aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-09-02 19:50:27 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-09-02 19:50:27 +0200
commit1843428795ae9005da7d54cad51450de9b7d298f (patch)
tree113f4fbcb4fc8ce06d636440eb1701fe9acc3a15 /buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
parentchapter 5 (diff)
downloadSeminarMatrizen-1843428795ae9005da7d54cad51450de9b7d298f.tar.gz
SeminarMatrizen-1843428795ae9005da7d54cad51450de9b7d298f.zip
Chapter 5, permutations
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex25
1 files changed, 16 insertions, 9 deletions
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
index 805235d..b30f9a2 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
@@ -17,12 +17,16 @@ Entwicklungssatz
\begin{equation}
\det(A)
=
-\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det(A_{ij})
+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{i\!j} \cdot \det(A_{i\!j})
\label{buch:permutationen:entwicklungssatz}
\end{equation}
von Laplace für die Determinante.
-In den Produkten $a_{ij}\cdot\det(A_{ij})$ enthält
-die Untermatrix $A_{ij}$ weder Elemente der Zeile $i$ noch der
+\index{Entwicklungssatz}%
+\index{Laplace, Entwicklungssatz von}%
+Die Matrizen $A_{i\!j}$ sind die Minoren der Matrix $A$
+(siehe auch Seite~\pageref{buch:linear:def:minor}).
+In den Produkten $a_{i\!j}\cdot\det(A_{i\!j})$ enthält
+die Untermatrix $A_{i\!j}$ weder Elemente der Zeile $i$ noch der
Zeile $j$.
Die Summanden auf der rechten Seite von
\eqref{buch:permutationen:entwicklungssatz}
@@ -31,7 +35,7 @@ sind daher Produkte der Form
a_{1i_1}
a_{2i_2}
a_{3i_3}
-\dots
+\cdots
a_{ni_n},
\]
in denen nur Faktoren aus verschiedenen Spalten der Matrix $A$
@@ -55,9 +59,10 @@ in der Form
=
\sum_{\sigma\in S_n}
c(\sigma)
+\,
a_{1\sigma(1)}
a_{2\sigma(2)}
-\dots
+\cdots
a_{n\sigma(n)}
\label{buch:permutationen:cformel}
\end{equation}
@@ -73,13 +78,15 @@ also
=
\sum_{\sigma \in S_n}
c(\sigma)
+\,
(P_\tau)_{1\sigma(1)}
(P_\tau)_{2\sigma(2)}
-\dots
+\cdots
(P_\tau)_{n\sigma(n)}
=
c(\tau)
-1\cdot 1\cdot\dots\cdot 1
+\,
+1\cdot 1\cdots 1
=
c(\tau).
\]
@@ -96,14 +103,14 @@ Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $A$ kann berechnet werden als
\operatorname{sgn}(\sigma)
a_{1\sigma(1)}
a_{2\sigma(2)}
-\dots
+\cdots
a_{n\sigma(n)}
=
\sum_{\tau\in S_n}
\operatorname{sgn}(\tau)
a_{\tau(1)1}
a_{\tau(2)2}
-\dots
+\cdots
a_{\tau(n)n}.
\]
Insbesondere folgt auch $\det(A)=\det(A^t)$.