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Dies eröffnet die Möglichkeit, den Graphen über die linearalgebraischen -Eigenschaften der Laplace-Matrix zu studieren. - -\subsection{Grapheigenschaften und Spektrum von $L$ -\label{buch:subsection:grapheigenschaften-und-spektrum-von-l}} -TODO XXX - -\subsection{Wärmeleitung auf einem Graphen -\label{buch:subsection:waermeleitung-auf-einem-graphen}} -Die Vektoren, auf denen die Laplace-Matrix operiert, können betrachtet -werden als Funktionen, die jedem Knoten einen Wert zuordnen. -Eine mögliche physikalische Interpretation davon ist die Temperaturverteilung -auf dem Graphen. -Die Kanten zwischen den Knoten erlauben der Wärmeenergie, von einem Knoten -zu einem anderen zu fliessen. -Je grösser die Temperaturdifferenz zwischen zwei Knoten ist, desto -grösser ist der Wärmefluss und desto schneller ändert sich die Temperatur -der beteiligten Knoten. -Die zeitliche Änderung der Temperatur $T_i$ im Knoten $i$ ist proportional -\[ -\frac{dT_i}{dt} -= -\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} \kappa (T_j-T_i) -= -- -\kappa -\biggl( -d_iT_i -- -\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} T_j -\biggr) -\] -Der Term auf der rechten Seite ist genau die Wirkung der -Laplace-Matrix auf dem Vektor $T$ der Temperaturen: -\begin{equation} -\frac{dT}{dt} -= --\kappa L T. -\label{buch:graphen:eqn:waermeleitung} -\end{equation} -Der Wärmefluss, der durch die -Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} beschrieben -wird, codiert ebenfalls wesentliche Informationen über den Graphen. -Je mehr Kanten es zwischen verschiedenen Teilen eines Graphen gibt, -desto schneller findet der Wärmeaustausch zwischen diesen Teilen -statt. -Die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung liefern also Informationen -über den Graphen. - -\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren -\label{buch:subsection:ein-zyklischer-graph}} -Die Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} -ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, -die mit der Matrixexponentialfunktion gelöst werden. -Die Lösung ist -\[ -f(t) = e^{-\kappa Lt}f(0). -\] +Eigenschaften dieser Matrizen zu studieren. +Dieser Abschnitt soll diese Idee an dem ziemlich übersichtlichen Beispiel +der chromatischen Zahl eines Graphen illustrieren. + +\subsection{Chromatische Zahl und Unabhängigkeitszahl +\label{buch:subsection:chromatische-zahl}} +Der Grad eines Knotens ist ein mass dafür, wie stark ein Graph +``vernetzt'' ist. +Je höher der Grad, desto mehr direkte Verbindungen zwischen Knoten gibt es. +Noch etwas präziser können diese Idee die beiden mit Hilfe der +chromatischen zahl und der Unabhängigkeitszahl erfasst werden. + +\begin{definition} +Die {\em chromatische Zahl} $\operatorname{chr}G$ eines Graphen $G$ ist +die minimale Anzahl von Farben, die Einfärben der Knoten eines Graphen +nötig sind, sodass benachbarte Knoten verschiedene Farben haben. +\index{chromatische Zahl} +\end{definition} + +\begin{definition} +Eine Menge von Knoten eines Graphen heisst {\em unabhängig}, wenn +keine zwei Knoten im Graphen verbunden sind. +Die {\em Unabhängigkeitszahl} $\operatorname{ind}G$ eines Graphen $G$ +ist die maximale Anzahl Knoten einer unabhängigen Menge. +\index{Unabhängigkeitszahl} +\end{definition} -Die Berechnung der Lösung mit der Matrixexponentialreihe ist ziemlich -ineffizient, da grosse Matrizenprodukte berechnet werden müssen. -Da die Matrix $L$ symmetrisch ist, gibt es eine Basis aus -orthonormierten Eigenvektoren und die Eigenwerte sind reell. -Wir bezeichnen die Eigenvektoren mit $f_1,\dots,f_n$ und die -zugehörigen Eigenwerte mit $\lambda_i$. -Die Funktion $f_i(t)= e^{-\kappa\lambda_it}f_i$ ist dann eine Lösung -der Wärmeleitungsgleichung, denn die beiden Seiten +Zwischen der chromatischen Zahl und der Unabhängigkeitszahl eines Graphen +muss es einen Zusammenhang geben. +Je mehr Verbingungen es im Graphen gibt, desto grösser wird die chromatische +Zahl. +Gleichzeitig wird es schwieriger für Mengen von Knoten, unabhängig zu sein. + +\begin{satz} +\label{buch:satz:chrind} +Ist $G$ ein Graph mit $n$ Knoten, dann gilt +$\operatorname{chr}G\cdot\operatorname{ind}G\ge n$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Eine minimale Färbung des Graphen mit $\operatorname{chr}G$ Farben +teilt die Knoten in $\operatorname{chr}G$ Mengen $V_f$ von Knoten mit +gleicher Farbe $f$ ein. +Da diese Mengen einfarbig sind, sind sie unabhängig, enthalten also +höchstens so viele Knoten, wie die Unabhängigkeitszahl erlaubt, +also $|V_f|\le \operatorname{ind}G$. +Da die Menge aller Knoten die Vereinigung der Mengen $V_f$ ist, +ist die Gesamtzahl der Knoten \begin{align*} -\frac{d}{dt}f_i(t) +V &= --\kappa\lambda_ie^{-\kappa\lambda_it}f_i -= --\kappa\lambda_i f_i(t) -\\ --\kappa Lf_i(t) +\bigcup_{\text{$f$ eine Farbe}} V_f +&&\Rightarrow& +n &= --\kappa e^{-\kappa\lambda_it} Lf_i +\sum_{\text{$f$ eine Farbe}} |V_f| +\\ +& +&&& +&\le +\sum_{\text{$f$ eine Farbe}} \operatorname{ind}G = --\kappa e^{-\kappa\lambda_it} \lambda_i f_i +(\text{Anzahl Farben})\cdot \operatorname{ind}G = --\kappa \lambda_i f_i(t) +\operatorname{chr}G \cdot \operatorname{ind}G. \end{align*} -von \eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} stimmen überein. - -Eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung zu einer beliebigen -Anfangstemperaturverteilung $f$ kann durch Linearkombination aus -den Lösungen $f_i(t)$ zusammengesetzt werden. -Dazu ist nötig, $f$ aus den Vektoren $f_i$ linear zu kombinieren. -Da aber die $f_i$ orthonormiert sind, ist dies besonders einfach, -die Koeffizienten sind die Skalarprodukte mit den Eigenvektoren: -\[ -f=\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i. -\] -Daraus kann man die allgmeine Lösungsformel +Damit ist $n\le \operatorname{chr}G\cdot\operatorname{ind}G$ gezeigt. +\qedhere +\end{proof} + +\begin{beispiel} +In einem vollständigen Graphen ist jeder Knoten mit jedem anderen verbunden. +Jede Menge mit zwei oder mehr Knoten kann daher nicht unabhängig sein, die +Unabhängigkeitszahl ist daher $\operatorname{ind}G=1$. +Andererseits ist für jeden Knoten eine eigene Farbe nötig, daher ist die +chromatische Zahl $\operatorname{chr}G=n$. +Die Ungleichung von Satz~\ref{buch:satz:chrind} ist erfüllt, sogar mit +Gleichheit. +Das Beispiel zeigt, dass die Ungleichung nicht ohne zusätzliche Annahmen +verbessert werden kann. +\end{beispiel} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/70-graphen/images/petersonchrind.pdf} +\caption{Chromatische Zahl und Unabhängigkeitszahl des Peterson-Graphen. +Die chromatische Zahl ist $3$, da der Graph sich mit drei Farben einfärben +lässt (links). +Die Unabhängigkeitszahl ist $4$, die vier grösseren Knoten im rechten +Graphen sind unabhängig. +Die Farben der kleinen Knoten sind die additive Mischung der Farben +der grossen Knoten, mit denen sie verbunden sind. +\label{buch:graphen:fig:chrindpeterson}} +\end{figure} + +\begin{beispiel} +Der Peterson-Graph $P$ von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:chrindpeterson} +hat chromatische Zahl $\operatorname{chr}P=3$ und unabhängigkeitszahl +$\operatorname{ind}P=4$. +Die Ungleichung von Satz~\ref{buch:satz:chrind} ist erfüllt, sogar als +Ungleichung: $\operatorname{chr}P\cdot\operatorname{ind}P=3\cdot 4=12>10=n$. +\end{beispiel} + +Nach Definition ist Unabhängigkeitszahl ein Mass für die Grösse einer +unabhängigen Menge von Punkten. +Der Beweis von Satz~\ref{buch:satz:chrind} zeigt, dass man sich die +chromatische Zahl als ein Mass dafür, wieviele solche anabhängige +Mengen in einem Graphen untergebracht werden können. + +% +% Chromatische Zahl und maximaler Grad +% +\subsection{Chromatische Zahl und maximaler Grad +\label{buch:subsection:chr-und-maximaler-grad}} +Wenn kein Knoten mehr als $d$ Nachbarn hat, dann reichen +$d+1$ Farben immer, um diesen Knoten und seine Nachbarn einzufärben. +Das heisst aber noch nicht, dass dann auch $d+1$ Farben zur +Einfärbung des ganzen Graphen reichen. +Genau dies garantiert jedoch der folgende Satz. + +\begin{definition} +Der maximale Grad +\( +\max_{v\in V} \deg(v) +\) +wird mit $d$ bezeichnet. +\end{definition} + +\begin{satz} +\label{buch:graphen:satz:chrmaxgrad} +Ist $G$ ein Graph mit maximalem Grad $d$, dann gilt +$\operatorname{chr}G \le d+1$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wir führen den Beweis mit Hilfe von vollständiger Induktion nach der +Anzahl Knoten eines Graphen. +Ein Graph mit nur einem Knoten hat keine Kanten, der maximale Grad ist +daher $0$ und $d+1=1$ Farbe reicht auch tatsächlich zur Einfärbung des +einen Knotens. + +Wir nehmen jetzt an, die Behaupt sei für Graphen mit $n-1$ Knoten bereits +bewiesen, ein Graph $G'$ mit $n-1$ Knoten und maximalem Grad $d'$ erfüllt +also die Ungleichung $\operatorname{chr}G'\le d'+1$. + +Wir wählen jetzt einen beleibigen Knoten $v$ des Graphen $G$ und bilden +den Graphen $G'$, der aus $G$ entsteht, indem man den Knoten $v$ +entfernt: $G'=G\setminus\{v\}$. +Der maximale Grad $d'$ von $G'$ kann dabei nicht grösser werden, es ist +also $d'\le d$. +Da $G'$ genau $n-1$ Knoten hat, lässt er sich mit höchstens $d'+1\le d+1$ +Farben einfärben. +Es muss jetzt also nur noch eine Farbe für den Knoten $v$ gefunden werden. +Da $d$ der maximale Grad ist, hat $v$ höchstens $d$ Nachbarn, die höchstens +$d$ verschiedene Farben haben können. +Von den $d+1$ zur Verfügung stehenden Farben bleibt also mindestens eine +übrig, mit der man den Knoten $v$ einfärben kann. +Damit ist der Induktionsschritt gelungen und somit der Satz bewiesen. +\end{proof} + +Das Argument im Beweis von Satz~\ref{buch:graphen:satz:chrmaxgrad} +ist für alle Begriffe anwendbar, die sich bei der Bildung eines +Untergraphen auf ``monotone'' Art ändern. +Die chromatische Zahl eines Untergraphen ist höchstens so gross wie die +des ganzen Graphen. +Dann kann man eine Ungleichung für grosse Graphen schrittweise aus +entsprechenden Ungleichungen für die kleineren Teilgraphen gewinnen. +Ziel der folgenden Abschnitte ist zu zeigen, dass sich eine Grösse +mit ähnlichen Eigenschaften aus dem Eigenwertspektrum der Adjazenzmatrix +ablesen lässt. +Daraus ergibt sich dann eine bessere Abschätzung der chromatischen Zahl +eines Graphen. + +% +% maximaler Eigenwert und maximaler Grad +% +\subsection{Maximaler Eigenwert von $A(G)$ und maximaler Grad +\label{buch:subsection:maximaler-eigenwert}} +Die Adjazenzmatrix $A(G)$ eines Graphen $G$ mit $n$ Knoten enthält unter +anderem auch die Information über den Grad eines Knotens. +Die Summe der Elemente einer Zeile oder einer Spalte ergibt einen Vektor, +der die Grade der Knoten als Komponenten enthält. +Ist $U$ ein $n$-dimensionaler Vektor aus lauter Einsen, dann ist +ist $A(G)U$ ein Spaltenvektor bestehend aus den Zeilensummen der Matrix +$A(G)$ und +$U^tA(G)$ ein Zeilenvektor bestehend aus den Spaltensummen. +$A(G)U$ ist also der Vektor der Grade der Knoten. + +Das Skalarprodukt von $A(G)U$ mit $U$ ist die Summe der Grade. +Somit ist \begin{equation} -f(t) +\frac{\langle A(G)U,U\rangle}{\langle U,U\rangle} = -\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i(t) +\frac{1}{\langle U,U\rangle}\sum_{v\in V}\deg(v) = -\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle e^{-\kappa\lambda_i t}f_i -\label{buch:graphen:eqn:eigloesung} +\frac{1}{n}(d_1+\dots+d_n) +\label{buch:graphen:eqn:AUdavg} \end{equation} -ableiten. +der mittlere Grad, der mit $\overline{d}$ bezeichnet werden soll. -\subsection{Beispiel: Ein zyklischer Graph} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/70-graphen/images/kreis.pdf} -\caption{Beispiel Graph zur Illustration der verschiedenen Basen auf einem -Graphen. -\label{buch:graphen:fig:kreis}} -\end{figure} -Wir illustrieren die im folgenden entwickelte Theorie an dem Beispielgraphen -von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:kreis}. -Besonders interessant sind die folgenden Funktionen: +Da $A(G)$ eine symmetrische Matrix ist, ist $A(G)$ diagonalisierbar, +die Eigenwerte sind also alle reell. +Es ist ausserdem bekannt, dass der Eigenvektor $f$ zum grössten Eigenwert +$\alpha_{\text{max}}$ von $A(G)$ +den Bruch \[ -\left. +\frac{\langle A(G)f,f\rangle}{\langle f,f\rangle} +\] +für Vektoren $f\ne 0$ maximiert. +Aus~\eqref{buch:graphen:eqn:AUdavg} folgt damit, dass +\begin{equation} +\overline{d} +\le +\alpha_{\text{max}} +\label{buch:graphen:eqn:dqueramax} +\end{equation} +ist. + +In Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen} +des nächsten Kapitels wird die Perron-Frobenius-Theorie positiver +Matrizen vorgestellt, welche einer Reihe interessanter Aussagen +über den betragsgrössten Eigenwert und den zugehörigen Eigenvektor +macht. +Die Adjazenz-Matrix ist eine nichtnegative Matrix und $\alpha_{\text{max}}$ +ist der grösste Eigenwert, also genau die Grösse, auf die die +Sätze~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius} +und \label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius2} +anwendbar sind. +Dazu muss die Matrix allerdings primitiv sein, was gleichbedeutend +ist damit, dass der Graph zusammenhängend ist. +Im folgenden soll dies daher jeweils angenommen werden. + +\begin{satz} +Ist $G$ ein zusammenhänger Graph mit $n$ Knoten und maximalem Grad $d$, +dann gilt +\[ +\frac1n\sum_{v\in V} \deg(v) += +\overline{d} +\le \alpha_{\text{max}} \le d. +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wir wissen aus \eqref{buch:graphen:eqn:dqueramax} bereits, dass +$\overline{d}\le\alpha_{\text{max}}$ gilt, es bleibt also nur noch +$\alpha_{\text{max}}\le d$ zu beweisen. + +Sei $f$ der Eigenvektor zum Eigenwert $\alpha_{\text{max}}$. +Nach Satz~\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius2} +ist $f$ ein positiver Vektor mit der Eigenschaft $A(G)f=\alpha_{\text{max}}f$. +Der Eigenvektor $f$ ist eine Funktion auf den Knoten des Graphen, +die $v$-Komponente des Vektors $f$ für einen Vertex $v\in V$ ist $f(v)$. +Die Eigenvektoreigenschaft bedeutet $(A(G)f)(v)=\alpha_{\text{max}} f(v)$. +Die Adjazenzmatrix $A(G)$ enthält in Zeile $v$ Einsen genau für diejenigen +Knoten $u\in V$, die zu $v$ benachbart sind. +Schreiben wir $u\sim v$ für die Nachbarschaftsrelation, dann ist +\[ +(A(G)f)(v) += +\sum_{u\sim v} f(u). +\] +Die Summe der Komponenten $A(G)f$ kann man erhalten durch Multiplikation +von $A(G)f$ mit einem Zeilenvektor $U^t$ aus lauter Einsen, also +\begin{equation} \begin{aligned} -s_m(k) +\sum_{v\in V}\sum_{u\sim v}f(v) &= -\sin\frac{2\pi mk}{n} +U^tA(G)f += +(U^tA(G))f += +\begin{pmatrix}d_1&d_2&\dots&d_n\end{pmatrix} f \\ -c_m(k) &= -\cos\frac{2\pi mk}{n} +\sum_{v\in V}\deg (v) f(v) +\le +\sum_{v\in V}df(v) += +d +\sum_{v\in V}f(v). \end{aligned} -\; -\right\} -\quad -\Rightarrow -\quad -e_m(k) +\label{buch:graphen:eqn:sumkomp} +\end{equation} +Andererseits ist $A(G)f=\alpha_{\text{max}}f$, die linke Seite +von~\eqref{buch:graphen:eqn:sumkomp} ist daher +\begin{equation} +\sum_{v\in V}\sum_{u\sim v}f(v) = -e^{2\pi imk/n} +U^tA(G)f = -c_m(k) + is_m(k). +\alpha_{\text{max}} +U^tf += +\alpha_{\text{max}} \sum_{v\in V}f(v). +\label{buch:graphen:eqn:sumkomp2} +\end{equation} +Die Ungleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:sumkomp} +und die Gleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:sumkomp2} ergeben zusammen +die Ungleichung +\[ +\alpha_{\text{max}} \sum_{v\in V}f(v) +\le d\sum_{v\in V}f(v) +\qquad\Rightarrow\qquad +\alpha_{\text{max}} \le d, \] -Das Skalarprodukt dieser Funktionen ist +da die Summe der Komponenten des positiven Vektors $f$ nicht verschwinden +kann. +Damit ist die Ungleichung bewiesen. +\end{proof} + +% +% alpha_max eines Untergraphen +% +\subsection{$\alpha_{\text{max}}$ eines Untergraphen +\label{buch:subsection:alphamax-eines-untergraphen}} +Der grösste Eigenwert $\alpha_{\text{max}}$ ist ein potentieller +Anwärter für eine bessere Abschätzung der chromatischen Zahl. +Bereits früher wurde bemerkt, dass dies auch bedeutet, dass man +das Verhalten des grössten Eigenwerts bei einem Übergang zu einem +Untergraphen verstehen muss. + +\begin{satz} +\label{buch:graphen:satz:amaxuntergraph} +Sei $G'$ ein echter Untergraph von $G$ mit Adjazenzmatrix $A(G')$ und +grösstem Eigenwert $\alpha_{\text{max}}'=\varrho(A(G'))$, dann ist +$\alpha_{\text{max}}' \le \alpha_{\text{max}}$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Sei $f'$ der positive Eigenvektor zum Eigenwert $\alpha_{\text{max}}'$ +der Matrix $A(G')$. +$f'$ ist definiert auf der Menge $V'$ der Knoten von $G'$. +Aus $f'$ lässt sich ein Vektor $g$ mit den Werten \[ -\langle e_m, e_{m'}\rangle +g(v) = -\frac1n -\sum_{k=1}^n -\overline{e^{2\pi i km/n}} -e^{2\pi ikm'/n} -= -\frac1n -\sum_{k=1}^n -e^{\frac{2\pi i}{n}(m'-m)k} -= -\delta_{mm'} +\begin{cases} +f'(v)&\qquad v\in V'\\ + 0&\qquad\text{sonst} +\end{cases} \] -Die Funktionen bilden daher eine Orthonormalbasis des Raums der -Funktionen auf $G$. -Wegen $\overline{e_m} = e_{-m}$ folgt, dass für gerade $n$ -die Funktionen +konstruieren, der auf ganz $V$ definiert ist. + +Die Vektoren $f'$ und $g$ haben die gleichen Komponenten, also ist auch +$\langle f',f'\rangle = \langle g,g\rangle$. +Die Matrixelemente von $A(G')$ und $A(G)$ auf gemeinsamen Knoten $u,v\in V'$ +erfüllen $A(G')_{uv}\le A(G)_{uv}$, da jede Kante von $G'$ auch in $G$ ist. +Daher gilt \[ -c_0, c_1,s_1,c_2,s_2,\dots c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2} +\langle A(G')f',f'\rangle +\le +\langle A(G)g,g\rangle, \] -eine orthonormierte Basis. +woraus sich die Ungleichung +\[ +\alpha_{\text{max}}' += +\frac{\langle A(G')f',f'\rangle}{\langle f',f'\rangle} += +\frac{\langle A(G)g,g\rangle}{\langle g,g\rangle} +\le +\alpha_{\text{max}} +\] +ergibt, da $\alpha_{\text{max}}$ das Maximum von +$\langle A(G)h,h\rangle/\langle h,h\rangle$ für alle Vektoren $h\ne 0$ ist. +\end{proof} +% +% Der Satz von Wilf +% +\subsection{Chromatische Zahl und $\alpha_{\text{max}}$: Der Satz von Wilf +\label{buch:subsection:chr-und-alpha-max}} +Die in Satz~\ref{buch:graphen:satz:amaxuntergraph} beschriebene +Eigenschaft von $\alpha_{\text{max}}$ beim Übergang zu einem Untergraphen +ermöglich jetzt, eine besser Abschätzung für die chromatische Zahl +zu finden. -Die Laplace-Matrix kann mit der folgenden Definition zu einer linearen -Abbildung auf Funktionen auf dem Graphen gemacht werden. -Sei $f\colon V\to \mathbb{R}$ und $L$ die Laplace-Matrix mit -Matrixelementen $l_{vv'}$ wobei $v,v'\in V$ ist. -Dann definieren wir die Funktion $Lf$ durch +\begin{satz}[Wilf] +\label{buch:graphen:satz:wilf} +Sie $G$ ein zusammenhängder Graph und $\alpha_{\text{max}}$ der grösste +Eigenwert seiner Adjazenzmatrix. Dann gilt \[ -(Lf)(v) -= -\sum_{v'\in V} l_{vv'}f(v'). +\operatorname{chr}G\le \alpha_{\text{max}}+1. \] +\end{satz} -\subsection{Standardbasis und Eigenbasis -\label{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis}} -Die einfachste Basis, aus der siche Funktionen auf dem Graphen linear -kombinieren lassen, ist die Standardbasis. -Sie hat für jeden Knoten $v$ des Graphen eine Basisfunktion mit den Werten +\begin{proof}[Beweis] +Wie der Satz~\ref{buch:graphen:satz:chrmaxgrad} kann auch der Satz von Wilf +mit Hilfe von vollständiger Induktion über die Anzahl $n$ der Knoten +bewiesen werden. + +Ein Graph mit nur einem Knoten hat die $0$-Matrix als Adjazenzmatrix, +der maximale Eigenwert ist $\alpha_{\text{max}}=0$, und tatsächlich reicht +$\alpha_{\text{max}}+1=1$ Farbe, um den einen Knoten einzufärben. + +Wir nehmen jetzt an, der Satz sei für Graphen mit $n-1$ Knoten bereits +beweisen. +Wir müssen dann zeigen, dass der Satz dann auch für Graphen mit $n$ Knoten +gilt. + +Sei $v\in V$ ein Knoten minimalen Grades und $G'=G\setminus{v}$ der +Untergraph, der entsteht, wenn der Knoten $v$ entfernt wird. +Da $G'$ genau $n-1$ Knoten hat, gilt der Satz von Wilf für $G'$ +und daher kann $G'$ mit höchstens \[ -e_v\colon V\to\mathbb R:v'\mapsto \begin{cases} -1\qquad&v=v'\\ -0\qquad&\text{sonst.} -\end{cases} +\operatorname{chr}G' \le 1 + \alpha_{\text{max}}' \] +Farben eingefärbt werden. +Nach Satz~\ref{buch:graphen:satz:amaxuntergraph} ist +$\alpha_{\text{max}}'\le \alpha_{\text{max}}$, +Also kann $G'$ mit höchstens $\alpha_{\text{max}}+1$ Farben eingefärbt werden. + +Da $v$ ein Knoten minimalen Grades ist, ist sein Grad +$d(v)\le \overline{d}\le \alpha_{\text{max}}$. +Die Nachbarn von $v$ haben also hächstens $\alpha_{\text{max}}$ verschiedene +Farben, mit einer weiteren Farbe lässt sich also auch $G$ einfärben. +Daraus folgt $\operatorname{chr}G\le \alpha_{\text{max}}+1$. +\end{proof} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/70-graphen/images/nine.pdf} +\caption{Beispiel für einen Graphen, für den der +Satz~\ref{buch:graphen:satz:wilf} von Wilf die bessere +Abschätzung für die chromatische Zahl eines Graphen gibt als der +maximale Grad. +\label{buch:graphen:fig:wilfexample}} +\end{figure} + +\begin{beispiel} +Der Graph in Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:wilfexample} 12 Kanten und 9 +Knoten, daher ist $\overline{d}\le \frac{24}{9}$. +Der maximale Grad ist $4$ und durch explizite Rechnung mit Hilfe zum Beispiel +von Octave ergibt, dass $\alpha_{\text{max}}\approx 2.9565$. +Aus dem Satz von Wilf folgt, dass +$\operatorname{chr}G\le \alpha_{\text{max}}+1$, und daraus ergibt sich +$\operatorname{chr}G\le 3$. +Tatsächlich ist die chromatische Zahl $\operatorname{chr}G=3$, da +der Graph mindestens ein Dreieck enthält. +Der maximale Grad ist 4, somit gibt der +Satz~\ref{buch:graphen:satz:chrmaxgrad} +die Schranke +$\operatorname{chr}G\le 4+1=5$ +für die chromatische Zahl. +Der Satz von Wilf ist also eine wesentliche Verbesserung, er liefert in +diesem Fall den exakten Wert der chromatischen Zahl. +\end{beispiel} + |