, dass das Polynomprodukt auch auf
-eine Faltung hinausläuft.
+eine Faltung hinausläuft:
+Die Multiplikation einer Zeile der Matrix $p(X\cdot)$ mit
+einem Spaltenvektor $b$ multipliziert den gespiegelten und verschobenen
+Vektor der Koeffizienten $a$ mit den Koeffizienten $b$.
Die wichtigste Lehre aus obigen Ausführungen aber ist
die Beobachtung, dass sich eine ganz allgemeine Algebra
-wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise auf
+wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise
abbilden lässt in eine Algebra von Matrizen auf einem
geeigneten Vektorraum.
Im vorliegenden Fall sind das zwar ``undendliche''