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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-09-10 11:34:57 +0200 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-09-10 11:34:57 +0200 |
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-rw-r--r-- | buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6003.tex | 134 |
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diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6003.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6003.tex new file mode 100644 index 0000000..663b1a0 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6003.tex @@ -0,0 +1,134 @@ +Für die Lie-Algebra $\operatorname{sl}_2(\mathbb{R})$ wurde die Basis +\[ +A=\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}, +\qquad +N=\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}, +\qquad +N=\begin{pmatrix} 0&0\\1&0\end{pmatrix} +\] +gefunden. +Dies bedeutet, dass die Elemente +der Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ nahe der Einheitsmatrix +als ein Produkt von Matrizen der Form +\[ +D=e^{At}=\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-1}\end{pmatrix}, +\quad +S=e^{Ns} = \begin{pmatrix}1&s\\0&1\end{pmatrix}, +\quad +T=e^{Mt} = \begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix} +\] +geschrieben werden können. +\begin{teilaufgaben} +\item +Finden Sie zur Drehung $R_\alpha\in\operatorname{SO}(2)$ +aus \eqref{buch:lie:eqn:ralphadefinition} eine solche Zerlegung +$R_\alpha=DST$. +\item +Schreiben Sie die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} +\frac12&-\frac{\sqrt{3}}2\\ +\frac{\sqrt{3}}2&\frac12 +\end{pmatrix} +\] +als Produkt $A=DST$. +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +\begin{teilaufgaben} +\item +Zunächst schreiben wir etwas einfacher +\[ +D=\begin{pmatrix}c&0\\0&c^{-1}\end{pmatrix}. +\] +Dann multiplizeren wir +\begin{align*} +DST +&= +\begin{pmatrix}c&0\\0&c^{-1}\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&s\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix}c&0\\0&c^{-1}\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1+st&s\\t&1\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +(1+st)c&sc\\ +c^{-1}t&c^{-1} +\end{pmatrix}. +\end{align*} +Der Vergleich mit +\[ +R_\alpha += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +(1+st)c&sc\\ +c^{-1}t&c^{-1} +\end{pmatrix} +\] +erlaubt jetzt, die Parameter, $c$, $s$ und $t$ abzulesen. +Zunächst folgt aus dem Eintrag rechts unten, dass +\[ +c=\frac{1}{\cos\alpha} +\] +sein muss. +Aus dem Eintrag links unten in der Matrix folgt dann +\[ +c^{-1}t = t\cos\alpha = \sin\alpha +\quad\Rightarrow\quad +t=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha. +\] +Der Eintrag rechts oben führt schliesslich auf die Gleichung +\[ +sc=\frac{s}{\cos\alpha}=-\sin\alpha +\quad\Rightarrow\quad +s=-\sin\alpha\cos\alpha +\] +für $s$. +Damit sind zwar die Parameter bestimmt, es ist aber noch nachzuprüfen, +dass sich damit auch der korrekte Eintrag oben links in der Matrix +ergibt. +Es ist +\[ +(1+st)c += +\frac{1-\sin\alpha\cos\alpha\tan\alpha}{\cos\alpha} += +\frac{1-\sin^2\alpha}{\cos\alpha} += +\frac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha}=\cos\alpha, +\] +somit ist +\[ +c=\frac{1}{\cos\alpha},\; t=\tan\alpha,\; s=-\sin\alpha\cos\alpha=-\frac12\sin2\alpha +\] +tatsächlich die gesuchte Lösung. +\item +Die Matrix $A$ ist die Drehung $A=R_{60^\circ}$, daher können wir nach +a) folgern: +\begin{align*} +c&=\frac{1}{\cos 60^\circ}= 2\\ +s&=-\frac12\sin120^\circ =-\frac{\sqrt{3}}4\\ +t&=\tan 60^\circ = \sqrt{3}. +\end{align*} +Daher gilt +\[ +DST += +\begin{pmatrix}2&0\\0&\frac12\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&-\frac{\sqrt{3}}4\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&0\\ \sqrt{3}&1\end{pmatrix} += +A, +\] +wie man mit einem Computeralgebraprogramm leicht nachprüfen kann. +\qedhere +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} |