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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
index 242a5e5..34c2444 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
@@ -1,50 +1,50 @@
-%
-% chapter.tex -- Kapitel über Eigenwerte und Eigenvektoren
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\chapter{Eigenwerte und Eigenvektoren
-\label{buch:chapter:eigenwerte-und-eigenvektoren}}
-\lhead{Eigenwerte und Eigenvektoren}
-\rhead{}
-Die algebraischen Eigenschaften einer Matrix $A$ sind eng mit der
-Frage nach linearen Beziehungen unter den Potenzen von $A^k$ verbunden.
-Im Allgemeinen ist die Berechnung dieser Potenzen eher unübersichtlich,
-es sei denn, die Matrix hat eine spezielle Form.
-Die Potenzen einer Diagonalmatrix erhält man, indem man die Diagonalelemente
-potenziert.
-Auch für Dreiecksmatrizen ist mindestens die Berechnung der Diagonalelemente
-von $A^k$ einfach.
-Die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren ermöglicht, Matrizen in
-eine solche besonders einfache Form zu bringen.
-
-In Abschnitt~\ref{buch:section:grundlagen} werden die grundlegenden
-Definitionen der Eigenwerttheorie in Erinnerung gerufen.
-Damit kann dann in Abschnitt~\ref{buch:section:normalformen}
-gezeigt werden, wie Matrizen in besonders einfache Form gebracht
-werden können.
-Die Eigenwerte bestimmen auch die Eigenschaften von numerischen
-Algorithmen, wie in den Abschnitten~\ref{buch:section:spektralradius}
-und \ref{buch:section:numerisch} dargestellt wird.
-Für viele Funktionen kann man auch den Wert $f(A)$ berechnen, unter
-geeigneten Voraussetzungen an den Spektralradius.
-Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben.
-
-
-\input{chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex}
-\input{chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex}
-\input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex}
-\input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex}
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-
-\section*{Übungsaufgaben}
-\rhead{Übungsaufgaben}
-\aufgabetoplevel{chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben}
-\begin{uebungsaufgaben}
-\uebungsaufgabe{4001}
-\uebungsaufgabe{4002}
-\uebungsaufgabe{4003}
-\uebungsaufgabe{4004}
-\uebungsaufgabe{4005}
-\end{uebungsaufgaben}
-
+%

+% chapter.tex -- Kapitel über Eigenwerte und Eigenvektoren

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+%

+\chapter{Eigenwerte und Eigenvektoren

+\label{buch:chapter:eigenwerte-und-eigenvektoren}}

+\lhead{Eigenwerte und Eigenvektoren}

+\rhead{}

+Die algebraischen Eigenschaften einer Matrix $A$ sind eng mit der

+Frage nach linearen Beziehungen unter den Potenzen von $A^k$ verbunden.

+Im Allgemeinen ist die Berechnung dieser Potenzen eher unübersichtlich,

+es sei denn, die Matrix hat eine spezielle Form.

+Die Potenzen einer Diagonalmatrix erhält man, indem man die Diagonalelemente

+potenziert.

+Auch für Dreiecksmatrizen ist mindestens die Berechnung der Diagonalelemente

+von $A^k$ einfach.

+Die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren ermöglicht, Matrizen in

+eine solche besonders einfache Form zu bringen.

+

+In Abschnitt~\ref{buch:section:grundlagen} werden die grundlegenden

+Definitionen der Eigenwerttheorie in Erinnerung gerufen.

+Damit kann dann in Abschnitt~\ref{buch:section:normalformen}

+gezeigt werden, wie Matrizen in besonders einfache Form gebracht

+werden können.

+Die Eigenwerte bestimmen auch die Eigenschaften von numerischen

+Algorithmen, wie in den Abschnitten~\ref{buch:section:spektralradius}

+und \ref{buch:section:numerisch} dargestellt wird.

+Für viele Funktionen kann man auch den Wert $f(A)$ berechnen, unter

+geeigneten Voraussetzungen an den Spektralradius.

+Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben.

+

+

+\input{chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex}

+\input{chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex}

+\input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex}

+\input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex}

+%\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex}

+

+\section*{Übungsaufgaben}

+\rhead{Übungsaufgaben}

+\aufgabetoplevel{chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben}

+\begin{uebungsaufgaben}

+\uebungsaufgabe{4001}

+\uebungsaufgabe{4002}

+\uebungsaufgabe{4003}

+\uebungsaufgabe{4004}

+\uebungsaufgabe{4005}

+\end{uebungsaufgaben}

+

diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
index 54b36d5..4d882f0 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
@@ -1,44 +1,44 @@
-#
-# Makefile
-#
-# (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rappersil
-#
-all:	sp.pdf nilpotent.pdf kernbild.pdf kombiniert.pdf \
-	wurzelapprox.pdf wurzel.pdf dimjk.pdf jknilp.pdf \
-	normalform.pdf minmax.pdf
-
-sp.pdf:	sp.tex sppaths.tex
-	pdflatex sp.tex
-
-sppaths.tex:	spbeispiel.m
-	octave spbeispiel.m
-
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-
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-
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-
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-
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+#

+# Makefile

+#

+# (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rappersil

+#

+all:	sp.pdf nilpotent.pdf kernbild.pdf kombiniert.pdf \

+	wurzelapprox.pdf wurzel.pdf dimjk.pdf jknilp.pdf \

+	normalform.pdf minmax.pdf

+

+sp.pdf:	sp.tex sppaths.tex

+	pdflatex sp.tex

+

+sppaths.tex:	spbeispiel.m

+	octave spbeispiel.m

+

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+	pdflatex nilpotent.tex

+

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+

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+

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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.tex
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--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.tex
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@@ -1,134 +1,134 @@
-%
-% minmax.tex -- minimum und maximum
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}
-
-\def\mittellinie{
-	plot[domain=0:6.2832,samples=400]
-		({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))})
-}
-
-\begin{scope}
-	\fill[color=darkgreen!20]
-		plot[domain=0:6.2832,samples=360]
-			({\x},{sin(180*\x/3.1415)})
-		--
-		plot[domain=6.2832:0,samples=360]
-			({\x},{cos(180*\x/3.1415)})
-		-- cycle;
-	\foreach \x in {0.5,1,...,6}{
-		\draw[color=darkgreen]
-			({\x},{sin(180*\x/3.1415)})
-			--
-			({\x},{cos(180*\x/3.1415)});
-	}
-
-	\node[color=darkgreen] at (2,-0.8) [left] {$|f(x)-g(x)|$};
-	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (2,-0.8) -- (2.5,-0.7);
-
-	\draw[color=blue,line width=1.4pt] plot[domain=0:6.29,samples=360]
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-	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;
-	\node[color=purple!50] at (6.2832,0.5) [right] {$\frac12(f(x)+g(x))$};
-
-	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={below:$x$}];
-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];
-
-
-	\xdef\x{2}
-	\node[color=blue] at (\x,{sin(180*\x/3.1415)}) [above right] {$f(x)$};
-	\pgfmathparse{2.5*3.14159-\x}
-	\xdef\x{\pgfmathresult}
-	\node[color=red] at (\x,{cos(180*\x/3.1415)}) [above left] {$g(x)$};
-
-\end{scope}
-
-\draw[->,line width=4pt,color=gray!40] ({3.1415-1},-1.3) -- ({3.1415-2.3},-3);
-\draw[->,line width=4pt,color=gray!40] ({3.1415+1},-1.3) -- ({3.1415+2.3},-3);
-
-\node at ({3.1415-1.75},-2.15) [left] {$\frac12(f(x)+g(x))+\frac12|f(x)-g(x)|$};
-\node at ({3.1415+1.75},-2.15) [right] {$\frac12(f(x)+g(x))-\frac12|f(x)-g(x)|$};
-
-\def\s{(-0.1)}
-
-\begin{scope}[xshift=-3.4cm,yshift=-4.6cm]
-	\fill[color=darkgreen!20]
-		\mittellinie
-		--
-		plot[domain=6.2832:0,samples=400]
-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})
-		-- cycle;
-	\foreach \x in {0.5,1,...,6}{
-		\draw[color=darkgreen]
-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})
-			--
-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))});
-	}
-	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]
-		plot[domain=6.2832:0,samples=400]
-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))});
-
-	\node[color=darkgreen] at (2,-0.3) [left] {$|f(x)-g(x)|$};
-	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (2,-0.3) -- (2.5,0.2);
-
-	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;
-	\pgfmathparse{0.75*3.1415+\s}
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-	\node[color=darkgreen] at (\x,{sin(180*\x/3.1415)}) [above right]
-		{$\max(f(x),g(x))$};
-	\node[color=purple!50] at ({1.25*3.1415},-0.7) [below]
-		{$\frac12(f(x)+g(x))$};
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-\end{scope}
-
-
-\begin{scope}[xshift=+3.4cm,yshift=-4.6cm]
-	\fill[color=darkgreen!20]
-		\mittellinie
-		--
-		plot[domain=6.2832:0,samples=400]
-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})
-		-- cycle;
-	\foreach \x in {0.5,1,...,6}{
-		\draw[color=darkgreen]
-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})
-			--
-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))});
-	}
-	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]
-		plot[domain=6.2832:0,samples=400]
-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))});
-
-	\node[color=darkgreen] at (3,0.3) [right] {$|f(x)-g(x)|$};
-	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (3,0.3) -- (2.5,-0.4);
-
-	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;
-	\pgfmathparse{0.75*3.1415-\s}
-	\xdef\x{\pgfmathresult}
-	\node[color=darkgreen] at (\x,{cos(180*\x/3.1415)}) [below left]
-		{$\min(f(x),g(x))$};
-	\node[color=purple!50] at ({0.25*3.1415},0.7) [above right]
-		{$\frac12(f(x)+g(x))$};
-	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];
-\end{scope}
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+%

+% minmax.tex -- minimum und maximum

+%

+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

+%

+\documentclass[tikz]{standalone}

+\usepackage{amsmath}

+\usepackage{times}

+\usepackage{txfonts}

+\usepackage{pgfplots}

+\usepackage{csvsimple}

+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}

+\begin{document}

+\def\skala{1}

+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]

+

+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}

+

+\def\mittellinie{

+	plot[domain=0:6.2832,samples=400]

+		({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))})

+}

+

+\begin{scope}

+	\fill[color=darkgreen!20]

+		plot[domain=0:6.2832,samples=360]

+			({\x},{sin(180*\x/3.1415)})

+		--

+		plot[domain=6.2832:0,samples=360]

+			({\x},{cos(180*\x/3.1415)})

+		-- cycle;

+	\foreach \x in {0.5,1,...,6}{

+		\draw[color=darkgreen]

+			({\x},{sin(180*\x/3.1415)})

+			--

+			({\x},{cos(180*\x/3.1415)});

+	}

+

+	\node[color=darkgreen] at (2,-0.8) [left] {$|f(x)-g(x)|$};

+	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (2,-0.8) -- (2.5,-0.7);

+

+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] plot[domain=0:6.29,samples=360]

+		({\x},{sin(180*\x/3.1415)});

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+	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;

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+	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={below:$x$}];

+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];

+

+

+	\xdef\x{2}

+	\node[color=blue] at (\x,{sin(180*\x/3.1415)}) [above right] {$f(x)$};

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+	\xdef\x{\pgfmathresult}

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+

+\end{scope}

+

+\draw[->,line width=4pt,color=gray!40] ({3.1415-1},-1.3) -- ({3.1415-2.3},-3);

+\draw[->,line width=4pt,color=gray!40] ({3.1415+1},-1.3) -- ({3.1415+2.3},-3);

+

+\node at ({3.1415-1.75},-2.15) [left] {$\frac12(f(x)+g(x))+\frac12|f(x)-g(x)|$};

+\node at ({3.1415+1.75},-2.15) [right] {$\frac12(f(x)+g(x))-\frac12|f(x)-g(x)|$};

+

+\def\s{(-0.1)}

+

+\begin{scope}[xshift=-3.4cm,yshift=-4.6cm]

+	\fill[color=darkgreen!20]

+		\mittellinie

+		--

+		plot[domain=6.2832:0,samples=400]

+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})

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+	}

+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]

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+

+	\node[color=darkgreen] at (2,-0.3) [left] {$|f(x)-g(x)|$};

+	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (2,-0.3) -- (2.5,0.2);

+

+	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;

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+	\xdef\x{\pgfmathresult}

+	\node[color=darkgreen] at (\x,{sin(180*\x/3.1415)}) [above right]

+		{$\max(f(x),g(x))$};

+	\node[color=purple!50] at ({1.25*3.1415},-0.7) [below]

+		{$\frac12(f(x)+g(x))$};

+	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}];

+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];

+\end{scope}

+

+

+\begin{scope}[xshift=+3.4cm,yshift=-4.6cm]

+	\fill[color=darkgreen!20]

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+		--

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+

+	\node[color=darkgreen] at (3,0.3) [right] {$|f(x)-g(x)|$};

+	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (3,0.3) -- (2.5,-0.4);

+

+	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;

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+	\xdef\x{\pgfmathresult}

+	\node[color=darkgreen] at (\x,{cos(180*\x/3.1415)}) [below left]

+		{$\min(f(x),g(x))$};

+	\node[color=purple!50] at ({0.25*3.1415},0.7) [above right]

+		{$\frac12(f(x)+g(x))$};

+	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}];

+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];

+\end{scope}

+

+\end{tikzpicture}

+\end{document}

+

diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex
index 466b99e..367a4c9 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex
@@ -1,802 +1,802 @@
-%
-% spektraltheorie.tex
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-% 
-\section{Spektraltheorie
-\label{buch:section:spektraltheorie}}
-Aufgabe der Spektraltheorie ist, Bedingungen an eine Matrix $A$ und eine
-Funktion $f(z)$ zu finden, unter denen es möglich ist, $f(A)$ auf 
-konsistente Art und Weise zu definieren.
-Weiter müssen Methoden entwickelt werden, mit denen $f(A)$ berechnet
-werden kann.
-Für ein Polynom $p(z)$ ist $p(A)$ durch einsetzen definiert.
-Für Funktionen, die sich nicht durch ein Polynom darstellen lassen,
-muss eine Approximation der Funktion durch Polynome verwendet werden.
-Sei also $p_n(z)$ eine Folge von Polynomen, die als Approximation der
-Funktion $f(z)$ verwendet werden soll.
-Das Ziel ist, $f(A)$ als den Grenzwert der Matrixfolge $p_n(A)$
-zu definieren.
-
-Zunächst ist nicht klar, wie eine solche Folge gewählt werden muss.
-Es muss eine Teilmenge von $K\subset\mathbb{C}$ spezifiziert werden,
-auf der die Funktionenfolge $p_n(z)$ konvergieren muss,
-damit auch die Konvergenz der Matrizenfolge $p_n(A)$ garantiert ist.
-Auch die Art der Konvergenz von $p_n(z)$ auf der Menge $K$ ist noch
-unklar.
-Da der Abstand zweier Matrizen $A$ und $B$ in der Operatornorm
-mit der grössten Abweichung $\|(A-B)v\|$ für Einheitsvektoren $v$
-gemessen wird, ist es einigermassen plausibel, dass
-die grösse Abweichung zwischen zwei Polynomen $|p(z) - q(z)|$ auf
-der Menge $K$ kleine sein muss, wenn $\|p(A)-q(A)\|$ klein 
-sein soll.
-Da die Differenz $p(z)-q(z)$ für beliebige Polynome, die sich nicht
-nur um eine Konstante unterscheiden, mit $z$ über alle Grenzen wächst,
-muss $K$ beschränkt sein.
-Gesucht ist also eine kompakte Menge $K\subset\mathbb{C}$ und eine
-Folge $p_n(z)$ von Polynomen, die auf $K$ gleichmässig gegen $f(z)$
-konvergieren.
-Die Wahl von $K$ muss sicherstellen, dass für jede gleichmässig
-konvergente Folge von Polynomen $p_n(z)$ auch die Matrizenfolge
-$p_n(A)$ konvergiert.
-
-Es wird sich zeigen, dass die Menge $K$ das Spektrum von $A$ ist,
-also eine endliche Teilmenge von $\mathbb{C}$.
-Jede Funktion kann auf so einer Menge durch Polynome exakt wiedergegeben
-werden.
-Es gibt insbesondere Folgen von Polynomen, die eingeschränkt
-auf das Spektrum gleich sind, also $p_n(z)=p_m(z)$ für alle $z\in K$,
-die aber ausserhalb des Spektrums alle verschieden sind.
-Als Beispiel kann die Matrix 
-\[
-N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
-\]
-herangezogen werden.
-Ihr Spektrum ist $\operatorname{Sp}(N)=\{0\}\subset\mathbb{C}$.
-Zwei Polynome stimmen genau dann auf $\operatorname{Sp}(N)$ überein,
-wenn der konstante Koeffizient gleich ist.
-Die Polynome $p(z)=z$ und $q(z)=z^2$ stimmen daher auf dem Spektrum
-überein.
-Für die Matrizen gilt aber $p(N)=N$ und $q(N)=N^2=0$, die Matrizen
-stimmen also nicht überein.
-Es braucht also zusätzliche Bedingungen an die Matrix $A$, die
-sicherstellen, dass $p(A)=0$ ist, wann immer $p(z)=0$ für
-$z\in\operatorname{Sp}(A)$ gilt.
-
-In diesem Abschnitt sollen diese Fragen untersucht werden.
-In Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}
-wird gezeigt, wie sich Funktionen durch Polynome approximieren
-lassen, woraus sich dann Approximationen von $f(A)$ für diagonalisierbare
-Matrizen mit reellen Eigenwerten ergeben.
-
-Der Satz von Stone-Weierstrass, der in
-Abschnitt~\ref{buch:subsetion:stone-weierstrass} dargestellt wird,
-ist ein sehr allgemeines Approximationsresultat, welches nicht nur
-zeigt, dass die Approximation unter sehr natürlichen Voraussetzungen
-beliebig genau möglich ist, sondern uns im komplexen Fall auch
-weitere Einsicht dafür geben kann, welche Voraussetzungen an eine
-komplexe Matrix gestellt werden müssen, damit man damit rechnen kann,
-dass die Approximation zu einer konsistenten Definition von $f(A)$ führt.
-
-%
-% Approximation
-%
-\subsection{Approximation durch Polynome
-\label{buch:subsection:approximation-durch-polynome}}
-Die der Berechnung von $f(A)$ für eine beleibige stetige Funktion,
-die sich nicht als Potenzreihe schreiben lässt, verwendet Approximationen
-von Polynomen.
-Die numerische Mathematik hat eine grosse Menge von solchen
-Approximationsverfahren entwickelt, wovon zwei kurz (ohne Beweise)
-vorgestellt werden sollen.
-
-\subsubsection{Das Legendre-Interpolationspolynom}
-Zu vorgegebenen, verschiedenen Zahlen $z_i\in\mathbb{C}$, $0\le i\le n$,
-die auch die {\em Stützstellen} genannt werden,
-gibt es immer ein Polynom vom Grade $n$, welches in den $z_i$ vorgegebene
-Werte $f(z_i)$ annimmt.
-Ein solches Polynom lässt sich im Prinzip mit Hilfe eines linearen
-Gleichungssystems finden, man kann aber auch direkt eine Lösung
-konstruieren.
-Dazu bildet man erst die Polynome
-\begin{align*}
-l(z) &= (z-z_0)(z-z_1)\dots (z-z_n) \qquad\text{und}
-\\
-l_i(z) &= (z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n).
-\end{align*}
-Darin bedeutet der Hut, dass dieser Term weggelassen werden soll.
-Für $z\ne z_i$ ist $l_i(z)=l(z)/(z-z_i)$.
-Die Polynome
-\[
-k_i(z)
-=
-\frac{l_i(z)}{l_i(z_i)}
-=
-\frac{(z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n)}{(z_i-z_0)\dots \widehat{(z_i-z_i)}\dots (z_i-z_n)}
-\]
-haben die Eigenschaft
-$k_i(z_j)=\delta_{ij}$.
-Damit lässt sich jetzt ein Polynom
-\[
-p(z) = \sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z)}{l_j(z_j)}
-\]
-vom Grad $n$ konstruieren, welches die Werte
-\[
-p(z_i)
-=
-\sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z_i)}{l_j(z_j)}
-=
-\sum_{j=0}^n f(z_j) \delta_{ij}
-=
-f_(z_i)
-\]
-annimmt.
-Das Polynom $p(z)$ heisst das {\em Legendre-Interpolationspolynom}.
-
-Zwar lässt sich also für eine endliche Menge von komplexen Zahlen immer
-ein Polynom finden, welches vorgeschriebene Wert in allen diesen Zahlen
-annimmt, doch ist die Stabilität für grosse $n$ eher beschränkt.
-
-
-\subsubsection{Gleichmassige Approximation mit Bernstein-Polynomen}
-Das Legendre-Interpolationspolynom nimmt in den  Stützstellen die
-verlangten Werte an, aber ausserhalb der Stützstellen ist nicht
-garantiert, dass man eine gute Approximation einer Funktion $f(z)$
-erhält.
-
-Für die Approximation auf einem reellen Interval $[a,b]$ hat
-Sergei Natanowitsch Bernstein ein 
-Dazu werden zuerst die reellen Bernsteinpolynome vom Grad $n$
-durch
-\begin{align*}
-B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i(1-t)^{n-i}.
-\end{align*}
-definiert.
-Als Approximationspolynom für die auf dem Interval 
-$[0,1]$ definierte, stetige Funktion $f(t)$ kann man dann
-\[
-B_n(f)(t)
-=
-\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) f\biggl(\frac{i}{n}\biggr)
-\]
-verwenden.
-Die Polynome $B_n(f)(t)$ konvergieren gleichmässig auf $[0,1]$
-gegen die Funktion $f(t)$.
-Über die Konvergenz ausserhalb des reellen Intervalls wird nichts
-ausgesagt.
-Die Approximation mit Bernstein-Polynomen ist daher nur sinnvoll,
-wenn man weiss, dass die Eigenwerte der Matrix reell sind, was im
-wesentlichen auf diagonalisierbare Matrizen führt.
-
-Für ein anderes Interval $[a,b]$ kann man ein Approximationspolynom
-erhalten, indem man die affine Transformation
-$s\mapsto (s-a)/(b-a)$
-von $[a,b]$ auf $[0,1]$
-verwendet. 
-
-%
-% Der Satz von Stone-Weierstrass
-%
-\subsection{Der Satz von Stone-Weierstrasss
-\label{buch:subsetion:stone-weierstrass}}
-Der Satz von Stone-Weierstrass behandelt im Gegensatz zu den in
-Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}
-besprochenen Approximationsmethoden nicht nur Funktionen von
-reellen Variablen durch Polynome.
-Vielmehr kann das Definitionsgebiet irgend eine abgeschlossene
-und beschränkte Teilmenge eines reellen oder komplexen Vektorraumes
-sein und die Funktionen können Polynome aber auch viel allgemeinere
-Funktionen verwendet werden, wie zum Beispiel die Funktionen
-$x\mapsto \cos nx$ und $x\mapsto \sin nx$ definiert auf dem
-Intervall $[0,2\pi]$.
-In diesem Fall liefert der Satz von Stone-Weierstrass die Aussage,
-dass sich jede stetige periodische Funktion gleichmässig durch
-trigonometrische Polynome approximieren lässt.
-
-Die Aussage des Satz von Stone-Weierstrass über reelle Funktionen
-lässt sich nicht auf komplexe Funktionen erweitern.
-Von besonderem Interesse ist jedoch, dass der Beweis des Satz 
-zeigt, warum solche Aussagen für komplexe Funktionen nicht mehr
-zutreffen.
-Im Falle der Approximation von komplexen Funktionen $f(z)$ durch Polynome
-zwecks Definition von $f(A)$ werden sich daraus Bedingungen an die
-Matrix ableiten lassen, die eine konsistente Definition überhaupt
-erst ermöglichen werden.
-
-\subsubsection{Punkte trennen}
-Aus den konstanten Funktionen lassen sich durch algebraische
-Operationen nur weitere konstante Funktionen erzeugen.
-Die konstanten Funktionen sind also nur dann eine genügend
-reichhaltige Menge, wenn die Menge $K$ nur einen einzigen Punkt
-enthält.
-Damit sich Funktionen approximieren lassen, die in zwei Punkten
-verschiedene Werte haben, muss es auch unter den zur Approximation
-zur Verfügung stehenden Funktionen solche haben, deren Werte sich
-in diesen Punkten unterscheiden.
-Diese Bedingung wird in der folgenden Definition formalisiert.
-
-\begin{definition}
-Sei $K$ eine beliebige Menge und $A$ eine Menge von Funktionen
-$K\to \mathbb{C}$.
-Man sagt, $A$ {\em trennt die Punkte von $K$}, wenn es für jedes Paar
-\index{Punkte trennen}%
-von Punkten $x,y\in K$ eine Funktion $f\in A$ gibt derart, dass
-$f(x)\ne f(y)$.
-\end{definition}
-
-Man kann sich die Funktionen $f$, die gemäss dieser Definition die Punkte
-von $K$ trennen, als eine Art Koordinaten der Punkte in $K$ vorstellen.
-Die Punkte der Teilmenge $K\subset \mathbb{R}^n$ werden zum Beispiel
-von den Koordinatenfunktionen $x\mapsto x_i$ getrennt.
-Wir schreiben für die $i$-Koordinate daher auch als Funktion $x_i(x)=x_i$.
-Zwei verschiedene Punkte $x,y\in K$ unterscheiden sich in mindestens
-einer Koordinate.
-Für diese Koordinate sind dann die Werte der zugehörigen
-Koordinatenfunktion $x_i=x_i(x)\ne x_i(y)=y_i$ verschieden, die
-Funktionen $x_1(x)$ bis $x_n(x)$ trennen also die Punkte.
-
-\begin{beispiel}
-Wir betrachten einen Kreis in der Ebene, also die Menge
-\[
-S^1
-=
-\{(x_1,x_2)\;|\; x_1^2 + x_2^2=1\}
-\]
-$S^1$ ist eine abgeschlossene und beschränkte Menge in $\mathbb{R}^2$.
-Die Funktion $x\mapsto x_1$ trennt die Punkte nicht, denn zu jedem
-Punkt $(x_1,x_2)\in S^2$ gibt es den an der ersten Achse
-gespiegelten Punkt $\sigma(x)=(x_1,-x_2)$, dessen erste Koordinate
-den gleichen Wert hat.
-Ebenso trennt die Koordinatenfunktion $x\mapsto x_2$ die Punkte nicht.
-Die Menge $A=\{ x_1(x), x_2(x)\}$ bestehend aus den beiden
-Koordinatenfunktionen trennt dagegen die Punkte von $S^1$, da die Punkte
-sich immer in mindestens einem Punkt unterscheiden.
-
-Man könnte auch versuchen, den Kreis in Polarkoordinaten zu beschreiben.
-Die Funktion $\varphi(x)$, die jedem Punkt $x\in S^1$ den Polarwinkel
-zuordnet, trennt sicher die Punkte des Kreises.
-Zwei verschiedene Punkte auf dem Kreis haben verschieden Polarwinkel.
-Die Menge $\{\varphi\}$ trennt also die Punkte von $S^1$.
-Allerdings ist die Funktion nicht stetig, was zwar der Definition
-nicht widerspricht aber ein Hindernis für spätere Anwendungen ist.
-\end{beispiel}
-
-
-\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für reelle Funktionen}
-Die Beispiele von Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}
-haben bezeigt, dass sich reellwertige Funktionen einer reellen
-Variable durch Polynome beliebig genau approximieren lassen.
-Es wurde sogar eine Methode vorgestellt, die eine auf einem Intervall
-gleichmässig konvergente Polynomefolge produziert.
-Die Variable $x\in[a,b]$ trennt natürlich die Punkte, die Algebra der
-Polynome in der Variablen $x$ enthält also sicher Funktionen, die in
-verschiedenen Punkten des Intervalls auch verschiedene Werte annehmen.
-Nicht ganz so selbstverständlich ist aber, dass sich daraus bereits
-ergibt, dass jede beliebige Funktion sich als Polynome in $x$
-approximieren lässt.
-Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes von Stone-Weierstrass.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf}
-\caption{Konstruktion einer monoton wachsenden Approximationsfolge für
-$\sqrt{a}$
-\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf}
-\caption{Monoton wachsende Approximation der Funktion $t\mapsto\sqrt{t}$ mit 
-Polynomen $u_n(t)$ nach 
-\eqref{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation}
-(links) und der Fehler der Approximation
-(rechts).
-\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation}}
-\end{figure}
-
-\begin{satz}[Stone-Weierstrass]
-\label{buch:satz:stone-weierstrass}
-Enthält eine $\mathbb{R}$-Algebra $A$ von stetigen, rellen Funktionen
-auf einer kompakten Menge $K$ die konstanten Funktionen und trennt sie
-Punkte, d.~h.~für zwei verschiedene Punkte $x,y\in K$ gibt es
-immer eine Funktion $f\in A$ mit $f(x)\ne f(y)$, dann ist jede stetige,
-reelle Funktion auf $K$ gleichmässig approximierbar durch Funktionen 
-in $A$.
-\end{satz}
-
-Für den Beweis des Satzes wird ein Hilfsresultat benötigt, welches wir
-zunächst ableiten.
-Es besagt, dass sich die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$
-auf dem Interval $[0,1]$ gleichmässig
-von unten durch Polynome approximieren lässt, die in
-Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation} dargestellt
-sind.
-
-\begin{satz}
-Die rekursiv definierte Folge von Polynomen
-\begin{equation}
-u_{n+1}(t)
-=
-u_n(t) + \frac12(t-u_n(t)^2),
-\qquad
-u_0(t)=0
-\label{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation}
-\end{equation}
-ist monoton wachsend und approximiert die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$
-gleichmässig auf dem Intervall $[0,1]$.
-\end{satz}
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/minmax.pdf}
-\caption{Graphische Erklärung der
-Identitäten~\eqref{buch:eigenwerte:eqn:minmax} für
-$\max(f(x),g(x))$ und $\min(f(x),g(x))$.
-Die purpurrote Kurve stellt den Mittelwert von $f(x)$ und $g(x)$ dar,
-die vertikalen grünen Linien haben die Länge der Differenz $|f(x)-g(x)|$.
-Das Maximum erhält man, indem man den halben Betrag der Differenz zum
-Mittelwert hinzuaddiert, das Minimum erhält man durch Subtraktion
-der selben Grösse.
-\label{buch:eigenwerte:fig:minmax}}
-\end{figure}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Wer konstruieren zunächst das in
-Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}
-visualierte Verfahren, mit dem für jede Zahl $a\in[0,1]$
-die Wurzel $\sqrt{a}$ berechnet werden kann.
-Sei $u < \sqrt{a}$ eine Approximation der Wurzel.
-Die Approximation ist der exakte Wert der Lösung, wenn $a-u^2=0$.
-In jedem anderen Fall muss $u$ um einen Betrag $d$ vergrössert werden.
-Natürlich muss immer noch $u+d<\sqrt{a}$ sein.
-Man kann die maximal zulässige Korrektur $d$ geometrisch abschätzen,
-wie dies in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}
-skizziert ist.
-Die maximale Steigung des Graphen der Funktion $u\mapsto u^2$ ist $2$,
-daher darf man $u$ maximal um die Hälfte der Differenz $a-u^2$ (grün)
-vergrössern, also $d=\frac12(a-u^2)$.
-Die Rekursionsformel
-\[
-u_{n+1} = u_n + d = u_n + \frac12(a-u_n^2)
-\]
-mit dem Startwert $u_0=0$ liefert daher eine 
-Folge, die gegen $\sqrt{a}$ konvergiert.
-\end{proof}
-
-\begin{proof}[Beweis des Satzes von Stone-Weierstrass]
-Da $A$ eine Algebra ist, ist mit jeder Funktion $f\in A$ für jedes Polynome
-$p\in\mathbb{R}[X]$ auch $p(f)$ eine Funktion in $A$.
-\begin{enumerate}
-\item Schritt: Für jede Funktion $f\in A$ lässt sich auch $|f|$ durch
-Funktionen in $A$ beliebig genau durch eine monoton wachsende Folge
-von Funktionen approximieren.
-
-Da $A$ eine Algebra ist, ist $f^2\in A$.
-Sei ausserdem $m^2=\sup \{f(x)^2\;|\;x\in K\}$, so dass $f^2/m^2$ eine Funktion
-mit Werten im Intervall $[0,1]$ ist.
-Die Funktionen $f_n(x)=mu_n(f(x)^2/m^2)$ sind ebenfalls in $A$ und
-approximieren gleichmässig $\sqrt{f(x)^2}=|f(x)|$.
-\item Schritt: Für zwei Funktionen $f,g\in A$ gibt es eine monoton wachsende
-Folge, die $\max(f,g)$ gleichmässig beliebig genau approximiert
-und eine monoton fallende Folge, die $\min(f,g)$ gleichmässig beliebig 
-genau approximiert.
-
-
-Diese Folgen können aus der Approximationsfolge für den Betrag einer
-Funktion und den Identitäten
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-\max(f,g) &= \frac12(f+g+|f-g|) \\
-\min(f,g) &= \frac12(f+g-|f-g|) 
-\end{aligned}
-\label{buch:eigenwerte:eqn:minmax}
-\end{equation}
-gefunden werden, die in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:minmax}
-graphisch erklärt werden.
-\item Schritt: Zu zwei beliebigen Punkten $x,y\in K$ und Werten
-$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gibt es immer eine Funktion in $A$,
-die in den Punkten $x,y$ die vorgegebenen Werte $\alpha$ bzw.~$\beta$
-annimmt.
-Da $A$ die Punkte trennt, gibt es eine Funktion $f_0$ mit $f_0(x)\ne f_0(y)$.
-Dann ist die Funktion
-\[
-f(t)
-=
-\beta + \frac{f_0(t)-f_0(y)}{f_0(x)-f_0(y)}(\alpha-\beta)
-\]
-wohldefiniert und nimmt die verlangten Werte an.
-\item Schritt: Zu jeder stetigen Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$, jedem
-Punkt $x\in K$ und jedem $\varepsilon>0$ gibt es eine Funktion $g\in A$ derart,
-dass $g(x)=f(x)$ und $g(y) \le f(y)+\varepsilon$ für alle $y\in K$.
-
-Zu jedem $z\in K$ gibt es eine Funktion in $A$ mit
-$h_z(x)=f(x)$ und $h_z(z) \le f(z)+\frac12\varepsilon$.
-Wegen der Stetigkeit von $h_z$ gibt es eine Umgebung $V_z$ von $z$, in der
-immer noch gilt $h_z(y)\le f(y)+\varepsilon$ für $y\in V_z$.
-Wegen der Kompaktheit von $K$ kann man endlich viele Punkte $z_i$ wählen
-derart, dass die $V_{z_i}$ immer noch $K$ überdecken.
-Dann erfüllt die Funktion
-\(
-g(z) = \inf h_{z_i}
-\)
-die Bedingungen $g(x) = f(x)$ und für $z\in V_{z_i}$
-\[
-g(z) = \inf_{j} h_{z_j}(z) \le h_{z_i}(z) \le f(z)+\varepsilon.
-\]
-Ausserdem ist $g(z)$ nach dem zweiten Schritt beliebig genau durch
-Funktionen in $A$ approximierbar.
-\item Schritt: Jede stetige Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$ kann
-beliebig genau durch Funktionen in $A$ approximiert werden.
-Sei $\varepsilon > 0$.
-
-Nach dem vierten Schritt gibt es für jedes $y\in K$ eine Funktion $g_y$
-derart, dass $g_y(y)=f(y)$  und $g_y(x) \le f(x) + \varepsilon$ für
-$x\in K$.
-Da $g_y$ stetig ist, gilt ausserdem $g_y(x) \ge f(x) -\varepsilon$ in
-einer Umgebung $U_y$ von $y$.
-Da $K$ kompakt ist, kann man endlich viele $y_i$ derart, dass die $U_{y_i}$
-immer noch ganz $K$ überdecken.
-Die Funktion $g=\sup g_{y_i}$ erfüllt dann überall $g(x) \le f(x)+\varepsilon$,
-weil jede der Funktionen $g_y$ diese Ungleichung erfüllt.
-Ausserdem gilt für $x\in V_{x_j}$
-\[
-g(x) = \sup_i g_{x_i}(x) \ge g_{x_j}(x) \ge f(x)-\varepsilon.
-\]
-Somit ist
-\[
-|f(x)-g(x)| \le \varepsilon.
-\]
-Damit ist $f(x)$ beliebig nahe an der Funktion $g(x)$, die sich 
-beliebig genau durch Funktionen aus $A$ approximieren lässt.
-\qedhere
-\end{enumerate}
-\end{proof}
-
-Im ersten Schritt des Beweises ist ganz entscheidend, dass man die
-Betragsfunktion konstruieren kann.
-Daraus leiten sich dann alle folgenden Konstruktionen ab.
-
-\subsubsection{Anwendung auf symmetrische und hermitesche Matrizen}
-Für symmetrische und hermitesche Matrizen $A$ ist bekannt, dass die
-Eigenwerte reell sind, also das Spektrum $\operatorname{A}\subset\mathbb{R}$
-ist.
-Für eine Funktion $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ lässt sich nach dem
-Satz~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} immer eine Folge $p_n$ von
-approximierenden Polynomen in $x$ finden, die auf $\operatorname{Sp}(A)$
-gleichmässig konvergiert.
-Die Matrix $f(A)$ kann dann definiert werden also der Grenzwert
-\[
-f(A) = \lim_{n\to\infty} p_n(A).
-\]
-Da diese Matrizen auch diagonalisierbar sind, kann man eine Basis
-aus Eigenvektoren verwenden.
-Die Wirkung von $p_n(A)$ auf einem Eigenvektor $v$ zum Eigenwert $\lambda$
-ist
-\[
-p_n(A)v
-=
-(a_kA^k + a_{k-1}A^{k-1}+\dots +a_2A^2+a_1A+a_0I)v
-=
-(a_k\lambda^k + a_{k-1}\lambda^{k-1}+\dots + a_2\lambda^2 + a_1\lambda + a_0)v
-=
-p_n(\lambda)v.
-\]
-Im Grenzwert wirkt $f(A)$ daher durch Multiplikation eines Eigenvektors
-mit $f(\lambda)$, die Matrix $f(A)$ hat in der genannten Basis die
-Diagonalform
-\[
-A=\begin{pmatrix}
-\lambda_1&         &      &         \\
-         &\lambda_2&      &         \\
-         &         &\ddots&         \\
-         &         &      &\lambda_n
-\end{pmatrix}
-\qquad\Rightarrow\qquad
-f(A)=\begin{pmatrix}
-f(\lambda_1)&            &      &            \\
-            &f(\lambda_2)&      &            \\
-            &            &\ddots&            \\
-            &            &      &f(\lambda_n)
-\end{pmatrix}.
-\]
-
-\begin{satz}
-\label{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz}
-Ist $A$ symmetrische oder selbstadjungiert Matrix und $f$ eine Funktion
-auf dem Spektrum $\operatorname{Sp}(A)$ von $A$.
-Dann gibt es genau eine Matrix $f(A)$, die Grenzwert jeder beliebigen
-Folge $p_n(A)$ für Polynomfolgen, die $\operatorname{Sp}(A)$ gleichmässig
-gegen $f$ konvergieren.
-\end{satz}
-
-\subsubsection{Unmöglichkeit der Approximation von $z\mapsto \overline{z}$
-in $\mathbb{C}[z]$}
-Der Satz~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} von Stone-Weierstrass für
-reelle Funktionen gilt nicht für komplexe Funktionen.
-In diesem Abschnitt zeigen wir, dass sich die Funktion $z\mapsto\overline{z}$
-auf der Einheitskreisscheibe $K=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|\le 1\}$ nicht
-gleichmässig durch Polynome $p(z)$ mit komplexen Koeffizienten approximieren
-lässt.
-
-Wäre eine solche Approximation möglich, dann könnte man $\overline{z}$
-auch durch eine Potenzreihe
-\[
-\overline{z}
-=
-\sum_{k=0}^\infty a_kz^k
-\]
-darstellen.
-Das Wegintegral beider Seiten über den Pfad $\gamma(t) = e^{it}$
-in der komplexen Ebene ist
-\begin{align*}
-\oint_\gamma z^k\,dz
-&=
-\int_0^{2\pi} e^{ikt} ie^{it}\,dt
-=
-i\int_0^{2\pi} e^{it(k+1)}\,dt
-=
-i\biggl[ \frac{1}{i(k+1)} e^{it(k+1)}\biggr]_0^{2\pi}
-=
-0
-\\
-\oint_\gamma
-\sum_{k=0}^\infty a_kz^k
-\,dz
-&=
-\sum_{k=0}^\infty a_k \oint_\gamma z^k\,dz
-=
-\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot 0
-=
-0
-\\
-\oint_\gamma \overline{z}\,dz
-&=
-\int_0^{2\pi} e^{it} ie^{it}\,dt
-=
-i\int_0^{2\pi} \,dt = 2\pi i,
-\end{align*}
-dabei wurde $\overline{\gamma}(t)=e^{-it}$ verwendet.
-Insbesondere widersprechen sich die beiden Integrale.
-Die ursprüngliche Annahmen, $\overline{z}$ lasse sich durch Polynome
-gleichmässig approximieren, muss daher verworfen werden.
-
-\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Funktionen}
-Der Satz von Stone-Weierstrass kann nach dem vorangegangene Abschnitt
-also nicht gelten.
-Um den Beweis des Satzes~\ref{buch:satz:stone-weierstrass}
-auf komplexe Zahlen zu übertragen, muss im ersten Schritt ein Weg
-gefunden werden, den Betrag einer Funktion zu approximieren.
-
-Im reellen Fall geschah dies, indem zunächst eine Polynom-Approximation
-für die Quadratwurzel konstruiert wurde, die dann auf das Quadrat einer
-Funktion angewendet wurde.
-Der Betrag einer komplexen Zahl $z$ ist aber nicht allein aus $z$
-berechenbar, man braucht in irgend einer Form Zugang zu Real-
-und Imaginärteil.
-Zum Beispiel kann man Real- und Imaginärteil als
-$\Re z= \frac12(z+\overline{z})$ und $\Im z = \frac12(z-\overline{z})$
-bestimmen.
-Kenntnis von Real- und Imaginärteil ist als gleichbedeutend mit
-der Kenntnis der komplex Konjugierten $\overline{z}$.
-Der Betrag lässt sich daraus als $|z|^2 = z\overline{z}$ finden.
-Beide Beispiele zeigen, dass man den im Beweis benötigten Betrag
-nur dann bestimmen kann, wenn mit jeder Funktion aus $A$ auch die
-komplex konjugierte Funktion zur Verfügung steht.
-
-\begin{satz}[Stone-Weierstrass]
-Enthält eine $\mathbb{C}$-Algebra $A$ von stetigen, komplexwertigen
-Funktionen auf einer kompakten Menge $K$ die konstanten Funktionen,
-trennt sie Punkte und ist ausserdem mit jeder Funktion $f\in A$ auch
-die komplex konjugiert Funktion $\overline{f}\in A$,
-dann lässt sich jede stetige, komplexwertige Funktion 
-auf $K$ gleichmässig durch Funktionen aus $A$ approximieren.
-\end{satz}
-
-Mit Hilfe der konjugiert komplexen Funktion lässt sich immer eine
-Approximation für die Betragsfunktion finden, so dass sich der
-Beweis des reellen Satzes von Stone-Weierstrass übertragen lässt.
-
-%
-% Normale Matrizen
-%
-\subsection{Normale Matrizen
-\label{buch:subsection:normale-matrizen}}
-Aus dem Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Matrizen kann man
-jetzt einen Spektralsätze für eine etwas grössere Klasse von Matrizen
-ableiten, als im Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz}
-möglich war.
-Der Satz besagt, dass für eine beliebige Funktion $f$ auf dem Spektrum
-$\operatorname{Sp}(A)$ eine Folge von auf $\operatorname{Sp}(A)$
-gleichmässig konvergenten, approximierenden Polynomen
-$p_n(z,\overline{z})$ gefunden werden kann.
-Doch wie soll jetzt aus dieser Polynomfolge ein Kandidat von $f(A)$
-gefunden werden?
-
-Zunächst stellt sich die Frage, was für die Variable $\overline{z}$ 
-eingesetzt werden soll.
-$1\times 1$-Matrizen sind notwendigerweise diagonal, also muss 
-man in diesem Fall die Matrix $\overline{A}$ für die Variable
-$\overline{z}$ eingesetzt werden.
-Dies erklärt aber noch nicht, wie für $n\times n$-Matrizen
-vorzugehen ist, wenn $n>1$ ist.
-
-Die Notwendigkeit, die Variable $\overline{z}$ hinzuzunehmen
-ergab sich aus der Anforderung, dass der Betrag aus $|z|^2=z\overline{z}$
-konstruiert werden können muss.
-Insbesondere muss beim Einsetzen eine Matrix entstehen, die nur 
-positive Eigenwerte hat.
-Für eine beliebige komplexe $n\times n$-Matrix $A$ ist aber
-$A\overline{A}$ nicht notwendigerweise positiv, wie das Beispiel
-\[
-A
-=
-\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}
-\qquad
-\Rightarrow
-\qquad
-A\overline{A}
-=
-\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
--1&0\\
- 0&-1
-\end{pmatrix}
-=
--I
-\]
-zeigt.
-Eine positive Matrix entsteht dagegen immer, wenn man statt
-$A$ die Adjungierte $A^*=\overline{A}^t$ verwendet.
-
-Die Substitution von $A$ für $z$ und $A^*$ für $\overline{z}$
-in einem Polynom $p(z,\overline{z})$ ist nicht unbedingt eindeutig.
-Schon das Polynom $p(z,\overline{z})=z\overline{z}$ kann man auch
-als $\overline{z}z$ schreiben.
-Damit die Substition eindeutig wird, muss man also fordern, dass
-$AA^* = A^*A$ ist.
-
-\begin{definition}
-Eine Matrix $A\in M_n(\mathbb{C})$ heisst {\em normal}, wenn $AA^*=A^*A$ gilt.
-\end{definition}
-
-\subsubsection{Beispiele normaler Matrizen}
-
-\begin{enumerate}
-\item
-Hermitesche und Antihermitesche Matrizen sind normal, denn solche
-Matrizen erfüllen $A^*=\pm A$ und damit
-\(
-AA^* = \pm A^2 = A^*A.
-\)
-\item
-Symmetrische und antisymmetrische Matrizen sind normal,
-denn aus $A=A^t$ folgt $A^*=\overline{A}^t$ und damit
-\begin{align*}
-AA^* &=  A\overline{A}^t = 
-\\
-A^*A &=
-\end{align*}
-\item
-Unitäre Matrizen $U$ sind normal, das $UU^*=I=U^*U$ gilt.
-\item
-Orthogonale Matrizen sind normal wegen $O(n) = U(n) \cap M_n(\mathbb{R})$.
-\end{enumerate}
-
-Jede Matrix lässt sich durch Wahl einer geeigneten Basis in Jordansche 
-Normalform bringen.
-Allerdings sind Jordan-Blöcke keine normalen Matrizen, wie der folgende
-Satz zeigt.
-
-\begin{satz}
-Eine Dreiecksmatrix ist genau dann normal, wenn sie diagonal ist.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Sei $A$ eine obere Dreiecksmatrix, das Argument für eine untere Dreiecksmatrix
-funktioniert gleich.
-Wir berechnen ein Diagonalelement für beide Produkte $AA^*$ und $A^*A$.
-Dazu brauchen wir die Matrixelemente von $A$ und $A^*$.
-Bezeichnen wir die Matrixelemente von $A$ mit $a_{ij}$, dann hat $A^*$
-die Matrixelemente $(A^*)_{ij}=\overline{a}_{ji}$.
-Damit kann man die Diagonalelemente der Produkte als
-\begin{align*}
-(AA^*)_{ii}
-&=
-\sum_{j=1}^n a_{ij}\overline{a}_{ij}
-=
-\sum_{j=i}^n |a_{ij}|^2
-\\
-(A^*A)_{ii}
-&=
-\sum_{j=1}^n \overline{a}_{ji}a_{ji}
-=
-\sum_{j=1}^i |a_{ji}|^2
-\end{align*}
-ausrechnen.
-Der obere Ausdruck ist die quadrierte Länge der Zeile $i$ der Matrix $A$,
-der untere ist die quadrierte Länge der Spalte $i$.
-Da die Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist, hat die erste Spalte höchstens
-ein einziges von $0$ verschiedenes Element.
-Daher kann auch die erste Zeile höchstens dieses eine Elemente haben.
-Die Matrix hat daher Blockstruktur mit einem $1\times 1$-Block in der
-linken obere Ecke und einem  $n-1$-dimensionalen Block für den Rest.
-Durch Wiederholen des Arguments für den $(n-1)\times (n-1)$-Block 
-kann man so schrittweise schliessen, dass die Matrix $A$ diagonal sein muss.
-\end{proof}
-
-
-\begin{satz}
-Sind $A$ und $B$ normale Matrizen und $AB^*=B^*A$, dann sind auch $A+B$
-und $AB$ normal.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Zunächst folgt aus $AB^*=B^*A$ auch
-$A^*B = (B^*A)^* = (AB^*)^* = BA^*$.
-Der Beweis erfolgt durch Nachrechnen:
-\begin{align*}
-(A+B)(A+B)^*
-&=
-AA^* + AB^* + BA^*+BB^*
-\\
-(A+B)^*(A+B)
-&=
-A^*A + A^*B + B^*A + B^*B
-\end{align*}
-Die ersten und letzten Terme auf der rechten Seite stimmen überein, weil
-$A$ und $B$ normal sind.
-Die gemischten Terme stimmen überein wegen der Vertauschbarkeit von
-$A$ und $B^*$.
-
-Für das Produkt rechnet man
-\begin{align*}
-(AB)(AB)^*
-&= ABB^*A^* = AB^*BA^*
-= B^*AA^*B
-=
-B^*A^*AB
-=
-(AB)^*(AB),
-\end{align*}
-was zeigt, dass auch $AB$ normal ist.
-\end{proof}
-
-\subsubsection{Äquivalente Bedingungen}
-Es gibt eine grosse Zahl äquivalenter Eigenschaften für normale Matrizen.
-Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
-\begin{enumerate}
-\item
-Die Matrix $A$ ist mit einer unitären Matrix diagonalisierbar
-\item
-Es gibt eine orthonormale Basis von Eigenvektoren von $A$ für $\mathbb{C}^n$
-\item
-Für jeden Vektor $x\in\mathbb{C}^n$ gilt $\|Ax\|=\|A^*x\|$
-\item
-Die Forbenius-Norm der Matrix $A$ kann mit den Eigenwerten $\lambda_i$
-von $A$ berechnet werden:
-$\operatorname{Spur}(A^*A) = \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2$
-\item
-Der hermitesche Teil $\frac12(A+A^*)$ und der antihermitesche Teil
-$\frac12(A-A^*)$ von $A$ vertauschen.
-\item
-$A^*$ ist ein Polynom vom Grad $n-1$ in $A$.
-\item
-Es gibt eine unitäre Matrix $U$ derart, dass $A^*=AU$
-\item
-Es gibt eine Polarzerlegugn $A=UP$ mit einer unitären Matrix $U$ und
-einer postiv semidefiniten Matrix $P$, die untereinander vertauschen.
-\item
-Es gibt eine Matrix $N$ mit verschiedenen Eigenwerten, mit denen $A$
-vertauscht.
-\item
-Wenn $A$ die (absteigend geordneten) singulärwerte $\sigma_i$ und
-die absteigend geordneten Eigenwerte $\lambda_i$ hat,
-dann it $\sigma_i=|\lambda_i|$.
-\end{enumerate}
-
-
-
-
+%

+% spektraltheorie.tex

+%

+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil

+% 

+\section{Spektraltheorie

+\label{buch:section:spektraltheorie}}

+Aufgabe der Spektraltheorie ist, Bedingungen an eine Matrix $A$ und eine

+Funktion $f(z)$ zu finden, unter denen es möglich ist, $f(A)$ auf 

+konsistente Art und Weise zu definieren.

+Weiter müssen Methoden entwickelt werden, mit denen $f(A)$ berechnet

+werden kann.

+Für ein Polynom $p(z)$ ist $p(A)$ durch einsetzen definiert.

+Für Funktionen, die sich nicht durch ein Polynom darstellen lassen,

+muss eine Approximation der Funktion durch Polynome verwendet werden.

+Sei also $p_n(z)$ eine Folge von Polynomen, die als Approximation der

+Funktion $f(z)$ verwendet werden soll.

+Das Ziel ist, $f(A)$ als den Grenzwert der Matrixfolge $p_n(A)$

+zu definieren.

+

+Zunächst ist nicht klar, wie eine solche Folge gewählt werden muss.

+Es muss eine Teilmenge von $K\subset\mathbb{C}$ spezifiziert werden,

+auf der die Funktionenfolge $p_n(z)$ konvergieren muss,

+damit auch die Konvergenz der Matrizenfolge $p_n(A)$ garantiert ist.

+Auch die Art der Konvergenz von $p_n(z)$ auf der Menge $K$ ist noch

+unklar.

+Da der Abstand zweier Matrizen $A$ und $B$ in der Operatornorm

+mit der grössten Abweichung $\|(A-B)v\|$ für Einheitsvektoren $v$

+gemessen wird, ist es einigermassen plausibel, dass

+die grösse Abweichung zwischen zwei Polynomen $|p(z) - q(z)|$ auf

+der Menge $K$ kleine sein muss, wenn $\|p(A)-q(A)\|$ klein 

+sein soll.

+Da die Differenz $p(z)-q(z)$ für beliebige Polynome, die sich nicht

+nur um eine Konstante unterscheiden, mit $z$ über alle Grenzen wächst,

+muss $K$ beschränkt sein.

+Gesucht ist also eine kompakte Menge $K\subset\mathbb{C}$ und eine

+Folge $p_n(z)$ von Polynomen, die auf $K$ gleichmässig gegen $f(z)$

+konvergieren.

+Die Wahl von $K$ muss sicherstellen, dass für jede gleichmässig

+konvergente Folge von Polynomen $p_n(z)$ auch die Matrizenfolge

+$p_n(A)$ konvergiert.

+

+Es wird sich zeigen, dass die Menge $K$ das Spektrum von $A$ ist,

+also eine endliche Teilmenge von $\mathbb{C}$.

+Jede Funktion kann auf so einer Menge durch Polynome exakt wiedergegeben

+werden.

+Es gibt insbesondere Folgen von Polynomen, die eingeschränkt

+auf das Spektrum gleich sind, also $p_n(z)=p_m(z)$ für alle $z\in K$,

+die aber ausserhalb des Spektrums alle verschieden sind.

+Als Beispiel kann die Matrix 

+\[

+N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

+\]

+herangezogen werden.

+Ihr Spektrum ist $\operatorname{Sp}(N)=\{0\}\subset\mathbb{C}$.

+Zwei Polynome stimmen genau dann auf $\operatorname{Sp}(N)$ überein,

+wenn der konstante Koeffizient gleich ist.

+Die Polynome $p(z)=z$ und $q(z)=z^2$ stimmen daher auf dem Spektrum

+überein.

+Für die Matrizen gilt aber $p(N)=N$ und $q(N)=N^2=0$, die Matrizen

+stimmen also nicht überein.

+Es braucht also zusätzliche Bedingungen an die Matrix $A$, die

+sicherstellen, dass $p(A)=0$ ist, wann immer $p(z)=0$ für

+$z\in\operatorname{Sp}(A)$ gilt.

+

+In diesem Abschnitt sollen diese Fragen untersucht werden.

+In Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}

+wird gezeigt, wie sich Funktionen durch Polynome approximieren

+lassen, woraus sich dann Approximationen von $f(A)$ für diagonalisierbare

+Matrizen mit reellen Eigenwerten ergeben.

+

+Der Satz von Stone-Weierstrass, der in

+Abschnitt~\ref{buch:subsetion:stone-weierstrass} dargestellt wird,

+ist ein sehr allgemeines Approximationsresultat, welches nicht nur

+zeigt, dass die Approximation unter sehr natürlichen Voraussetzungen

+beliebig genau möglich ist, sondern uns im komplexen Fall auch

+weitere Einsicht dafür geben kann, welche Voraussetzungen an eine

+komplexe Matrix gestellt werden müssen, damit man damit rechnen kann,

+dass die Approximation zu einer konsistenten Definition von $f(A)$ führt.

+

+%

+% Approximation

+%

+\subsection{Approximation durch Polynome

+\label{buch:subsection:approximation-durch-polynome}}

+Die der Berechnung von $f(A)$ für eine beleibige stetige Funktion,

+die sich nicht als Potenzreihe schreiben lässt, verwendet Approximationen

+von Polynomen.

+Die numerische Mathematik hat eine grosse Menge von solchen

+Approximationsverfahren entwickelt, wovon zwei kurz (ohne Beweise)

+vorgestellt werden sollen.

+

+\subsubsection{Das Legendre-Interpolationspolynom}

+Zu vorgegebenen, verschiedenen Zahlen $z_i\in\mathbb{C}$, $0\le i\le n$,

+die auch die {\em Stützstellen} genannt werden,

+gibt es immer ein Polynom vom Grade $n$, welches in den $z_i$ vorgegebene

+Werte $f(z_i)$ annimmt.

+Ein solches Polynom lässt sich im Prinzip mit Hilfe eines linearen

+Gleichungssystems finden, man kann aber auch direkt eine Lösung

+konstruieren.

+Dazu bildet man erst die Polynome

+\begin{align*}

+l(z) &= (z-z_0)(z-z_1)\dots (z-z_n) \qquad\text{und}

+\\

+l_i(z) &= (z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n).

+\end{align*}

+Darin bedeutet der Hut, dass dieser Term weggelassen werden soll.

+Für $z\ne z_i$ ist $l_i(z)=l(z)/(z-z_i)$.

+Die Polynome

+\[

+k_i(z)

+=

+\frac{l_i(z)}{l_i(z_i)}

+=

+\frac{(z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n)}{(z_i-z_0)\dots \widehat{(z_i-z_i)}\dots (z_i-z_n)}

+\]

+haben die Eigenschaft

+$k_i(z_j)=\delta_{ij}$.

+Damit lässt sich jetzt ein Polynom

+\[

+p(z) = \sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z)}{l_j(z_j)}

+\]

+vom Grad $n$ konstruieren, welches die Werte

+\[

+p(z_i)

+=

+\sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z_i)}{l_j(z_j)}

+=

+\sum_{j=0}^n f(z_j) \delta_{ij}

+=

+f_(z_i)

+\]

+annimmt.

+Das Polynom $p(z)$ heisst das {\em Legendre-Interpolationspolynom}.

+

+Zwar lässt sich also für eine endliche Menge von komplexen Zahlen immer

+ein Polynom finden, welches vorgeschriebene Wert in allen diesen Zahlen

+annimmt, doch ist die Stabilität für grosse $n$ eher beschränkt.

+

+

+\subsubsection{Gleichmassige Approximation mit Bernstein-Polynomen}

+Das Legendre-Interpolationspolynom nimmt in den  Stützstellen die

+verlangten Werte an, aber ausserhalb der Stützstellen ist nicht

+garantiert, dass man eine gute Approximation einer Funktion $f(z)$

+erhält.

+

+Für die Approximation auf einem reellen Interval $[a,b]$ hat

+Sergei Natanowitsch Bernstein ein 

+Dazu werden zuerst die reellen Bernsteinpolynome vom Grad $n$

+durch

+\begin{align*}

+B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i(1-t)^{n-i}.

+\end{align*}

+definiert.

+Als Approximationspolynom für die auf dem Interval 

+$[0,1]$ definierte, stetige Funktion $f(t)$ kann man dann

+\[

+B_n(f)(t)

+=

+\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) f\biggl(\frac{i}{n}\biggr)

+\]

+verwenden.

+Die Polynome $B_n(f)(t)$ konvergieren gleichmässig auf $[0,1]$

+gegen die Funktion $f(t)$.

+Über die Konvergenz ausserhalb des reellen Intervalls wird nichts

+ausgesagt.

+Die Approximation mit Bernstein-Polynomen ist daher nur sinnvoll,

+wenn man weiss, dass die Eigenwerte der Matrix reell sind, was im

+wesentlichen auf diagonalisierbare Matrizen führt.

+

+Für ein anderes Interval $[a,b]$ kann man ein Approximationspolynom

+erhalten, indem man die affine Transformation

+$s\mapsto (s-a)/(b-a)$

+von $[a,b]$ auf $[0,1]$

+verwendet. 

+

+%

+% Der Satz von Stone-Weierstrass

+%

+\subsection{Der Satz von Stone-Weierstrasss

+\label{buch:subsetion:stone-weierstrass}}

+Der Satz von Stone-Weierstrass behandelt im Gegensatz zu den in

+Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}

+besprochenen Approximationsmethoden nicht nur Funktionen von

+reellen Variablen durch Polynome.

+Vielmehr kann das Definitionsgebiet irgend eine abgeschlossene

+und beschränkte Teilmenge eines reellen oder komplexen Vektorraumes

+sein und die Funktionen können Polynome aber auch viel allgemeinere

+Funktionen verwendet werden, wie zum Beispiel die Funktionen

+$x\mapsto \cos nx$ und $x\mapsto \sin nx$ definiert auf dem

+Intervall $[0,2\pi]$.

+In diesem Fall liefert der Satz von Stone-Weierstrass die Aussage,

+dass sich jede stetige periodische Funktion gleichmässig durch

+trigonometrische Polynome approximieren lässt.

+

+Die Aussage des Satz von Stone-Weierstrass über reelle Funktionen

+lässt sich nicht auf komplexe Funktionen erweitern.

+Von besonderem Interesse ist jedoch, dass der Beweis des Satz 

+zeigt, warum solche Aussagen für komplexe Funktionen nicht mehr

+zutreffen.

+Im Falle der Approximation von komplexen Funktionen $f(z)$ durch Polynome

+zwecks Definition von $f(A)$ werden sich daraus Bedingungen an die

+Matrix ableiten lassen, die eine konsistente Definition überhaupt

+erst ermöglichen werden.

+

+\subsubsection{Punkte trennen}

+Aus den konstanten Funktionen lassen sich durch algebraische

+Operationen nur weitere konstante Funktionen erzeugen.

+Die konstanten Funktionen sind also nur dann eine genügend

+reichhaltige Menge, wenn die Menge $K$ nur einen einzigen Punkt

+enthält.

+Damit sich Funktionen approximieren lassen, die in zwei Punkten

+verschiedene Werte haben, muss es auch unter den zur Approximation

+zur Verfügung stehenden Funktionen solche haben, deren Werte sich

+in diesen Punkten unterscheiden.

+Diese Bedingung wird in der folgenden Definition formalisiert.

+

+\begin{definition}

+Sei $K$ eine beliebige Menge und $A$ eine Menge von Funktionen

+$K\to \mathbb{C}$.

+Man sagt, $A$ {\em trennt die Punkte von $K$}, wenn es für jedes Paar

+\index{Punkte trennen}%

+von Punkten $x,y\in K$ eine Funktion $f\in A$ gibt derart, dass

+$f(x)\ne f(y)$.

+\end{definition}

+

+Man kann sich die Funktionen $f$, die gemäss dieser Definition die Punkte

+von $K$ trennen, als eine Art Koordinaten der Punkte in $K$ vorstellen.

+Die Punkte der Teilmenge $K\subset \mathbb{R}^n$ werden zum Beispiel

+von den Koordinatenfunktionen $x\mapsto x_i$ getrennt.

+Wir schreiben für die $i$-Koordinate daher auch als Funktion $x_i(x)=x_i$.

+Zwei verschiedene Punkte $x,y\in K$ unterscheiden sich in mindestens

+einer Koordinate.

+Für diese Koordinate sind dann die Werte der zugehörigen

+Koordinatenfunktion $x_i=x_i(x)\ne x_i(y)=y_i$ verschieden, die

+Funktionen $x_1(x)$ bis $x_n(x)$ trennen also die Punkte.

+

+\begin{beispiel}

+Wir betrachten einen Kreis in der Ebene, also die Menge

+\[

+S^1

+=

+\{(x_1,x_2)\;|\; x_1^2 + x_2^2=1\}

+\]

+$S^1$ ist eine abgeschlossene und beschränkte Menge in $\mathbb{R}^2$.

+Die Funktion $x\mapsto x_1$ trennt die Punkte nicht, denn zu jedem

+Punkt $(x_1,x_2)\in S^2$ gibt es den an der ersten Achse

+gespiegelten Punkt $\sigma(x)=(x_1,-x_2)$, dessen erste Koordinate

+den gleichen Wert hat.

+Ebenso trennt die Koordinatenfunktion $x\mapsto x_2$ die Punkte nicht.

+Die Menge $A=\{ x_1(x), x_2(x)\}$ bestehend aus den beiden

+Koordinatenfunktionen trennt dagegen die Punkte von $S^1$, da die Punkte

+sich immer in mindestens einem Punkt unterscheiden.

+

+Man könnte auch versuchen, den Kreis in Polarkoordinaten zu beschreiben.

+Die Funktion $\varphi(x)$, die jedem Punkt $x\in S^1$ den Polarwinkel

+zuordnet, trennt sicher die Punkte des Kreises.

+Zwei verschiedene Punkte auf dem Kreis haben verschieden Polarwinkel.

+Die Menge $\{\varphi\}$ trennt also die Punkte von $S^1$.

+Allerdings ist die Funktion nicht stetig, was zwar der Definition

+nicht widerspricht aber ein Hindernis für spätere Anwendungen ist.

+\end{beispiel}

+

+

+\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für reelle Funktionen}

+Die Beispiele von Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}

+haben bezeigt, dass sich reellwertige Funktionen einer reellen

+Variable durch Polynome beliebig genau approximieren lassen.

+Es wurde sogar eine Methode vorgestellt, die eine auf einem Intervall

+gleichmässig konvergente Polynomefolge produziert.

+Die Variable $x\in[a,b]$ trennt natürlich die Punkte, die Algebra der

+Polynome in der Variablen $x$ enthält also sicher Funktionen, die in

+verschiedenen Punkten des Intervalls auch verschiedene Werte annehmen.

+Nicht ganz so selbstverständlich ist aber, dass sich daraus bereits

+ergibt, dass jede beliebige Funktion sich als Polynome in $x$

+approximieren lässt.

+Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes von Stone-Weierstrass.

+

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf}

+\caption{Konstruktion einer monoton wachsenden Approximationsfolge für

+$\sqrt{a}$

+\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}}

+\end{figure}

+

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf}

+\caption{Monoton wachsende Approximation der Funktion $t\mapsto\sqrt{t}$ mit 

+Polynomen $u_n(t)$ nach 

+\eqref{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation}

+(links) und der Fehler der Approximation

+(rechts).

+\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation}}

+\end{figure}

+

+\begin{satz}[Stone-Weierstrass]

+\label{buch:satz:stone-weierstrass}

+Enthält eine $\mathbb{R}$-Algebra $A$ von stetigen, rellen Funktionen

+auf einer kompakten Menge $K$ die konstanten Funktionen und trennt sie

+Punkte, d.~h.~für zwei verschiedene Punkte $x,y\in K$ gibt es

+immer eine Funktion $f\in A$ mit $f(x)\ne f(y)$, dann ist jede stetige,

+reelle Funktion auf $K$ gleichmässig approximierbar durch Funktionen 

+in $A$.

+\end{satz}

+

+Für den Beweis des Satzes wird ein Hilfsresultat benötigt, welches wir

+zunächst ableiten.

+Es besagt, dass sich die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$

+auf dem Interval $[0,1]$ gleichmässig

+von unten durch Polynome approximieren lässt, die in

+Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation} dargestellt

+sind.

+

+\begin{satz}

+Die rekursiv definierte Folge von Polynomen

+\begin{equation}

+u_{n+1}(t)

+=

+u_n(t) + \frac12(t-u_n(t)^2),

+\qquad

+u_0(t)=0

+\label{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation}

+\end{equation}

+ist monoton wachsend und approximiert die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$

+gleichmässig auf dem Intervall $[0,1]$.

+\end{satz}

+

+\begin{figure}

+\centering

+\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/minmax.pdf}

+\caption{Graphische Erklärung der

+Identitäten~\eqref{buch:eigenwerte:eqn:minmax} für

+$\max(f(x),g(x))$ und $\min(f(x),g(x))$.

+Die purpurrote Kurve stellt den Mittelwert von $f(x)$ und $g(x)$ dar,

+die vertikalen grünen Linien haben die Länge der Differenz $|f(x)-g(x)|$.

+Das Maximum erhält man, indem man den halben Betrag der Differenz zum

+Mittelwert hinzuaddiert, das Minimum erhält man durch Subtraktion

+der selben Grösse.

+\label{buch:eigenwerte:fig:minmax}}

+\end{figure}

+

+\begin{proof}[Beweis]

+Wer konstruieren zunächst das in

+Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}

+visualierte Verfahren, mit dem für jede Zahl $a\in[0,1]$

+die Wurzel $\sqrt{a}$ berechnet werden kann.

+Sei $u < \sqrt{a}$ eine Approximation der Wurzel.

+Die Approximation ist der exakte Wert der Lösung, wenn $a-u^2=0$.

+In jedem anderen Fall muss $u$ um einen Betrag $d$ vergrössert werden.

+Natürlich muss immer noch $u+d<\sqrt{a}$ sein.

+Man kann die maximal zulässige Korrektur $d$ geometrisch abschätzen,

+wie dies in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}

+skizziert ist.

+Die maximale Steigung des Graphen der Funktion $u\mapsto u^2$ ist $2$,

+daher darf man $u$ maximal um die Hälfte der Differenz $a-u^2$ (grün)

+vergrössern, also $d=\frac12(a-u^2)$.

+Die Rekursionsformel

+\[

+u_{n+1} = u_n + d = u_n + \frac12(a-u_n^2)

+\]

+mit dem Startwert $u_0=0$ liefert daher eine 

+Folge, die gegen $\sqrt{a}$ konvergiert.

+\end{proof}

+

+\begin{proof}[Beweis des Satzes von Stone-Weierstrass]

+Da $A$ eine Algebra ist, ist mit jeder Funktion $f\in A$ für jedes Polynome

+$p\in\mathbb{R}[X]$ auch $p(f)$ eine Funktion in $A$.

+\begin{enumerate}

+\item Schritt: Für jede Funktion $f\in A$ lässt sich auch $|f|$ durch

+Funktionen in $A$ beliebig genau durch eine monoton wachsende Folge

+von Funktionen approximieren.

+

+Da $A$ eine Algebra ist, ist $f^2\in A$.

+Sei ausserdem $m^2=\sup \{f(x)^2\;|\;x\in K\}$, so dass $f^2/m^2$ eine Funktion

+mit Werten im Intervall $[0,1]$ ist.

+Die Funktionen $f_n(x)=mu_n(f(x)^2/m^2)$ sind ebenfalls in $A$ und

+approximieren gleichmässig $\sqrt{f(x)^2}=|f(x)|$.

+\item Schritt: Für zwei Funktionen $f,g\in A$ gibt es eine monoton wachsende

+Folge, die $\max(f,g)$ gleichmässig beliebig genau approximiert

+und eine monoton fallende Folge, die $\min(f,g)$ gleichmässig beliebig 

+genau approximiert.

+

+

+Diese Folgen können aus der Approximationsfolge für den Betrag einer

+Funktion und den Identitäten

+\begin{equation}

+\begin{aligned}

+\max(f,g) &= \frac12(f+g+|f-g|) \\

+\min(f,g) &= \frac12(f+g-|f-g|) 

+\end{aligned}

+\label{buch:eigenwerte:eqn:minmax}

+\end{equation}

+gefunden werden, die in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:minmax}

+graphisch erklärt werden.

+\item Schritt: Zu zwei beliebigen Punkten $x,y\in K$ und Werten

+$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gibt es immer eine Funktion in $A$,

+die in den Punkten $x,y$ die vorgegebenen Werte $\alpha$ bzw.~$\beta$

+annimmt.

+Da $A$ die Punkte trennt, gibt es eine Funktion $f_0$ mit $f_0(x)\ne f_0(y)$.

+Dann ist die Funktion

+\[

+f(t)

+=

+\beta + \frac{f_0(t)-f_0(y)}{f_0(x)-f_0(y)}(\alpha-\beta)

+\]

+wohldefiniert und nimmt die verlangten Werte an.

+\item Schritt: Zu jeder stetigen Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$, jedem

+Punkt $x\in K$ und jedem $\varepsilon>0$ gibt es eine Funktion $g\in A$ derart,

+dass $g(x)=f(x)$ und $g(y) \le f(y)+\varepsilon$ für alle $y\in K$.

+

+Zu jedem $z\in K$ gibt es eine Funktion in $A$ mit

+$h_z(x)=f(x)$ und $h_z(z) \le f(z)+\frac12\varepsilon$.

+Wegen der Stetigkeit von $h_z$ gibt es eine Umgebung $V_z$ von $z$, in der

+immer noch gilt $h_z(y)\le f(y)+\varepsilon$ für $y\in V_z$.

+Wegen der Kompaktheit von $K$ kann man endlich viele Punkte $z_i$ wählen

+derart, dass die $V_{z_i}$ immer noch $K$ überdecken.

+Dann erfüllt die Funktion

+\(

+g(z) = \inf h_{z_i}

+\)

+die Bedingungen $g(x) = f(x)$ und für $z\in V_{z_i}$

+\[

+g(z) = \inf_{j} h_{z_j}(z) \le h_{z_i}(z) \le f(z)+\varepsilon.

+\]

+Ausserdem ist $g(z)$ nach dem zweiten Schritt beliebig genau durch

+Funktionen in $A$ approximierbar.

+\item Schritt: Jede stetige Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$ kann

+beliebig genau durch Funktionen in $A$ approximiert werden.

+Sei $\varepsilon > 0$.

+

+Nach dem vierten Schritt gibt es für jedes $y\in K$ eine Funktion $g_y$

+derart, dass $g_y(y)=f(y)$  und $g_y(x) \le f(x) + \varepsilon$ für

+$x\in K$.

+Da $g_y$ stetig ist, gilt ausserdem $g_y(x) \ge f(x) -\varepsilon$ in

+einer Umgebung $U_y$ von $y$.

+Da $K$ kompakt ist, kann man endlich viele $y_i$ derart, dass die $U_{y_i}$

+immer noch ganz $K$ überdecken.

+Die Funktion $g=\sup g_{y_i}$ erfüllt dann überall $g(x) \le f(x)+\varepsilon$,

+weil jede der Funktionen $g_y$ diese Ungleichung erfüllt.

+Ausserdem gilt für $x\in V_{x_j}$

+\[

+g(x) = \sup_i g_{x_i}(x) \ge g_{x_j}(x) \ge f(x)-\varepsilon.

+\]

+Somit ist

+\[

+|f(x)-g(x)| \le \varepsilon.

+\]

+Damit ist $f(x)$ beliebig nahe an der Funktion $g(x)$, die sich 

+beliebig genau durch Funktionen aus $A$ approximieren lässt.

+\qedhere

+\end{enumerate}

+\end{proof}

+

+Im ersten Schritt des Beweises ist ganz entscheidend, dass man die

+Betragsfunktion konstruieren kann.

+Daraus leiten sich dann alle folgenden Konstruktionen ab.

+

+\subsubsection{Anwendung auf symmetrische und hermitesche Matrizen}

+Für symmetrische und hermitesche Matrizen $A$ ist bekannt, dass die

+Eigenwerte reell sind, also das Spektrum $\operatorname{A}\subset\mathbb{R}$

+ist.

+Für eine Funktion $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ lässt sich nach dem

+Satz~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} immer eine Folge $p_n$ von

+approximierenden Polynomen in $x$ finden, die auf $\operatorname{Sp}(A)$

+gleichmässig konvergiert.

+Die Matrix $f(A)$ kann dann definiert werden also der Grenzwert

+\[

+f(A) = \lim_{n\to\infty} p_n(A).

+\]

+Da diese Matrizen auch diagonalisierbar sind, kann man eine Basis

+aus Eigenvektoren verwenden.

+Die Wirkung von $p_n(A)$ auf einem Eigenvektor $v$ zum Eigenwert $\lambda$

+ist

+\[

+p_n(A)v

+=

+(a_kA^k + a_{k-1}A^{k-1}+\dots +a_2A^2+a_1A+a_0I)v

+=

+(a_k\lambda^k + a_{k-1}\lambda^{k-1}+\dots + a_2\lambda^2 + a_1\lambda + a_0)v

+=

+p_n(\lambda)v.

+\]

+Im Grenzwert wirkt $f(A)$ daher durch Multiplikation eines Eigenvektors

+mit $f(\lambda)$, die Matrix $f(A)$ hat in der genannten Basis die

+Diagonalform

+\[

+A=\begin{pmatrix}

+\lambda_1&         &      &         \\

+         &\lambda_2&      &         \\

+         &         &\ddots&         \\

+         &         &      &\lambda_n

+\end{pmatrix}

+\qquad\Rightarrow\qquad

+f(A)=\begin{pmatrix}

+f(\lambda_1)&            &      &            \\

+            &f(\lambda_2)&      &            \\

+            &            &\ddots&            \\

+            &            &      &f(\lambda_n)

+\end{pmatrix}.

+\]

+

+\begin{satz}

+\label{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz}

+Ist $A$ symmetrische oder selbstadjungiert Matrix und $f$ eine Funktion

+auf dem Spektrum $\operatorname{Sp}(A)$ von $A$.

+Dann gibt es genau eine Matrix $f(A)$, die Grenzwert jeder beliebigen

+Folge $p_n(A)$ für Polynomfolgen, die $\operatorname{Sp}(A)$ gleichmässig

+gegen $f$ konvergieren.

+\end{satz}

+

+\subsubsection{Unmöglichkeit der Approximation von $z\mapsto \overline{z}$

+in $\mathbb{C}[z]$}

+Der Satz~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} von Stone-Weierstrass für

+reelle Funktionen gilt nicht für komplexe Funktionen.

+In diesem Abschnitt zeigen wir, dass sich die Funktion $z\mapsto\overline{z}$

+auf der Einheitskreisscheibe $K=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|\le 1\}$ nicht

+gleichmässig durch Polynome $p(z)$ mit komplexen Koeffizienten approximieren

+lässt.

+

+Wäre eine solche Approximation möglich, dann könnte man $\overline{z}$

+auch durch eine Potenzreihe

+\[

+\overline{z}

+=

+\sum_{k=0}^\infty a_kz^k

+\]

+darstellen.

+Das Wegintegral beider Seiten über den Pfad $\gamma(t) = e^{it}$

+in der komplexen Ebene ist

+\begin{align*}

+\oint_\gamma z^k\,dz

+&=

+\int_0^{2\pi} e^{ikt} ie^{it}\,dt

+=

+i\int_0^{2\pi} e^{it(k+1)}\,dt

+=

+i\biggl[ \frac{1}{i(k+1)} e^{it(k+1)}\biggr]_0^{2\pi}

+=

+0

+\\

+\oint_\gamma

+\sum_{k=0}^\infty a_kz^k

+\,dz

+&=

+\sum_{k=0}^\infty a_k \oint_\gamma z^k\,dz

+=

+\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot 0

+=

+0

+\\

+\oint_\gamma \overline{z}\,dz

+&=

+\int_0^{2\pi} e^{it} ie^{it}\,dt

+=

+i\int_0^{2\pi} \,dt = 2\pi i,

+\end{align*}

+dabei wurde $\overline{\gamma}(t)=e^{-it}$ verwendet.

+Insbesondere widersprechen sich die beiden Integrale.

+Die ursprüngliche Annahmen, $\overline{z}$ lasse sich durch Polynome

+gleichmässig approximieren, muss daher verworfen werden.

+

+\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Funktionen}

+Der Satz von Stone-Weierstrass kann nach dem vorangegangene Abschnitt

+also nicht gelten.

+Um den Beweis des Satzes~\ref{buch:satz:stone-weierstrass}

+auf komplexe Zahlen zu übertragen, muss im ersten Schritt ein Weg

+gefunden werden, den Betrag einer Funktion zu approximieren.

+

+Im reellen Fall geschah dies, indem zunächst eine Polynom-Approximation

+für die Quadratwurzel konstruiert wurde, die dann auf das Quadrat einer

+Funktion angewendet wurde.

+Der Betrag einer komplexen Zahl $z$ ist aber nicht allein aus $z$

+berechenbar, man braucht in irgend einer Form Zugang zu Real-

+und Imaginärteil.

+Zum Beispiel kann man Real- und Imaginärteil als

+$\Re z= \frac12(z+\overline{z})$ und $\Im z = \frac12(z-\overline{z})$

+bestimmen.

+Kenntnis von Real- und Imaginärteil ist als gleichbedeutend mit

+der Kenntnis der komplex Konjugierten $\overline{z}$.

+Der Betrag lässt sich daraus als $|z|^2 = z\overline{z}$ finden.

+Beide Beispiele zeigen, dass man den im Beweis benötigten Betrag

+nur dann bestimmen kann, wenn mit jeder Funktion aus $A$ auch die

+komplex konjugierte Funktion zur Verfügung steht.

+

+\begin{satz}[Stone-Weierstrass]

+Enthält eine $\mathbb{C}$-Algebra $A$ von stetigen, komplexwertigen

+Funktionen auf einer kompakten Menge $K$ die konstanten Funktionen,

+trennt sie Punkte und ist ausserdem mit jeder Funktion $f\in A$ auch

+die komplex konjugiert Funktion $\overline{f}\in A$,

+dann lässt sich jede stetige, komplexwertige Funktion 

+auf $K$ gleichmässig durch Funktionen aus $A$ approximieren.

+\end{satz}

+

+Mit Hilfe der konjugiert komplexen Funktion lässt sich immer eine

+Approximation für die Betragsfunktion finden, so dass sich der

+Beweis des reellen Satzes von Stone-Weierstrass übertragen lässt.

+

+%

+% Normale Matrizen

+%

+\subsection{Normale Matrizen

+\label{buch:subsection:normale-matrizen}}

+Aus dem Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Matrizen kann man

+jetzt einen Spektralsätze für eine etwas grössere Klasse von Matrizen

+ableiten, als im Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz}

+möglich war.

+Der Satz besagt, dass für eine beliebige Funktion $f$ auf dem Spektrum

+$\operatorname{Sp}(A)$ eine Folge von auf $\operatorname{Sp}(A)$

+gleichmässig konvergenten, approximierenden Polynomen

+$p_n(z,\overline{z})$ gefunden werden kann.

+Doch wie soll jetzt aus dieser Polynomfolge ein Kandidat von $f(A)$

+gefunden werden?

+

+Zunächst stellt sich die Frage, was für die Variable $\overline{z}$ 

+eingesetzt werden soll.

+$1\times 1$-Matrizen sind notwendigerweise diagonal, also muss 

+man in diesem Fall die Matrix $\overline{A}$ für die Variable

+$\overline{z}$ eingesetzt werden.

+Dies erklärt aber noch nicht, wie für $n\times n$-Matrizen

+vorzugehen ist, wenn $n>1$ ist.

+

+Die Notwendigkeit, die Variable $\overline{z}$ hinzuzunehmen

+ergab sich aus der Anforderung, dass der Betrag aus $|z|^2=z\overline{z}$

+konstruiert werden können muss.

+Insbesondere muss beim Einsetzen eine Matrix entstehen, die nur 

+positive Eigenwerte hat.

+Für eine beliebige komplexe $n\times n$-Matrix $A$ ist aber

+$A\overline{A}$ nicht notwendigerweise positiv, wie das Beispiel

+\[

+A

+=

+\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}

+\qquad

+\Rightarrow

+\qquad

+A\overline{A}

+=

+\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}

+=

+\begin{pmatrix}

+-1&0\\

+ 0&-1

+\end{pmatrix}

+=

+-I

+\]

+zeigt.

+Eine positive Matrix entsteht dagegen immer, wenn man statt

+$A$ die Adjungierte $A^*=\overline{A}^t$ verwendet.

+

+Die Substitution von $A$ für $z$ und $A^*$ für $\overline{z}$

+in einem Polynom $p(z,\overline{z})$ ist nicht unbedingt eindeutig.

+Schon das Polynom $p(z,\overline{z})=z\overline{z}$ kann man auch

+als $\overline{z}z$ schreiben.

+Damit die Substition eindeutig wird, muss man also fordern, dass

+$AA^* = A^*A$ ist.

+

+\begin{definition}

+Eine Matrix $A\in M_n(\mathbb{C})$ heisst {\em normal}, wenn $AA^*=A^*A$ gilt.

+\end{definition}

+

+\subsubsection{Beispiele normaler Matrizen}

+

+\begin{enumerate}

+\item

+Hermitesche und Antihermitesche Matrizen sind normal, denn solche

+Matrizen erfüllen $A^*=\pm A$ und damit

+\(

+AA^* = \pm A^2 = A^*A.

+\)

+\item

+Symmetrische und antisymmetrische Matrizen sind normal,

+denn aus $A=A^t$ folgt $A^*=\overline{A}^t$ und damit

+\begin{align*}

+AA^* &=  A\overline{A}^t = 

+\\

+A^*A &=

+\end{align*}

+\item

+Unitäre Matrizen $U$ sind normal, das $UU^*=I=U^*U$ gilt.

+\item

+Orthogonale Matrizen sind normal wegen $O(n) = U(n) \cap M_n(\mathbb{R})$.

+\end{enumerate}

+

+Jede Matrix lässt sich durch Wahl einer geeigneten Basis in Jordansche 

+Normalform bringen.

+Allerdings sind Jordan-Blöcke keine normalen Matrizen, wie der folgende

+Satz zeigt.

+

+\begin{satz}

+Eine Dreiecksmatrix ist genau dann normal, wenn sie diagonal ist.

+\end{satz}

+

+\begin{proof}[Beweis]

+Sei $A$ eine obere Dreiecksmatrix, das Argument für eine untere Dreiecksmatrix

+funktioniert gleich.

+Wir berechnen ein Diagonalelement für beide Produkte $AA^*$ und $A^*A$.

+Dazu brauchen wir die Matrixelemente von $A$ und $A^*$.

+Bezeichnen wir die Matrixelemente von $A$ mit $a_{ij}$, dann hat $A^*$

+die Matrixelemente $(A^*)_{ij}=\overline{a}_{ji}$.

+Damit kann man die Diagonalelemente der Produkte als

+\begin{align*}

+(AA^*)_{ii}

+&=

+\sum_{j=1}^n a_{ij}\overline{a}_{ij}

+=

+\sum_{j=i}^n |a_{ij}|^2

+\\

+(A^*A)_{ii}

+&=

+\sum_{j=1}^n \overline{a}_{ji}a_{ji}

+=

+\sum_{j=1}^i |a_{ji}|^2

+\end{align*}

+ausrechnen.

+Der obere Ausdruck ist die quadrierte Länge der Zeile $i$ der Matrix $A$,

+der untere ist die quadrierte Länge der Spalte $i$.

+Da die Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist, hat die erste Spalte höchstens

+ein einziges von $0$ verschiedenes Element.

+Daher kann auch die erste Zeile höchstens dieses eine Elemente haben.

+Die Matrix hat daher Blockstruktur mit einem $1\times 1$-Block in der

+linken obere Ecke und einem  $n-1$-dimensionalen Block für den Rest.

+Durch Wiederholen des Arguments für den $(n-1)\times (n-1)$-Block 

+kann man so schrittweise schliessen, dass die Matrix $A$ diagonal sein muss.

+\end{proof}

+

+

+\begin{satz}

+Sind $A$ und $B$ normale Matrizen und $AB^*=B^*A$, dann sind auch $A+B$

+und $AB$ normal.

+\end{satz}

+

+\begin{proof}[Beweis]

+Zunächst folgt aus $AB^*=B^*A$ auch

+$A^*B = (B^*A)^* = (AB^*)^* = BA^*$.

+Der Beweis erfolgt durch Nachrechnen:

+\begin{align*}

+(A+B)(A+B)^*

+&=

+AA^* + AB^* + BA^*+BB^*

+\\

+(A+B)^*(A+B)

+&=

+A^*A + A^*B + B^*A + B^*B

+\end{align*}

+Die ersten und letzten Terme auf der rechten Seite stimmen überein, weil

+$A$ und $B$ normal sind.

+Die gemischten Terme stimmen überein wegen der Vertauschbarkeit von

+$A$ und $B^*$.

+

+Für das Produkt rechnet man

+\begin{align*}

+(AB)(AB)^*

+&= ABB^*A^* = AB^*BA^*

+= B^*AA^*B

+=

+B^*A^*AB

+=

+(AB)^*(AB),

+\end{align*}

+was zeigt, dass auch $AB$ normal ist.

+\end{proof}

+

+\subsubsection{Äquivalente Bedingungen}

+Es gibt eine grosse Zahl äquivalenter Eigenschaften für normale Matrizen.

+Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:

+\begin{enumerate}

+\item

+Die Matrix $A$ ist mit einer unitären Matrix diagonalisierbar

+\item

+Es gibt eine orthonormale Basis von Eigenvektoren von $A$ für $\mathbb{C}^n$

+\item

+Für jeden Vektor $x\in\mathbb{C}^n$ gilt $\|Ax\|=\|A^*x\|$

+\item

+Die Forbenius-Norm der Matrix $A$ kann mit den Eigenwerten $\lambda_i$

+von $A$ berechnet werden:

+$\operatorname{Spur}(A^*A) = \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2$

+\item

+Der hermitesche Teil $\frac12(A+A^*)$ und der antihermitesche Teil

+$\frac12(A-A^*)$ von $A$ vertauschen.

+\item

+$A^*$ ist ein Polynom vom Grad $n-1$ in $A$.

+\item

+Es gibt eine unitäre Matrix $U$ derart, dass $A^*=AU$

+\item

+Es gibt eine Polarzerlegugn $A=UP$ mit einer unitären Matrix $U$ und

+einer postiv semidefiniten Matrix $P$, die untereinander vertauschen.

+\item

+Es gibt eine Matrix $N$ mit verschiedenen Eigenwerten, mit denen $A$

+vertauscht.

+\item

+Wenn $A$ die (absteigend geordneten) singulärwerte $\sigma_i$ und

+die absteigend geordneten Eigenwerte $\lambda_i$ hat,

+dann it $\sigma_i=|\lambda_i|$.

+\end{enumerate}

+

+

+

+