Chapter 5, permutations

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diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex
index cf3f2ab..e3b6742 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex
@@ -8,13 +8,17 @@
 \lhead{Permutationen}
 \rhead{}
 Die Berechnung der Determinante einer Matrix macht ausgedehnten
+\index{Determinante}%
 Gebrauch von der Tatsache, dass die Vertauschung von zwei Zeilen
 oder Spalten das Vorzeichen des Wertes der Determinanten dreht.
 In diesem Kapitel sollen die Permutationen der Zeilen abstrakt
+\index{Permutation}%
 untersucht werden.
 Wir erhalten so eine abstrakte Permutationsgruppe.
+\index{Permutationsgruppe}%
 Ihre Elemente lassen sich auch durch spezielle Matrizen beschreiben,
 eine Darstellung dieser Gruppe, die auch unmittelbar zu einer
+\index{Darstellung}%
 Formel für die Determinante einer Matrix führt.
 
 \input{chapters/50-permutationen/endlich.tex}
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
index 805235d..b30f9a2 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex
@@ -17,12 +17,16 @@ Entwicklungssatz
 \begin{equation}
 \det(A)
 =
-\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det(A_{ij})
+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{i\!j} \cdot \det(A_{i\!j})
 \label{buch:permutationen:entwicklungssatz}
 \end{equation}
 von Laplace für die Determinante.
-In den Produkten $a_{ij}\cdot\det(A_{ij})$ enthält 
-die Untermatrix $A_{ij}$ weder Elemente der Zeile $i$ noch der 
+\index{Entwicklungssatz}%
+\index{Laplace, Entwicklungssatz von}%
+Die Matrizen $A_{i\!j}$ sind die Minoren der Matrix $A$
+(siehe auch Seite~\pageref{buch:linear:def:minor}).
+In den Produkten $a_{i\!j}\cdot\det(A_{i\!j})$ enthält 
+die Untermatrix $A_{i\!j}$ weder Elemente der Zeile $i$ noch der 
 Zeile $j$.
 Die Summanden auf der rechten Seite von
 \eqref{buch:permutationen:entwicklungssatz}
@@ -31,7 +35,7 @@ sind daher Produkte der Form
 a_{1i_1}
 a_{2i_2}
 a_{3i_3}
-\dots
+\cdots
 a_{ni_n},
 \]
 in denen nur Faktoren aus verschiedenen Spalten der Matrix $A$
@@ -55,9 +59,10 @@ in der Form
 =
 \sum_{\sigma\in S_n} 
 c(\sigma)
+\,
 a_{1\sigma(1)}
 a_{2\sigma(2)}
-\dots
+\cdots
 a_{n\sigma(n)}
 \label{buch:permutationen:cformel}
 \end{equation}
@@ -73,13 +78,15 @@ also
 =
 \sum_{\sigma \in S_n}
 c(\sigma)
+\,
 (P_\tau)_{1\sigma(1)}
 (P_\tau)_{2\sigma(2)}
-\dots
+\cdots
 (P_\tau)_{n\sigma(n)}
 =
 c(\tau)
-1\cdot 1\cdot\dots\cdot 1
+\,
+1\cdot 1\cdots 1
 =
 c(\tau).
 \]
@@ -96,14 +103,14 @@ Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $A$ kann berechnet werden als
 \operatorname{sgn}(\sigma)
 a_{1\sigma(1)}
 a_{2\sigma(2)}
-\dots
+\cdots
 a_{n\sigma(n)}
 =
 \sum_{\tau\in S_n}
 \operatorname{sgn}(\tau)
 a_{\tau(1)1}
 a_{\tau(2)2}
-\dots
+\cdots
 a_{\tau(n)n}.
 \]
 Insbesondere folgt auch $\det(A)=\det(A^t)$.
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
index 35284ff..2577b48 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex
@@ -8,15 +8,24 @@
 \rhead{Permutationen}
 Eine endliche Anzahl $n$ von Objekten können auf $n!$ Arten angeordnet
 werden.
-Als Objektmenge nehmen wir $[n] = \{ 1,\dots,n\}$.
+Da es in dieser Diskussion nicht auf die Art der Objekte ankommt,
+nehmen wir als Objektmenge die Zahlen $[n] = \{ 1,\dots,n\}$
+(siehe auch Definition~\ref{buch:zahlen:def:[n]}).
 Die Operation, die die Objekte in eine bestimmte Reihenfolge bringt,
 ist eine Abbildung $\sigma\colon[n]\to[n]$.
-Eine Permutation ist eine umkehrbare Abbildung $[n]\to[n]$.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:permutationen:def:permutation}
+Eine {\em Permutation} ist eine umkehrbare Abbildung $[n]\to[n]$.
+\index{Permutation}
 Die Menge $S_n$ aller umkehrbaren Abbildungen $[n]\to[n]$
 mit der Verknüpfung von Abbildungen als Operation heisst die
 die {\em symmetrische Gruppe}.
+\index{symmetrische Gruppe}%
 Die identische Abbildung $\sigma(x)=x$ ist das {\em neutrale
 Element} der Gruppe $S_n$ und wir auch mit $e$ bezeichnet.
+\index{neutrales Element}%
+\end{definition}
 
 \subsection{Permutationen als $2\times n$-Matrizen}
 Eine Permutation kann als $2\times n$-Matrix geschrieben werden:
@@ -67,24 +76,28 @@ dass die Zahlen in der ersten Zeile ansteigend sind:
 \subsection{Zyklenzerlegung
 \label{buch:subsection:zyklenzerlegung}}
 Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit sogenanten Zyklenzerlegung
+\index{Zyklenzerlegung}%
 analysiert werden.
-Zum Beispiel:
-\begin{center}
-\includegraphics{chapters/50-permutationen/images/zyklenzerlegung.pdf}
-\end{center}
 
 \begin{definition}
 Ein Zyklus $Z$ ist eine unter $\sigma$ invariante Teilmenge von $[n]$
 minimaler Grösse.
+\index{Zyklus}%
+\index{invariante Teilmenge}%
+\index{minimale Grösse}%
 Die Zyklenzerlegung ist eine Zerlegung von $[n]$ in Zyklen
 \[
 [n]
 =
-\cup_{i=1}^k Z_i,
+\bigcup_{i=1}^k Z_i,
 \]
 wobei jede Menge $Z_i$ ein Zyklus ist.
 \end{definition}
 
+Zum Beispiel:
+\begin{center}
+\includegraphics{chapters/50-permutationen/images/zyklenzerlegung.pdf}
+\end{center}
 Der folgende Algorithmus findet die Zyklenzerlegung einer Permutation.
 
 \begin{satz}
@@ -116,18 +129,21 @@ weiter bei 2.
 
 Mit Hilfe der Zyklenzerlegung von $\sigma$ lassen sich auch
 gewisse Eigenschaften von $\sigma$ ableiten.
-Sei also $[n] = Z_1\cup\dots\cup Z_k$ die Zyklenzerlegung.
-Für jedes Element $x\in S_i$ gilt $\sigma^{|S_i|}(x) = x$.
+Sei also $[n] = Z_1\cup\dots\cup Z_k$ die Zyklenzerlegung von $\sigma$.
+Für jedes Element $x\in Z_i$ gilt $\sigma^{|Z_i|}(x) = x$.
 Die kleinste Zahl $m$, für die $\sigma^m=e$ ist, das kleinste
 gemeinsame Vielfache der Zyklenlängen:
 \[
 m = \operatorname{kgV} (|Z_1|,|Z_2|,\dots,|Z_k|).
 \]
+\index{kgV}
+\index{kleinstes gemeinsames Vielfaches}
 
 \subsection{Konjugierte Elemente in $S_n$}
-Zwei Elemente $g_1,g_2\in G$ einer Gruppe heissen konjugiert, wenn
+Zwei Elemente $g_1,g_2\in G$ einer Gruppe heissen {\em konjugiert}, wenn
+\index{konjugiert}
 es ein Element $c\in G$ gibt derart, dass $cg_1c^{-1}=g_2$.
-Bei Matrizen hat dies bedeutet, dass die beiden Matrizen durch
+Bei Matrizen bedeutet dies bedeutet, dass die beiden Matrizen durch
 Basiswechsel auseinander hervorgehen.
 Dasselbe lässt sich auch im Kontext der symmetrischen Gruppe sagen.
 
@@ -136,7 +152,18 @@ Es gibt also eine Permutation $\gamma\in S_n$ derart, dass
 $\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$ oder $\gamma^{-1}\sigma_1\gamma=\sigma_2$.
 Dann gilt auch für die Potenzen
 \begin{equation}
-\sigma_1^k = \gamma\sigma_2^k\gamma^{-1}.
+\sigma_1^k
+=
+(\gamma\sigma_2\gamma^{-1})^k
+=
+\gamma\sigma_2\underbrace{\gamma^{-1}
+\gamma}_{\displaystyle=e}\sigma_2\underbrace{\gamma^{-1}
+\gamma}_{\displaystyle=e}\sigma_2\underbrace{\gamma^{-1}\gamma}_{\displaystyle=e}
+\cdots
+\underbrace{\gamma^{-1}
+\gamma}_{\displaystyle=e}\sigma_2\gamma^{-1}
+=
+\gamma\sigma_2^k\gamma^{-1}.
 \label{buch:permutationen:eqn:konjpot}
 \end{equation}
 Ist $Z_i$ ein Zyklus von $\sigma_2$ und $x\in Z_i$, dann ist
@@ -156,19 +183,21 @@ von $\sigma_1$ ab.
 Es folgt daher der folgende Satz:
 
 \begin{satz}
-Sind $\sigma_1,\sigma_2\in S_n$ konjugiert $\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$
+Seien $\sigma_1,\sigma_2\in S_n$ konjugiert $\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$
 mit dem $\gamma\in S_n$.
 Wenn $Z_1,\dots,Z_k$ die Zyklen von $\sigma_2$ sind, dann sind 
 $\gamma(Z_1),\dots,\gamma(Z_k)$ die Zyklen von $\sigma_1$.
 \end{satz}
 
 Die Zyklenzerlegung kann mit der Jordan-Normalform
+\index{Jordan-Normalform}%
 (Abschnitt~\ref{buch:subsection:jordan-normalform})
 einer Matrix verglichen werden.
 Durch einen Basiswechsel, welcher durch eine ``Konjugation''
+\index{Basiswechsel}%
 von Matrizen ausgedrückt wir, kann die Matrix in eine besonders 
 übersichtliche Form gebracht werden.
-Wenn $\sigma$ die Zyklenzerlegung $Z_1,\dots,Z_k$ mit Zyklenlängen
+Wenn $\sigma$ die Zyklenzerlegung $Z_1,\dots,Z_k$ hat mit Zyklenlängen
 $l_i=|Z_i|$, dann kann man die Menge $[n]$ wie folgt in Teilmengen
 \begin{align*}
 X_1 &= \{1,\dots, l_1\},
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.pdf b/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.pdf
index 9e532bf..3922096 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.pdf
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.pdf
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.tex b/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.tex
index ef3ec65..2b73227 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/images/komposition.tex
@@ -10,39 +10,71 @@
 \usepackage{pgfplots}
 \usepackage{csvsimple}
 \usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing}
 \begin{document}
 \def\skala{1}
 \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
 
-\begin{scope}[xshift=-4.5cm]
+\begin{scope}[xshift=-4.0cm]
+
+\def\s{0.527}
+\def\o{0.133}
+
+\def\verbindung#1{
+\fill[color=red!20] ({\o+(#1*\s)},-1.0) rectangle ({\o+(#1*\s)+0.3},0.0);
+}
+
+\verbindung{1}
+\verbindung{2}
+\verbindung{3}
+\verbindung{4}
+\verbindung{5}
+\verbindung{6}
+
+
 \node at (0,0) {$\displaystyle
 \sigma_1=\begin{pmatrix}
 1&2&3&4&5&6\\
 2&1&3&5&6&4
+\end{pmatrix}
+%$};
+=\begin{pmatrix}
+1&2&3&4&5&6\\
+2&1&3&5&6&4
 \end{pmatrix}$};
 \node at (0,-1) {$\displaystyle
 \sigma_2=\begin{pmatrix}
 1&2&3&4&5&6\\
 3&4&5&6&1&2
 \end{pmatrix}
-$};
-\end{scope}
-\begin{scope}
-\node at (0,0) {$\displaystyle
-\begin{pmatrix}
-1&2&3&4&5&6\\
-2&1&3&5&6&4
-\end{pmatrix}$};
-\node at (0,-1) {$\displaystyle
+=
 \begin{pmatrix}
 2&1&3&5&6&4\\
 4&3&5&1&2&6
 \end{pmatrix}
 $};
-
 \end{scope}
-\begin{scope}[xshift=4.5cm]
+
+%\begin{scope}
+%\node at (0,0) {$\displaystyle
+%\begin{pmatrix}
+%1&2&3&4&5&6\\
+%2&1&3&5&6&4
+%\end{pmatrix}$};
+%\node at (0,-1) {$\displaystyle
+%\begin{pmatrix}
+%2&1&3&5&6&4\\
+%4&3&5&1&2&6
+%\end{pmatrix}
+%$};
+%\end{scope}
+
+\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}]
+(0,0.4) -- (0,-1.4);
+
+\begin{scope}[xshift=3.1cm]
 \node at (0,-0.5) {$\displaystyle
+\Rightarrow\quad
 \sigma_2\sigma_1=\begin{pmatrix}
 1&2&3&4&5&6\\
 4&3&5&1&2&6
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
index f7e9e31..037c441 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex
@@ -7,11 +7,12 @@
 \label{buch:section:permutationsmatrizen}}
 \rhead{Permutationsmatrizen}
 Die Eigenschaft, dass eine Vertauschung das Vorzeichen kehrt, ist
-eine wohlebekannte Eigenschaft der Determinanten.
+eine wohlbekannte Eigenschaft der Determinanten.
 In diesem Abschnitt soll daher eine Darstellung von Permutationen
 als Matrizen gezeigt werden und die Verbindung zwischen dem
 Vorzeichen einer Permutation und der Determinanten hergestellt
 werden.
+\index{Determinante}%
 
 \subsection{Matrizen}
 Gegeben sei jetzt eine Permutation $\sigma\in S_n$. 
@@ -33,7 +34,7 @@ e_n&\mapsto e_{\sigma(n)}
 Die Matrix $P_\sigma$ der linearen Abbildung $f_{\sigma}$ hat in Spalte $i$
 genau eine $1$ in der Zeile $\sigma(i)$, also
 \[
-(P_\sigma)_{ij} = \delta_{j\sigma(i)}.
+(P_\sigma)_{i\!j} = \delta_{j\sigma(i)}.
 \]
 
 \begin{beispiel}
@@ -61,27 +62,35 @@ A_\sigma
 \end{beispiel}
 
 \begin{definition}
-Eine Permutationsmatrix ist eine Matrix $P\in M_n(\Bbbk)$ 
+\label{buch:permutationen:def:permutationsmatrix}
+\index{Permutationsmatrix}%
+Eine {\em Permutationsmatrix} ist eine Matrix $P\in M_n(\Bbbk)$ 
 derart, die in jeder Zeile und Spalte genau eine $1$ enthalten ist,
 während alle anderen Matrixelemente $0$ sind.
 \end{definition}
 
 Es ist klar, dass aus einer Permutationsmatrix auch die Permutation
 der Standardbasisvektoren abgelesen werden kann.
+\index{Standardbasisvektor}%
 Die Verknüpfung von Permutationen wird zur Matrixmultiplikation
+\index{Matrixmultiplikation}%
 von Permutationsmatrizen, die Zuordnung $\sigma\mapsto P_\sigma$
 ist also ein Homomorphismus
-$
-S_n \to M_n(\Bbbk^n),
-$
-es ist $P_{\sigma_1\sigma_2}=P_{\sigma_1}P_{\sigma_2}$.
+\index{Homomorphismus}%
+$S_n \to M_n(\Bbbk^n)$,
+es ist
+$P_{\sigma_1\sigma_2}=P_{\sigma_1}P_{\sigma_2}$.
+$\sigma$ heisst gemäss Definition~\ref{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung}
+auch Darstellung der Gruppe $S_n$.
+\index{Darstellung}%
 
 \subsection{Transpositionen}
 Transpositionen sind Permutationen, die genau zwei Elemente von $[n]$
 vertauschen.
-Wir ermitteln jetzt die Permutationsmatrix der Transposition $\tau=\tau_{ij}$
+Wir ermitteln jetzt die Permutationsmatrix der Transposition $\tau=\tau_{i\!j}$.
+Sie ist
 \[
-P_{\tau_{ij}}
+P_{\tau_{i\!j}}
 =
 \begin{pmatrix}
 1&      & &      &     &      & &      & \\
@@ -93,8 +102,7 @@ P_{\tau_{ij}}
  &      & &      &     &      &1&      & \\
  &      & &      &     &      & &\ddots& \\
  &      & &      &     &      & &      &1
-\end{pmatrix}
-\qedhere
+\end{pmatrix}.
 \]
 
 Die Permutation $\sigma$ mit dem Zyklus $1\to 2\to\dots\to l-1\to l\to 1$
@@ -148,7 +156,7 @@ P_{\tau_{l-1,l}}
 0&0&1&0&\dots\\
 \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
 \end{pmatrix}
-\dots
+\cdots
 \\
 &=
 \begin{pmatrix}
@@ -159,7 +167,7 @@ P_{\tau_{l-1,l}}
 \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
 \end{pmatrix}
 \\
-&\vdots\\
+&\quad\vdots\\
 &=
 \begin{pmatrix}
 0&0&0&0&\dots&0&1\\
@@ -168,15 +176,17 @@ P_{\tau_{l-1,l}}
 0&0&1&0&\dots&0&0\\
 \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
 0&0&0&0&\dots&1&0
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}.
 \end{align*}
 
 \subsection{Determinante und Vorzeichen}
 Die Transpositionen haben Permutationsmatrizen, die aus der Einheitsmatrix
+\index{Einheitsmatrix}%
+\index{Determinante}%
 entstehen, indem genau zwei Zeilen vertauscht werden.
 Die Determinante einer solchen Permutationsmatrix ist
 \[
-\det P_{\tau} = - \det E = -1 = \operatorname{sgn}(\tau).
+\det P_{\tau} = - \det I = -1 = \operatorname{sgn}(\tau).
 \]
 Nach der Produktregel für die Determinante folgt für eine Darstellung
 der Permutation $\sigma=\tau_1\dots\tau_l$ als Produkt von Transpositionen,
@@ -184,7 +194,7 @@ dass
 \begin{equation}
 \det P_{\sigma}
 =
-\det P_{\tau_1} \dots \det P_{\tau_l}
+\det P_{\tau_1} \cdots \det P_{\tau_l}
 =
 (-1)^l
 =
diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
index 748b2e9..b8f3d41 100644
--- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
+++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex
@@ -12,11 +12,12 @@ Es zeigt sich aber, dass sich eine Permutation in noch elementarere
 Bausteine zerlegen lässt, die Transpositionen.
 
 \begin{definition}
-Einen Transposition $\tau\in S_n$ ist ein Permutation, die genau
+Eine {\em Transposition} $\tau\in S_n$ ist ein Permutation, die genau
 zwei Elemente vertauscht.
-Die Transposition $\tau_{ij}$ ist definiert durch
+\index{Transposition}%
+Die Transposition $\tau_{i\!j}$ ist definiert durch
 \[
-\tau_{ij}(x)
+\tau_{i\!j}(x)
 =
 \begin{cases}
 i&\qquad x=j\\
@@ -41,7 +42,7 @@ Es ist also
 \[
 \sigma 
 =
-\tau_{12} \tau_{23} \tau_{34} \dots \tau_{k-3,k-2} \tau_{k-2,k-1} \tau_{k-1,k}.
+\tau_{12} \tau_{23} \tau_{34} \cdots \tau_{k-3,k-2} \tau_{k-2,k-1} \tau_{k-1,k}.
 \]
 \begin{satz}
 Jede Permutation $\sigma\in S_n$ lässt sich als ein Produkt von 
@@ -66,6 +67,8 @@ die Anzahl gerade ist oder nicht, ist sehr wohl eine charkterisierende
 Eigenschaft einer Permutation.
 
 \begin{definition}
+\index{Vorzeichen}%
+\index{Signum}%
 Das {\em Vorzeichen} oder {\em Signum} einer Permutation $\sigma$ ist
 die Zahl $\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^k$, wenn $\sigma$ als Produkt
 von $k$ Transpositionen geschrieben werden kann.
@@ -77,16 +80,18 @@ dann ist $\sigma^{-1}=\tau_k\dots\tau_2\tau_1$, sowohl $\sigma$ wie
 $\sigma^{-1}$ können also mit der gleichen Zahl von Transpositionen
 geschrieben werden, sie haben also auch das gleiche Vorzeichen.
 
-Die Abbildung $S_n\to\{\pm\}$, die einer Permutation das Signum zuordnet,
-ist ein Homomorphismus von Gruppen,
+Die Abbildung $S_n\to\{\pm1\}$, die einer Permutation das Signum zuordnet,
+ist ein Homomorphismus von Gruppen
+(siehe Definition~\ref{buch:gruppen:def:homomorphismus}),
+\index{Homomorphismus}%
 d.~h.
 \[
 \operatorname{sgn}(\sigma_1\sigma_2)
 =
 \operatorname{sgn}(\sigma_1)
-\operatorname{sgn}(\sigma_2)
+\operatorname{sgn}(\sigma_2).
 \]
-da ganz offensichtlich $\sigma_1\sigma_2$ mit $k_1+k_2$ Transpositionen
+Da ganz offensichtlich $\sigma_1\sigma_2$ mit $k_1+k_2$ Transpositionen
 geschrieben kann, wenn $\sigma_i$ mit $k_i$ Transpositionen geschrieben
 werden kann.
 
@@ -101,16 +106,24 @@ A_n
 \{
 \sigma\in S_n\;|\; \operatorname{sgn}(\sigma)=1
 \}
-\subset S_n.
+=
+\ker \operatorname{sgn}
+\subset
+S_n.
 \]
+\index{Kern}%
+\index{alterniernde Gruppe}%
 heisst die {\em alternierende Gruppe} der Ordnung $n$
 Die Elemente von $A_n$ heissen auch die {\em geraden} Permutationen,
+\index{gerade Permutation}%
+\index{ungerade Permutation}%
 die
 Elemente von $S_n\setminus A_n$ heissen auch die {\em ungeraden}
 Permutationen.
 \end{definition}
 
 Die alternierende Gruppe $A_n$ ist tatsächlich eine Untergruppe.
+\index{Untergruppe}%
 Zunächst ist $\operatorname{sgn}(e)=(-1)^0=1$, also ist $e\in A_n$.
 Es wurde schon gezeigt, dass mit jedem Element $\sigma\in A_n$ auch
 das inverse Element $\sigma^{-1}\in A_n$ ist.