Rationale Zahlen als Paare (a, b).

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index 8a13de8..4809e29 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
@@ -3,11 +3,13 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
+% !TeX spellcheck = de_CH
 \section{Ganze Zahlen
 \label{buch:section:ganze-zahlen}}
 \rhead{Ganze Zahlen}
-Die Menge der ganzen Zahlen löst das Problem, dass nicht jede ganzzahlige
-Gleichung der Form $x+a=b$ eine Lösung hat.
+Die Menge der ganzen Zahlen löst das Problem, dass nicht jede
+Gleichung der Form $x+a=b$ mit $a, b \in \mathbb N$
+eine Lösung $x \in \mathbb N$ hat.
 Dazu ist erforderlich, den natürlichen Zahlen die negativen Zahlen
 hinzuzufügen, also wieder die Existenz neuer Objekte zu postulieren,
 die die Rechenregeln weiterhin erfüllen.
@@ -15,9 +17,9 @@ die die Rechenregeln weiterhin erfüllen.
 \subsubsection{Paare von natürlichen Zahlen}
 Die ganzen Zahlen können konstruiert werden als Paare $(u,v)$ von 
 natürlichen Zahlen $u,v\in\mathbb{N}$.
-Die Paare der Form $(u,0)$ entsprechen den natürlichn Zahlen, die
+Die Paare der Form $(u,0)$ entsprechen den natürlichen Zahlen, die
 Paare $(0,v)$ sind die negativen Zahlen.
-Die Rechenoperatioen sind wie folgt definiert:
+Die Rechenoperationen sind wie folgt definiert:
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 (a,b)+(u,v) &= (a+u,b+v)
@@ -30,8 +32,8 @@ Die Rechenoperatioen sind wie folgt definiert:
 \subsubsection{Äquivalenzrelation}
 Die Definition~\eqref{buch:zahlen:ganze-rechenregeln}
 erzeugt neue Paare, die wir noch nicht interpretieren können.
-Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$, die Paare $(u,u)$ 
-müssen daher alle mit der ganzen Zahl $0$ identifiziert werden.
+Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$.
+Die Paare $(u,u)$ müssen daher alle mit $0$ identifiziert werden.
 Es folgt dann auch, dass alle Paare von natürlichen Zahlen mit 
 ``gleicher Differenz'' den gleichen ganzzahligen Wert darstellen,
 allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja die Differenz
@@ -40,7 +42,7 @@ Stattdessen gelten zwei Paare als äquivalent, wenn
 \begin{equation}
 (a,b) \sim (c,d)
 \qquad\Leftrightarrow\qquad
-a+d = c+d
+a+d = c+b
 \label{buch:zahlen:ganz-aquivalenz}
 \end{equation}
 gilt.
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
index 086658f..3863191 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -3,6 +3,7 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
+% !TeX spellcheck = de_CH
 \section{Natürlich Zahlen
 \label{buch:section:natuerliche-zahlen}}
 \rhead{Natürliche Zahlen}
@@ -42,7 +43,7 @@ Aus der Nachfolgereigenschaft lässt sich durch wiederholte Anwendung
 die vertrautere Addition konstruieren.
 \index{Addition!in $\mathbb{N}$}%
 Um die Zahl $n\in\mathbb{N}$ um $m\in\mathbb{N}$ zu vermehren, also
-$n+m$ auszurechnen, kann man rekursiven Regeln
+$n+m$ auszurechnen, kann man rekursive Regeln
 \begin{align*}
 n+0&=n\\
 n+m'&=(n+m)'
@@ -102,7 +103,7 @@ legen jedes Produkt von natürlichen Zahlen fest, zum Beispiel
 5 + 5 + 5.
 \]
 Doch auch bezüglich der Multiplikation ist $\mathbb{N}$ unvollständig,
-die Beispielgleichung $3x=1$ hat eine Lösung in $\mathbb{N}$.
+die Beispielgleichung $3x=1$ hat keine Lösung in $\mathbb{N}$.
 
 \subsubsection{Rechenregeln}
 Aus den Definitionen lassen sich auch die Rechenregeln ableiten,
@@ -146,24 +147,27 @@ a\cdot(b+c) = ab+ac
 (a+b)c = ac+bc
 \]
 gelten.
-Das Distributivgesetz drückt die wohlbekannte Regel des
+Bei einem nicht-kommutativen Produkt ist es hierbei notwendig,
+zwischen Links- und Rechts-Distributivgesetz zu unterscheiden.
+
+Die Distributivgesetze drücken die wohlbekannte Regel des
 Ausmultiplizierens aus.
 Ein Distributivgesetz ist also grundlegend dafür, dass man mit den
 Objekten so rechnen kann, wie man das in der elementaren Algebra 
 gelernt hat.
-Auch das Distributivgesetz ist daher eine Rechenregel, die wir in
+Auch die Distributivgesetze sind daher Rechenregeln, die wir in
 Zukunft immer dann fordern werden, wenn Addition und Multiplikation
 definiert sind.
-Es gilt immer für Matrizen.
+Sie gelten immer für Matrizen.
 
 \subsubsection{Teilbarkeit}
 Die Lösbarkeit von Gleichungen der Form $ax=b$ mit $a,b\in\mathbb{N}$
-gibt aber Anlass zu dem sehr nützlichen Konzept der Teilbarkeit.
+gibt Anlass zum sehr nützlichen Konzept der Teilbarkeit.
 \index{Teilbarkeit}%
 Die Zahl $b$ heisst teilbar durch $a$, wenn die Gleichung $ax=b$ eine
 Lösung in $\mathbb{N}$ hat.
 \index{teilbar}%
-Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ teilbar und auch durch sich selbst,
+Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ und durch sich selbst teilbar,
 denn $n\cdot 1 = n$.
 Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich.
 Die Zahlen
@@ -183,11 +187,13 @@ Die Peano-Axiome postulieren, dass es natürliche Zahlen gibt.
 Es werden keine Anstrengungen unternommen, die natürlichen Zahlen
 aus noch grundlegenderen mathematischen Objekten zu konstruieren.
 Die Mengenlehre bietet eine solche Möglichkeit.
+
 Da die natürlichen Zahlen das Konzept der Anzahl der Elemente einer
 Menge abstrahieren, gehört die leere Menge zur Zahl $0$.
 Die Zahl $0$ kann also durch die leere Menge $\emptyset = \{\}$
-wiedergegeeben werden.
-Der Nachfolger muss jetzt als eine Menge mit zwei Elementen konstruiert
+wiedergegeben werden.
+
+Der Nachfolger muss jetzt als eine Menge mit einem Element konstruiert
 werden.
 Das einzige mit Sicherheit existierende Objekt, das für diese Menge
 zur Verfügung steht, ist $\emptyset$.
@@ -195,22 +201,23 @@ Zur Zahl $1$ gehört daher die Menge $\{\emptyset\}$, eine Menge mit
 genau einem Element.
 Stellt die Menge $N$ die Zahl $n$ dar, dann können wir die zu $n+1$
 gehörige Menge $N'$ dadurch konstruieren, dass wir zu den Elemente
-von $N$ in zusätzliches Element hinzufügen, das noch nicht in $N$ ist,
-zum Beispiel $N$:
+von $N$ ein zusätzliches Element hinzufügen, das noch nicht in $N$ ist,
+zum Beispiel $\{N\}$:
 \[
 N' = N \cup \{ N \}.
 \]
+
 Die natürlichen Zahlen existieren also, wenn wir akzeptieren, dass es
 Mengen gibt.
-Die natürlichen Zahl sind also nacheinander die Mengen
+Die natürlichen Zahlen sind dann nacheinander die Mengen
 \begin{align*}
 0 &= \emptyset 
 \\
 1 &= 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{0\} = \{0\}
 \\
-2 &= 1 \cup \{ 1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\}
+2 &= 1 \cup \{1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\}
 \\
-3 &= 2 \cup \{ 2\} = \{0,1\}\cup \{2\} = \{0,1,2\}
+3 &= 2 \cup \{2\} = \{0,1\}\cup \{2\} = \{0,1,2\}
 \\
 &\phantom{n}\vdots
 \\
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
index aeb0b6b..5c76896 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
@@ -3,6 +3,7 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
+% !TeX spellcheck = de_CH
 \section{Rationale Zahlen
 \label{buch:section:rationale-zahlen}}
 \rhead{Rationale Zahlen}
@@ -11,34 +12,86 @@ lösbar, es gibt keine ganze Zahl $x$ mit $3x=1$.
 Die nötige Erweiterung der ganzen Zahlen lernen Kinder noch bevor sie
 die negativen Zahlen kennenlernen.
 
+Wir können hierbei denselben Trick anwenden,
+wie schon beim Übergang von den natürlichen zu den ganzen Zahlen.
+Wir kreieren wieder Paare $(z, n)$, deren Elemente nennen wir \emph{Zähler} und
+\emph{Nenner}, wobei $z, n \in \mathbb Z$ und zudem $n \ne 0$.
+Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation lauten
+\[
+(a, b) + (c, d)
+=
+(ad + bc, bd)
+\qquad \text{und} \qquad
+(a, b) \cdot (c, d)
+=
+(ac, bd)
+.
+\]
+Die ganzen Zahlen lassen sich als in dieser Darstellung als
+$z \mapsto (z, 1)$ einbetten.
+
+Ähnlich wie schon bei den ganzen Zahlen ist diese Darstellung
+aber nicht eindeutig.
+Zwei Paare sind äquivalent, wenn sich deren beide Elemente um denselben Faktor
+unterscheiden,
+\[
+(a, b)
+\sim
+(c, d)
+\quad \Leftrightarrow \quad
+\exists \lambda \in \mathbb Z \colon
+\lambda a = c
+\wedge
+\lambda b = d
+.
+\]
+Dass es sich hierbei wieder um eine Äquivalenzrelation handelt, lässt sich
+einfach nachprüfen.
+
+Durch die neuen Regen gibt es nun zu jedem Paar $(a, b)$ mit $a \ne 0$
+ein Inverses $(b, a)$ bezüglich der Multiplikation,
+wie man anhand der folgenden Rechnung sieht,
+\[
+(a, b) \cdot (b, a)
+=
+(a \cdot b, b \cdot a)
+=
+(a \cdot b, a \cdot b)
+\sim
+(1, 1)
+.
+\]
+
 \subsubsection{Brüche}
-Rationale Zahlen sind Paare von ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$,
-die in der speziellen Schreibweise $\frac{a}{b}$ dargestellt werden.
-Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation sind
-\begin{align*}
+Rationale Zahlen sind genau die Äquivalenzklassen dieser Paare $(a, b)$ von
+ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$.
+Da diese Schreibweise recht unhandlich ist, wird normalerweise die Notation
+als Bruch $\frac{a}{b}$ verwendet.
+Die Rechenregeln werden dadurch zu den wohlvertrauten
+\[
 \frac{a}{b}+\frac{c}{d}
-&=
+=
 \frac{ad+bc}{bd},
-\\
+\qquad\text{und}\qquad
 \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}
-&=
-\frac{ac}{bd}.
-\end{align*}
-Die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die
+=
+\frac{ac}{bd}
+\]
+und die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die
 Regeln
-\begin{align*}
-\frac{a}{b}+\frac{0}{d} &= \frac{ad}{bd}
-\\
-\frac{a}{b}\cdot \frac{0}{c} &= \frac{0}{bc}
-\\
-\frac{a}{b}\cdot \frac{1}{1} &= \frac{a}{b}.
-\end{align*}
+\[
+\frac{a}{b}+\frac{0}{d} = \frac{ad}{bd} \sim \frac{a}{b},
+\qquad
+\frac{a}{b}\cdot \frac{0}{c} = \frac{0}{bc}
+\qquad\text{und}\qquad
+\frac{a}{b}\cdot \frac{1}{1} = \frac{a}{b}.
+\]
 Wir sind uns gewohnt, die Brüche $\frac{0}{b}$ mit der Zahl $0$ und
 $\frac{1}{1}$ mit der Zahl $1$ zu identifizieren.
 
 \subsubsection{Kürzen}
 Wie bei den ganzen Zahlen entstehen durch die Rechenregeln viele Brüche,
-denen wir den gleichen Wert zuordnen möchten
+denen wir den gleichen Wert zuordnen möchten.
 Zum Beispiel folgt
 \[
 \frac{ac}{bc} - \frac{a}{b} 
@@ -50,8 +103,8 @@ Zum Beispiel folgt
 wir müssen also die beiden Brüche als gleichwertig betrachten.
 Allgemein gelten die zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$
 als äquivalent, wenn $ad-bc= 0$ gilt.
-
-Die Definition bestätigt, dass die beiden Brüche
+Dies ist gleichbedeutend mit der früher definierten Äquivalenzrelation
+und bestätigt, dass die beiden Brüche
 \[
 \frac{ac}{bc} 
 \qquad\text{und}\qquad