typos chapters 1-5

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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
index 7586273..775128b 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
@@ -168,7 +168,7 @@ kann man als die Matrixoperation
 schreiben.
 Der Algorithmus bricht ab, wenn die zweite Komponente des Vektors $=0$ ist,
 in der ersten steht dann der grösste gemeinsame Teiler.
-Hier die Durchführung des Algorithmus in Matrix-Schreibweise:
+Hier die Durchführung des Algorithmus in Matrixschreibweise:
 \begin{align*}
 \begin{pmatrix} 23205 \\ 6800 \end{pmatrix}
 &=
@@ -358,7 +358,7 @@ dargestellt werden, die leichter als Programm zu implementieren ist.
 In Abschnitt~\ref{buch:endlichekoerper:subsection:matrixschreibweise}
 wurde gezeigt, dass das Produkt der aus den Quotienten $q_k$ gebildeten
 Matrizen $Q(q_k)$ berechnet werden muss.
-Im Folgenden soll ein rekursiver Algorithmus zu seiner Berechnung
+Im Folgenden soll ein iterativer Algorithmus zu seiner Berechnung
 hergeleitet werden.
 Dazu beachten wir zunächst, dass die Multiplikation mit der Matrix
 $Q(q_k)$ die zweite Zeile in die erste Zeile verschiebt:
@@ -453,7 +453,7 @@ berechnet.
 \begin{beispiel}
 Wir erweitern das Beispiel von Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:beispiel1}
 zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers von $76415$ und $23205$
-um die Spalten zur Berechnung der Koeffizienten $c_k$ und $d_k$
+um die Spalten zur Berechnung der Koeffizienten $c_k$ und $d_k$.
 Wir schreiben die gefundenen Zahlen in eine Tabelle:
 \begin{center}
 \label{buch:endlichekoerper:beispiel1erweitert}
@@ -814,7 +814,7 @@ f_{k+1} &= q_kf_k + f_{k-1}
 \end{align*}
 für $k=0,1,\dots ,n$.
 Damit können $e_k$ und $f_k$ gleichzeitig mit den Zahlen $c_k$ und $d_k$
-in einer Tabelle berechnen.
+in einer Tabelle berechnet werden.
 
 \begin{beispiel}
 Wir erweitern das Beispiel von
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
index 7b0c1f3..1175e96 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
@@ -292,7 +292,7 @@ Sei $G$ die Menge der nicht einfarbigen, geschlossenen
 Perlenketten, die sich nicht nur um eine Drehung unterscheiden.
 
 Die Abbildung $s_i\colon G\to A$
-in Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:satz:fermat} 
+in Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:fermat} 
 schneidet die Perlenkette in $G$ an der Stelle $i$ auf.
 Diese Abbildungen sind ganz offensichtlich injektiv.
 Die Bildmengen $A_i = s_i(G)$ haben daher alle gleich
@@ -563,7 +563,7 @@ Sei $p$ eine Primzahl, dann ist
 \binom{p^k}{m} \equiv 0\mod p
 \label{buch:endliche-koerper:eqn:a+b^p^k}
 \end{equation}
-für $0<m<p^k$
+für $0<m<p^k$.
 \end{satz}
 
 Die Aussage von Satz~\ref{buch:endliche-koerper:satz:binomk} kann man 
@@ -638,7 +638,7 @@ Daher gilt
 \begin{satz}[Frobenius-Automorphismus]
 \label{buch:endliche-koerper:satz:frobenius}
 In einem Körper $\Bbbk$ der Charakteristik $p$ ist die Abbildung
-$x\mapsto x^p$ ist ein Automorphismus, der den Primkörper 
+$x\mapsto x^p$ ein Automorphismus, der den Primkörper 
 $\mathbb{F}_p\subset\Bbbk$ fest lässt.
 \end{satz}
 
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
index c968f1d..8fff30e 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
@@ -112,7 +112,7 @@ Also ist $f(X) = X^2 - 2$ ein irreduzibles Polynom über $\mathbb Q$.
 
 Man kann das Polynom aber auch als Polynom in $\mathbb{F}_{23}[X]$
 betrachten.
-Im Körper $\mathbb{F}_{23}$ kann man durch probieren zwei Nullstellen
+Im Körper $\mathbb{F}_{23}$ kann man durch Probieren zwei Nullstellen
 finden:
 \begin{align*}
 5^2 &= 25\equiv 2\mod 23
@@ -131,10 +131,10 @@ X^2 -2 \mod 23,
 
 \begin{beispiel}
 Die Zahl 
-\[
+\begin{equation}
 \alpha = \frac{-1+i\sqrt{3}}2\in\mathbb{C}
-\]
 \label{buch:endliche-koerper:eqn:1iwurzel3}
+\end{equation}
 ist eine Nullstelle des Polynoms $f(X)=X^3-1\in\mathbb{Z}[X]$.
 Der Ausdruck für
 $\alpha$ enthält aber nur Quadratwurzeln, man würde also eigentlich
@@ -340,7 +340,7 @@ Diese Abbildung ist ein Algebrahomomorphismus.
 Die Menge $\Bbbk(M_\alpha)$ ist also das Bild des
 Körpers $\Bbbk(\alpha)$ in der Matrizenalgebra $M_n(\Bbbk)$.
 
-\subsubsection{Inverse mit der inversen Matrix}
+\subsubsection{Inverse in $\Bbbk(\alpha)$ mit der inversen Matrix}
 Im Moment wissen wir noch nicht, wie wir Elemente in $\Bbbk(\alpha)$ 
 invertieren sollen.
 %$\alpha^{-1}$ berechnen sollten.