zweite Leseung Kapitel 3 und 4

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index fd72a59..19f0221 100644
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+++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
@@ -33,7 +33,7 @@ In dieser eher arithmetischen Sichtweise ist es aber eigentlich egal, dass in
 \eqref{buch:eqn:polynome:polynom} nur einfache Multiplikationen und
 Additionen vorkommen.
 In einem Programm könnten ja auch beliebig komplizierte Operationen
-verwendet werden, warum also diese Beschränkung.
+verwendet werden, warum also diese Beschränkung?
 
 Für die nachfolgenden Betrachtungen stellen wir uns $X$ daher nicht
 mehr einfach als einen Platzhalter für eine Zahl vor, sondern als ein neues
@@ -88,7 +88,8 @@ Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ kommen dafür in Frage, aber auch
 die rationalen oder reellen Zahlen $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$.
 Man kann sogar noch weiter gehen: man kann als Koeffizienten auch
 Vektoren oder sogar Matrizen zulassen.
-Polynome können addiert werden, indem die Koeffizienten addiert werden.
+Polynome können addiert werden, indem die Koeffizienten addiert werden,
+und sie können mit Skalaren aus dem Koeffizentenkörper multipliziert werden.
 Polynome können aber auch multipliziert werden, was auf die Faltung
 der Koeffizienten hinausläuft:
 \begin{align}
@@ -103,15 +104,14 @@ a_{n}b_{m}X^{n+m}
 +
 (a_{n}b_{m-1}+a_{n-1}b_{m})X^{n+m-1}
 +
-\dots
-+
-\sum_{i + j = k}a_ib_j X^k
-+
-\dots
+\ldots
 +
 (a_1b_0+a_0b_1)X
 +
 a_0b_0
+\\
+&=
+\sum_{i + j = k}a_ib_j X^k.
 \label{buch:eqn:polynome:faltung}
 \end{align}
 Dies ist aber nur möglich, wenn die Koeffizienten selbst miteinander
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index 3c541d8..659a972 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
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@@ -74,7 +74,7 @@ Ein Polynom heisst {\em normiert} oder auch {\em monisch}, wenn der
 \index{normiertes Polynom}%
 \index{Polynom!monisch}%
 \index{normiertes Polynom}
-höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynomus $1$ ist,
+höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynoms $1$ ist,
 also $a_n=1$.
 \index{Leitkoeffizient}%
 Wenn man in $R$ durch $a_n$ dividieren kann, dann kann man aus dem Polynom
@@ -84,7 +84,7 @@ $p(X)=a_nX^n+\dots$ mit Leitkoeffizient $a_n$ das normierte Polynom
 X^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1} + \dots + \frac{a_0}{a_n}
 \]
 machen.
-Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde normiert.
+Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde {\em normiert}.
 Wenn $R$ ein Körper ist, ist die Normierung immer möglich.
 
 Die Tatsache, dass zwei  Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten haben müssen,
@@ -136,7 +136,7 @@ p(X)q(X)r(X)
 =
 p(X)(q(X)r(X))
 \end{align*}
-für die Multiplikation besagt, das es keine Rolle spielt, in welcher
+für die Multiplikation besagen, dass es keine Rolle spielt, in welcher
 Reihenfolge man die Additionen oder Multiplikationen ausführt.
 
 %
@@ -155,7 +155,7 @@ p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots a_1X + a_0
 \]
 hat den Grad $n$, wenn $a_n\ne 0$ ist.
 Der Grad von $p$ wird mit $\deg p$ bezeichnet.
-Konstante Polynome $p(X)=a_0$ mit $a_0\ne 0$ hat den Grad $0$.
+Das konstante Polynom $p(X)=a_0$ mit $a_0\ne 0$ hat den Grad $0$.
 Der Grad des Nullpolynoms $p(X)=0$ ist definiert als
 $-\infty$.
 \end{definition}
@@ -196,24 +196,23 @@ p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0&&\Rightarrow&\deg p&=n\\
 q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0&&\Rightarrow&\deg q&=m.
 \end{aligned}
 \]
-Dann kann der höchste Koeffizient in der Summe $p+q$ nicht weiter oben
+Dann kann der höchste Koeffizient in der Summe $p+q$ nicht ``weiter oben''
 sein als die grössere von den beiden Zahlen $n$ und $m$ angibt, dies
 beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradsumme}.
 Ebenso kann der höchste Koeffizient im Produkt nach der
-Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht weiter oben als bei
+Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht ``weiter oben'' als bei
 $n+m$ liegen, dies beweist
 beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}.
 In einem Ring mit Nullteilern
 (Siehe Definition~\ref{buch:grundlagen:def:nullteiler})
 könnte es passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich,
 dass der Grad kleiner ist.
-Schliesslich kann der höchsten Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser
+Schliesslich kann der höchste Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser
 als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was
 \eqref{buch:eqn:polynome:gradskalar} beweist.
 \end{proof}
 
-In einem nullteilerfreien Ring gelten die Rechenregeln für den Grad
-jetzt exakt:
+In einem nullteilerfreien Ring gelten die Rechenregeln für den Grad exakt:
 
 \begin{lemma}
 Sei $R$ ein nullteilerfreier Ring und $p$ und $q$ Polynome über $R$
@@ -338,7 +337,7 @@ a &= a_nX^{n} + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X^{1} + a_0
 \\
 b &= b_mX^{n} + b_{m-1}X^{n-1} + \dots + b_1X^{1} + b_0,
 \end{align*}
-mit dem einzigen Unterschied, dass statt $X$ mit der festen Zahl $X=10$
+mit dem einzigen Unterschied, dass statt mit $X$ mit der festen Zahl $X=10$
 gearbeitet wird.
 Der Divisionsalgorithmus für Polynome lässt sich aber leicht
 rekonstruieren.
@@ -399,15 +398,16 @@ Fall, weil der führende Koeffizient $1$ war.
 Für beliebige Polynome $b\in R[X]$ ist dies aber nur dann immer der Fall,
 wenn die Koeffizienten in Tat und Wahrheit einem Körper entstammen.
 
+\begin{beispiel}
 Im Folgenden betrachten wir daher nur noch Polynomringe mit Koeffizienten
 in einem Körper $\Bbbk$.
 In $\mathbb{Q}[X]$ ist die Division $a:b$ für die Polynome
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 a(X) &= X^4 - X^3 -7X^2 + X + 6\\
-b(X) &= X^2+X+1,
+b(X) &= 2X^2+X+1,
 \end{aligned}
-\label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe}
+\label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe2}
 \end{equation}
 problemlos durchführbar:
 \[
@@ -424,8 +424,9 @@ X^4&-&       X^3&-&         7X^2&+&          X&+&           6&:&2X^2&+&X&+&1&=&\
 \end{array}
 \]
 Der Algorithmus funktioniert selbstverständlich genauso in $\mathbb{R}[X]$
-oder $\mathbb{C}[X]$, und ebenso in den in
+oder $\mathbb{C}[X]$ und ebenso in den in
 Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper} studierten endlichen Körpern.
+\end{beispiel}
 
 \subsubsection{Euklidische Ringe und Faktorzerlegung}
 Der Polynomring $\Bbbk[X]$ hat noch eine weitere Eigenschaft, die ihn
@@ -462,7 +463,8 @@ kann auf eindeutige Art und Weise in ein Produkt von Primfaktoren
 zerlegt werden.
 
 \subsubsection{Irreduzible Polynome}
-Das Konzept der Primzahl lässt sich wie folgt in den Polynomring übertragen.
+Das Konzept der Primzahl lässt sich wie folgt in die Welt der Polynomringe
+übertragen.
 \index{Primzahl}%
 
 \begin{definition}
@@ -479,16 +481,17 @@ Sei jetzt $f=X^2+bX+c$ ein quadratisches Polynom in $\mathbb{Q}[X]$.
 Wenn es faktorisierbar sein soll, dann müssen die Faktoren Polynome
 ersten Grades sein, also $f=(X-x_1)(X-x_2)$ mit $x_i\in\mathbb{Q}$.
 Die Zahlen $x_i$ die einzigen möglichen Lösungen für $x_i$ können mit
-der Lösungsformel für die quadratische Gleichung
+der Lösungsformel
 \[
 x_i = -\frac{b}2\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}
 \]
+für die quadratische Gleichung
 gefunden werden.
 Die Faktorisierung ist also genau dann möglich, wenn $b^2/4-c$ ein 
 Quadrat in $\mathbb{Q}$ ist.
 In $\mathbb{R}$ ist das Polynom faktorisierbar, wenn $b^2-4c\ge 0$ ist.
 In $\mathbb{C}$ gibt es keine Einschränkung, die Wurzel zu ziehen,
-in $\mathbb{C}$ gibt es also keine irreduziblen Polynome im Grad $2$.
+in $\mathbb{C}$ gibt es also keine irreduziblen Polynome vom Grad $2$.
 \end{beispiel}
 
 \subsubsection{Faktorisierung in einem Polynomring}
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
index 0743592..e494477 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
@@ -108,7 +108,7 @@ b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots
 \end{pmatrix}
 .
 \]
-Die Moduln $R^{k+1}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
+Die Vektormengen $R^{k+1}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
 alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring
 $R[X]$ abgebildet werden.
 \begin{center}
@@ -165,10 +165,10 @@ der die Multiplikation mit $X$ beschreibt.
 
 Ist $p(X)$ ein Polynom, dann lässt sich die Multiplikation
 in von Polynome mit $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben.
-Die Potenz $X^k$ wird durch $k$-fache Iteration des Operators
+Die Potenz $X^k$ wirkt durch $k$-fache Iteration des Operators
 $X\cdot$.
-Das Polynom $p(X)$ wird durch Linearkombination, entspricht
-also dem Operator, den man durch Einsetzen von $X\cdot$
+Das Polynom $p(X)$ wirkt als Linearkombination der Operatoren $(X\cdot)^k$,
+entspricht also dem Operator, den man durch Einsetzen von $X\cdot$
 in das Polynom erhalten kann:
 \[
 p(X\cdot)
@@ -192,7 +192,7 @@ $(X\cdot)^k$ auch in Matrixform darstellen:
 0&1&0&0&\dots\\
 0&0&1&0&\dots\\
 \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix},
 &
 (X\cdot)^k
 &=
@@ -225,11 +225,14 @@ a_4    &a_3    & a_2  & a_1  & a_0  & \dots  \\
 Da die Matrix-Operation als Produkt
 $\text{Zeile}\times\text{Spalte}$ ausgeführt wird,
 kann man erkennen, dass das Polynomprodukt auch auf
-eine Faltung hinausläuft.
+eine Faltung hinausläuft:
+Die Multiplikation einer Zeile der Matrix $p(X\cdot)$  mit
+einem Spaltenvektor $b$ multipliziert den gespiegelten und verschobenen
+Vektor der Koeffizienten $a$ mit den Koeffizienten $b$.
 
 Die wichtigste Lehre aus obigen Ausführungen aber ist
 die Beobachtung, dass sich eine ganz allgemeine Algebra
-wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise auf
+wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise 
 abbilden lässt in eine Algebra von Matrizen auf einem
 geeigneten Vektorraum.
 Im vorliegenden Fall sind das zwar ``undendliche''