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path: root/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-10-18 20:49:18 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-10-18 20:49:18 +0200
commit5051f2259e3a36e2195fbcad5d6fa2244c370427 (patch)
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chapter 8, intro typos
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-rw-r--r--buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex32
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diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
index b8298b1..9ca210d 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
@@ -6,7 +6,7 @@
%
\section{Determinante
\label{buch:section:determinante}}
-Das Signum einer Permutationsmatrizen lässt sich
+Das Signum einer Permutationsmatrix lässt sich
gemäss~\eqref{buch:permutationen:determinante}
mit der Determinanten berechnen.
Umgekehrt sollte es auch möglich sein, eine Formel
@@ -70,28 +70,28 @@ schreiben lassen, wobei die Koeffizienten $c(\sigma)$ noch zu bestimmen
sind.
Setzt man in
\eqref{buch:permutationen:cformel}
-eine Permutationsmatrix $P_\tau$ ein, dann verschwinden alle
-Terme auf der rechten Seite ausser dem zur Permutation $\tau$,
+eine Permutationsmatrix $P_\gamma$ ein, dann verschwinden alle
+Terme auf der rechten Seite ausser dem zur Permutation $\gamma$,
also
\[
-\det(P_\tau)
+\det(P_\gamma)
=
\sum_{\sigma \in S_n}
c(\sigma)
\,
-(P_\tau)_{1\sigma(1)}
-(P_\tau)_{2\sigma(2)}
+(P_\gamma)_{1\sigma(1)}
+(P_\gamma)_{2\sigma(2)}
\cdots
-(P_\tau)_{n\sigma(n)}
+(P_\gamma)_{n\sigma(n)}
=
-c(\tau)
+c(\gamma)
\,
1\cdot 1\cdots 1
=
-c(\tau).
+c(\gamma).
\]
-Der Koeffizientn $c(\tau)$ ist also genau das Vorzeichen
-der Permutation $\tau$.
+Der Koeffizient $c(\gamma)$ ist also genau das Vorzeichen
+der Permutation $\gamma$.
Damit erhalten wir den folgenden Satz:
\begin{satz}
@@ -106,12 +106,12 @@ a_{2\sigma(2)}
\cdots
a_{n\sigma(n)}
=
-\sum_{\tau\in S_n}
-\operatorname{sgn}(\tau)
-a_{\tau(1)1}
-a_{\tau(2)2}
+\sum_{\gamma\in S_n}
+\operatorname{sgn}(\gamma)
+a_{\gamma(1)1}
+a_{\gamma(2)2}
\cdots
-a_{\tau(n)n}.
+a_{\gamma(n)n}.
\]
Insbesondere folgt auch $\det(A)=\det(A^t)$.
\end{satz}