neue Übungsaufgaben

5 files changed, 239 insertions, 25 deletions

diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/Makefile.inc b/buch/chapters/30-endlichekoerper/Makefile.inc
index d1a1d76..4cd75b2 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/Makefile.inc
@@ -5,6 +5,11 @@
 #
 
 CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+	chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3001.tex		\
+	chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3002.tex		\
+	chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex		\
+	chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex		\
+	chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex		\
 	chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex				\
 	chapters/30-endlichekoerper/galois.tex				\
 	chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex				\
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex
index 7c6ff82..1a0a323 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex
@@ -44,5 +44,6 @@ lösbar werden.
 \uebungsaufgabe{3003}
 \uebungsaufgabe{3002}
 \uebungsaufgabe{3001}
+\uebungsaufgabe{3005}
 \end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex
index 83ba7f2..8a83256 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex
@@ -1,8 +1,8 @@
 Die Zahl $p=47$ ist eine Primzahl, der Ring
-$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathcal{F}_{47}$ ist daher ein Körper.
+$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathbb{F}_{47}$ ist daher ein Körper.
 Jeder von Null verschiedene Rest $b\in\mathbb{F}_p^*$ hat daher eine
 multiplikative Inverse.
-Berechnen Sie die multiplikative Inverse von $b=11\in\mathcal{F}_{47}$.
+Berechnen Sie die multiplikative Inverse von $b=11\in\mathbb{F}_{47}$.
 
 \begin{loesung}
 Der euklidische Algorithmus muss auf die Zahlen $p=47$ und $b=11$ angewendet
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
index 66ac560..046ac94 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
@@ -1,5 +1,28 @@
 Der Körper $\mathbb{F}_2$ ist besonders einfach, da er nur zwei Elemente
 $0$ und $1$ enthält.
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Bestimmen Sie die Additions- und Multiplikationstabelle für $\mathbb{F}_2$.
+\item
+Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
+\[
+\begin{linsys}{4}
+x_1&+& x_2& &   & &   &=& 0\\
+   & & x_2&+&x_3&+&x_4&=& 1\\
+x_1&+& x_2&+&x_3&+&x_4&=& 1\\
+   & & x_2&+&x_3& &   &=& 0\\
+\end{linsys}
+\]
+über dem Körper $\mathbb{F}_2$ mit dem Gauss-Algorithmus.
+\item Bestimmen Sie die Inverse $A^{-1}\in \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_2)$
+der Koeffizientenmatrix $A$ des Gleichungssystems.
+\item Kontrollieren Sie das Resultat durch Ausmultiplizieren des Produktes
+$AA^{-1}$.
+\end{teilaufgaben}
+
+\begin{loesung}
+\begin{teilaufgaben}
+\item
 Die Additions- und Multiplikationstabellen sind
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
@@ -17,7 +40,7 @@ Die Additions- und Multiplikationstabellen sind
 	\node at \punkt{0}{1} {$0$};
 	\node at \punkt{0}{2} {$0$};
 }
-\begin{scope}[xshift=-3cm]
+\begin{scope}[xshift=-2cm]
 	\tabelle
 	\node at (0,0) {$+$};
 	\node at \punkt{1}{1} {$0$};
@@ -25,7 +48,7 @@ Die Additions- und Multiplikationstabellen sind
 	\node at \punkt{1}{2} {$1$};
 	\node at \punkt{2}{2} {$0$};
 \end{scope}
-\begin{scope}[xshift=3cm]
+\begin{scope}[xshift=2cm]
 	\tabelle
 	\node at (0,0) {$\cdot$};
 	\node at \punkt{1}{1} {$0$};
@@ -36,27 +59,7 @@ Die Additions- und Multiplikationstabellen sind
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 Betrachtet als Bitoperationen entspricht die Addition dem XOR, die
-Multiplikation dem UND.
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
-\[
-\begin{linsys}{4}
-x_1&+& x_2& &   & &   &=& 0\\
-   & & x_2&+&x_3&+&x_4&=& 1\\
-x_1&+& x_2&+&x_3&+&x_4&=& 1\\
-   & & x_2&+&x_3& &   &=& 0\\
-\end{linsys}
-\]
-über dem Körper $\mathcal{F}_2$ mit dem Gauss-Algorithmus.
-\item Bestimmen Sie die Inverse $A^{-1}\in \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_2)$
-der Koeffizientenmatrix $A$ des Gleichungssystems.
-\item Kontrollieren Sie das Resultat durch Ausmultiplizieren des Produktes
-$AA^{-1}$.
-\end{teilaufgaben}
-
-\begin{loesung}
-\begin{teilaufgaben}
+Multiplikation dem AND.
 \item
 Die Gauss-Tableaux sind
 \begin{align*}
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
new file mode 100644
index 0000000..28f4d2c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
@@ -0,0 +1,205 @@
+Das Polynom $m(X)=X^2+X+1$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel.
+Dies bedeutet, dass der Ring der Polynome $\mathbb{F}_3[X] / (m(X))$ 
+ein Körper ist, man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$,
+wobei man sich $\alpha$ als eine Nullstelle von $m(X)$
+oder als die Matrix
+\[
+\alpha = \begin{pmatrix} 0&2\\1&2\end{pmatrix}
+\]
+vorstellen kann.
+\begin{teilaufgaben}
+\item 
+Stellen Sie die Additions- und Multiplikationstabellen für das Rechnen
+in $\mathbb{F}_3$ auf.
+\item
+Berechnen Sie $\alpha^{-1}$ in $\mathbb{F}_3(\alpha)$ aus der
+Bedingung $m(\alpha)=0$.
+\item
+Verwenden Sie den euklidischen Algorithmus, um $(1+\alpha)^{-1}$
+in $\mathbb{F}_3(\alpha)$ zu bestimmen.
+\item
+Berechnen Sie $\alpha^3$.
+\end{teilaufgaben}
+
+\begin{loesung}
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Die Additions- und Multiplikationstabelle von $\mathbb{F}_3$ ist
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\def\ds{0.5}
+\def\punkt#1#2{({(#1)*\ds},{-(#2)*\ds})}
+\def\tabelle{
+\foreach \x in {-0.5,0.5,3.5}{
+	\draw \punkt{\x}{-0.5} -- \punkt{\x}{3.5};
+	\draw \punkt{-0.5}{\x} -- \punkt{3.5}{\x};
+}
+\node at \punkt{0}{1} {$0$};
+\node at \punkt{0}{2} {$1$};
+\node at \punkt{0}{3} {$2$};
+\node at \punkt{1}{0} {$0$};
+\node at \punkt{2}{0} {$1$};
+\node at \punkt{3}{0} {$2$};
+}
+\begin{scope}[xshift=-2cm]
+\tabelle
+\node at \punkt{0}{0} {$+$};
+\node at \punkt{1}{1} {$0$};
+\node at \punkt{1}{2} {$1$};
+\node at \punkt{1}{3} {$2$};
+\node at \punkt{2}{1} {$1$};
+\node at \punkt{2}{2} {$2$};
+\node at \punkt{2}{3} {$0$};
+\node at \punkt{3}{1} {$2$};
+\node at \punkt{3}{2} {$0$};
+\node at \punkt{3}{3} {$1$};
+\end{scope}
+\begin{scope}[xshift=2cm]
+\tabelle
+\node at \punkt{0}{0} {$\cdot$};
+\node at \punkt{1}{1} {$0$};
+\node at \punkt{1}{2} {$0$};
+\node at \punkt{1}{3} {$0$};
+\node at \punkt{2}{1} {$0$};
+\node at \punkt{2}{2} {$1$};
+\node at \punkt{2}{3} {$2$};
+\node at \punkt{3}{1} {$0$};
+\node at \punkt{3}{2} {$2$};
+\node at \punkt{3}{3} {$1$};
+\end{scope}
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\item
+Wegen $m(\alpha)=\alpha^2+\alpha+1=0$ folgt $\alpha+1+\alpha^{-1}=0$
+oder $\alpha^{-1} = -\alpha - 1 = 2+2\alpha$.
+Als Matrix kann man
+\[
+\alpha^{-1}
+=
+2\alpha + 2
+=
+\begin{pmatrix}
+0&4\\
+2&4
+\end{pmatrix}
++
+\begin{pmatrix}
+2&0\\0&2
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+2&4\\2&2
+\end{pmatrix}
+\equiv
+\begin{pmatrix}2&1\\2&0\end{pmatrix}
+\mod 3
+\]
+schreiben und durch Nachrechnen verifizieren dass, tatsächlich gilt
+\[
+\alpha\alpha^{-1}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&2\\
+1&2
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+2&1\\
+2&0
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+4&0\\
+6&1
+\end{pmatrix}
+\equiv
+\begin{pmatrix}
+1&0\\
+0&1
+\end{pmatrix}
+\mod 3.
+\]
+\item
+Für den euklidischen Algorithmus müssen wir wiederholt eine Polynomdivision
+in $\mathbb{F}_3[X]$ durchführen.
+Im ersten Schritt ist es
+\[
+\arraycolsep=1.4pt
+\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
+ \llap{$($}X^2&+&X&+&1\rlap{$)$}&\;:&(X&+&1)&=&X = q_1\\
+\llap{$-($}X^2&+&X\rlap{$)$}& &  & &  & &  & & \\ \cline{1-3}
+     & &0&+&1 &\rlap{$\mathstrut = r_1$}\phantom{)}& &  & &  & \\
+\end{array}
+\]
+Die nächste Division ist $(X+1) : 1$, die als Quotient $q_2=X+1$ und den
+Rest $r_2=0$ hat.
+Mit der Matrixform des euklidischen Algorithmus kann man jetzt auch die
+Koeffizienten $s$ und $t$ bestimmen, die beide Polynome in $\mathbb{F}_3[X]$
+sind:
+\begin{align*}
+Q
+&=
+Q(q_2)
+Q(q_1)
+=
+\begin{pmatrix}
+0&1\\1&-q_2
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0&1\\1&-q_1
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&1\\1&2X+2
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0&1\\{\color{red}1}&{\color{red}2X}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+{\color{red}1}&{\color{red}2X}\\
+2X&X^2+X+1
+\end{pmatrix}.
+\end{align*}
+Die gesuchten Polynome sind $s=1$ und $t=2X$ und man kann nachrechnen,
+dass
+\begin{align*}
+s\cdot m(X) + t\cdot (X+1)
+&=
+X^2+X+1 + 2X\cdot (X+1)
+=
+X^2+X+1 + 2X^2 + 2X
+\\
+&= 3X^2+3X+1\equiv 1 \mod 3.
+\end{align*}
+Natürlich kann man $s$ und $t$ auch mit der erweiterten Tabelle
+finden:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+k&    a_k&b_k& q_k&r_k& c_k&     d_k\\
+\hline
+ &       &   &    &   &   1&       0\\
+0&X^2+X+1&X+1& X  &  1&   0&       1\\
+1&    X+1&  1& X+1&  0&{\color{red}   1}&{\color{red}      2X}\\
+2&      1&  0&    &  0&2X+2& 2X^2+2X\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+In allen Fällen ist also $(1+X)^{-1} = 2X$.
+\item
+Wegen $m(\alpha)=0$ ist $\alpha^2=-\alpha-1=2\alpha+2$ und damit
+\begin{align*}
+\alpha^3
+&=
+\alpha\cdot \alpha^2 = \alpha (2\alpha +2) = 
+2\alpha^2 + 2\alpha
+=
+2(\underbrace{\alpha^2 + \alpha + 1}_{\displaystyle=0} + 2)
+=
+2\cdot 2
+=
+1.
+\qedhere
+\end{align*}
+\end{teilaufgaben}
+\end{loesung}