Merge pull request #1 from AndreasFMueller/master

update

1 files changed, 721 insertions, 0 deletions

diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex
new file mode 100644
index 0000000..9f8f38f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex
@@ -0,0 +1,721 @@
+%
+% positiv.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Positive Vektoren und Matrizen
+\label{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen}}
+\rhead{Positive Vektoren und Matrizen}
+Die Google-Matrix und die Matrizen, die wir in Markov-Ketten angetroffen
+haben, zeichnen sich dadurch aus, dass alle ihre Einträge positiv oder
+mindestens nicht negativ sind.
+Die Perron-Frobenius-Theorie, die in diesem Abschnitt entwickelt
+werden soll, zeigt, dass Positivität einer Matrix nützliche
+Konsequenzen für Eigenwerte und Eigenvektoren hat.
+Das wichtigste Resultat ist die Tatsache, dass postive Matrizen immer
+einen einzigen einfachen Eigenwert mit Betrag $\varrho(A)$ haben,
+was zum Beispiel die Konvergenz des Pagerank-Algorithmus garantiert.
+Dies wird im Satz von Perron-Frobenius in
+Abschnitt~\ref{buch:subsection:der-satz-von-perron-frobenius}
+erklärt.
+
+%
+% Elementare Definitionen und Eigenschaften 
+%
+\subsection{Elementare Eigenschaften
+\label{buch:subsection:elementare-eigenschaften}}
+In diesem Abschnitt betrachten wir ausschliesslich reelle Vektoren
+und Matrizen.
+Die Komponenten sind somit immer mit miteinander vergleichbar, daraus
+lässt sich auch eine Vergleichsrelation zwischen Vektoren
+ableiten.
+
+\begin{definition}
+Ein Vektor $v\in\mathbb{R}^n$ heisst {\em positiv}, geschrieben
+$v>0$, wenn alle seine Komponenten positiv sind: $v_i>0\forall i$.
+Ein Vektor $v\in\mathbb{R}^n$ heisst {\em nichtnegativ}, in Formeln
+$v\ge 0$, wenn alle
+seine Komponenten nicht negativ sind: $v_i\ge 0\forall i$.
+\index{positiver Vektor}%
+\index{nichtnegativer Vektor}%
+\end{definition}
+
+Geometrisch kann man sich die Menge der positven Vektoren in zwei Dimensionen
+als die Punkte des ersten Quadranten oder in drei Dimensionen als die
+Vektoren im ersten Oktanten vorstellen.
+
+Aus der Positivität eines Vektors lässt sich jetzt eine Vergleichsrelation
+für beliebige Vektoren ableiten.
+Mit der folgenden Definition wird erreicht, das mit Ungleichungen für Vektoren
+auf die gleiche Art und Weise gerechnet werden kann, wie man sich
+dies von Ungleichungen zwischen Zahlen gewohnt ist.
+
+\begin{definition}
+Für zwei Vektoren $u,v\in\mathbb{R}^n$ ist genau dann $u>v$, wenn
+$u-v > 0$ ist.
+Ebenso ist $u\ge v$ genau dann, wenn $u-v\ge 0$.
+\end{definition}
+
+Ungleichungen zwischen Vektoren kann man daher auch so interpretieren,
+dass sie für jede Komponente einzeln gelten müssen.
+Die Definition funktionieren analog auch für Matrizen:
+
+\begin{definition}
+Eine Matrix $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$  heisst {\em positiv},
+wenn alle ihre Einträge $a_{ij}$ positiv sind: $a_{ij}>0\forall i,j$.
+Eine Matrix $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$  heisst {\em nichtnegativ},
+wenn alle ihre Einträge $a_{ij}$ nichtnegativ sind: $a_{ij}\ge 0\forall i,j$.
+\index{positive Matrix}%
+\index{nichtnegative Matrix}%
+Man schreibt $A>B$ bzw.~$A\ge B$ wenn $A-B>0$ bzw.~$A-B\ge 0$.
+\end{definition}
+
+Die Permutationsmatrizen sind Beispiele von nichtnegativen Matrizen,
+deren Produkte wieder nichtnegativ sind.
+Dies ist aber ein sehr spezieller Fall, wie das folgende Beispiel
+zeigt.
+
+\begin{beispiel}
+Wir betrachten die Matrix
+\begin{equation}
+A=
+\begin{pmatrix}
+0.9&0.1&   &   &   &   \\
+0.1&0.8&0.1&   &   &   \\
+   &0.1&0.8&0.1&   &   \\
+   &   &0.1&0.8&0.1&   \\
+   &   &   &0.1&0.8&0.1\\
+   &   &   &   &0.1&0.9
+\end{pmatrix}
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:diffusion}
+\end{equation}
+Die Multiplikation eines Vektors mit dieser Matrix bewirkt, dass die
+Komponenten des Vektors auf benachbarte Komponenten ``verschmiert'' werden.
+Wendet man $A$ wiederholt auf den ersten Standardbasisvektor $v_1=e_1$ an,
+erhält man nacheinander die Vektoren $v_2=Av_1$, $v_n = Av_{n-1}$.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/diffusion.pdf}
+\caption{Die sechs Komponenten für $k=1$ bis $k=6$ der Vektoren $A^{n-1}e_1$
+für die Matrix $A$ in \eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:diffusion}
+sind als Säulen dargestellt.
+Sie zeigen, dass für genügend grosses $n$, alle Komponenten
+des Vektors $A^{n-1}e_1$ positiv werden.
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:diffusion}}
+\end{figure}
+In Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:diffusion} sind die Komponenten
+als Säulen dargestellt.
+Man kann erkennen, dass für genügend grosse $n$ alle Komponenten
+der Vektoren positiv werden.
+
+Man kann auch direkt die Potenzen $A^n$ ausrechen und sehen, dass
+\[
+A^5
+=
+\begin{pmatrix}
+   0.65658&  0.27690&  0.05925&  0.00685&  0.00041&  0.00001\\
+   0.27690&  0.43893&  0.22450&  0.05281&  0.00645&  0.00041\\
+   0.05925&  0.22450&  0.43249&  0.22410&  0.05281&  0.00685\\
+   0.00685&  0.05281&  0.22410&  0.43249&  0.22450&  0.05925\\
+   0.00041&  0.00645&  0.05281&  0.22450&  0.43893&  0.27690\\
+   0.00001&  0.00041&  0.00685&  0.05925&  0.27690&  0.65658
+\end{pmatrix}
+>0
+\]
+und dass daher für alle $n\ge 5$ die Matrix $A^n$ positiv ist.
+\end{beispiel}
+
+Die Eigenschaft der Matrix $A$ von
+\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:diffusion}, dass $A^n>0$
+für genügend grosses $n$ ist bei Permutationsmatrizen nicht
+vorhanden.
+Die Zyklen-Zerlegung einer Permutationsmatrix zeigt, welche
+Unterräume von $\mathbb{R}^n$ die iterierten Bilder eines
+Standardbasisvektors aufspannen.
+Diese sind invariante Unterräume der Matrix.
+Das im Beispiel illustrierte Phänomen findet dann nur in invarianten
+Unterräumen statt.
+
+\begin{beispiel}
+Die Matrix
+\begin{equation}
+A=\begin{pmatrix}
+0.9&0.1&   &   &   &   \\
+0.1&0.8&0.1&   &   &   \\
+   &0.1&0.9&   &   &   \\
+   &   &   &0.9&0.1&   \\
+   &   &   &0.1&0.8&0.1\\
+   &   &   &   &0.1&0.9
+\end{pmatrix}
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:diffusionbloecke}
+\end{equation}
+besteht aus zwei $3\times 3$-Blöcken.
+Die beiden Unterräume $V_1=\langle e_1,e_2,e_3\rangle$
+und $V_2=\langle e_4,e_5,e_6\rangle$ sind daher invariante
+Unterräume von $A$ und damit auch von $A^n$.
+Die Potenzen haben daher auch die gleich Blockstruktur.
+Insbesondere sind zwar die Blöcke von $A^n$ für $n>1$ positive
+Teilmatrizen, aber die Matrix $A^n$ ist für alle $n$ nicht positiv.
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition}
+Eine nichtnegative Matrix mit der Eigenschaft, dass $A^n>0$ für
+ein genügend grosses $n$, heisst {\em primitiv}.
+\end{definition}
+
+Die Matrix $A$ von \eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:diffusion}
+ist also primitiv, Permutationsmatrizen sind niemals primitiv.
+Die Matrix $A$ von \eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:diffusionbloecke}
+ist nicht primitiv, aber die einzelnen Blöcke sind primitiv.
+Viele der Ausssagen über positive Matrizen lassen sich auf primitive
+nichtnegative Matrizen verallgemeinern.
+
+Das Beispiel zeigt auch, dass der Begriff der primitiven Matrix 
+eng mit der Idee verknüpft ist, die Problemstellung in invariante
+Unterräume aufzuteilen, in denen eine primitive Matrix vorliegt.
+Primitive Matrizen werden damit zu naheliegenden Bausteinen für
+die Problemlösung für nicht primitive Matrizen.
+
+Eine interessante Eigenschaft positiver Vektoren oder Matrizen
+ist, dass die Positivität sich manchmal ``upgraden'' lässt, 
+wie im folgenden Satz.
+Er zeigt, dass ein Vektor, der grösser ist als ein anderer, auch
+um einen definierten Faktor $>1$ grösser ist.
+Dies wird geometrisch in 
+Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:figure:trenn} illustriert.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/trenn.pdf}
+\caption{Die Vektoren $w\le u$ liegen im grauen Rechteck.
+Zwei nichtnegative Vektoren $u$ und $v$ mit $u>v$
+haben keine gleichen Komponenten.
+Daher kann man $v$ mit einer Zahl $\vartheta=1+\varepsilon > 1$
+strecken, so dass der gestreckte Vektor $(1+\varepsilon)v$ gerade noch
+im grauen Rechteck liegt: $u\ge (1+\varepsilon)v$.
+Streckung mit einem grösseren Faktor führt dagegen aus dem Rechteck
+hinaus.
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:figure:trenn}}
+\end{figure}
+
+\begin{satz}[Trenntrick]
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:trenntrick}
+Sind $u$ und $v$ nichtnegative Vektoren und $u>v$, dann gibt es eine
+positive Zahl $\varepsilon>0$ derart, dass
+$u\ge (1+\varepsilon)v$.
+Ausserdem kann $\varepsilon$ so gewählt werden, dass $u\not\ge(1+\mu)v$
+für $\mu>\varepsilon$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir betrachten die Zahl
+\[
+\vartheta
+=
+\max_{v_i\ne 0} \frac{u_i}{v_i}.
+\]
+Wegen $u>v$ sind die Quotienten auf der rechten Seite alle $>0$.
+Da nur endlich viele Quotienten miteinander verglichen werden, ist
+daher auch $\vartheta >1$.
+Es folgt $u\ge \vartheta v$. 
+Wegen $\vartheta >1$ ist $\varepsilon = \vartheta -1 >0$ und
+$u\ge (1+\varepsilon)v$.
+\end{proof}
+
+Der Satz besagt also, dass es eine Komponente $v_i\ne 0$ gibt
+derart, dass $u_i = (1+\varepsilon)v_i$.
+Diese Komponenten limitiert also, wie stark man $v$ strecken kann,
+so dass er immer noch $\le u$ ist.
+Natürlich folgt aus den der Voraussetzung $u>v$ auch, dass $u$ ein 
+positiver Vektor ist (Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:figure:trenn}).
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf}
+\caption{Eine positive Matrix $A$ bildet nichtnegative Vektoren in
+positive Vektoren ab
+(Korollar~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:Au>0korollar}).
+Zwei verschiedene Vektoren auf einer Seitenfläche erfüllen $u\ge v$,
+aber nicht $u>v$, da sie sich in der Koordinaten $x_2$ nicht unterscheiden.
+Die Bilder unter $A$ unterscheiden sich dann auch in $x_2$, es gilt
+$Au>Av$ (siehe auch Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:vergleichstrick})
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:vergleich}}
+\end{figure}
+
+\begin{satz}[Vergleichstrick]
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:vergleichstrick}
+Sei $A$ eine positive Matrix und seinen $u$ und $v$ Vektoren
+mit $u\ge v$ und $u\ne v$, dann ist $Au > Av$
+(siehe auch Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:vergleich}).
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir schreiben $d=u-v$, nach Voraussetzung ist $d\ne 0$.
+Der Satz besagt dann, dass aus $d\ge 0$ folgt, dass $Ad>0$, dies
+müssen wir beweisen.
+
+Die Ungleichung $Ad>0$ besagt, dass alle Komponenten von $Ad$ 
+positiv sind.
+Um dies nachzuweisen, berechnen wir
+\begin{equation}
+(Ad)_i
+=
+\sum_{j=1}^n
+a_{ij}
+d_j.
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Adpositiv}
+\end{equation}
+Alle Terme $a_{ij}>0$, weil $A$ positiv ist, und mindestens eine
+der Komponenten $d_j>0$, weil $d\ne 0$.
+Insbesondere sind alle Terme der Summe $\ge 0$, woraus wir
+bereits schliessen können, dass $(Ad)_i\ge 0$ sein muss.
+Die Komponente $d_j>0$ liefert einen positiven Beitrag
+$a_{ij}d_j>0$
+zur Summe~\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Adpositiv},
+also ist $(Ad)_i>0$.
+\end{proof}
+
+Der folgende Spezialfall folgt unmittelbar aus dem
+Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:vergleichstrick}.
+
+\begin{korollar}
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:Au>0korollar}
+Ist $A$ eine positive Matrix und $u\ge 0$ mit $u\ne 0$, dann
+ist $Au>0$.
+\end{korollar}
+
+Eine positive Matrix macht also aus nicht verschwindenden
+und nicht negativen Vektoren positive Vektoren.
+
+%
+% Die verallgemeinerte Dreiecksungleichung
+%
+\subsection{Die verallgemeinerte Dreiecksungleichung
+\label{buch:subsection:verallgemeinerte-dreiecksungleichung}}
+Die Dreiecksungleichung besagt, dass für beliebige Vektoren
+$u,v\in\mathbb{R}^n$ gilt
+\[
+|u+v|\le |u|+|v|
+\]
+mit Gleichheit genau dann, wenn $u$ und $v$ linear abhängig sind.
+Wenn beide von $0$ verschieden sind, dann gibt es eine positive Zahl
+$t$ mit $u=tv$.
+Wir brauchen eine Verallgemeinerung für eine grössere Zahl von
+Summanden.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/dreieck.pdf}
+\caption{Die verallgemeinerte Dreiecksungleichung von
+Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:verallgemeinerte-dreiecksungleichung}
+besagt, dass
+die Länge einer Summe von Vektoren (blau) höchstens so gross ist wie die
+Summe der Längen, mit Gleichheit genau dann, wenn alle Vektoren die
+gleiche Richtung haben (rot).
+Hier dargestellt am Beispiel von Zahlen in der komplexen Zahlenebene.
+In dieser Form wird die verallgemeinerte Dreiecksungleichung in
+Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:verallgdreieckC}
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:dreieck}}
+\end{figure}
+
+\begin{satz}[Verallgemeinerte Dreiecksungleichung]
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:verallgemeinerte-dreiecksungleichung}
+Für $n$ Vektoren $v_i\ne 0$ gilt
+\[
+|u_1+\dots+u_n| \le |u_1|+\dots+|u_n|
+\]
+mit Gleichheit genau dann, wenn alle Vektoren nichtnegative Vielfache
+eines gemeinsamen Einheitsvektors $c$ sind: $u_i=|u_i|c$
+(siehe auch Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:dreieck}).
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Aussage kann mit vollständiger Induktion bewiesen werden.
+Die Induktionsverankerung ist der Fall $n=2$ gegeben durch die
+gewöhnliche Dreiecksungleichung.
+
+Wir nehmen daher jetzt an, die Aussage sei für $n$ bereits bewiesen,
+wir müssen sie dann für $n+1$ beweisen.
+Die Summe von $n+1$ Vektoren kann man $u=u_1+\dots+u_n$ und $v=u_{n+1}$
+aufteilen.
+Es gilt dann
+\[
+|u+v|
+=
+|u_1+\dots+u_n+u_{n+1}|
+\]
+und
+\[
+|u_1+\dots+u_n| = |u_1|+\dots+|u_n|.
+\]
+Aus der Induktionsannahme folgt dann, dass die Vektoren $u_1,\dots,u_n$
+positive Vielfache eines Einheitsvektors $u$ sind, $u_i=|u_i|c$.
+Es ist dann
+\[
+u=u_1+\dots+u_n = \biggl(\sum_{i=1}^n |u_i|\biggr).
+\]
+Aus der gewöhnlichen Dreiecksungleichung, angewendet auf $u$ und $v$
+folgt jetzt, dass $v$ ebenfalls ein nichtnegatives Vielfaches von $c$ ist.
+Damit ist der Induktionsschritt vollzogen.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:verallgdreieckC}
+Seien $a_1,\dots,a_n$ positive Zahlen und $u_i\in\mathbb C$ derart,
+dass 
+\[
+\biggl|
+\sum_{i=1}^n a_i u_i
+\biggr|
+=
+\sum_{i=1}^n a_i |u_i|,
+\]
+dann gibt es eine komplexe Zahl $c$ und einen nichtnegativen Vektor $v$
+derart, dass $u=cv$.
+\end{satz}
+
+Der Satz besagt, dass die komplexen Komponenten $u_i$ alle das gleiche
+Argument haben.
+Die motiviert den nachstehenden geometrischen Beweis des Satzes.
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wer stellen uns die komplexen Zahlen $u_i$ als Vektoren in der
+zweidimensionalen Gaussschen Ebene vor.
+Dann ist die Aussage nichts anderes als ein Spezialfall von
+Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:verallgemeinerte-dreiecksungleichung}
+für den zweidimensionalen reellen Vektorraum $\mathbb{C}$.
+\end{proof}
+
+
+%
+% Der Satz von Perron-Frobenius
+%
+\subsection{Der Satz von Perron-Frobenius
+\label{buch:subsection:der-satz-von-perron-frobenius}}
+Wir sind an den Eigenwerten und Eigenvektoren einer positiven
+oder primitiven Matrix interessiert.
+Nach Definition des Spektralradius $\varrho(A)$ muss es einen Eigenvektor 
+zu einem Eigenwert $\lambda$ mit Betrag $|\lambda|=\varrho(A)$ geben,
+aber a priori wissen wir nicht, ob es einen reellen Eigenwert vom
+Betrag $\varrho(A)$ gibt, und ob der Eigenvektor dazu reell ist.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf}
+\caption{Die Iteration einer positiven Matrix bildet den positiven Oktanten
+in immer enger werdende Kegel ab, die die Richtung des gesuchten Eigenvektors
+gemeinsam haben.
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:figure:positiv}}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:vergleich} kann man sehen,
+dass eine positive Abbildung den positiven Oktanten in einen etwas engeren
+Kegel hinein abbildet.
+Iteriert man dies (Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:figure:positiv}),
+wird die Bildmenge immer enger, bis sie nur ein
+sehr enger Kegel um die Richtung des Eigenvektors ist.
+Tatsächlich kann man aus dieser Idee auch einen topologischen
+Beweis des untenstehenden Satzes von Perron-Frobenius konstruieren.
+Er beruht darauf, dass eine Abbildung, die Distanzen verkleinert,
+einen Fixpunkt hat.
+Die Konstruktion einer geeigneten Metrik ist allerdings eher 
+kompliziert, weshalb wir im Beweise der nachstehenden Aussagen
+den konventionellen Weg wählen.
+
+Wir beginnen damit zu zeigen, dass für positive Matrizen $A$, 
+nichtnegative Eigenvektoren zu Eigenwerten $\lambda\ne 0$
+automatisch positiv sind.
+Ausserdem müssen die zugehörigen Eigenwerte sogar positiv sein.
+
+\begin{satz}
+Sei $A$ eine positive Matrix und $u$ ein nichtnegativer Eigenvektor zum
+Eigenwert $\lambda\ne 0$.
+Dann ist $u$ ein positiver Vektor und $\lambda > 0$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Nach dem Korollar~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:Au>0korollar}
+folgt, dass $Au>0$ ein positiver Vektor ist, es sind
+also alle Komponenten positiv.
+Der Vektor $u$ ist aber auch ein Eigenvektor, es gilt also
+$\lambda u = Au$.
+Da alle Komponenten von $Au$ positiv sind, müssen auch
+alle Komponenten von $\lambda u$ positiv sein.
+Das ist nur möglich, wenn $\lambda > 0$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:positivereigenvektor}
+Sei $A$ eine positive Matrix und $v$ ein Eigenvektor von $A$ zu einem
+Eigenwert $\lambda$ mit Betrag $|\lambda|=\varrho(A)$,
+dann ist der Vektor $u$  mit den Komponenten $u_i=|v_i|$ ein
+positiver Eigenvektor zu Eigenwert $\varrho(A)$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Es gilt natürlich auch, dass
+\[
+(Au)_i
+=
+\sum_{j=1}^n a_{ij}u_j
+=
+\sum_{j=1}^n |a_{ij}v_j|
+\ge
+\biggl|
+\sum_{j=1}^n a_{ij}v_j
+\biggr|
+=
+|(Av)_i|
+=
+|\lambda v_i|
+=
+\varrho(A) |v_i|
+=
+\varrho(A) u_i,
+\]
+oder $Au \ge \varrho(A)u$.
+Wir müssen zeigen, dass sogar $Au=\varrho(A)u$ gilt.
+Wir nehmen daher an, dass $Au\ne \varrho(A)u$ ist, und führen dies zu
+einem Widerspruch.
+
+Da $\varrho(A)u$ ein nichtnegativer Vektor ist, können wir den Vergleichstrick
+Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:vergleichstrick}, auf die beiden
+Vektoren $Au$ und $\varrho(A)u$ anwenden.
+Wir schliessen $A^2u > \varrho(A)Au$.
+
+Mit dem Trenntrick
+Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:trenntrick}
+können wir jetzt eine Zahl $\vartheta>1$ finden derart, dass
+\[
+A^2 u \ge \vartheta \varrho(A) Au
+\]
+ist.
+Durch weitere Anwendung von $A$ findet man
+\begin{align*}
+A^3 u & \ge (\vartheta \varrho(A))^2 Au
+\\
+&\phantom{0}\vdots
+\\
+A^{k+1} u & \ge (\vartheta \varrho(A))^{k} Au
+\end{align*}
+Daraus kann man jetzt die Norm abschätzen:
+\[
+\begin{aligned}
+\| A^{k}\|\, |Au|
+&\ge 
+\| A^{k+1}u\|
+\ge
+(\vartheta\varrho(A))^{k} |Au|
+&&
+\Rightarrow
+&
+\|A^k\| &\ge  (\vartheta\varrho(A))^k 
+\\
+&&&\Rightarrow&
+\|A^k\|^{\frac{1}{k}} &\ge \vartheta\varrho(A)
+\\
+&&&\Rightarrow&
+\lim_{k\to\infty}
+\|A^k\|^{\frac{1}{k}} &\ge \vartheta\varrho(A)
+\\
+&&&\Rightarrow&
+\varrho(A)&\ge \vartheta\varrho(A)
+\end{aligned}
+\]
+Wegen $\vartheta>1$ ist dies aber gar nicht möglich.
+Dieser Widerspruch zeigt, dass $u=v$ sein muss, insbesondere ist
+$v$ ein nichtnegativer Eigenvektor.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+Sei $A$ eine positive Matrix und $v$ ein Eigenvektor zu einem 
+Eigenwert $\lambda$ mit Betrag $|\lambda|=\varrho(A)$.
+Dann ist $\lambda=\varrho(A)$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Nach Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:positivereigenvektor}
+ist der Vektor $u$ mit den Komponenten $u_i=|v_i|$ ein positiver
+Eigenvektor zum Eigenwert $\varrho(A)$.
+Aus der Eigenvektorgleichung für $u$ folgt
+\begin{equation}
+Au = \varrho(A) u
+\quad\Rightarrow\quad
+\sum_{j=1}^n a_{ij}|v_j| = \varrho(A) |v_i|.
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:pev1}
+\end{equation}
+Anderseits ist $v$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$, also gilt
+\[
+\sum_{j=1}^n a_{ij}v_j = \lambda v_i.
+\]
+Der Betrag davon ist
+\begin{equation}
+\biggl|
+\sum_{j=1}^n a_{ij}v_j
+\biggr|
+=
+|\lambda v_i|
+=
+\varrho(A) |v_i|
+=
+\varrho |v_i|.
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:pev2}
+\end{equation}
+Die beiden Gleichungen
+\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:pev1}
+und
+\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:pev2}
+zusammen ergeben die Gleichung
+\[
+\biggl|
+\sum_{j=1}^n a_{ij}v_j
+\biggr|
+=
+\sum_{j=1}^n a_{ij}|v_j|.
+\]
+Nach der verallgemeinerten Dreiecksungleichung
+Satz~\ref{buch:subsection:verallgemeinerte-dreiecksungleichung}
+folgt jetzt, dass es eine komplexe Zahl $c$ vom Betrag $1$ gibt derart,
+dass $v_j = |v_j|c=u_jc$.
+Insbesondere ist $v=cu$ und damit ist 
+\[
+\lambda v = Av = Acu = c Au = c\varrho(A) u = \varrho(A) v,
+\]
+woraus $\lambda=\varrho(A)$ folgt.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:geometrischeinfach}
+Der Eigenraum einer positiven Matrix $A$ zum Eigenwert $\varrho(A)$ ist
+eindimensional.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Sei $u$ der bereits gefundene Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\varrho(A)$
+und sei $v$ ein weiterer, linear unabhängiger Eigenvektor zum
+gleichen Eigenwert.
+Da $A$ und $\varrho(A)$ reell sind, sind auch die Vektoren $\Re v$ und $\Im v$
+aus den Realteilen $\Re v_i$ oder den Imaginärteilen $\Im v_i$ Eigenvektoren.
+Beide Vektoren sind reelle Vektoren und mindestens einer davon ist mit
+$u$ linear unabhängig.
+Wir dürfen daher annehmen, dass $v$ ein linear unabhängiger Eigenvektor
+zum Eigenwert $\varrho(A)$ ist.
+
+Weil wir wissen, dass $u$ ein positiver Vektor ist, gibt es einen
+grösstmöglichen Faktor $c>0$ derart, dass $u\ge cv$ oder $u\ge cv$.
+Insbesondere verschwindet mindestens eine Komponente von $u-cv$.
+Da $u$ und $v$ Eigenvektoren zum Eigenwert $\varrho(A)$ sind,
+ist 
+\[
+A(u-cv)
+=
+\varrho(A)(u-cv).
+\]
+Der Vektor auf der rechten Seite hat mindestens eine verschwindende 
+Komponente.
+Der Vektor auf der linken Seite ist nach Vergleichstrick
+Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:vergleichstrick}
+\[
+A(u-cv) > 0,
+\]
+alle seine Komponenten sind $>0$.
+Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme, es gäbe einen von $u$ linear 
+unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert $\varrho(A)$ nicht haltbar ist.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:algebraischeinfach}
+Der verallgemeinerte Eigenraum zum Eigenwert $\varrho(A)$ einer 
+positiven Matrix $A$ ist eindimensional.
+Ist $u$ der Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\varrho(A)$ nach
+Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:geometrischeinfach}
+und $p^t$ der entsprechende Eigenvektor $A^t$, dann
+ist
+\[
+\mathbb{R}^n
+=
+\langle u\rangle
+\oplus
+\{ x\in\mathbb{R}^n\;|\; px=0\}
+=
+\langle u\rangle
+\oplus
+\ker p
+\]
+eine Zerlegung in invariante Unterräume von $A$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die beiden Vektoren $x$ und $p$ sind beide positiv, daher ist das 
+Produkt $pu\ne 0$.
+Insbesondere ist $u\not\in\ker p$
+
+Es ist klar, dass $A\langle u\rangle = \langle Au\rangle = \langle u\rangle$
+ein invarianter Unterraum ist.
+Für einen Vektor $x\in\mathbb{R}^n$ mit $px=0$ erfüllt das Bild $Ax$
+\[
+p(Ax)=(pA)x=(A^tp^t)^tx=
+\varrho(A)(p^t)^tx
+=
+\varrho(A)px = 0,
+\]
+somit ist $A\ker p \subset \ker p$.
+Beide Räume sind also invariante Unteräume.
+
+$\ker p$ ist $(n-1)$-dimensional, $\langle u\rangle$ ist eindimensional
+und $u$ ist nicht in $\ker p$ enthalten.
+Folglich spannen $\langle u\rangle$ und $\ker p$ den ganzen Raum auf.
+
+Gäbe es einen weitern linear unabhängigen Vektor im verallgemeinerten
+Eigenraum von $\mathcal{E}_{\varrho(A)}$, dann müsste es auch einen
+solchen Vektor in $\ker p$ geben.
+Da $\ker p$ invariant ist, müsste es also auch einen weiteren Eigenvektor
+$u_2$ zum Eigenwert $\varrho(A)$ in $\ker p$ geben.
+Die beiden Vektoren $u$ und $u_1$ sind dann beide Eigenvektoren, was
+nach Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:geometrischeinfach}
+nicht möglich ist.
+\end{proof}
+
+Die in den Sätzen
+\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:positivereigenvektor}
+bis
+\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:algebraischeinfach}
+gefundenen Resultate können wir folgt zusammengefasst werden:
+
+\begin{satz}[Perron-Frobenius]
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius}
+Sei $A$ eine positive Matrix mit Spektralradius $\varrho(A)$.
+Dann gibt es einen positiven Eigenvektor zum Eigenwert $\varrho(A)$,
+mit geometrischer und algebraischer Vielfachheit $1$.
+\end{satz}
+
+\begin{beispiel}
+In der Google-Matrix mit freiem Willen
+nach
+\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:google-matrix}
+enthält den Term $((1-\alpha)/N)UU^t$.
+Die Matrix $UU^t$ ist eine Matrix aus lauter Einsen, der Term
+ist also für $\alpha < 1$ eine positive Matrix.
+Die Google-Matrix ist daher eine positive Matrix.
+Nach dem Satz von Perron-Frobenius ist die Grenzverteilung
+eindeutig bestimmt.
+\end{beispiel}
+
+Der Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius}
+von Perron-Frobenius kann auf primitive Matrizen verallgemeinert
+werden.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius2}
+Sei $A$ ein primitive, nichtnegative Matrix.
+Dann ist $\varrho(A)$ der einzige Eigenwert vom Betrag $\varrho(A)$
+und er hat geometrische und algebraische Vielfachheit $1$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Nach Voraussetzung gibt es ein $n$ derart, dass $A^n>0$.
+Für $A^n$ gelten die Resultate von 
+Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius}.
+
+XXX TODO
+\end{proof}