chapter 8, intro typos

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index e19f76f..6ee51cf 100644
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@@ -204,7 +204,7 @@ eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra.
 \begin{definition}
 Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt
 \[
-[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],
+[\;\,,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],
 \]
 welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi}
 erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}.
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index c67a304..fb1b4ae 100644
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@@ -21,7 +21,7 @@ $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$,
 sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit.
 Doch auch alle anderen Matrizengruppen,
 die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden sollen,
-stellens ich als Untermannigfaltigkeiten von
+stellen sich als Untermannigfaltigkeiten von
 $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ heraus.
 
 \subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen
@@ -181,8 +181,8 @@ Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}.
 Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien
 des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
 als Mannigfaltigkeit erkannt wurde.
-Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix
-beschrieben werden kann.
+Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrizen
+beschrieben werden können.
 
 \subsubsection{Die Untergruppe
 $\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$}
@@ -882,7 +882,7 @@ Der Tangentialraum ist also dreidimensional.
 für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden
 linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$.
 In allen drei Fällen wird das blaue Quadrat mit den Ecken in den
-Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zu
+Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe 
 zum roten Viereck verzerrt, der Flächeninhalt bleibt aber erhalten.
 In den beiden Fällen $B$ und $C$ stellen die grünen Kurven die Bahnen
 der Bilder der Standardbasisvektoren dar.
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index 3db4873..640c73f 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
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@@ -289,7 +289,7 @@ Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils
 Matrizen in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
 Der Grund dafür ist, dass die
 Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-linear zu sein braucht.
+linear sind.
 Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$
 die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch
 Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also
@@ -468,8 +468,8 @@ derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$
 \to
 \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)
 \]
-als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar
-ist.
+als Abbildungen von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar
+sind.
 Eine {\em $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine
 Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas.
 \index{Atlas}%
@@ -698,6 +698,7 @@ Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch
 \dot{x}(t)
 =
 D\varphi_{31}(\gamma(t)) 
+\cdot
 \dot{y}(t).
 \]
 Für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu