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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex
index ffc452b..69618a9 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex
@@ -213,6 +213,24 @@ Somit können sich $\mathcal{K}^i(A)$ und $\mathcal{J}^i(A)$ für $i>n$
 nicht mehr ändern.
 \end{proof}
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.pdf}
+\caption{Entwicklung der Dimension von $\dim\mathcal{K}^k(A)$ (grün)
+und $\dim\mathcal{J}^k(A)$ (orange) in Abhängigkeit vom Exponenten $k$.
+Für $k\ge l$ ändern sich die Dimensionen nicht mehr, $A$ eingeschränkt
+auf $\mathcal{J}^l(A)=\mathcal{J}(A)$ ist injektiv.
+\label{buch:eigenwerte:fig:dimjk}}
+\end{figure}
+
+Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:dimjk} zeigt die Abhängigkeit der
+Dimensionen $\dim\mathcal{K}^k(A)$ und $\dim\mathcal{J}^k(A)$ von $k$.
+Die Dimension $\dim\mathcal{J}^k(A)$ nimmt ab bis zu $k=l$, danach ändert
+sie sich nicht mehr und die Einschränkung von $A$ auf $\mathcal{J}^l(A)$ 
+ist injektiv.
+Die Dimension $\dim\mathcal{K}^k(A)$ nimmt zu bis zu $k=l$, danach
+ändert sie sich nicht mehr.
+
 \begin{definition}
 \label{buch:eigenwerte:def:KundJ}
 Die gemäss Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:ketten} identischen Unterräume
@@ -228,6 +246,7 @@ $\mathcal{J}^i(A)$ für $i\ge k$ werden mit
 bezeichnet.
 \end{definition}
 
+
 %
 % Inveriante Unterräume
 %
@@ -399,6 +418,7 @@ Mit vollständiger Induktion folgt, dass $a_{ij}^s=0$ für $i+s>j$.
 Insbesondere ist $A^n=0$, die Matrix $A$ ist nilpotent.
 \end{beispiel}
 
+
 Man kann die Konstruktion der Unterräume $\mathcal{K}^i(A)$ weiter
 dazu verwenden, eine Basis zu finden, in der eine nilpotente Matrix
 eine besonders einfach Form erhält.
@@ -487,6 +507,178 @@ Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:allgnilpotent} kann man in
 $\mathcal{K}(A)$ eine Basis so wählen, dass die Matrix die Blockform
 \eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} erhält.
 
+
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf}
+\caption{Entwicklung der Dimensionen von Kern und Bild von $A^k$ in
+Abhängigkeit von $k$
+\label{buch:eigenwte:fig:jknilp}}
+\end{figure}
+
+\begin{beispiel}
+In der Abbildung~\ref{buch:eigenwte:fig:jknilp} sind die Dimensionen
+von Kern und Bild der Matrix
+\[
+\setcounter{MaxMatrixCols}{12}
+A=\begin{pmatrix}
+0& & & & & & & & & & & \\
+ &0& & & & & & & & & & \\
+ & &0& & & & & & & & & \\
+ & & &0& & & & & & & & \\
+ & & & &0&1& & & & & & \\
+ & & & & &0& & & & & & \\
+ & & & & & &0&1& & & & \\
+ & & & & & & &0&1& & & \\
+ & & & & & & & &0&1& & \\
+ & & & & & & & & &0&1& \\
+ & & & & & & & & & &0&
+\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt.
+Die Matrix $A^k$ ist in den kleinen Quadraten am unteren Rand der Matrix
+symbolisch dargestellt.
+Grüne Spalten bestehen aus lauter Nullen, die zugehörigen
+Standardbasisvektoren werden von diesem $A^k$ auf $0$ abgebildet.
+Die orangen Felder enthalten Einsen, die entsprechenden Standardbasisvektoren
+bilden daher eine Basis des Bildes von $A^k$.
+\end{beispiel}
+
+%
+% Basis für die Jordan-Normalform einer nilpotenten Matrix
+%
+\subsection{Basis für die Normalform einer nilpotenten Matrix bestimmen
+\label{buch:subsection:normalform-einer-nilpotenten-matrix}}
+Die Zerlegung in die invarianten Unterräume $\mathcal{J}^k(f)$ und
+$\mathcal{K}^k(f)$ ermöglichen, eine Basis zu finden, in der die
+Matrix von $f$ die Blockform \eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent}
+hat.
+In diesem Abschnitt soll die Konstruktion einer solchen Basis
+etwas ausführlicher beschrieben werden.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/normalform.pdf}
+\caption{Konstruktion der Basis für die Jordansche Normalform einer
+nilpotenten Matrix.
+Die Vektoren werden in der Reihenfolge von rechts nach links in die
+Matrix gefüllt.
+\label{buch:eigenwerte:fig:normalform}}
+\end{figure}
+
+Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:normalform} illustriert den Prozess
+an einer nilpotenten Matrix $A$ mit $A^3=0$
+Die vertikalen Rechtecke im linken Teil der Abbildung symbolisieren
+die Unterräume $\mathcal{K}^k(A)$.
+Es ist bekannt, dass $\mathcal{K}^k(A) \subset \mathcal{K}^{k+1}(A)$ ist,
+die Einbettung wird in der Abbildung durch graue Rechtecke dargestellt.
+Es sei wieder $l$ der Exponent, für den $\mathcal{K}^l(A)=\Bbbk^n$ wird.
+Da $\mathcal{K}^{l-1}(A)\ne \mathcal{K}^l(A)$ ist, muss es einen
+komplementären Unterraum geben, in dem eine Basis gewählt wird.
+Jeder der Vektoren $b_1,\dots,b_s$ dieser Basis gibt Anlass zu einem
+Block der Form $N_l$, der auf dem Unterraum 
+$\langle b_i,Ab_i,\dots,A^{l-1}b_i\rangle$ operiert.
+In der Abbildung ist $b_i$ durch einen roten Punkt symbolisiert und
+die Bilder $Ab_i,\dots,A^{l-1}b_i$ werden durch blaue Pfeile untereinander
+verbunden.
+
+Der Raum $\mathcal{K}^{l-1}(A)$ enthält dann $\mathcal{K}^{l-2}(A)$ und
+die Vektoren $Ab_1,\dots,Ab_s$.
+Es ist aber möglich, dass diese Vektoren nicht den ganzen Raum
+$\mathcal{K}^{l-1}(A)$ erzeugen.
+In diesem Fall lassen sich die Vektoren mit Hilfe weiterer Vektoren
+$b_{s+1},\dots,b_{s+r}$ zu einer Basisi von $\mathcal{K}^{l-1}(A)$
+ergänzen.
+Wie vorhin gibt jeder der Vektoren $b_{s+i}$ Anlass zu einem Block
+der Form $N_{l-1}$, der auf dem Unterraum
+$\langle b_{s+i},Ab_{s+i}\dots,A^{l-2}b_{s+i}\rangle$
+operiert.
+
+Durch Wiederholung dieses Prozesses können schrittweise Basisvektoren
+$b_i$ erzeugt werden.
+Die Matrix der Abbildung $f$ in der Basis $\{b_i,Ab_i,\dots,A^kb_i\}$
+ist ein Block der Form $N_k$.
+Für $0\le k\le l-1$ sind die Vektoren $A^kb_i$,
+solange sie von $0$ verschieden sind,
+alle nach Konstruktion linear unabhängig, sie bilden eine Basis
+von $\mathcal{K}^l(A)=\mathbb{R}^n$.
+
+\begin{beispiel}
+Die Basis für die Zerlegung der Matrix
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix*}[r]
+  3& 1&-2\\
+-21&-7&14\\
+ -6&-2& 4
+\end{pmatrix*}
+\]
+in Blockform soll nach der oben beschriebenen Methode ermittelt werden.
+Zunächst kann man nachrechnen, dass $A^2=0$ ist.
+Der Kern von $A$ ist der Lösungsraum der Gleichung $Ax=0$, da alle Zeilen
+Vielfache der ersten Zeile sind, recht es zu verlangen, dass die
+Komponenten $x_i$ der Lösung die Gleichung
+\[
+3x_1+x_2-2x_3=0
+\]
+erfüllen.
+Jetzt muss ein Vektor $b_1$ ausserhalb von $\mathbb{L}$ gefunden werden,
+der erste Standardbasisvektor $e_1$ kann dazu verwendet werden.
+Es ist auch klar, dass $Ae_1\ne 0$ ist.
+Wir verwenden daher die beiden Vektoren 
+\[
+b_3=e_1=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}
+,\qquad
+b_2=Ab_3=\begin{pmatrix*}[r] 3\\-21\\-6 \end{pmatrix*},
+\]
+in dieser Basis hat $A$ die Matrix $N_2$.
+Jetzt muss noch ein Basisvektor $b_1$ gefunden werden,
+der in $\ker A=\mathbb{L}$ liegt und so, dass $b_1$ und $b_2$ 
+linear unabhängig sind.
+Die zweite Bedingung kann leicht dadurch sichergestellt werden,
+dass man die erste Komponente von $b_1$ als $0$ wählt.
+Eine mögliche Lösung ist dann
+\[
+b_1=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}
+\]
+Die Matrix 
+\[
+B=\begin{pmatrix*}[r]
+ 0& 1&   3\\
+ 2& 0& -21\\
+ 1& 0&  -6
+\end{pmatrix*}
+\qquad\text{mit Inverser}
+\qquad
+B^{-1}=\begin{pmatrix*}[r]
+0&-\frac23& \frac73\\
+0&-\frac19& \frac29\\
+1& \frac13&-\frac23
+\end{pmatrix*}
+\]
+transformiert die Matrix $A$ auf den Block $N_3$:
+\[
+B^{-1}AB
+=
+B^{-1}\begin{pmatrix*}[r]
+0&0&  3\\
+0&0&-21\\
+0&0& -6
+\end{pmatrix*}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&1\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+N_3.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
 %
 % Begriff des Eigenwertes und Eigenvektors
 %
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
index 753153d..bec12d5 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
@@ -3,7 +3,9 @@
 #
 # (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rappersil
 #
-all:	sp.pdf   nilpotent.pdf kernbild.pdf kombiniert.pdf
+all:	sp.pdf nilpotent.pdf kernbild.pdf kombiniert.pdf \
+	wurzelapprox.pdf wurzel.pdf dimjk.pdf jknilp.pdf \
+	normalform.pdf
 
 sp.pdf:	sp.tex sppaths.tex
 	pdflatex sp.tex
@@ -19,3 +21,22 @@ kernbild.pdf:	kernbild.tex bild2.jpg kern2.jpg
 
 kombiniert.pdf:	kombiniert.tex kombiniert.jpg
 	pdflatex kombiniert.tex
+
+wurzelapprox.pdf:	wurzelapprox.tex wa.tex
+	pdflatex wurzelapprox.tex
+
+wa.tex:	wa.m
+	octave wa.m
+
+wurzel.pdf:	wurzel.tex
+	pdflatex wurzel.tex
+
+dimjk.pdf:	dimjk.tex
+	pdflatex dimjk.tex
+
+jknilp.pdf:	jknilp.tex
+	pdflatex jknilp.tex
+
+normalform.pdf:	normalform.tex
+	pdflatex normalform.tex
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fcfe4da
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.tex
new file mode 100644
index 0000000..28e0f9f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.tex
@@ -0,0 +1,78 @@
+%
+% dimjk.tex -- dimensionen von K^l und J^l
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1.2}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\pfad{
+        ({0*\sx},{6-6}) --
+        ({1*\sx},{6-4.5}) --
+        ({2*\sx},{6-3.5}) --
+        ({3*\sx},{6-2.9}) --
+        ({4*\sx},{6-2.6}) --
+        ({5*\sx},{6-2.4}) --
+        ({8*\sx},{6-2.4})
+}
+\def\sx{1.2}
+
+\fill[color=orange!20] \pfad -- ({6*\sx},6) -- (0,6) -- cycle;
+\fill[color=darkgreen!20] \pfad -- ({6*\sx},0) -- cycle;
+
+\fill[color=orange!40] ({5*\sx},6) rectangle ({8*\sx},{6-2.4});
+\fill[color=darkgreen!40] ({5*\sx},0) rectangle ({8*\sx},{6-2.4});
+
+\draw[color=darkgreen,line width=2pt] ({3*\sx},{6-6}) -- ({3*\sx},{6-2.9});
+\node[color=darkgreen] at ({3*\sx},{6-4.45}) [rotate=90,above] {$\dim\mathcal{K}^k(A)$};
+\draw[color=orange,line width=2pt] ({3*\sx},{6-0}) -- ({3*\sx},{6-2.9});
+\node[color=orange] at ({3*\sx},{6-1.45}) [rotate=90,above] {$\dim\mathcal{J}^k(A)$};
+
+\node[color=orange] at ({6.5*\sx},{6-1.2}) {bijektiv};
+\node[color=darkgreen] at ({6.5*\sx},{6-4.2}) {konstant};
+
+\fill ({0*\sx},{6-6}) circle[radius=0.08];
+\fill ({1*\sx},{6-4.5}) circle[radius=0.08];
+\fill ({2*\sx},{6-3.5}) circle[radius=0.08];
+\fill ({3*\sx},{6-2.9}) circle[radius=0.08];
+\fill ({4*\sx},{6-2.6}) circle[radius=0.08];
+\fill ({5*\sx},{6-2.4}) circle[radius=0.08];
+\fill ({6*\sx},{6-2.4}) circle[radius=0.08];
+\fill ({7*\sx},{6-2.4}) circle[radius=0.08];
+\fill ({8*\sx},{6-2.4}) circle[radius=0.08];
+
+\draw \pfad;
+
+\draw[->] (-0.5,0) -- ({8*\sx+0.5},0) coordinate[label={$k$}];
+\draw[->] (-0.5,6) -- ({8*\sx+0.5},6);
+
+\foreach \x in {0,...,8}{
+        \draw ({\x*\sx},-0.05) -- ({\x*\sx},0.05);
+}
+\foreach \x in {0,...,3}{
+        \node at ({\x*\sx},-0.05) [below] {$\x$};
+}
+\node at ({4*\sx},-0.05) [below] {$\dots\mathstrut$};
+\node at ({5*\sx},-0.05) [below] {$l$};
+\node at ({6*\sx},-0.05) [below] {$l+1$};
+\node at ({7*\sx},-0.05) [below] {$l+2$};
+\node at ({8*\sx},-0.05) [below] {$l+3$};
+
+\node[color=orange] at ({1.2*\sx},5.6)
+	{$\mathcal{J}^k(A)\supset\mathcal{J}^{k+1}(A)$};
+\node[color=darkgreen] at ({1.2*\sx},0.4)
+	{$\mathcal{K}^k(A)\subset\mathcal{K}^{k+1}(A)$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9293263
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.tex
new file mode 100644
index 0000000..e8e8e14
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.tex
@@ -0,0 +1,181 @@
+%
+% jknilp.tex -- Dimensionen von K^l und J^l für nilpotente Matrizen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\s{0.15}
+\def\punkt#1#2{({#1*\s},{#2*\s})}
+
+\def\vektor#1{
+	\fill[color=darkgreen!30] \punkt{#1}{0} rectangle \punkt{(#1+1)}{12};
+}
+\def\feld#1#2{
+	\fill[color=orange!60] ({#1*\s},{(12-#2)*\s}) rectangle
+		({(#1+1)*\s},{(11-#2)*\s});
+}
+
+\def\quadrat#1{
+	\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{12}{12};
+
+	\draw \punkt{0}{11} -- \punkt{2}{11} -- \punkt{2}{9} -- \punkt{4}{9}
+		-- \punkt{4}{6} -- \punkt{12}{6};
+
+	\draw \punkt{1}{12} -- \punkt{1}{10} -- \punkt{3}{10}
+		-- \punkt{3}{8} -- \punkt{6}{8} -- \punkt{6}{0};
+	\node at ({6*\s},0) [below] {#1\strut};
+}
+
+\begin{scope}[xshift=-0.9cm,yshift=-3cm]
+\foreach \n in {0,...,11}{
+	\feld{\n}{\n}
+}
+\quadrat{$A^0=I$}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=1.1cm,yshift=-3cm]
+\vektor{0}
+\vektor{1}
+\vektor{2}
+\vektor{3}
+\vektor{4}
+\vektor{6}
+\feld{5}{4}
+\feld{7}{6}
+\feld{8}{7}
+\feld{9}{8}
+\feld{10}{9}
+\feld{11}{10}
+\quadrat{$A$}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3.1cm,yshift=-3cm]
+\vektor{0}
+\vektor{1}
+\vektor{2}
+\vektor{3}
+\vektor{4}
+\vektor{5}
+\vektor{6}
+\vektor{7}
+\feld{8}{6}
+\feld{9}{7}
+\feld{10}{8}
+\feld{11}{9}
+\quadrat{$A^2$}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=5.1cm,yshift=-3cm]
+\vektor{0}
+\vektor{1}
+\vektor{2}
+\vektor{3}
+\vektor{4}
+\vektor{5}
+\vektor{6}
+\vektor{7}
+\vektor{8}
+\feld{9}{6}
+\feld{10}{7}
+\feld{11}{8}
+\quadrat{$A^3$}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=7.1cm,yshift=-3cm]
+\vektor{0}
+\vektor{1}
+\vektor{2}
+\vektor{3}
+\vektor{4}
+\vektor{5}
+\vektor{6}
+\vektor{7}
+\vektor{8}
+\vektor{9}
+\feld{10}{6}
+\feld{11}{7}
+\quadrat{$A^4$}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=9.1cm,yshift=-3cm]
+\vektor{0}
+\vektor{1}
+\vektor{2}
+\vektor{3}
+\vektor{4}
+\vektor{5}
+\vektor{6}
+\vektor{7}
+\vektor{8}
+\vektor{9}
+\vektor{10}
+\feld{11}{6}
+\quadrat{$A^5$}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=11.1cm,yshift=-3cm]
+\vektor{0}
+\vektor{1}
+\vektor{2}
+\vektor{3}
+\vektor{4}
+\vektor{5}
+\vektor{6}
+\vektor{7}
+\vektor{8}
+\vektor{9}
+\vektor{10}
+\vektor{11}
+\quadrat{$A^6$}
+\end{scope}
+
+\def\pfad{
+	(0,0) -- (2,3) -- (4,4) -- (6,4.5) -- (8,5) -- (10,5.5) -- (12,6)
+}
+
+
+\fill[color=orange!20] \pfad -- (-1,6) -- (-1,0) -- cycle;
+\fill[color=darkgreen!20] \pfad -- (13,6) -- (13,0) -- cycle;
+\draw[line width=1.3pt] \pfad;
+
+\fill (0,0) circle[radius=0.08];
+\fill (2,3) circle[radius=0.08];
+\fill (4,4) circle[radius=0.08];
+\fill (6,4.5) circle[radius=0.08];
+\fill (8,5) circle[radius=0.08];
+\fill (10,5.5) circle[radius=0.08];
+\fill (12,6) circle[radius=0.08];
+
+\foreach \y in {0.5,1,...,5.5}{
+	\draw[line width=0.3pt] (-1.1,\y) -- (13.0,\y);
+}
+\foreach \y in {0,2,4,...,12}{
+	\node at (-1.1,{\y*0.5}) [left] {$\y$};
+}
+\foreach \x in {0,...,6}{
+	\draw ({2*\x},0) -- ({2*\x},-1.2);
+	\node at ({2*\x},-0.6) [above,rotate=90] {$k=\x$};
+}
+
+\draw[->] (-1.1,0) -- (13.4,0) coordinate[label={$k$}];
+\draw[->] (-1.1,6) -- (13.4,6);
+\draw[->] (-1.0,0) -- (-1.0,6.5);
+
+\node[color=darkgreen] at (8,1.95) [above] {$\dim \mathcal{K}^k(A)$};
+\node[color=orange] at (2,4.95) [above] {$\dim \mathcal{J}^k(A)$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c5bdb61
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.tex
new file mode 100644
index 0000000..f3cb532
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/normalform.tex
@@ -0,0 +1,214 @@
+%
+% normalform.tex -- Normalform einer Matrix ermitteln
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\b{0.025}
+
+\def\s{2.5}
+\def\t{0.7}
+\def\T{0.5}
+
+\fill[color=darkgreen!20]
+	({-3*\s-0.5*\t},{8*\t})
+	--
+	({-3*\s+0.5*\t},{8*\t})
+	--
+	({-2*\s-0.5*\t},{7*\t})
+	--
+	({-2*\s+0.5*\t},{7*\t})
+	--
+	({-1*\s-0.5*\t},{4*\t})
+	--
+	({-1*\s+0.5*\t},{4*\t})
+	--
+	({-0.5*\t},0)
+	--
+	({-3*\s-0.5*\t},{0*\t})
+	-- cycle;
+
+
+\fill[color=white,rounded corners=3pt]
+	({-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({0.5*\t+\b},{\b+0.15});
+\draw[rounded corners=3pt]
+	({-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({0.5*\t+\b},{\b+0.15});
+\node at (0,0) [below] {$\mathcal{K}^0(A)$};
+
+\fill[color=white,rounded corners=3pt]
+	({-1*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t+\b},{4*\t+\b});
+\draw[rounded corners=3pt]
+	({-1*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t+\b},{4*\t+\b});
+\fill[color=blue!20,rounded corners=2pt] 
+	({-1*\s-0.5*\t+\b},{1*\t+\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{3*\t-\b});
+\draw[color=blue!40,rounded corners=2pt] 
+	({-1*\s-0.5*\t+\b},{1*\t+\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{3*\t-\b});
+\fill[color=blue!20,rounded corners=2pt] 
+	({-1*\s-0.5*\t+\b},{3*\t+\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{4*\t-\b});
+\draw[color=blue!40,rounded corners=2pt] 
+	({-1*\s-0.5*\t+\b},{3*\t+\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{4*\t-\b});
+\fill[color=red!20,rounded corners=2pt]
+	({-1*\s-0.5*\t+\b},{\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{1*\t-\b});
+\draw[color=red,rounded corners=2pt]
+	({-1*\s-0.5*\t+\b},{\b}) rectangle ({-1*\s+0.5*\t-\b},{1*\t-\b});
+\fill[color=red] ({-1*\s},{0.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\fill[color=red,opacity=0.5] ({-1*\s},{1.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\fill[color=red,opacity=0.5] ({-1*\s},{2.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\fill[color=red,opacity=0.5] ({-1*\s},{3.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\node at ({-1*\s},0) [below] {$\mathcal{K}^1(A)$};
+
+\fill[color=white,rounded corners=3pt]
+	({-2*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t+\b},{7*\t+\b});
+\draw[rounded corners=3pt]
+	({-2*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t+\b},{7*\t+\b});
+\fill[color=gray!20,rounded corners=2pt]
+	({-2*\s-0.5*\t+\b},{+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{4*\t-\b});
+\draw[color=gray,rounded corners=2pt]
+	({-2*\s-0.5*\t+\b},{+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{4*\t-\b});
+\node[color=black!70] at ({-2*\s},{2*\t}) [rotate=90] {$\mathcal{K}^1(A)$};
+\fill[color=red!20,rounded corners=2pt]
+	({-2*\s-0.5*\t+\b},{4*\t+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{6*\t-\b});
+\draw[color=red,rounded corners=2pt]
+	({-2*\s-0.5*\t+\b},{4*\t+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{6*\t-\b});
+\fill[color=blue!20,rounded corners=2pt] 
+	({-2*\s-0.5*\t+\b},{6*\t+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{7*\t-\b});
+\draw[color=blue!40,rounded corners=2pt] 
+	({-2*\s-0.5*\t+\b},{6*\t+\b}) rectangle ({-2*\s+0.5*\t-\b},{7*\t-\b});
+\fill[color=red] ({-2*\s},{4.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\fill[color=red] ({-2*\s},{5.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\fill[color=red,opacity=0.5] ({-2*\s},{6.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\draw[->,color=blue,line width=1.2pt,shorten >= 0.15cm,shorten <= 0.15cm]
+	({-2*\s},{6.5*\t}) -- ({-1*\s},{3.5*\t});
+\draw[->,color=blue,line width=1.2pt,shorten >= 0.15cm,shorten <= 0.15cm]
+	({-2*\s},{5.5*\t}) -- ({-1*\s},{2.5*\t});
+\draw[->,color=blue,line width=1.2pt,shorten >= 0.15cm,shorten <= 0.15cm]
+	({-2*\s},{4.5*\t}) -- ({-1*\s},{1.5*\t});
+\node at ({-2*\s},0) [below] {$\mathcal{K}^2(A)$};
+
+\fill[color=white,rounded corners=3pt]
+	({-3*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t+\b},{8*\t+\b});
+\draw[rounded corners=3pt]
+	({-3*\s-0.5*\t-\b},{-\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t+\b},{8*\t+\b});
+\fill[color=gray!20,rounded corners=2pt]
+	({-3*\s-0.5*\t+\b},{+\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t-\b},{7*\t-\b});
+\draw[color=gray,rounded corners=2pt]
+	({-3*\s-0.5*\t+\b},{+\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t-\b},{7*\t-\b});
+\node[color=black!70] at ({-3*\s},{3.5*\t}) [rotate=90] {$\mathcal{K}^2(A)$};
+\fill[color=red!20,rounded corners=2pt]
+	({-3*\s-0.5*\t+\b},{7*\t+\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t-\b},{8*\t-\b});
+\draw[color=red,rounded corners=2pt]
+	({-3*\s-0.5*\t+\b},{7*\t+\b}) rectangle ({-3*\s+0.5*\t-\b},{8*\t-\b});
+\fill[color=red] ({-3*\s},{7.5*\t}) circle[radius=0.1];
+\draw[->,color=blue,line width=1.2pt,shorten >= 0.15cm,shorten <= 0.15cm]
+	({-3*\s},{7.5*\t}) -- ({-2*\s},{6.5*\t});
+\node at ({-3*\s},0) [below] {$\mathcal{K}^3(A)$};
+
+\def\xo{1}
+\def\yo{-1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	({\xo+(#1)*\T},{\yo-(#2)*\T})
+}
+
+\fill[color=red!20] \punkt{0}{0} rectangle \punkt{1}{8};
+\fill[color=red!20] \punkt{2}{0} rectangle \punkt{3}{8};
+\fill[color=red!20] \punkt{4}{0} rectangle \punkt{5}{8};
+\fill[color=red!20] \punkt{7}{0} rectangle \punkt{8}{8};
+
+\fill[color=blue!20] \punkt{2}{1} rectangle \punkt{3}{2};
+\fill[color=blue!20] \punkt{4}{3} rectangle \punkt{5}{4};
+\fill[color=blue!20] \punkt{6}{5} rectangle \punkt{7}{6};
+\fill[color=blue!20] \punkt{7}{6} rectangle \punkt{8}{7};
+
+\draw \punkt{0}{0} rectangle \punkt{8}{8};
+
+\draw[color=gray] \punkt{0}{1} -- \punkt{3}{1} -- \punkt{3}{5} -- \punkt{8}{5};
+\draw[color=gray] \punkt{1}{0} -- \punkt{1}{3} -- \punkt{5}{3} -- \punkt{5}{8};
+
+\draw[->,color=red]
+	({-3*\s+0.5*\t+\b},{7.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{7.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+7.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=blue]
+	({-2*\s+0.5*\t+\b},{6.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{6.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+6.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=blue]
+	({-1*\s+0.5*\t+\b},{3.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{3.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+5.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=red]
+	({-2*\s+0.5*\t+\b},{5.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{5.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+4.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=red]
+	({-2*\s+0.5*\t+\b},{4.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{4.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+2.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=blue]
+	({-1*\s+0.5*\t+\b},{2.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{2.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+3.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=red]
+	({-1*\s+0.5*\t+\b},{0.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{0.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+0.5*\T},{\yo});
+
+\draw[->,color=blue]
+	({-1*\s+0.5*\t+\b},{1.5*\t})
+	--
+	({0*\s+0.5*\t},{1.5*\t})
+	to[out=0,in=90]
+	({\xo+1.5*\T},{\yo});
+
+\node at \punkt{0.5}{0.5} {$0$};
+\node at \punkt{1.5}{1.5} {$0$};
+\node at \punkt{2.5}{2.5} {$0$};
+\node at \punkt{3.5}{3.5} {$0$};
+\node at \punkt{4.5}{4.5} {$0$};
+\node at \punkt{5.5}{5.5} {$0$};
+\node at \punkt{6.5}{6.5} {$0$};
+\node at \punkt{7.5}{7.5} {$0$};
+
+\node[color=blue] at \punkt{2.5}{1.5} {$1$};
+\node[color=blue] at \punkt{4.5}{3.5} {$1$};
+\node[color=blue] at \punkt{6.5}{5.5} {$1$};
+\node[color=blue] at \punkt{7.5}{6.5} {$1$};
+
+\node at \punkt{-0.5}{4} [left] {$A=$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wa.m b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wa.m
new file mode 100644
index 0000000..3d6d2c3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wa.m
@@ -0,0 +1,80 @@
+#
+# wa.m -- Wurzelapproximation
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global u;
+global N;
+global t;
+global s;
+
+N = 100;
+n = 10;
+s = 1;
+
+u = zeros(N + 2, n);
+t = (0:N+1)' / N;
+t = t.^2;
+
+for i = (2:n)
+	u(:,i) = u(:,i-1) + 0.5 * (t-u(:,i-1).^2);
+end
+
+u
+
+global f;
+f = fopen("wa.tex", "w");
+fprintf(f, "%%\n");
+fprintf(f, "%% Approximation der Wurzelfunktion\n");
+fprintf(f, "%%\n");
+
+function pfad(i, name)
+	global f;
+	global u;
+	global t;
+	global N;
+	fprintf(f, "\\def\\pfad%s{\n", name);
+	fprintf(f, "(%.4f,%.4f)\n", t(1,1), u(1,i));
+	for j = (2:N+1)
+		fprintf(f, "--(%.4f,%.4f)\n", t(j,1), u(j,i));
+	end
+	fprintf(f, "}\n");
+end
+
+pfad( 1, "a")
+pfad( 2, "b")
+pfad( 3, "c")
+pfad( 4, "d")
+pfad( 5, "e")
+pfad( 6, "f")
+pfad( 7, "g")
+pfad( 8, "h")
+pfad( 9, "i")
+pfad(10, "j")
+
+function fehler(i, name)
+	global f;
+	global u;
+	global t;
+	global N;
+	global s;
+	fprintf(f, "\\def\\fehler%s{\n", name);
+	fprintf(f, "(%.4f,%.4f)\n", t(1,1), s*(sqrt(t(1,1))-u(1,i)));
+	for j = (2:N+2)
+		fprintf(f, "--(%.4f,%.4f)\n", t(j,1), s*(sqrt(t(j,1))-u(j,i)));
+	end
+	fprintf(f, "}\n");
+end
+
+fehler( 1, "a")
+fehler( 2, "b")
+fehler( 3, "c")
+fehler( 4, "d")
+fehler( 5, "e")
+fehler( 6, "f")
+fehler( 7, "g")
+fehler( 8, "h")
+fehler( 9, "i")
+fehler(10, "j")
+
+fclose(f);
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf
new file mode 100644
index 0000000..751cf33
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.tex
new file mode 100644
index 0000000..ca2825a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.tex
@@ -0,0 +1,94 @@
+%
+% wurzel.tex -- Wurzel
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{10}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\a{0.8}
+\def\U{0}
+
+\fill[color=blue!20] (0,\a) rectangle (1.00,1.03);
+\draw[line width=0.4pt] (0,1) -- (1,1) -- (1,0);
+
+\draw[->] (0,{-0.01}) -- (0,{1.06}) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle (1,1);
+\draw[color=blue,line width=1.4pt] plot[domain=0:1.01,samples=100]
+	({\x},{\x*\x});
+\end{scope}
+
+%\draw[color=purple,line width=0.5pt] (0.48,-0.01) -- (1,1);
+%\fill[color=purple] (1,1) circle[radius=0.008];
+
+\node[color=blue] at (0,{\a}) [left] {$a$};
+
+\def\schritt#1#2{
+	\xdef\u{\U}
+	\pgfmathparse{0.5*(\a-\u*\u)}
+	\xdef\d{\pgfmathresult}
+	\pgfmathparse{\u+\d}
+	\xdef\U{\pgfmathresult}
+
+	\fill[color=purple!10] (\u,{\u*\u}) -- (\U,\a) -- (\u,\a) -- cycle;
+
+	\node[color=darkgreen] at (\u,0) [below] {$u_#1$};
+	\draw[color=darkgreen,line width=0.1pt] (\u,0)--(\u,\a);
+
+	\fill[color=darkgreen] (\u,{\u*\u}) circle[radius=0.006];
+
+	\draw[<->,color=darkgreen] (\u,{\u*\u}) -- (\u,\a);
+
+	\draw[color=purple,shorten <= 0.6mm]
+		(\u,{\u*\u}) -- (\U,\a);
+}
+\def\marke#1#2{
+	\node[color=orange] at ({0.5*(\u+\U)},\a) [#2] {$\frac12(a-u_#1^2)$};
+	\draw[<->,color=orange,shorten >= 0mm,shorten <= 0mm]
+		(\u,\a) -- (\U,\a);
+}
+
+\def\hoehe#1{
+	\node[color=darkgreen] at ({\u+0.01},{\a-\d-0.01})
+		[above,rotate=90] {$a-u_#1^2$};
+}
+
+\schritt{0}{1}
+\hoehe{0}
+\marke{0}{above}
+
+\schritt{1}{2}
+\hoehe{1}
+\marke{1}{above}
+\node[color=darkgreen] at (\u,{\u*\u-0.02}) [above left] {$u_1^2$};
+
+\schritt{2}{3}
+\hoehe{2}
+%\marke{2}{right,rotate=90}
+\marke{2}{above}
+\node[color=darkgreen] at (\u,{\u*\u-0.02}) [above left] {$u_2^2$};
+
+\schritt{3}{4}
+
+\draw[color=blue] ({sqrt(\a)},-0.01) -- ({sqrt(\a)},\a);
+\node[color=blue] at ({sqrt(\a)-0.02},0) [below right] {$\sqrt{a}$};
+
+\draw[->] (-0.01,0) -- (1.05,0) coordinate[label={$u$}];
+\node at (1,0) [below] {$1$};
+\node at (0,1) [left] {$1$};
+\draw (1,-0.01) -- (1,0.01);
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf
new file mode 100644
index 0000000..aeb5e5d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.tex
new file mode 100644
index 0000000..676c7e9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.tex
@@ -0,0 +1,107 @@
+%
+% wurzelapprox.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{5.7}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\input{wa.tex}
+
+\begin{scope}[xshift=-0.63cm]
+
+\draw[->] (-0.01,0) -- (1.05,0) coordinate[label={$t$}];
+
+\begin{scope}
+	\clip (0,0) rectangle (1,1.01);
+	\draw[color=blue,line width=1.6pt] \pfada;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadb;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadc;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadd;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfade;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadf;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadg;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadh;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadi;
+	\draw[color=blue,line width=1.2pt] \pfadj;
+
+	\draw[color=red,line width=1.6pt]
+		plot[domain=0:1.01,samples=100] ({\x*\x},{\x});
+\end{scope}
+
+\node[color=red] at (0.5,0.707) [above,rotate={atan(0.5)}] {$\sqrt{t}$};
+
+\draw[->] (0,-0.01) -- (0,1.05) coordinate[label={right:$u_n(t)$}];
+
+\foreach \x in {2,4,...,8}{
+	\draw ({0.1*\x},-0.01) -- ({0.1*\x},0.01);
+	\node at ({0.1*\x},-0.01) [below] {0.\x\strut};
+	\draw (-0.01,{0.1*\x}) -- (0.01,{0.1*\x});
+	\node at (-0.01,{0.1*\x}) [left] {0.\x\strut};
+}
+\draw (1,-0.01) -- (1,0.01);
+\node at (1,-0.01) [below] {1.0\strut};
+\node at (0,-0.01) [below] {0\strut};
+
+\draw (-0.01,1) -- (0.01,1);
+\node at (-0.01,1) [left] {1.0\strut};
+
+\node[color=blue] at (1.01,0) [above left] {$u_0(t)$};
+\node[color=blue] at (1,0.51) [below left,rotate={atan(0.5)}] {$u_1(t)$};
+\node[color=blue] at (1,{0.86+0.03}) [below left,rotate={atan(0.86)}] {$u_2(t)$};
+\node[color=blue] at (1,1.00) [below left,rotate={atan(0.5)}] {$u_3(t)$};
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=0.63cm]
+
+\begin{scope}
+	\clip (0,0) rectangle (1,1.01);
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlera;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerb;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerc;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerd;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlere;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerf;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerg;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerh;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehleri;
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.2pt] \fehlerj;
+\end{scope}
+
+\draw[->] (0,-0.01) -- (0,1.05) coordinate[label={right:${\color{red}\sqrt{t}}-{\color{blue}u_n(t)}$}];
+\draw[->] (-0.01,0) -- (1.05,0) coordinate[label={$t$}];
+
+\foreach \x in {2,4,...,9}{
+	\draw ({0.1*\x},-0.01) -- ({0.1*\x},0.01);
+	\node at ({0.1*\x},-0.01) [below] {0.\x\strut};
+	\draw (-0.01,{0.1*\x}) -- (0.01,{0.1*\x});
+	\node at (-0.01,{0.1*\x}) [left] {0.\x\strut};
+}
+\draw (1,-0.01) -- (1,0.01);
+\node at (1,-0.01) [below] {1.0\strut};
+\node at (0,-0.01) [below] {0\strut};
+
+\draw (-0.01,1) -- (0.01,1);
+\node at (-0.01,1) [left] {1.0\strut};
+
+\node[color=darkgreen] at (1,1) [below left,rotate={atan(0.5)}] {$n=0$};
+\node[color=darkgreen] at (1,0.5) [above left] {$n=1$};
+\node[color=darkgreen] at (1,0.13) [above left,rotate=-13] {$n=2$};
+\node[color=darkgreen] at (1,0.00) [above left,rotate=-9] {$n=3$};
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex
index a3f86ba..4bf5c42 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex
@@ -276,6 +276,25 @@ ergibt, dass jede beliebige Funktion sich als Polynome in $x$
 approximieren lässt.
 Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes von Stone-Weierstrass.
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf}
+\caption{Konstruktion einer monoton wachsenden Approximationsfolge für
+$\sqrt{a}$
+\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf}
+\caption{Monoton wachsende Approximation der Funktion $t\mapsto\sqrt{t}$ mit 
+Polynomen $u_n(t)$ nach 
+\eqref{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation}
+(links) und der Fehler der Approximation
+(rechts).
+\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation}}
+\end{figure}
+
 \begin{satz}[Stone-Weierstrass]
 \label{buch:satz:stone-weierstrass}
 Enthält eine $\mathbb{R}$-Algebra $A$ von stetigen, rellen Funktionen
@@ -286,12 +305,137 @@ reelle Funktion auf $K$ gleichmässig approximierbar durch Funktionen
 in $A$.
 \end{satz}
 
+Für den Beweis des Satzes wird ein Hilfsresultat benötigt, welches wir
+zunächst ableiten.
+Es besagt, dass sich die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$
+auf dem Interval $[0,1]$ gleichmässig
+von unten durch Polynome approximieren lässt, die in
+Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation} dargestellt
+sind.
+
+\begin{satz}
+Die rekursiv definierte Folge von Polynomen
+\begin{equation}
+u_{n+1}(t)
+=
+u_n(t) + \frac12(t-u_n(t)^2),
+\qquad
+u_0(t)=0
+\label{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation}
+\end{equation}
+ist monoton wachsend und approximiert die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$
+gleichmässig auf dem Intervall $[0,1]$.
+\end{satz}
+
 \begin{proof}[Beweis]
-XXX TODO
+Wer konstruieren zunächst das in
+Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}
+visualierte Verfahren, mit dem für jede Zahl $a\in[0,1]$
+die Wurzel $\sqrt{a}$ berechnet werden kann.
+Sei $u < \sqrt{a}$ eine Approximation der Wurzel.
+Die Approximation ist der exakte Wert der Lösung, wenn $a-u^2=0$.
+In jedem anderen Fall muss $u$ um einen Betrag $d$ vergrössert werden.
+Natürlich muss immer noch $u+d<\sqrt{a}$ sein.
+Man kann die maximal zulässige Korrektur $d$ geometrisch abschätzen,
+wie dies in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}
+skizziert ist.
+Die maximale Steigung des Graphen der Funktion $u\mapsto u^2$ ist $2$,
+daher darf man $u$ maximal um die Hälfte der Differenz $a-u^2$ (grün)
+vergrössern, also $d=\frac12(a-u^2)$.
+Die Rekursionsformel
+\[
+u_{n+1} = u_n + d = u_n + \frac12(a-u_n^2)
+\]
+mit dem Startwert $u_0=0$ liefert daher eine 
+Folge, die gegen $\sqrt{a}$ konvergiert.
 \end{proof}
 
-Der entscheidende Schritt des Beweises ist, dass man die Betragsfunktion
-konstruieren kann.
+\begin{proof}[Beweis des Satzes von Stone-Weierstrass]
+Da $A$ eine Algebra ist, ist mit jeder Funktion $f\in A$ für jedes Polynome
+$p\in\mathbb{R}[X]$ auch $p(f)$ eine Funktion in $A$.
+\begin{enumerate}
+\item Schritt: Für jede Funktion $f\in A$ lässt sich auch $|f|$ durch
+Funktionen in $A$ beliebig genau durch eine monoton wachsende Folge
+von Funktionen approximieren.
+
+Da $A$ eine Algebra ist, ist $f^2\in A$.
+Sei ausserdem $m^2=\sup \{f(x)^2\;|\;x\in K\}$, so dass $f^2/m^2$ eine Funktion
+mit Werten im Intervall $[0,1]$ ist.
+Die Funktionen $f_n(x)=mu_n(f(x)^2/m^2)$ sind ebenfalls in $A$ und
+approximieren gleichmässig $\sqrt{f(x)^2}=|f(x)|$.
+\item Schritt: Für zwei Funktionen $f,g\in A$ gibt es eine monoton wachsende
+Folge, die $\max(f,g)$ gleichmässig beliebig genau approximiert
+und eine monoton fallende Folge, die $\min(f,g)$ gleichmässig beliebig 
+genau approximiert.
+
+Diese Folgen können aus der Approximationsfolge für den Betrag einer
+Funktion und den Identitäten
+\begin{align*}
+\max(f,g) &= \frac12(f+g+|f-g|) \\
+\min(f,g) &= \frac12(f+g-|f-g|) 
+\end{align*}
+gefunden werden.
+\item Schritt: Zu zwei beliebigen Punkten $x,y\in K$ und Werten
+$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gibt es immer eine Funktion in $A$,
+die in den Punkten $x,y$ die vorgegebenen Werte $\alpha$ bzw.~$\beta$
+annimmt.
+Da $A$ die Punkte trennt, gibt es eine Funktion $f_0$ mit $f_0(x)\ne f_0(y)$.
+Dann ist die Funktion
+\[
+f(t)
+=
+\beta + \frac{f_0(t)-f_0(y)}{f_0(x)-f_0(y)}(\alpha-\beta)
+\]
+wohldefiniert und nimmt die verlangten Werte an.
+\item Schritt: Zu jeder stetigen Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$, jedem
+Punkt $x\in K$ und jedem $\varepsilon>0$ gibt es eine Funktion $g\in A$ derart,
+dass $g(x)=f(x)$ und $g(y) \le f(y)+\varepsilon$ für alle $y\in K$.
+
+Zu jedem $z\in K$ gibt es eine Funktion in $A$ mit
+$h_z(x)=f(x)$ und $h_z(z) \le f(z)+\frac12\varepsilon$.
+Wegen der Stetigkeit von $h_z$ gibt es eine Umgebung $V_z$ von $z$, in der
+immer noch gilt $h_z(y)\le f(y)+\varepsilon$ für $y\in V_z$.
+Wegen der Kompaktheit von $K$ kann man endlich viele Punkte $z_i$ wählen
+derart, dass die $V_{z_i}$ immer noch $K$ überdecken.
+Dann erfüllt die Funktion
+\(
+g(z) = \inf h_{z_i}
+\)
+die Bedingungen $g(x) = f(x)$ und für $z\in V_{z_i}$
+\[
+g(z) = \inf_{j} h_{z_j}(z) \le h_{z_i}(z) \le f(z)+\varepsilon.
+\]
+Ausserdem ist $g(z)$ nach dem zweiten Schritt beliebig genau durch
+Funktionen in $A$ approximierbar.
+\item Schritt: Jede stetige Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$ kann
+beliebig genau durch Funktionen in $A$ approximiert werden.
+Sei $\varepsilon > 0$.
+
+Nach dem vierten Schritt gibt es für jedes $y\in K$ eine Funktion $g_y$
+derart, dass $g_y(y)=f(y)$  und $g_y(x) \le f(x) + \varepsilon$ für
+$x\in K$.
+Da $g_y$ stetig ist, gilt ausserdem $g_y(x) \ge f(x) -\varepsilon$ in
+einer Umgebung $U_y$ von $y$.
+Da $K$ kompakt ist, kann man endlich viele $y_i$ derart, dass die $U_{y_i}$
+immer noch ganz $K$ überdecken.
+Die Funktion $g=\sup g_{y_i}$ erfüllt dann überall $g(x) \le f(x)+\varepsilon$,
+weil jede der Funktionen $g_y$ diese Ungleichung erfüllt.
+Ausserdem gilt für $x\in V_{x_j}$
+\[
+g(x) = \sup_i g_{x_i}(x) \ge g_{x_j}(x) \ge f(x)-\varepsilon.
+\]
+Somit ist
+\[
+|f(x)-g(x)| \le \varepsilon.
+\]
+Damit ist $f(x)$ beliebig nahe an der Funktion $g(x)$, die sich 
+beliebig genau durch Funktionen aus $A$ approximieren lässt.
+\qedhere
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+Im ersten Schritt des Beweises ist ganz entscheidend, dass man die
+Betragsfunktion konstruieren kann.
 Daraus leiten sich dann alle folgenden Konstruktionen ab.
 
 \subsubsection{Anwendung auf symmetrische und hermitesche Matrizen}
@@ -347,13 +491,66 @@ Folge $p_n(A)$ für Polynomfolgen, die $\operatorname{Sp}(A)$ gleichmässig
 gegen $f$ konvergieren.
 \end{satz}
 
-\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Funktionen}
+\subsubsection{Unmöglichkeit der Approximation von $z\mapsto \overline{z}$
+in $\mathbb{C}[z]$}
 Der Satz~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} von Stone-Weierstrass für
 reelle Funktionen gilt nicht für komplexe Funktionen.
-Der Grund ist, dass im Beweis benötigt wird, dass man den Betrag
-einer Funktion approximieren können muss.
-Dies geschah, indem zunächst eine Polynom-Approximation für die 
-Quadratwurzel konstruiert wurde, die dann auf das Quadrat einer
+In diesem Abschnitt zeigen wir, dass sich die Funktion $z\mapsto\overline{z}$
+auf der Einheitskreisscheibe $K=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|\le 1\}$ nicht
+gleichmässig durch Polynome $p(z)$ mit komplexen Koeffizienten approximieren
+lässt.
+
+Wäre eine solche Approximation möglich, dann könnte man $\overline{z}$
+auch durch eine Potenzreihe
+\[
+\overline{z}
+=
+\sum_{k=0}^\infty a_kz^k
+\]
+darstellen.
+Das Wegintegral beider Seiten über den Pfad $\gamma(t) = e^{it}$
+in der komplexen Ebene ist
+\begin{align*}
+\oint_\gamma z^k\,dz
+&=
+\int_0^{2\pi} e^{ikt} ie^{it}\,dt
+=
+i\int_0^{2\pi} e^{it(k+1)}\,dt
+=
+i\biggl[ \frac{1}{i(k+1)} e^{it(k+1)}\biggr]_0^{2\pi}
+=
+0
+\\
+\oint_\gamma
+\sum_{k=0}^\infty a_kz^k
+\,dz
+&=
+\sum_{k=0}^\infty a_k \oint_\gamma z^k\,dz
+=
+\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot 0
+=
+0
+\\
+\oint_\gamma \overline{z}\,dz
+&=
+\int_0^{2\pi} e^{it} ie^{it}\,dt
+=
+i\int_0^{2\pi} \,dt = 2\pi i,
+\end{align*}
+dabei wurde $\overline{\gamma}(t)=e^{-it}$ verwendet.
+Insbesondere widersprechen sich die beiden Integrale.
+Die ursprüngliche Annahmen, $\overline{z}$ lasse sich durch Polynome
+gleichmässig approximieren, muss daher verworfen werden.
+
+\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Funktionen}
+Der Satz von Stone-Weierstrass kann nach dem vorangegangene Abschnitt
+also nicht gelten.
+Um den Beweis des Satzes~\ref{buch:satz:stone-weierstrass}
+auf komplexe Zahlen zu übertragen, muss im ersten Schritt ein Weg
+gefunden werden, den Betrag einer Funktion zu approximieren.
+
+Im reellen Fall geschah dies, indem zunächst eine Polynom-Approximation
+für die Quadratwurzel konstruiert wurde, die dann auf das Quadrat einer
 Funktion angewendet wurde.
 Der Betrag einer komplexen Zahl $z$ ist aber nicht allein aus $z$
 berechenbar, man braucht in irgend einer Form Zugang zu Real-
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex
index 2fab61a..dd82067 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex
@@ -2,7 +2,7 @@ Verwenden Sie die Matrixdarstellung komplexer Zahlen, um $i^i$ zu
 berechnen.
 
 \begin{hinweis}
-Verwenden Sie die eulersche Formel um $\log J$ zu bestimmen.
+Verwenden Sie die Eulersche Formel um $\log J$ zu bestimmen.
 \end{hinweis}
 
 \begin{loesung}
@@ -14,11 +14,11 @@ Zunächst erinnern wir an die Eulersche Formel
 =
 \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k J^k}{k!}
 =
-\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i}(-1)^i}{(2i)!}\cdot E
+\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i}(-1)^i}{(2i)!}\cdot I
 +
 \sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i+1}(-1)^i}{(2i+1)!}\cdot J
 =
-\cos t\cdot E
+\cos t\cdot I
 +
 \sin t\cdot J.
 \]
@@ -49,7 +49,7 @@ J = \begin{pmatrix}
 Als nächstes müssen wir $J\log J$ berechnen.
 Aus \eqref{4001:logvalue} folgt
 \[
-J\log J = J\cdot \frac{\pi}2J = - \frac{\pi}2 \cdot E.
+J\log J = J\cdot \frac{\pi}2J = - \frac{\pi}2 \cdot I.
 \]
 Darauf ist die Exponentialreihe auszuwerten, also
 \[
@@ -57,7 +57,7 @@ J^J
 =
 \exp (J\log J)
 =
-\exp(-\frac{\pi}2 E)
+\exp(-\frac{\pi}2 I)
 =
 \exp
 \begin{pmatrix}
@@ -70,7 +70,7 @@ e^{-\frac{\pi}2}&0\\
 0&e^{-\frac{\pi}2}
 \end{pmatrix}
 =
-e^{-\frac{\pi}2} E.
+e^{-\frac{\pi}2} I.
 \]
 Als komplexe Zahlen ausgedrückt folgt also $i^i = e^{-\frac{\pi}2}$.
 \end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex
index 3cd9959..b749356 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex
@@ -78,11 +78,11 @@ Ab_1 =
 3b_1
 \]
 ab.
-Diesen  Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-eE)$
+Diesen  Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-2I)$
 bestimmen.
-Die vierte Potenz von $A-2E$ ist
+Die vierte Potenz von $A-2I$ ist
 \begin{equation}
-(A-2E)^4
+(A-2I)^4
 =
 \begin{pmatrix}
    0&  0&  0&  0\\
@@ -108,13 +108,13 @@ b_4
 =
 \begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix}
 \]
-für den Kern $\mathcal{K}(A-2E)$ ablesen.
-Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2E)
-= \mathcal{J}(A-3E)$ sein.
-Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2E$
+für den Kern $\mathcal{K}(A-2I)$ ablesen.
+Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2I)
+= \mathcal{J}(A-3I)$ sein.
+Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2I$
 berechnen, sie ist
 \[
-(A-2E)^4
+(A-2I)^4
 =
 \begin{pmatrix}
     79&  -26&  152& -152\\
@@ -124,7 +124,7 @@ berechnen, sie ist
 \end{pmatrix}.
 \]
 Die Spaltenvektoren lassen sich alle durch die Vektoren $b_2$, $b_3$
-und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2E)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$.
+und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2I)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$.
 
 Indem die Vektoren $b_i$ als Spalten in eine Matrix $T$ schreibt, kann man
 jetzt berechnen, wie die Matrix der linearen Abbildung in dieser neuen
@@ -154,16 +154,16 @@ A_1
 \end{pmatrix}
 \]
 in der rechten unteren Ecke hat den dreifachen Eigenwert $2$, 
-und die Potenzen von $A_1-2E$ sind
+und die Potenzen von $A_1-2I$ sind
 \[
-A_1-2E
+A_1-2I
 \begin{pmatrix}
   -15 &  5&  29\\
   -27 &  9&  51\\
    -3 &  1&   6
 \end{pmatrix}
 ,\qquad
-(A_1-2E)^2
+(A_1-2I)^2
 =
 \begin{pmatrix}
     3 & -1 & -6\\
@@ -171,10 +171,10 @@ A_1-2E
     0 &  0 &  0\\
 \end{pmatrix}
 ,\qquad
-(A_1-2E)^3=0.
+(A_1-2I)^3=0.
 \]
 Für die Jordan-Normalform brauchen wir einen von $0$ verschiedenen
-Vektor im Kern von $(A_1-2E)^2$, zum Beispiel den Vektor mit den
+Vektor im Kern von $(A_1-2I)^2$, zum Beispiel den Vektor mit den
 Komponenten $1,3,1$.
 Man beachte aber, dass diese Komponenten jetzt in der neuen Basis
 $b_2,\dots,b_4$ zu verstehen sind, d.~h.~der Vektor, den wir suchen, ist
@@ -185,7 +185,7 @@ b_1+ 3b_2+b_3
 =
 \begin{pmatrix}1\\3\\1\\2\end{pmatrix}.
 \]
-Jetzt berechnen wir die Bilder von $c_3$ unter $A-2E$:
+Jetzt berechnen wir die Bilder von $c_3$ unter $A-2I$:
 \[
 c_2
 =