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diff --git a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex
index f673aa4..e4e58ee 100644
--- a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex
@@ -14,17 +14,23 @@ Die Geometrie studiert zum Beispiel Objekte wie Punkte, Geraden, Kreise
 und deren Beziehungen untereinander, die man definieren kann ganz ohne
 das Wissen, was eine Zahl ist.
 Apollonius von Perga (262--190 BCE) hat in seinem Buch über Kegelschnitte
+\index{Apollonius von Perga}%
+\index{Perga, Appollonius von}%
 als erster einen algebraischen Zusammenhang zwischen Zahlen festgestellt,
 die man also die Vorläufer heutiger Koordinaten eines Punktes ansehen könnte.
-Erst im 16.~Jahrhundert entwickelte sich die Algebra allerdings weit genug,
+Erst im 16.~Jahrhundert entwickelte sich die Algebra weit genug,
 dass eine Algebraisierung der Geometrie möglich wurde.
 Pierre de Fermat
 \index{Fermat, Pierre de}%
 und René Descartes
 \index{Descartes, René}%
 schufen die sogenannte {\em analytische Geometrie}. 
+\index{analytische Geometrie}%
+\index{Geometrie, analytische}%
 Das rechtwinklige Koordinatensystem, nach Descartes auch karteisches
 Koordinatensystem genannt, beschreibt Punkte als Zahlenpaare $(x,y)$
+\index{kartesisches Koordinatensystem}%
+\index{Koordinatensystem, kartesisches}%
 und Kurven in der Ebene durch ihre Gleichungen.
 Geraden können als Graphen der Funktion $f(x) = ax+b$ oder als Lösungsmenge
 linearer Gleichungen wie $ax+by=c$ verstanden werden.
@@ -46,7 +52,7 @@ x^2+(y-1)^2=4
 einen Kreis mit Radius $2$ um den Punkt $(0,1)$.
 Der Kreis hat natürlich zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse, wie mit jeder
 Gerade, deren Abstand vom Mittelpunkt des Kreises kleiner ist als der Radius.
-Schnittpunkte haben die Koordinaten $(x_S,0)$ und $x_S$ muss die
+Die Schnittpunkte haben die Koordinaten $(x_S,0)$ und $x_S$ muss die
 Gleichung
 \[
 x_S^2 + (0-1)^2 = x_S^2+1=4
@@ -54,11 +60,14 @@ x_S^2 + (0-1)^2 = x_S^2+1=4
 x_S^2=3
 \]
 erfüllen.
+\index{rationale Zahlen}%
 Eine solche Lösung ist nicht möglich, wenn man sich auf rationale
 Koordinaten $x_S\in\mathbb{Q}$ beschränkt, die Erweiterung auf
 reelle Zahlen ist notwendig.
+\index{reelle Zahlen}%
 
 Kapitel~\ref{buch:chapter:zahlen} übernimmt die Aufgabe, die Zahlensysteme
+\index{Zahlensysteme}%
 klar zu definieren und ihre wichtigsten Eigenschaften zusammenzutragen.
 Sie bilden das Fundament aller folgenden Konstruktionen.
 
@@ -69,12 +78,13 @@ Die Zahl $\alpha=\sqrt{2}$ ist ja nur ein Objekt, mit dem gerechnet werden
 kann wie mit jeder anderen Zahl, welche aber die zusätzliche Rechenregel
 $\alpha^2=2$ erfüllt.
 Die Erweiterung von $\mathbb{R}$ zu den komplexen Zahl verlangt nur,
+\index{komplexe Zahlen}%
 dass man der Menge $\mathbb{R}$ ein neues algebraisches Objekt $i$
 hinzufügt, welches als spezielle Eigenschaft die Gleichung $i^2=-1$ hat.
 Bei $\sqrt{2}$ hat die geometrische Anschauung suggeriert, dass es eine
 solche Zahl ``zwischen'' den rationalen Zahlen gibt, aber für $i$
 gibt es keine solche Anschauung.
-Die imaginäre Einheit $i$ erhielt daher auch diesen durchaus
+Die imaginäre Einheit $i$ erhielt daher von Descartes auch diesen durchaus
 abwertend gemeinten Namen.
 
 Die Zahlensysteme lassen sich also verstehen als einfachere Zahlensysteme,
@@ -89,6 +99,7 @@ erfüllen will, auch einfach wieder die Existenz des neuen Objektes
 postulieren?
 
 Komplexen Zahlen und Matrizen zeigen, wie das gehen könnte.
+\index{Matrizen}%
 Indem man vier rationale Zahlen als $2\times 2$-Matrix in der Form
 \[
 A=
@@ -181,7 +192,7 @@ die Menge der Matrizen
 a,b\in\mathbb{Q}
 \right\}
 \]
-verhält sich daher genau so wie die Menge der rationalen Zahlen, denen
+verhält sich daher genau so wie die Menge der rationalen Zahlen, der
 man ein ``imaginäres'' neues Objekt $\!\sqrt{2}$ hinzugefügt hat.
 
 Matrizen sind also ein Werkzeug, mit dem sich ein algebraisches Systeme
@@ -199,24 +210,33 @@ einzelnen Objektes, sowohl $\sqrt{2}$ wie auch $i$ sind Lösungen einer
 Polynomgleichung.
 
 Eine besondere Rolle spielen in der Mathematik die Symmetrien.
+\index{Symmetrie}%
 Eine der frühesten Anwendungen dieses Gedankens in der Algebra war
 die Überlegung, dass sich die Nullstellen einer Polynomgleichung
 permutieren lassen.
 Die Idee der Permutationsgruppe taucht auch in algebraischen Konstruktionen
 wie der Determinanten auf.
+\index{Permutation}%
+\index{Permutationsgruppe}%
+\index{Determinante}%
 Tatsächlich lassen sich Permutationen auch als Matrizen schreiben
 und die Rechenregeln für Determinanten sind ein direktes Abbild
 gewisser Eigenschaften von Transpositionen.
+\index{Transposition}%
 Einmal mehr haben Matrizen ermöglicht, ein neues Konzept in einer
 bekannten Sprache auszudrücken.
 
 Die Darstellungstheorie ist das Bestreben, nicht nur Permutationen,
+\index{Darstellungstheorie}%
 sondern beliebige Gruppen von Symmetrien als Mengen von Matrizen
 darzustellen.
 Die abstrakten Symmetriegruppen erhalten damit immer konkrete 
 Realisierungen als Matrizenmengen.
 Auch kompliziertere Strukturen wie Ringe, Körper oder Algebren
 lassen sich mit Matrizen realisieren.
+\index{Ring}%
+\index{Körper}%
+\index{Algebra}%
 Aber die Idee ist nicht auf die Geometrie beschränkt, auch analytische
 oder kombinatorische Eigenschaften lassen sich in Matrizenstrukturen
 abbilden und damit neuen rechnerischen Behandlungen zugänglich
@@ -225,8 +245,10 @@ machen.
 Das Kapitel~\ref{buch:chapter:homologie} illustriert, wie weit dieser
 Plan führen kann.
 Die Konstruktion der Homologiegruppen zeigt, wie sich die Eigenschaften
-der Gestalt gewisser geometrischer Strukturen zunächst mit Matrizen,
-die kombinatorische Eigenschaften beschreiben, ausdrücken lassen.
+\index{Homologiegruppe}%
+der Gestalt gewisser geometrischer Strukturen zunächst mit Matrizen
+ausdrücken lassen,
+die kombinatorische Eigenschaften beschreiben.
 Anschliessend können daraus wieder algebraische Strukturen gewonnen
 werden.
 Gestalteigenschaften werden damit der rechnerischen Untersuchung zugänglich.
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
index 56ef096..962dae4 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
@@ -11,7 +11,8 @@
 Das Thema dieses Buches ist die Konstruktion interessanter 
 mathematischer Objekte mit Hilfe von Matrizen.
 Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen.
-Wir wollen von diesen grundlegenden Bausteinen ausgehen.
+Wir wollen von den bekannten Zahlmengen als grundlegenden
+Bausteinen ausgehen.
 Dies schliesst natürlich nicht aus, dass man auch Zahlenmengen
 mit Hilfe von Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die
 komplexen Zahlen machen werden.
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
index fab2dcb..d86e225 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
@@ -31,6 +31,7 @@ Die Rechenoperationen sind wie folgt definiert:
 Die Darstellung ganzer Zahlen als Paare von natürlichen Zahlen
 findet man auch in der Buchhaltung, wo man statt eines Vorzeichen
 {\em Soll} und {\em Haben} verwendet.
+\index{Soll und Haben}%
 Dabei kommt es nur auf die Differenz der beiden Positionen an.
 Fügt man beiden Positionen den gleichen Betrag hinzu, ändert sich
 nichts.
@@ -44,8 +45,8 @@ Zum Beispiel ist $0=1+(-1) = (1,0) + (0,1) = (1,1)$.
 Die Paare $(u,u)$ müssen daher alle mit $0$ identifiziert werden.
 Es folgt dann auch, dass alle Paare von natürlichen Zahlen mit 
 ``gleicher Differenz'' den gleichen ganzzahligen Wert darstellen,
-allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja die Differenz
-noch gar nicht definiert ist.
+allerdings können wir das nicht so formulieren, da ja der Begriff
+der Differenz noch gar nicht definiert ist.
 Stattdessen gelten zwei Paare als äquivalent, wenn
 \begin{equation}
 (a,b) \sim (c,d)
@@ -66,8 +67,9 @@ Zahlen mit der Eigenschaft
 a+b' = a'+b.
 \]
 Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$.
-
+\index{Äquivalenzklasse}
 Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen
+\index{ganze Zahlen}%
 Äquivalenzklassen.
 Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist in evidenter Weise
 darin eingebettet als die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren der
@@ -79,12 +81,16 @@ stellt das Paar $(b,a)$ eine ganze Zahl dar mit der Eigenschaft
 \begin{equation}
 z+(b,a)
 =
-(a,b) + (b+a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0.
+(a,b) + (b+a) = (a+b,a+b) \sim (0,0) = 0
 \label{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt}
 \end{equation}
+dar.
 Die von $(b,a)$ dargestellte ganze Zahl wird mit $-z$ bezeichnet,
 die Rechnung~\eqref{buch:zahlen:eqn:entgegengesetzt} lässt sich damit
 abgekürzt als $z+(-z)=0$ schreiben.
+$-z$ heisst der $z$ {\em entgegengesetzte Wert} oder die
+\index{entgegengesetzte Zahl}%
+{\em entgegengesetzte Zahl} zu $z$.
 
 \subsubsection{Lösung von Gleichungen}
 Gleichungen der Form $a=x+b$ können jetzt für beliebige ganze Zahlen
@@ -102,21 +108,27 @@ $a-b = (a,0) + (-(b,0)) = (a,0) + (0,b) = (a,b)$ schreibt.
 
 \subsubsection{Ring}
 \index{Ring}%
-Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten Ring,
+Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen sogenannten {\em Ring},
+\index{Ring}%
 eine algebraische Struktur in der Addition, Subtraktion und
 Multiplikation definiert sind.
-Weitere Beispiel werden später vorgestellt,
+Weitere Beispiele von Ringen werden später vorgestellt,
+darunter
 der Ring der Polynome $\mathbb{Z}[X]$ in Kapitel~\ref{buch:chapter:polynome}
+\index{Polynomring}%
+\index{ZX@$\mathbb{Z}[X]$}
 und
 der Ring der $n\times n$-Matrizen in
+\index{Matrizenring}%
 Kapitel~\ref{buch:chapter:vektoren-und-matrizen}.
 In einem Ring wird nicht verlangt, dass die Multiplikation kommutativ
-ist, Matrizenringe sind nicht kommutativ.
-$\mathbb{Z}$ ist ein kommutativer Ring ebenso sind die Polynomringe 
+ist, Matrizenringe zum Beispiel sind meistens nicht kommutativ, selbst
+wenn die Matrixelemente Elemente eines kommutativen Rings sind.
+$\mathbb{Z}$ ist ein kommutativer Ring, ebenso sind die Polynomringe 
 kommutativ.
 Die Theorie der nicht kommutativen Ringe ist sehr viel reichhaltiger
 und leider auch komplizierter als die kommutative Theorie.
-\index{Ring!kommutativer}%
+\index{Ring!kommutativ}%
 
 
 
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
index 4ccea89..0f7e7f7 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
@@ -6,7 +6,8 @@
 \section{Komplexe Zahlen
 \label{buch:section:komplexe-zahlen}}
 \rhead{Komplexe Zahlen}
-In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen.
+In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen,
+die in $\mathbb{Q}$ nicht lösbar waren.
 Andere, z.~B.~die Gleichung
 \begin{equation}
 x^2+1=0,
@@ -15,6 +16,7 @@ x^2+1=0,
 haben weiterhin keine Lösung.
 Der Grund dafür ist das Bestreben bei der Konstruktion der reellen Zahlen, 
 die Ordnungsrelation zu erhalten.
+\index{Ordnungsrelation}%
 Diese ermöglicht, Näherungsintervall und Intervallschachtelungen
 zu definieren.
 
@@ -37,16 +39,18 @@ Die erste Komponente soll die bekannten reellen Zahlen darstellen,
 deren Quadrat positiv ist.
 Die zweite Komponente soll für die Zahlen verwendet werden, deren Quadrat
 negativ ist.
-Die Zahl, deren Quadrat $-1$ sein soll, bezeichnen wir auch mit dem
+Die Zahl, deren Quadrat $-1$ sein soll, bezeichnen wir mit dem
 Paar $(0,1)$ und schreiben dafür auch $i=(0,1)$ mit $i^2=-1$.
+Das Paar $i=(0,1)$ heisst auch die {\em imaginäre Einheit}.
+\index{imaginäre Einheit}%
 
 Die Rechenregeln sollen weiterhin erhalten bleiben, sie müssen daher
 wie folgt definiert werden:
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
-(a,b) + (c,d) &= (a+c,b+d) & (a+bi) + (c+di) &= (a+c) + (b+d)i
+(a,b) + (c,d) &= (a+c,b+d) &&& (a+bi) + (c+di) &= (a+c) + (b+d)i
 \\
-(a,b) \cdot (c,d) & (ad-bd, ad+bc) & (a+bi)\cdot(c+di) &= ac-bd + (ad+bc)i.
+(a,b) \cdot (c,d) &= (ad-bd, ad+bc) &&& (a+bi)\cdot(c+di) &= ac-bd + (ad+bc)i.
 \end{aligned}
 \label{buch:zahlen:cregeln}
 \end{equation}
@@ -65,8 +69,10 @@ Die Menge $\mathbb{C}$ verhält sich daher wie eine zweidimensionaler
 reeller Vektorraum.
 
 \subsubsection{Real- und Imaginärteil}
-Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der Realteil $a=\Re z$
-und $b$ heisst der Imaginärteil $\Im z$.
+Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der {\em Realteil} $a=\Re z$
+\index{Realteil}%
+und $b$ heisst der {\em Imaginärteil} $\Im z$.
+\index{Imaginärteil}%
 Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$,
 sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend
 auch die reelle und die imaginäre Achse heissen.
@@ -86,13 +92,43 @@ a
 \Re z.
 \]
 Zusätzlich kehrt das Vorzeichen der einen Komponente.
-Wir kommen auf diese Eigenschaft zurück, wenn wir später in Abschnitt~XXX
+Wir kommen auf diese Eigenschaft zurück, wenn wir später in
+Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:ringe}
 komplexe Zahlen als Matrizen beschreiben.
 
+\subsubsection{Gausssche Zahlenebene}
+Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$
+zu einem zweidimensionalen reellen Vektorraum.
+Man kann die komplexe Zahl $a+bi$ daher auch als Punkt $(a,b)$ in der
+sogenannten {\em Gaussschen Ebene} betrachten (Abbildung~\ref{buch:zahlen:cfig}).
+\index{Gaussche Zahlenebene}%
+Die Addition von komplexen Zahlen ist in diesem Bild die vektorielle
+Addition, die Multiplikation mit reellen Zahlen werden wir weiter unten
+genauer untersuchen müssen.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf}
+\caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der 
+Gaussschen Zahlenebene
+\label{buch:zahlen:cfig}}
+\end{figure}%
+
+Die Zahlenebene führt auf eine weitere mögliche Parametrisierung einer
+komplexen Zahl.
+Ein Punkt $z$ der Ebene kann in Polarkoordinaten auch durch den {\em Betrag}
+\index{Betrag}%
+\index{Polarkoordinaten}%
+und den Winkel zwischen der reellen Achse und dem Radiusvektor zum Punkt,
+dem sogenannten {\em Argument},
+charakterisiert werden.
+
 \subsubsection{Komplexe Konjugation}
 Der komplexen Zahl $u=a+bi$ ordnen wir die sogenannte
 {\em komplex konjugierte} Zahl $\overline{z} = a-bi$.
 Mit Hilfe der komplexen Konjugation kann man den Real- und Imaginärteil
+\index{komplexe Konjugation}%
+\index{Konjugation, komplexe}%
 algebraisch ausdrücken:
 \[
 \Re z 
@@ -124,7 +160,8 @@ Wenn $x\ge 0$ ist und $x\le 0$, dann ist $x=0$.
 In $\mathbb{C}$ steht diese Ordnungsrelation nicht mehr zur Verfügung.
 Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn die Länge des Vektors in der
 Zahlenebene verschieden von $0$ ist.
-Wir definieren daher den Betrag einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als
+Wir definieren daher den {\em Betrag} einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als
+\index{Betrag}
 \[
 |z|^2
 =
@@ -158,7 +195,7 @@ Produkt der komplexen Zahlen sein.
 
 Wie berechnet man den Quotienten $\frac{z}{w}$ für zwei beliebige komplexe
 Zahlen $z=a+bi$ und $w=c+di$ mit $w\ne 0$?
-Dazu erweitert man den Bruch mit der komplex konjugierten des Nenners:
+Dazu erweitert man den Bruch mit der komplex Konjugierten des Nenners:
 \begin{align*}
 \frac{z}{w}
 &=
@@ -169,7 +206,7 @@ Dazu erweitert man den Bruch mit der komplex konjugierten des Nenners:
 Da der Nenner $|w|^2>0$ eine reelle Zahl ist, ist die Division einfach,
 es ist die Multiplikation mit der reellen Zahl $1/|w|^2$.
 
-Wir können den Quotienten auch in Komponenten ausdrücken:
+Wir können den Quotienten auch durch Real- und Imaginärteil ausdrücken:
 \begin{align*}
 \frac{z}{w}
 &=
@@ -180,38 +217,20 @@ Wir können den Quotienten auch in Komponenten ausdrücken:
 \frac{ac-bd +(ad+bc)i}{c^2+d^2}.
 \end{align*}
 
-\subsubsection{Gausssche Zahlenebene}
-Beschränkt man die Multiplikation auf einen reellen Faktor, wird $\mathbb{C}$
-zu einem zweidimensionalen reellen Vektorraum.
-Man kann die komplexe Zahl $a+bi$ daher auch als Punkt $(a,b)$ in der
-sogenannten Gaussschen Ebene betrachten.
-Die Addition von komplexen Zahlen ist in diesem Bild die vektorielle
-Addition, die Multiplikation mit reellen Zahlen werden wir weiter unten
-genauer untersuchen müssen.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf}
-\caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der 
-Gaussschen Zahlenebene
-\label{buch:zahlen:cfig}}
-\end{figure}
-Die Zahlenebene führt auf eine weitere Parametrisierung einer
-komplexen Zahl.
-Ein Punkt $z$ der Ebene kann in Polarkoordinaten auch durch den Betrag
-und den Winkel zwischen der reellen Achse und dem Radiusvektor zum Punkt
-beschrieben werden.
-
 
 \subsubsection{Geometrische Interpretation der Rechenoperationen}
-Die Addition kompelxer Zahlen wurde bereits als Vektoraddition
-in der Gausschen Zahlenebene. 
+Die Addition komplexer Zahlen wurde bereits als Vektoraddition
+in der Gausschen Zahlenebene interpretiert. 
 Die Multiplikation ist etwas komplizierter, wir berechnen Betrag
 und Argument von $zw$ separat.
 Für den Betrag erhalten wir
 \begin{align*}
 |zw|^2
 &=
+zw\overline{(zw)}
+=
+zw\overline{z}\overline{w}
+=
 z\overline{z}w\overline{w}
 =
 |z|^2|w|^2
@@ -252,6 +271,7 @@ und $c\ne 0$, was uns ermöglicht, den Bruch durch $ac$ zu kürzen:
 \bigr).
 \end{align*}
 Im letzten Schritt haben wir die Additionsformel für den Tangens verwendet.
+\index{Additionstheorem für Tangens}%
 Daraus liest man ab, dass das Argument eines Produkts die Summe der
 Argumente ist.
 Die Multiplikation mit einer festen komplexen Zahl führt also mit der ganzen
@@ -263,7 +283,7 @@ wenn wir die komplexen Zahlen als Matrizen beschreiben wollen.
 Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ sind als Erweiterung von $\mathbb{R}$
 so konstruiert worden, dass die Gleichung $x^2+1=0$ eine Lösung hat.
 Etwas überraschend ist dagegen, dass in dieser Erweiterung jetzt jede
-beliebige algebraische Gleichung lösbar geworden.
+beliebige algebraische Gleichung lösbar geworden ist.
 Dies ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra.
 
 \begin{satz}[Fundamentalsatz der Algebra]
@@ -273,7 +293,7 @@ Jede algebraische Gleichung der Form
 p(x)=x^n + a_{n-1}x^{n-1}+a_1x+a_0=0,\qquad a_k\in\mathbb{C}
 \]
 mit komplexen Koeffizienten hat $n$ möglicherweise mit Vielfachheit
-gezähle Nullstellen $\alpha_1,\dots,\alpha_m$, d.~h.~das Polynom $p(x)$
+gezählte Nullstellen $\alpha_1,\dots,\alpha_m$, d.~h.~das Polynom $p(x)$
 lässt sich in Linearfaktoren
 \[
 p(x)
@@ -281,12 +301,12 @@ p(x)
 (x-\alpha_1)^{k_1}(x-\alpha_2)^{k_2}\cdot\ldots\cdot(x-\alpha_m)^{k_m}
 \]
 zerlegen, wobei $k_1+k_2+\dots+k_m=n$.
-Die Zahlen $k_j$ heisst die {\em Vielfachheit} der Nullstelle $\alpha_j$.
+Die Zahl $k_j$ heisst die {\em Vielfachheit} der Nullstelle $\alpha_j$.
 \end{satz}
 
 Der Fundamentalsatz der Algebra wurde erstmals von Carl Friedrich Gauss
 \index{Gauss, Carl Friedrich}%
-bewiesen.
+vollständig bewiesen.
 Seither sind viele alternative Beweise mit Methoden aus den verschiedensten
 Gebieten der Mathematik gegeben worden.
 Etwas salopp könnten man sagen, dass der Fundamentalsatz ausdrückt, dass
@@ -304,10 +324,11 @@ Da Drehungen um verschiedene Achsen nicht vertauschen, kann eine solche
 Erweiterung nicht mehr kommutativ sein.
 
 William Rowan Hamilton propagierte ab 1843 eine Erweiterung von $\mathbb{C}$
+\index{Hamilton, William Rowan}%
 mit zwei zusätzlichen Einheiten $j$ und $k$ mit den nichtkommutativen
 Relationen
 \begin{equation}
-i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.
+i^2 = j^2 = k^2 = i\!jk = -1.
 \label{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln}
 \end{equation}
 Er nannte die Menge aller Linearkombinationen 
@@ -319,6 +340,9 @@ die {\em Quaternionen}, die Einheiten $i$, $j$ und $k$ heissen auch
 Einheitsquaternionen.
 \index{Einheitsquaternionen}%
 Konjugation, Betrag und Division können ganz ähnlich wie bei den
+\index{Konjugation von Quaternionen}%
+\index{Betrag einer Quaternion}%
+\index{Division durch eine Quaternion}%
 komplexen Zahlen definiert werden und machen $\mathbb{H}$ zu einer
 sogenannten {\em Divisionsalgebra}.
 \index{Divisionsalgebra}%
@@ -331,24 +355,24 @@ Aus den Regeln für die Quadrate der Einheiten in
 $i^{-1}=-i$, $j^{-1}=-j$ und $k^{-1}=-k$.
 Die letzte Bedingung liefert daraus
 \[
-ijk=-1
+i\!jk=-1
 \qquad\Rightarrow\qquad
 \left\{
 \quad
 \begin{aligned}
-ij
+i\!j
 &=
-ijkk^{-1}=-1k^{-1}=k
+i\!jkk^{-1}=-1k^{-1}=k
 \\
-i^2jk&=-i=-jk
+i^2\!jk&=-i=-jk
 \\
 -j^2k&=-ji=k
 \end{aligned}
 \right.
 \]
 Aus den Relationen~\eqref{buch:zahlen:eqn:quaternionenregeln}
-folgt also insbesondere auch, dass $ij=-ji$.
-Ebenso kann abgeleitet werden, dass $jk=-kj$ und $ik=-ki$.
+folgt also insbesondere auch, dass $i\!j=-ji$.
+Ebenso kann abgeleitet werden, dass $jk=-k\!j$ und $ik=-ki$.
 Man sagt, die Einheiten sind {\em antikommutativ}.
 \index{antikommutativ}%
 
@@ -358,9 +382,15 @@ Komponenten $a_0,\dots,a_3$ vollständig beschrieben ist.
 Eine Transformationsmatrix des dreidimensionalen Raumes enthält
 dagegen neun Koeffizienten, die vergleichsweise komplizierte 
 Abhängigkeiten erfüllen müssen.
+Kapitel~\ref{chapter:clifford} behandelt nicht nur die Beschreibung
+von Drehungen des dreidimensionalen Raumes sondern eine weitreichende
+Verallgemeinerung dieser Idee, die sogenannte {\em geometrische Algebra}.
+\index{geometrische Algebra}%
 Quaternionen haben auch in weiteren Gebieten interessante Anwendungen,
 zum Beispiel in der Quantenmechanik, wo antikommutierende Operatoren
+\index{Quantenmechanik}%
 bei der Beschreibung von Fermionen eine zentrale Rolle spielen.
+\index{Fermion}%
 
 Aus rein algebraischer Sicht kann man die Frage stellen, ob es eventuell
 auch noch grössere Divisionsalgebren gibt, die $\mathbb{H}$ erweitern.
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
index f378aaf..4036327 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -9,7 +9,7 @@
 \rhead{Natürliche Zahlen}
 Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir zählen.
 \index{natürliche Zahlen}%
-\index{$\mathbb{N}$}%
+\index{N@$\mathbb{N}$}%
 Sie abstrahieren das Konzept der Anzahl der Elemente einer endlichen
 Menge.
 Da die leere Menge keine Elemente hat, muss die Menge der natürlichen
@@ -24,22 +24,25 @@ Wir schreiben
 \]
 
 \subsubsection{Peano-Axiome}
-Man kann den Zählprozess durch die folgenden Axiome von Peano beschreiben:
+\index{Peano}%
+Man kann den Zählprozess durch die folgenden Axiome von Peano genauer fassen:
 \index{Peano-Axiome}%
 \begin{enumerate}
-\item $0\in\mathbb N$.
+\item $0$ ist eine natürliche Zahl: $0\in\mathbb N$.
 \item Jede Zahl $n\in \mathbb{N}$ hat einen {\em Nachfolger}
 $n'\in \mathbb{N}$.
 \index{Nachfolger}%
 \item $0$ ist nicht Nachfolger einer Zahl.
 \item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben,
-$n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$.
+$n'=m'$, dann sind sie gleich: $n=m$.
 \item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren
 Nachfolger, dann ist $\mathbb{N}\subset X$.
 \end{enumerate}
 
 \subsubsection{Vollständige Induktion}
-Es letzte Axiom formuliert das Prinzip der vollständigen Induktion.
+Es letzte Axiom formuliert das Prinzip der {\em vollständigen Induktion}.
+\index{vollständige Induktion}%
+\index{Induktion, vollständige}%
 Um eine Aussage $P(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n$
 mit vollständiger Induktion zu beweisen, bezeichnet man mit
 $X$ die Menge aller Zahlen, für die $P(n)$ wahr ist.
@@ -77,11 +80,13 @@ Nach diesen Regeln ist
 (((5)')')'.
 \]
 Dies ist genau die Art und Weise, wie kleine Kinder Rechnen lernen.
-Sie Zählen von $5$ ausgehend um $3$ weiter.
+Sie zählen von $5$ ausgehend um $3$ weiter, manchmal unter Zuhilfenahme
+ihrer Finger.
 Der dritte Nachfolger von $5$ heisst üblicherweise $8$.
 
 Die algebraische Struktur, die hier konstruiert worden ist, heisst
-eine Halbgruppe.
+ein {\em Monoid}.
+\index{Monoid}%
 Allerdings kann man darin zum Beispiel nur selten Gleichungen
 lösen, zum Beispiel hat $3+x=1$ keine Lösung.
 Die Addition ist nicht immer umkehrbar.
@@ -142,9 +147,9 @@ a+(b+c)
 \qquad\text{und}\qquad
 (a\cdot b)\cdot c
 =
-a\cdot (b\cdot c)
+a\cdot (b\cdot c),
 \]
-dies ist das Assoziativgesetz.
+dies ist das {\em Assoziativgesetz}.
 Es gestattet auch eine solche Summe oder ein solches Produkt einfach
 als $a+b+c$ bzw.~$a\cdot b\cdot c$ zu schreiben, da es ja keine Rolle
 spielt, in welcher Reihenfolge man die Teilprodukte berechnet.
@@ -152,10 +157,11 @@ spielt, in welcher Reihenfolge man die Teilprodukte berechnet.
 Die Konstruktion der Multiplikation als iterierte Addition mit Hilfe
 der Rekursionsformel \eqref{buch:zahlen:multiplikation-rekursion}
 hat auch zur Folge, dass die {\em Distributivgesetze}
+\index{Distributivgesetz}%
 \[
 a\cdot(b+c) = ab+ac
 \qquad\text{und}\qquad
-(a+b)c = ac+bc
+(a+b)\cdot c = ac+bc
 \]
 gelten.
 Bei einem nicht-kommutativen Produkt ist es hierbei notwendig,
@@ -175,7 +181,7 @@ Sie gelten immer für Matrizen.
 Die Lösbarkeit von Gleichungen der Form $ax=b$ mit $a,b\in\mathbb{N}$
 gibt Anlass zum sehr nützlichen Konzept der Teilbarkeit.
 \index{Teilbarkeit}%
-Die Zahl $b$ heisst teilbar durch $a$, wenn die Gleichung $ax=b$ eine
+Die Zahl $b$ heisst {\em teilbar} durch $a$, wenn die Gleichung $ax=b$ eine
 Lösung in $\mathbb{N}$ hat.
 \index{teilbar}%
 Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ und durch sich selbst teilbar,
@@ -240,7 +246,7 @@ n+1&= n \cup \{n\} = \{0,\dots,n-1\} \cup \{n\} = \{0,1,\dots,n\}
 \subsubsection{Natürliche Zahlen als Äquivalenzklassen}
 Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die natürlichen Zahlen aus
 der leeren Menge schrittweise sozusagen ``von unten'' aufgebaut.
-Wir können aber auch eine Sicht ``von oben'' einnehmen.
+Wir können aber auch eine Sichtweise ``von oben'' einnehmen.
 Dazu definieren wir, was eine endliche Menge ist und was es heisst,
 dass endliche Mengen gleiche Mächtigkeit haben.
 
@@ -258,6 +264,7 @@ Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie die früher definierten
 natürlichen Zahlen nicht braucht, diese werden jetzt erst konstruiert.
 Dazu fassen wir in der Menge aller endlichen Mengen die gleich mächtigen
 Mengen zusammen, bilden also die Äquivalenzklassen der Relation $\sim$.
+\index{Äquivalenzklasse}%
 
 Der Vorteil dieser Sichtweise ist, dass die natürlichen Zahlen ganz
 explizit als die Anzahlen von Elementen einer endlichen Menge entstehen.
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
index 9d2f59e..440cc73 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/rational.tex
@@ -14,8 +14,8 @@ die negativen Zahlen kennenlernen.
 
 Wir können hierbei denselben Trick anwenden,
 wie schon beim Übergang von den natürlichen zu den ganzen Zahlen.
-Wir kreieren wieder Paare $(z, n)$, deren Elemente nennen wir \emph{Zähler} und
-\emph{Nenner}, wobei $z, n \in \mathbb Z$ und zudem $n \ne 0$.
+Wir kreieren wieder Paare $(z, n)$, deren Elemente wir \emph{Zähler} und
+\emph{Nenner} nennen, wobei $z, n \in \mathbb Z$ und zudem $n \ne 0$.
 Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation lauten
 \[
 (a, b) + (c, d)
@@ -27,8 +27,8 @@ Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation lauten
 (ac, bd)
 .
 \]
-Die ganzen Zahlen lassen sich als in dieser Darstellung als
-$z \mapsto (z, 1)$ einbetten.
+Die ganzen Zahlen $z\in\mathbb{Z}$ lassen sich in dieser Darstellung als
+$z \mapsto (z, 1)$ in diese Menge von Paaren einbetten.
 
 Ähnlich wie schon bei den ganzen Zahlen ist diese Darstellung
 aber nicht eindeutig.
@@ -67,6 +67,7 @@ Rationale Zahlen sind genau die Äquivalenzklassen dieser Paare $(a, b)$ von
 ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$.
 Da diese Schreibweise recht unhandlich ist, wird normalerweise die Notation
 als Bruch $\frac{a}{b}$ verwendet.
+\index{Bruch}%
 Die Rechenregeln werden dadurch zu den wohlvertrauten
 \[
 \frac{a}{b}+\frac{c}{d}
@@ -120,6 +121,7 @@ Kürzen und Erweitern ineinander übergeführt werden können.
 
 Die Menge der Äquivalenzklassen von Brüchen ist die Menge $\mathbb{Q}$
 der rationalen Zahlen.
+\index{Q@$\mathbb{Q}$}%
 In $\mathbb{Q}$ sind Addition, Subtraktion und Multiplikation mit den
 gewohnten Rechenregeln, die bereits in $\mathbb{Z}$ gegolten haben,
 uneingeschränkt möglich.
@@ -127,7 +129,7 @@ uneingeschränkt möglich.
 \subsubsection{Kehrwert}
 Zu jedem Bruch $\frac{a}{b}$ lässt sich der Bruch $\frac{b}{a}$,
 der sogenannte {\em Kehrwert}
-\index{Kehrwert}
+\index{Kehrwert}%
 konstruieren.
 Er hat die Eigenschaft, dass
 \[
@@ -139,7 +141,7 @@ Er hat die Eigenschaft, dass
 \]
 gilt.
 Der Kehrwert ist also das multiplikative Inverse, jede von $0$ verschiedene
-rationale Zahl hat eine Inverse.
+rationale Zahl hat eine solche Inverse.
 
 \subsubsection{Lösung von linearen Gleichungen}
 Mit dem Kehrwert lässt sich jetzt jede lineare Gleichung lösen.
@@ -165,13 +167,24 @@ und Division möglich sind mit der einzigen Einschränkung, dass nicht durch
 $0$ dividiert werden kann.
 Körper sind die natürliche Bühne für die lineare Algebra, da sich lineare
 Gleichungssysteme ausschliesslich mit den Grundoperation lösen lassen.
+Eine formelle Definition eines Körpers werden wir in 
+Abschnitt~\ref{buch:subsection:koerper} geben.
 
 Wir werden im Folgenden für verschiedene Anwendungszwecke weitere Körper
 konstruieren, zum Beispiel die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die
 rationalen Zahlen $\mathbb{C}$.
 Wann immer die Wahl des Körpers keine Rolle spielt, werden wir den
 Körper mit $\Bbbk$ bezeichnen.
-\index{$\Bbbk$}%
+\index{k@$\Bbbk$}%
 
+Ein Körper $\Bbbk$ zeichnet sich dadurch aus, dass alle ELemente ausser $0$
+invertierbar sind. 
+Diese wichtige Teilmenge wird mit $\Bbbk^* = \Bbbk \setminus\{0\}$ mit
+bezeichnet.
+\label{buch:zahlen:def:bbbk*}
+In dieser Relation sind beliebige Multiplikationen ausführbar, das Element
+$1\in\Bbbk^*$ ist neutrales Element bezüglich der Multiplikation.
+Die Menge $\Bbbk^*$ trägt die Struktur einer Gruppe, siehe dazu auch
+den Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen}.
 
 
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
index d5a193f..06eb7aa 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
@@ -10,6 +10,15 @@ In den rationalen Zahlen lassen sich algebraische Gleichungen höheren
 Grades immer noch nicht lösen.
 Dass die Gleichung $x^2=2$ keine rationale Lösung hat, ist schon den
 Pythagoräern aufgefallen.
+\index{Pythagoräer}
+Ziel dieses Abschnitts ist, den Körper $\mathbb{Q}$ zu einem
+Körper $\mathbb{R}$ zu erweitern, in dem die Gleichung
+gelöst werden kann, ohne dabei Ordnungsrelation zu zerstören, die
+die hilfreiche und anschauliche Vorstellung der Zahlengeraden
+liefert.
+\index{Zahlengerade}%
+
+\subsubsection{Intervallschachtelung}
 Die geometrische Intuition der Zahlengeraden führt uns dazu, nach
 Zahlen zu suchen, die gute Approximationen für $\sqrt{2}$ sind.
 Wir können zwar keinen Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber
@@ -29,16 +38,47 @@ Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen worden.}.
 Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und
 die intervalllänge konvergiert gegen 0.
 Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine Zahl,
+\index{Intervallschachtelung}%
 aber möglicherweise keine, die sich als Bruch schreiben lässt.
 
+\subsubsection{Reelle Zahlen als Folgengrenzwerte}
+Mit einer Intervallschachtelung lässt sich $\sqrt{2}$ zwar festlegen,
+noch einfacher wäre aber eine Folge von rationalen Zahlen $a_n\in\mathbb{Q}$
+derart, die $\sqrt{2}$ beliebig genau approximiert.
+In der Analysis definiert man zu diesem Zweck, dass $a$ der Grenzwert
+einer Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$
+ein $N$ gibt derart, dass $|a_n-a|<\varepsilon$ für $n>N$ ist.
+Das Problem dieser wohlbekannten Definition für die Konstruktion
+reeller Zahle ist, dass im Falle der Folge
+\[
+(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=
+(1,
+\frac75,
+\frac{41}{29},
+\frac{239}{169},\dots) \to a=\sqrt{2}
+\]
+das Objekt $a$ noch gar nicht existiert.
+Es gibt keine rationale Zahl, die als Grenzwert dieser Folge dienen
+könnte.
+
+Folgen, die gegen Werte in $\mathbb{Q}$ konvergieren sind dagegen
+nicht in der Lage, neue Zahlen zu approximieren.
+Wir müssen also auszudrücken versuchen, dass eine Folge konvergiert,
+ohne den zugehörigen Grenzwert zu kennen.
+
+\subsubsection{Cauchy-Folgen}
 Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man auch als Menge
-aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ betrachten.
+aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $a_n\in\mathbb{Q}$,
+betrachten.
+\index{Cauchy-Folge}%
 Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jedes $\varepsilon>0$
 eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$
 für $n,m>N(\varepsilon)$.
 Ab einer geeigneten Stelle $N(\varepsilon)$ sind die Folgenglieder also
 mit Genauigkeit $\varepsilon$ nicht mehr unterscheidbar.
 
+
+\subsubsection{Relle Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen}
 Nicht jede Cauchy-Folge hat eine rationale Zahl als Grenzwert.
 Da wir für solche Folgen noch keine Zahlen als Grenzwerte haben,
 nehmen wir die Folge als eine mögliche Darstellung der Zahl.
@@ -61,13 +101,14 @@ b_n&\colon&&
 \]
 beide Folgen, die die Zahl $\sqrt{2}$ approximieren.
 Im Allgemeinen tritt dieser Fall ein, wenn $|a_n-b_n|$ eine
-Folge mit Grenzwert $0$ oder Nullfolge ist.
+Folge mit Grenzwert $0$ oder {\em Nullfolge} ist.
+\index{Nullfolge}%
 Eine reelle Zahl ist also die Menge aller rationalen Cauchy-Folgen,
 deren Differenzen Nullfolgen sind.
 
 Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man also ansehen
-als bestehend aus Mengen von Folgen, die alle den gleichen Grenzwert
-haben.
+als bestehend aus Äquivalenzklassen von Folgen, die alle den gleichen
+Grenzwert haben.
 Die Rechenregeln der Analysis 
 \[
 \lim_{n\to\infty} (a_n + b_n)
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex
index 9e1d3dc..594b94e 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex
@@ -10,10 +10,13 @@ vorhanden.
 Die Menge der Matrizen $M_n(\Bbbk)$ ist sowohl ein Ring als auch
 ein Vektorraum.
 Man nennt eine {\em $\Bbbk$-Algebra} oder {\em Algebra über $\Bbbk$}
+\index{k-Algebra@$\Bbbk$-Algebra}%
+\index{Algebra}%
 ein Ring $A$, der auch eine $\Bbbk$-Vektorraum ist.
 Die Multiplikation des Ringes muss dazu mit der Skalarmultiplikation
 verträglich sein.
 Dazu müssen Assoziativgesetze
+\index{Assoziativgesetz}
 \[
 \lambda(\mu a) = (\lambda \mu) a
 \qquad\text{und}\qquad
@@ -42,7 +45,8 @@ beinhaltet aber auch das Distributivgesetz.
 $M_n(\Bbbk)$ ist eine Algebra.
 
 \subsubsection{Die Algebra der Funktionen $\Bbbk^X$}
-Sie $X$ eine Menge und $\Bbbk^X$ die Menge aller Funktionen $X\to \Bbbk$.
+Sei $X$ eine Menge und $\Bbbk^X$ die Menge aller Funktionen $X\to \Bbbk$.
+\index{kX@$\Bbbk^X$}%
 Auf $\Bbbk^X$ kann man Addition, Multiplikation mit Skalaren und
 Multiplikation von Funktionen punktweise definieren.
 Für zwei Funktion $f,g\in\Bbbk^X$ und $\lambda\in\Bbbk$ definiert man
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
index cb37d05..febf726 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
@@ -8,20 +8,23 @@
 Die kleinste sinnvolle Struktur ist die einer Gruppe.
 Eine solche besteht aus einer Menge $G$ mit einer Verknüpfung,
 die additiv
+\index{additive Verknüpfung}%
 \begin{align*}
-G\times G \to G&: (g,h) = gh
-\intertext{oder multiplikativ }
 G\times G \to G&: (g,h) = g+h
+\intertext{oder multiplikativ }
+G\times G \to G&: (g,h) = gh
 \end{align*}
+\index{multiplikative Verknüpfung}%
 geschrieben werden kann.
 Ein Element $0\in G$ heisst {\em neutrales Element} bezüglich der additiv
+\index{neutrales Element}%
 geschriebenen Verknüpfung falls $0+x=x$ für alle $x\in G$.
 \index{neutrales Element}%
 Ein Element $e\in G$ heisst neutrales Element bezüglich der multiplikativ 
 geschriebneen Verknüpfung, wenn $ex=x$ für alle $x\in G$.
 In den folgenden Definitionen werden wir immer die multiplikative
-Schreibweise verwenden, für Fälle additiv geschriebener siehe auch die
-Beispiele weiter unten.
+Schreibweise verwenden, für Fälle additiv geschriebener Verknüpfungen
+siehe auch die Beispiele weiter unten.
 
 \begin{definition}
 \index{Gruppe}%
@@ -32,24 +35,28 @@ Eigenschaften:
 \begin{enumerate}
 \item
 Die Verknüpfung ist assoziativ: $(ab)c=a(bc)$ für alle $a,b,c\in G$.
+\index{assoziativ}%
 \item
 Es gibt ein neutrales Element $e\in G$
 \item
 Für jedes Element $g\in G$ gibt es ein Element $h\in G$ mit 
 $hg=e$.
 \end{enumerate}
-Das Element $h$ heisst auch das Inverse Element zu $g$.
+Das Element $h$ heisst auch das inverse Element zu $g$.
+\index{inverses Element}%
 \end{definition}
 
 Falls nicht jedes Element invertierbar ist, aber wenigstens ein neutrales
 Element vorhanden ist, spricht man von einem {\em Monoid}.
 \index{Monoid}%
-Hat man nur eine Verknüpfung, spricht man oft von einer {\em Halbruppe}.
+Hat man nur eine Verknüpfung, aber kein neutrales Element,
+spricht man oft von einer {\em Halbruppe}.
 \index{Halbgruppe}%
 
 \begin{definition}
 Eine Gruppe $G$ heisst abelsch, wenn $ab=ba$ für alle $a,b\in G$.
 \end{definition}
+\index{abelsch}%
 
 Additiv geschrieben Gruppen werden immer als abelsch angenommen,
 multiplikativ geschrieben Gruppen können abelsch oder nichtabelsch sein.
@@ -63,7 +70,9 @@ Das additive Inverse eines Elementes $a$ ist $-a$.
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}
-Die von Null verschiedenen Elemente $\Bbbk^*$ eines Zahlekörpers bilden
+Die von Null verschiedenen Elemente $\Bbbk^*=\Bbbk\setminus\{0\}$ (definiert
+auf Seite~\pageref{buch:zahlen:def:bbbk*})
+eines Zahlekörpers bilden
 bezüglich der Multiplikation eine Gruppe mit neutralem Element $1$.
 Das multiplikative Inverse eines Elementes $a\in \Bbbk$ mit $a\ne 0$
 ist $a^{-1}=\frac1{a}$.
@@ -75,7 +84,7 @@ dem Nullvektor als neutralem Element.
 Betrachtet man $\Bbbk^n$ als Gruppe, verliert man die Multiplikation
 mit Skalaren aus den Augen.
 $\Bbbk^n$ als Gruppe zu bezeichnen ist also nicht falsch, man
-verliert dadurch aber 
+verliert dadurch aber den Blick auf die Multiplikation mit Skalaren.
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}
@@ -115,6 +124,7 @@ Ist $G$ eine Gruppe mit neutralem Element $e$, dann gilt
 $xe=x$ für alle $x\in G$
 \item
 Es gibt nur ein neutrales Element.
+\index{neutrales Element}%
 Wenn also $f\in G$ mit $fx=x$ für alle $x\in G$, ist dann folgt $f=e$.
 \item 
 Wenn $hg=e$ gilt, dann auch $gh=e$ und $h$ ist durch $g$ eindeutig bestimmt.
@@ -171,16 +181,22 @@ f = fe = e
 \]
 aus der Eigenschaft~1.
 
-Schliesslich sei $x$ ein beliebiges Inverses von $g$, dann ist
-$xg=e$, dann folgt
+Schliesslich sei $x$ ein beliebiges Inverses von $g$.
+Dann ist $xg=e$ und es folgt
 $x=xe=x(gh)=(xg)h = eh = h$, es gibt also nur ein Inverses von $g$.
 \end{proof}
 
-Diesem Problem sind wir zum Beispiel auch in
+Der Frage, ob Linksinverse und Rechtsinverse übereinstimmen,
+sind wir zum Beispiel bereits in
 Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gleichungssyteme}
-begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist.
-Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe
-bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$.
+begegnet.
+Dort haben wir bereits gezeigt, dass nicht nur $AA^{-1}=I$,
+sondern auch $A^{-1}A=I$.
+Die dabei verwendete Methode war identisch mit dem hier gezeigten
+Beweis.
+Da die invertierbaren Matrizen eine Gruppe bilden, stellt sich
+dieses Resultat jetzt als Spezialfall des
+Satzes~\ref{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln} dar.
 
 \subsubsection{Homomorphismen} \label{buch:gruppen:subsection:homomorphismen}
 Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus,
@@ -231,17 +247,20 @@ e
 ghg^{-1}\in\ker\varphi.
 \]
 Der Kern wird also von der Abbildung $h\mapsto ghg^{-1}$,
-der {\em Konjugation} in sich abgebildet.
+der {\em Konjugation}, in sich abgebildet.
+\index{Konjugation in einer Gruppe}
 
 \begin{definition}
 Eine Untergruppe $H \subset G$ heisst ein {\em Normalteiler},
 geschrieben $H \triangleleft G$
 wenn $gHg^{-1}\subset H$ für jedes $g\in G$.
-\index{Normalteiler}
+\index{Normalteiler}%
 \end{definition}
 
 Die Konjugation selbst ist ebenfalls keine Unbekannte, sie ist uns
-bei der Basistransformationsformel schon begegnet.
+bei der Basistransformationsformel
+\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselabb}
+schon begegnet.
 Die Tatsache, dass $\ker\varphi$ unter Konjugation erhalten bleibt,
 kann man also interpretieren als eine Eigenschaft, die unter
 Basistransformation erhalten bleibt.
@@ -312,7 +331,7 @@ auf einem geeigneten Vektorraum.
 
 \begin{definition}
 \label{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung}
-Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus 
+Eine {\em Darstellung} einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus 
 $G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
 \index{Darstellung}
 \end{definition}
@@ -324,11 +343,12 @@ sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
 Die Einbettungsabbildung $G\hookrightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
 ist damit automatisch eine Darstellung, sie heisst auch die
 {\em reguläre Darstellung} der Gruppe $G$.
-\index{reguläre Darstellung}
+\index{reguläre Darstellung}%
+\index{Darstellung, reguläre}%
 \end{beispiel}
 
 In Kapitel~\ref{buch:chapter:permutationen} wird gezeigt, 
-dass Permutationen einer endlichen eine Gruppe bilden und wie
+dass Permutationen einer endlichen Menge eine Gruppe bilden und wie
 sie durch Matrizen dargestellt werden können.
 
 
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex
index 1fd0373..787b0f5 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex
@@ -25,14 +25,16 @@ dies ist das Hadamard-Produkt.
 
 \begin{definition}
 Das {\em Hadamard-Produkt} zweier Matrizen
+\index{Hadamard-Produkt}%
 $A,B\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ ist definiert als die Matrix
 $A\odot B$ 
 mit den Komponenten
 \[
-(A\odot B)_{ij} = (A)_{ij} (B)_{ij}.
+(A\odot B)_{i\!j} = (A)_{i\!j} (B)_{i\!j}.
 \]
 Wir nennen $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit der Multiplikation $\odot$ 
-auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$.
+auch die {\em Hadamard-Algebra} $H_{m\times n}(\Bbbk)$.
+\index{Hadamard-Algebra}%
 \end{definition}
 
 Dies ist jedoch nur interessant, wenn $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit diesem
@@ -46,30 +48,30 @@ Es gilt
 \begin{align*}
 A\odot(B\odot C) &= (A\odot B)\odot C
 &&\Leftrightarrow&
-a_{ij}(b_{ij}c_{ij}) &= (a_{ij}b_{ij})c_{ij}
+a_{i\!j}(b_{i\!j}c_{i\!j}) &= (a_{i\!j}b_{i\!j})c_{i\!j}
 \\
 A\odot(B+C) &= A\odot B + A\odot C
 &&\Leftrightarrow&
-a_{ij}(b_{ij}+c_{ij}) &= a_{ij}b_{ij} + a_{ij}c_{ij}
+a_{i\!j}(b_{i\!j}+c_{i\!j}) &= a_{i\!j}b_{i\!j} + a_{i\!j}c_{i\!j}
 \\
 (A+B)\odot C&=A\odot C+B\odot C
 &&\Leftrightarrow&
-(a_{ij}+b_{ij})c_{ij}&=a_{ij}c_{ij} + b_{ij}c_{ij}
+(a_{i\!j}+b_{i\!j})c_{i\!j}&=a_{i\!j}c_{i\!j} + b_{i\!j}c_{i\!j}
 \\
 (\lambda A)\odot B &= \lambda (A\odot B)
 &&\Leftrightarrow&
-(\lambda a_{ij})b_{ij}&=\lambda(a_{ij}b_{ij})
+(\lambda a_{i\!j})b_{i\!j}&=\lambda(a_{i\!j}b_{i\!j})
 \\
 A\odot(\lambda B)&=\lambda(A\odot B)
 &&\Leftrightarrow&
-a_{ij}(\lambda b_{ij})&=\lambda(a_{ij}b_{ij})
+a_{i\!j}(\lambda b_{i\!j})&=\lambda(a_{i\!j}b_{i\!j})
 \end{align*}
 für alle $i,j$.
 
 Das Hadamard-Produkt ist kommutativ, da die Multiplikation in $\Bbbk$
 kommuativ ist.
 Das Hadamard-Produkt kann auch für Matrizen mit Einträgen in einem
-Ring definiert werden, in diesem Fall ist es möglich, dass die entsehende
+Ring definiert werden, in diesem Fall ist es möglich, dass die entstehende
 Algebra nicht kommutativ ist.
 
 Die Hadamard-Algebra hat auch ein Eins-Elemente, nämlich die Matrix,
@@ -77,6 +79,7 @@ die aus lauter Einsen besteht.
 
 \begin{definition}
 Die sogenannte {\em Einsmatrix} $U$ ist die Matrix
+\index{Einsmatrix}
 \[
 U=\begin{pmatrix}
 1&1&\dots&1\\
@@ -106,7 +109,7 @@ Auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$ kann als Funktionenalgebra
 betrachtet werden.
 Einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\Bbbk)$ ordnet man die Funktion
 \[
-a\colon [m]\times [n] : (i,j) \mapsto a_{ij}
+a\colon [m]\times [n] : (i,j) \mapsto a_{i\!j}
 \]
 zu.
 Dabei gehen die Algebraoperationen von $H_{m\times n}(\Bbbk)$ über
@@ -131,7 +134,7 @@ A=\begin{pmatrix}3&4\\4&5\end{pmatrix}
 B=\begin{pmatrix}-5&4\\4&-3\end{pmatrix}
 \]
 sind inverse Matrizen bezüglich des Matrizenproduktes, also
-$AB=E$.
+$AB=I$.
 Für das Hadamard-Produkt gilt dagegen
 \[
 A\odot B
@@ -141,13 +144,15 @@ A\odot B
  16&-15
 \end{pmatrix}.
 \]
-Die Inverse einer Matrix $A$ Bezüglich des Hadamard-Produktes hat
-die Einträge $a_{ij}^{-1}$.
-Die Matrix $E$ ist bezüglich des gewöhnlichen Matrizenproduktes
+Die Inverse einer Matrix $A$ bezüglich des Hadamard-Produktes hat
+die Einträge $a_{i\!j}^{-1}$.
+Die Matrix $I$ ist bezüglich des gewöhnlichen Matrizenproduktes
 invertierbar, aber sie ist bezüglich des Hadamard-Produktes nicht
 invertierbar.
+Umgekehrt ist die Einsmatrix $U$ invertierbar bezüglich des
+Hadamard-Produktes, aber für $n>1$ nicht für das Matrizenprodukt.
 
-\subsubsection{Einbettung der Hadamard-Algebra ein eine Matrizenalgebra}
+\subsubsection{Einbettung der Hadamard-Algebra in eine Matrizenalgebra}
 Hadamard-Algebren können als Unteralgebren einer Matrizenalgebra
 betrachtet werden.
 Der Operator $\operatorname{diag}$ bildet Vektoren ab in Diagonalmatrizen
@@ -224,36 +229,32 @@ a_{nn}
 Bei dieser Abbildung geht die Hadamard-Multiplikation wieder in
 das gewöhnliche Matrizenprodukt über.
 
-% XXX Faltungsmatrizen und Fouriertheorie
-\subsubsection{Beispiel: Faltung und Fourier-Theorie}
-
-\subsection{Weitere Verknüpfungen
-\label{buch:vektorenmatrizen:subsection:weitere}}
-
 \subsubsection{Transposition}
 Das Hadamard-Produkt verträgt sich mit der Transposition:
+\index{Transposition}%
 \[
 (A\odot B)^t = A^t \odot B^t.
 \]
 Insbesondere ist das Hadamard-Produkt zweier symmetrischer Matrizen auch 
 wieder symmetrisch.
 
-\subsubsection{Frobeniusnorm}
+\subsubsection{Frobenius-Norm}
 Das Hadamard-Produkt in der Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\mathbb{R})$
 nimmt keine Rücksicht auf die Dimensionen einer Matrix und ist nicht
 unterscheidbar von $\mathbb{R}^{m\times n}$ mit dem Hadamard-Produkt.
 Daher darf auch der Begriff einer mit den algebraischen Operationen
-verträglichen Norm nicht von von den Dimensionen abhängen.
+verträglichen Norm nicht von den spezifischen Dimensionen $m$ und $n$ abhängen.
 Dies führt auf die folgende Definition einer Norm.
 
 \begin{definition}
-Die {\em Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}\mathbb{R})$
-mit den Einträgen $(a_{ij})=A$ ist
+Die {\em Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\mathbb{R})$
+\index{Frobenius-Norm}%
+mit den Einträgen $(a_{i\!j})=A$ ist
 \[
 \| A\|_F
 =
 \sqrt{
-\sum_{i,j} a_{ij}^2
+\sum_{i,j} a_{i\!j}^2
 }.
 \]
 Das {\em Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen
@@ -262,14 +263,15 @@ ist
 \[
 \langle A,B\rangle_F
 =
-\sum_{i,j} a_{ij} b_{ij}
+\sum_{i,j} a_{i\!j} b_{i\!j}
 =
 \operatorname{Spur} A^t B
 \]
 und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$.
 \end{definition}
 
-Für komplexe Matrizen muss 
+Für komplexe Matrizen muss die Definition angepasst werden, damit 
+das Skalarprodukt sesquilinear und positiv definit wird.
 
 \begin{definition}
 Die {\em komplexe Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$
@@ -278,11 +280,11 @@ ist
 \| A\|
 =
 \sqrt{
-\sum_{i,j} |a_{ij}|^2
+\sum_{i,j} |a_{i\!j}|^2
 }
 =
 \sqrt{
-\sum_{i,u} \overline{a}_{ij} a_{ij}
+\sum_{i,u} \overline{a}_{i\!j} a_{i\!j}
 }
 \]
 das {\em komplexe Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen
@@ -290,18 +292,10 @@ $A,B\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$ ist das Produkt
 \[
 \langle A,B\rangle_F
 =
-\sum_{i,j}\overline{a}_{ij} b_{ij}
+\sum_{i,j}\overline{a}_{i\!j} b_{i\!j}
 =
 \operatorname{Spur} (A^* B)
 \]
 und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$.
 \end{definition}
 
-% XXX Frobeniusnorm
-
-\subsubsection{Skalarprodukt}
-
-% XXX Skalarprodukt 
-
-
-
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex
index e1dda6d..1754ce6 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex
@@ -11,10 +11,67 @@ sehr spezielle Algebren, man nennt sie Körper.
 In diesem Abschnitt sollen die wichtigsten Eigenschaften von Körpern
 zusammengetragen werden.
 
+\begin{definition}
+Ein Körper $K$ ist ein additive Gruppe mit einer multiplikativen
+Verknüpfung derart, dass $K^* = K \setminus \{0\}$ eine Gruppe bezüglich
+der Multiplikation ist.
+Ausserdem gelten die Distributivgesetze 
+\[
+(a+b)c = ac+bc
+\qquad a,b,c\in K.
+\]
+\end{definition}
 
-XXX TODO
+Ein Körper ist also ein Ring derart, dass die Einheitengruppe $K^*$ ist.
 
+\begin{beispiel}
+Die Menge $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ mit der Additions- und
+Mutliplikationstabelle
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
++&0&1\\
+\hline
+0&0&1\\
+1&1&0\\
+\hline
+\end{tabular}
+\qquad
+\qquad
+\qquad
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+\cdot&0&1\\
+\hline
+0&0&0\\
+1&0&1\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+ist der kleinste mögliche Körper.
+\end{beispiel}
 
+\begin{beispiel}
+Die Menge der rationalen Funktionen
+\[
+\mathbb{Q}(z)
+=
+\biggl\{
+f(z)
+=
+\frac{p(z)}{q(z)}
+\,
+\bigg|
+\,
+\begin{minipage}{5.5cm}
+\raggedright
+$p(z), q(z)$ sind Polynome mit rationalen Koeffizienten, $q(z)\ne 0$
+\end{minipage}
+\,
+\biggr\}
+\]
+ist ein Körper.
+\end{beispiel}
 
 
 
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
index 3ad51f1..ba89266 100755
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
@@ -8,7 +8,7 @@
 \rhead{Lineare Algebra}
 In diesem Abschnitt tragen wir die bekannten Resultate der linearen
 Algebra zusammen.
-Meistens lernt man diese zuerst für Vektoren und Gleichungssyteme mit
+Meistens lernt man diese zuerst für Vektoren und Gleichungssysteme mit
 reellen Variablen.
 In der linearen Algebra werden aber nur die arithmetischen
 Grundoperationen verwendet, es gibt also keinen Grund, warum sich
@@ -16,7 +16,8 @@ die Theorie nicht über einem beliebigen Zahlenkörper entwickeln
 lassen sollte.
 Die in Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper} untersuchten
 endlichen Körper sind zum Beispiel besser geeignet für Anwendungen in
-der Kryptographie oder für die diskrete schnelle Fourier-Transformation.
+der Kryptographie, der Codierungstheorie oder für die diskrete schnelle
+Fourier-Transformation.
 Daher geht es in diesem Abschnitt weniger darum alles herzuleiten,
 sondern vor allem darum, die Konzepte in Erinnerung zu rufen und
 so zu formulieren, dass offensichtlich wird, dass alles mit einem
@@ -28,27 +29,31 @@ beliebigen Zahlkörper $\Bbbk$ funktioniert.
 \subsection{Vektoren
 \label{buch:grundlagen:subsection:vektoren}}
 Koordinatensysteme haben ermöglicht, Punkte als Zahlenpaare zu beschreiben.
-Dies ermöglicht, geometrische Eigenschaften als Gleichungen auszudrücken,
-aber mit Punkten kann man trotzdem noch nicht rechnen.
+Dies ermöglicht, geometrische Eigenschaften als Gleichungen auszudrücken.
+Das bedeutet aber nur, dass man mit den Koordinaten rechnen kann,
+mit den Punkten selbst kann man trotzdem noch nicht rechnen.
 Ein Vektor fasst die Koordinaten eines Punktes in einem Objekt zusammen,
 mit dem man auch rechnen und zum Beispiel Parallelverschiebungen
 algebraisieren kann.
-Um auch Streckungen ausdrücken zu können, wird auch eine Menge von
+Um auch Streckungen ausdrücken zu können, wird zudem eine Menge von
 Streckungsfaktoren benötigt, mit denen alle Komponenten eines Vektors
 multipliziert werden können.
 Sie heissen auch {\em Skalare} und liegen in $\Bbbk$.
 
 \subsubsection{Zeilen- und Spaltenvektoren}
 Vektoren sind Tupel von Elementen aus $\Bbbk$.
+\index{Vektor}%
 
 \begin{definition}
 Ein $n$-dimensionaler {\em Spaltenvektor} ist ein $n$-Tupel von Zahlen aus
+\index{Spaltenvektor}%
 $\Bbbk$ geschrieben als
 \[
 v = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}
 \in \Bbbk^n.
 \]
 Ein $m$-dimensionaler {\em Zeilenvektor} wird geschrieben als
+\index{Zeilenvektor}%
 \[
 u = \begin{pmatrix}u_1&u_2&\dots&u_m\end{pmatrix} \in \Bbbk^m.
 \]
@@ -56,6 +61,7 @@ u = \begin{pmatrix}u_1&u_2&\dots&u_m\end{pmatrix} \in \Bbbk^m.
 
 Für Vektoren gleicher Dimension sind zwei Rechenoperationen definiert.
 Die {\em Addition von Vektoren} $a,a\in\Bbbk^n$  und die Multiplikation
+\index{Addition von Vektoren}%
 eines Vektors mit einem Skalar $\lambda\in\Bbbk$ erfolgt elementweise:
 \[
 a+b
@@ -75,6 +81,9 @@ a+b
 \]
 Die üblichen Rechenregeln sind erfüllt, nämlich
 \begin{equation}
+\index{Kommutativgesetz}%
+\index{Assoziativgesetz}%
+\index{Distributivgesetz}%
 \begin{aligned}
 &\text{Kommutativität:}
 &
@@ -105,12 +114,13 @@ man Skalare immer links von Vektoren schreiben muss.
 Die Distributivgesetze zum Beispiel sagen, dass man Ausmultipilizieren
 oder Ausklammern kann genauso wie in Ausdrücken, die nur Zahlen enthalten.
 
-Man beachte, dass es im allgemeinen kein Produkt von Vektoren gibt.
+Man beachte, dass es im Allgemeinen kein Produkt von Vektoren gibt.
 Das aus der Vektorgeometrie bekannte Vektorprodukt ist eine Spezialität
 des dreidimensionalen Raumes, es gibt keine Entsprechung dafür in anderen
 Dimensionen.
 
 \subsubsection{Standardbasisvektoren}
+\index|{Standardbasisvektor}%
 In $\Bbbk^n$ findet man eine Menge von speziellen Vektoren, durch die
 man alle anderen Vektoren ausdrücken kann.
 Mit den sogenannten {\em Standardbasisvektoren}
@@ -137,6 +147,10 @@ a_n \begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}
 a_1e_1+a_2e_2+\dots+a_ne_n
 \]
 ausgedrückt werden.
+Dies ist ein Speziallfall des Begriffs der Linearkombination, der
+weiter unten in
+Definition~\ref{buch:vektoren-und-matrizen:def:linearkombination}
+eingeführt wird.
 
 \subsubsection{Vektorraum}
 Die Rechnungen, die man gemäss der Rechengesetze
@@ -147,7 +161,7 @@ Jede Art von mathematischem Objekt, mit dem man so rechen kann,
 kann als (abstrakter) Vektor betrachtet werden.
 
 \begin{definition}
-Eine Menge $V$ von Objekten, auf der zwei Operationen definiert,
+Eine Menge $V$ von Objekten, auf der zwei Operationen definiert sind,
 nämlich die Addition, geschrieben $a+b$ für $a,b\in V$ und die
 Multiplikation mit Skalaren, geschrieben $\lambda a$ für $a\in V$ und
 $\lambda\in \Bbbk$, heisst ein {\em $\Bbbk$-Vektorraum} oder {\em Vektorraum
@@ -155,6 +169,8 @@ $\lambda\in \Bbbk$, heisst ein {\em $\Bbbk$-Vektorraum} oder {\em Vektorraum
 einfach nur {\em Vektorraum}, wenn $\Bbbk$ aus dem Kontext klar sind),
 wenn die Rechenregeln~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vrgesetze}
 gelten
+\index{Vektorraum}%
+\index{k-Vektorraum@$\Bbbk$-Vektorraum}%
 \end{definition}
 
 Die Mengen von Spaltenvektoren $\Bbbk^n$ sind ganz offensichtlich
@@ -164,6 +180,7 @@ Polynomen mit Koeffizienten in $\Bbbk$ sind ebenfalls Vektorräume.
 
 \begin{beispiel}
 Die Zahlenmenge $\mathbb{C}$ ist ein $\mathbb{R}$-Vektorraum.
+\index{C als R-Vektorraum@$\mathbb{C}$ als $\mathbb{R}$-Vektorraum}%
 Elemente von $\mathbb{C}$ können addiert und mit reellen Zahlen
 multipliziert werden.
 Die Rechenregeln für die komplexen Zahlen umfassen auch alle Regeln
@@ -174,6 +191,7 @@ $\mathbb{C}$ ein Vektorraum über $\mathbb{R}$.
 \begin{beispiel}
 Die Menge $C([a,b])$ der stetigen Funktionen $[a,b]\to\mathbb{Re}$
 bildet ein Vektorraum.
+\index{stetige Funktionen}%
 Funktionen können addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden:
 \[
 (f+g)(x) = f(x) + g(x)
@@ -190,13 +208,16 @@ Die Vektorraum-Rechenregeln
 Die Beispiele zeigen, dass der Begriff des Vektorraums die algebraischen
 Eigenschaften eine grosse Zahl sehr verschiedenartiger mathematischer
 Objekte beschreiben kann.
-Alle Erkenntnisse, die man ausschliesslich aus Vekotorraumeigenschaften
+Alle Erkenntnisse, die man ausschliesslich aus Vektorraumeigenschaften
 gewonnen hat, sind auf alle diese Objekte übertragbar.
 Im folgenden werden wir alle Aussagen für einen Vektorraum $V$ formulieren,
 wenn wir die Darstellung als Tupel $\Bbbk^n$ nicht brauchen.
 
 \subsubsection{Gleichungssysteme in Vektorform}
 Die Vektorraum-Operationen erlauben nun auch, lineare Gleichungssysteme
+\index{lineares Gleichungssytem}%
+\index{Gleichungssytem, lineares}%
+\index{Vektorform}%
 in {\em Vektorform} zu schreiben:
 \index{Vektorform eines Gleichungssystems}%
 \begin{equation}
@@ -222,11 +243,13 @@ x_n
 \begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}
 \label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}
 \end{equation}
-Die rechte Seite von~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}
-ist eine Linearkombination der Spaltenvektoren.
+Die linke Seite der Gleichung rechts in~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}
+\index{Linearkombination}%
+ist, wie man sagt, eine Linearkombination der Spaltenvektoren.
 
 \begin{definition}
-Eine Linearkombination der Vektoren $v_1,\dots,v_n\in V$ ist ein Ausdruck
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:def:linearkombination}
+Eine {\em Linearkombination} der Vektoren $v_1,\dots,v_n\in V$ ist ein Ausdruck
 der Form
 \[
 v
@@ -249,7 +272,7 @@ Sind $a_1,\dots,a_n\in V$ Vektoren, dann heisst die Menge
 \]
 aller Vektoren, die sich durch Linearkombination aus den Vektoren
 $a_1,\dots,a_n$ gewinnen lassen, der von $a_1,\dots,a_n$
-aufgespannte Raum.
+{\em aufgespannte Raum}.
 \end{definition}
 
 \subsubsection{Lineare Abhängigkeit}
@@ -336,6 +359,7 @@ Skalaren immer noch möglich ist.
 
 \begin{definition}
 Eine Teilmenge $U\subset V$ heisst ein {\em Unterraum} von $V$, wenn
+\index{Unterraum}%
 $U$ selbst ein $\Bbbk$-Vektorraum ist, also
 \[
 \begin{aligned}
@@ -359,7 +383,7 @@ Spaltenvektoren Spezialfälle sind.
 
 \subsubsection{Definition einer Matrix}
 \begin{definition}
-Eine $m\times n$-Matrix $A$ (über $\Bbbk$) ist rechteckiges Schema
+Eine {\em $m\times n$-Matrix} $A$ (über $\Bbbk$) ist ein rechteckiges Schema
 \index{Matrix}%
 \[
 A
@@ -371,10 +395,14 @@ a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\
 a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\\
 \end{pmatrix}
 \]
-mit $a_{ij}\in\Bbbk$.
+mit $a_{i\!j}\in\Bbbk$.
 Die Menge aller $m\times n$-Matrizen wird mit
 \[
-M_{m\times n}(\Bbbk) = \{ A\;|\; \text{$A$ ist eine $m\times n$-Matrix}\}.
+M_{m\times n}(\Bbbk)
+=
+M_{m,n}(\Bbbk)
+=
+\{ A\;|\; \text{$A$ ist eine $m\times n$-Matrix}\}.
 \]
 Falls $m=n$ gilt, heisst die Matrix $A$ auch {\em quadratisch}
 \index{quadratische Matrix}%
@@ -385,7 +413,7 @@ $M_n(\Bbbk) = M_{n\times n}(\Bbbk)$ ab.
 Die $m$-dimensionalen Spaltenvektoren $v\in \Bbbk^m$ sind $m\times 1$-Matrizen
 $v\in M_{n\times 1}(\Bbbk)$, die $n$-dimensionalen Zeilenvetoren $u\in\Bbbk^n$
 sind $1\times n$-Matrizen $v\in M_{1\times n}(\Bbbk)$.
-Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{ij}$ besteht aus
+Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{i\!j}$ besteht aus
 den $n$ Spaltenvektoren
 \[
 a_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix},\quad
@@ -426,54 +454,57 @@ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\dots &a_{mn}+b_{mn}
 \end{definition}
 
 \subsubsection{Multiplikation}
-Will man ein lineares Gleichungssystem mit Hilfe der Matrix $A$ der
+Will man ein lineares Gleichungssystem
+wie~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}
+mit Hilfe der Matrix $A$ der
 Koeffizienten schreiben, bekommt es die Form $Ax=b$, wobei der Vektor
 der rechten Seiten ist, und $x$ ein Vektor von unbekannten Zahlen.
 Dies ist jedoch nur sinnvoll, wenn das Produkt $Ax$ sinnvoll definiert
 werden kann.
 
 \begin{definition}
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:def:matrixmultiplikation}
 Eine $m\times n$-Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ und eine
 $n\times l$-Matrix $B\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ haben als Produkt
 eine $m\times l$-Matrix $C=AB\in M_{m\times l}(\Bbbk)$ mit den
 Koeffizienten
 \begin{equation}
-c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
-\label{buch:vektoren-unbd-matrizen:eqn:matrixmultiplikation}
+c_{i\!j} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:matrixmultiplikation}
 \end{equation}
 \end{definition}
 
 Die Koeffizienten $a_{ik}$ kommen aus der Zeile $i$ von $A$, die Koeffizienten
 $b_{kj}$ stehen in der Spalte $j$ von $B$, die Multiplikationsregel
 \eqref{buch:vektoren-unbd-matrizen:eqn:matrixmultiplikation}
-besagt also, dass das Element $c_{ij}$ entsteht als das Produkt
+besagt also, dass das Element $c_{i\!j}$ entsteht als das Produkt
 der Zeile $i$ von $A$ mit der Spalte $j$ von $C$.
 
 \subsubsection{Einheitsmatrix}
 Welche $m\times m$-Matrix $I\in M_{m}(\Bbbk)$ hat die Eigenschaft, dass
 $IA=A$ für jede beliebige Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$.
-Wir bezeichnen die Einträge von $I$ mit $\delta_{ij}$.
+Wir bezeichnen die Einträge von $I$ mit $\delta_{i\!j}$.
 Die Bedingung $IA=A$ bedeutet
 \[
-a_{ij} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj},
+a_{i\!j} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj},
 \]
-Da auf der linken Seite nur $a_{ij}$ vorkommt, müssen alle Terme auf der
-rechten Seite verschwinden ausser dem Term mit $a_{ij}$, dessen
+Da auf der linken Seite nur $a_{i\!j}$ vorkommt, müssen alle Terme auf der
+rechten Seite verschwinden ausser dem Term mit $a_{i\!j}$, dessen
 Koeffizient $\delta_{ii}=1$ sein muss.
 Die Koeffizienten sind daher
 \[
-\delta_{ij}
+\delta_{i\!j}
 =
 \begin{cases}
 1&\qquad i=j\\
 0&\qquad\text{sonst}
 \end{cases}
 \]
-Die Zahlen $\delta_{ij}$ heissen auch das {\em Kronecker-Symbol} oder
+Die Zahlen $\delta_{i\!j}$ heissen auch das {\em Kronecker-Symbol} oder
 {\em Kronecker-Delta}.
 \index{Kronecker-$\delta$}%
 \index{Kronecker-Symbol}%
-Die Matrix $I$ hat die Einträge $\delta_{ij}$ und heisst die
+Die Matrix $I$ hat die Einträge $\delta_{i\!j}$ und heisst die
 {\em Einheitsmatrix}
 \index{Einheitsmatrix}%
 \[
@@ -487,7 +518,27 @@ I
 \end{pmatrix}.
 \]
 
-
+\subsubsection{Transponierte Matrix}
+\index{transponierte Matrix}%
+\index{Matrix, transponiert}%
+Die zu einer $m\times n$-Matrix $A$ {\em transponierte} Matrix ist die
+$n\times m$-Matrix
+\[
+A^t=\begin{pmatrix}
+a_{11}&a_{21}&\dots&a_{m1}\\
+a_{12}&a_{22}&\dots&a_{m2}\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+a_{1n}&a_{2n}&\dots&a_{mn}
+\end{pmatrix}.
+\]
+Sie entsteht aus der Matrix $A$ durch Vertauschung von Zeilen und Spalten.
+Aus der Definition~\ref{buch:vektoren-und-matrizen:def:matrixmultiplikation}
+folgt unmittelbar die Rechenregel $(AB)^t = B^tA^t$.
+
+Eine Matrix $A$ heisst {\em symmetrisch}, wenn $A^t=A$ ist, sie heisst
+{\em antisymmetrisch}, wenn $A^t=-A$ gilt.
+\index{symmetrische Matrix}%
+\index{antisymmetrische Matrix}%
 %
 % Gleichungssysteme
 %
@@ -523,17 +574,21 @@ Ein Gleichungssystem mit rechter Seite $0$ heisst {\em homogen}.
 \index{homogenes Gleichungssystem}%
 Zu jedem {\em inhomogenen} Gleichungssystem $Ax=b$ mit $b\ne 0$
 ist $Ax=0$ das zugehörige homogene Gleichungssystem.
+\index{inhomogenes Gleichungssystem}%
 
 Ein homogenes Gleichungssytem $Ax=0$ hat immer mindestens die
 Lösung $x=0$, man nennt sie auch die {\em triviale} Lösung.
+\index{triviale Lösung}%
 Eine Lösung $x\ne 0$ heisst auch eine nichttriviale Lösung.
 Die Lösungen eines inhomgenen Gleichungssystem $Ax=b$ ist also nur dann
 eindeutig, wenn das zugehörige homogene Gleichungssystem eine nichttriviale
 Lösung hat.
 
 \subsubsection{Gauss-Algorithmus}
-Der Gauss-Algorithmus oder genauer Gausssche Eliminations-Algorithmus
-löst ein lineare Gleichungssystem der
+Der Gauss-Algorithmus oder genauer Gausssche Eliminationsalgorithmus
+löst ein lineares Gleichungssystem der
+\index{Gauss-Algorithmus}%
+\index{Gausscher Eliminationsalgorithmus}%
 Form~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}.
 Die Koeffizienten werden dazu in das Tableau
 \[
@@ -547,21 +602,22 @@ a_{m1}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
 \]
 geschrieben.
 Die vertikale Linie erinnert an die Position des Gleichheitszeichens.
-Es beinhaltet alle Informationen zur Durchführung des Algorithmus.
+Das Tableau beinhaltet alle Informationen zur Durchführung des Algorithmus.
 Der Algorithmus is so gestaltet, dass er nicht mehr Speicher als
 das Tableau benötigt, alle Schritte operieren direkt auf den Daten
 des Tableaus.
 
 In jedem Schritt des Algorithmus wird zunächst eine Zeile $i$ und
-Spalte $j$ ausgewählt, das Elemente $a_{ij}$ heisst das Pivotelement.
+Spalte $j$ ausgewählt, das Elemente $a_{i\!j}$ heisst das {\em Pivotelement}.
 \index{Pivotelement}%
 Die {\em Pivotdivision}
+\index{Pivotdivision}
 \[
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
 a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1   \\[-2pt]
 \vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
-a_{i1}&\dots &{\color{red}a_{ij}}&\dots &a_{in}&b_i   \\[-2pt]
+a_{i1}&\dots &{\color{red}a_{i\!j}}&\dots &a_{in}&b_i   \\[-2pt]
 \vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
 a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
 \hline
@@ -571,7 +627,7 @@ a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
 \hline
 a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1   \\[-2pt]
 \vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
-{\color{red}\frac{a_{i1}}{a_{ij}}}&\dots &{\color{red}1}&\dots &{\color{red}\frac{a_{in}}{a_{ij}}}&{\color{red}\frac{b_i}{a_{ij}}}\\[-2pt]
+{\color{red}\frac{a_{i1}}{a_{i\!j}}}&\dots &{\color{red}1}&\dots &{\color{red}\frac{a_{in}}{a_{i\!j}}}&{\color{red}\frac{b_i}{a_{i\!j}}}\\[-2pt]
 \vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
 a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
 \hline
@@ -581,7 +637,8 @@ stellt sicher, dass das Pivot-Element zu $1$ wird.
 \index{Pivotdivision}
 Dies ist gleichbedeutend mit der Auflösung der Gleichung $i$ noch der
 Variablen $x_j$.
-Mit der {\em Zeilensubtraktion} auf Zeile $k\ne i$ können die Einträge in der
+Mit der {\em Zeilensubtraktion} auf Zeile $k>i$ können die Einträge in der
+\index{Zeilenoperation}%
 Spalte $j$ zu Null gemacht werden.
 Dazu wird das $a_{kj}$-fache der Zeile $i$ von Zeile $k$ subtrahiert:
 \[
@@ -611,8 +668,10 @@ Pivotelement zu $0$ zu machen.
 Beide Operationen können in einem Durchgang durchgeführt werden.
 
 Die beiden Operationen Pivotdivision und Zeilensubtraktion werden jetzt
-kombiniert um im linken Teil des Tableaus möglichst viele Nullen und
+kombiniert, um im linken Teil des Tableaus möglichst viele Nullen und
 Einsen zu erzeugen.
+Dabei kann es nötig werden, Zeilen zu vertauschen, um ein von $0$
+verschiedenes Pivotelement zu finden.
 Im Idealfall wird ein Tableau der Form
 \[
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
@@ -626,8 +685,9 @@ Im Idealfall wird ein Tableau der Form
 \]
 erreicht, was natürlich nur $m=n$ möglich ist.
 Interpretiert man die Zeilen dieses Tableaus wieder als Gleichungen,
-dann liefert die Zeile $i$ den Wert $x_i=u_i$ für die Variable $i$.
-Die Lösung kann also in der Spalte rechts abgelesen werden.
+dann liefert die Zeile $i$ den Wert $x_i=u_i$ für die Variable
+mit Nummer $i$.
+Der Lösungsvektor kann also in der Spalte rechts abgelesen werden.
 
 \begin{figure}
 \centering
@@ -652,7 +712,7 @@ Spalten über den Pivotelemnten frei zu räumen.
 \index{Rückwärtseinsetzen}%
 Wenn in einer Spalte kein von $0$ verschiedenes Element als Pivotelement
 zur Verfügung steht, wird diese Spalte übersprungen.
-Die so erzeuge Tableau-Form heisst auch die {\em reduzierte Zeilenstufenform}
+Die so erzeugte Tableau-Form heisst auch die {\em reduzierte Zeilenstufenform}
 ({\em reduced row echelon form}, RREF).
 \index{reduzierte Zeilenstufenform}%
 \index{reduced row echelon form}%
@@ -699,6 +759,19 @@ $x_{j_1}, x_{j_2},\dots, x_{j_k}$ kann die Lösungsmenge als
 \left\{
 \left.
 \begin{pmatrix}
+x_1\\
+x_2\\
+\vdots\\
+{\color{darkgreen}x_{i_1}}\\
+x_{i_1+1}\\
+\vdots\\
+{\color{darkgreen}x_{i_2}}\\
+x_{i_2+1}\\
+\vdots\\
+x_m
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
 d_1\\
 d_2\\
 \vdots\\
@@ -791,7 +864,7 @@ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}&0     &0     &\dots &1     \\
 \end{tabular}
 \]
 Die Vektoren $c_k$ sind die Spaltenvektoren der Matrix $C$ mit den
-Einträgen $c_{ij}$.
+Einträgen $c_{i\!j}$.
 
 Mit den Vektoren $c_k$ können jetzt beliebige inhomogene Gleichungssysteme
 $Ax=b$ gelöst werden.
@@ -812,7 +885,8 @@ b_1e_1 + b_2e_2 + \dots + b_ne_n
 b.
 \end{align*}
 Die Linearkombination $x=b_1c_1+\dots+b_nc_n$ kann in Vektorform als $x=Cb$
-geschrieben werden.
+geschrieben werden, wenn die Vektoren $c_i$ als Spalten einer Matrix $C$ 
+interpretiert werden.
 
 Die Konstruktion von $C$ bedeutet auch, dass $AC=E$, daher heisst $C$ auch
 die zu $A$ {\em inverse Matrix}.
@@ -824,7 +898,7 @@ daraus folgt aber noch nicht, dass auch $A^{-1}A=I$ ist.
 Diese Eigenschaft kann man jedoch wie folgt erhalten.
 Sei $C$ die inverse Matrix von $A$, also $AC=I$.
 Sei weiter $D$ die inverse Matrix von $C$, also $CD=I$.
-Dann ist zunächst $A=AE=A(CD)=(AC)D=ID=D$ und weiter
+Dann ist zunächst $A=AI=A(CD)=(AC)D=ID=D$ und weiter
 $CA=CD=I$.
 Mit der Bezeichnung $C=A^{-1}$ erhalten wir also auch $A^{-1}A=I$.
 
@@ -848,7 +922,8 @@ lösbar ist.
 \label{buch:linear:determinate:def}
 Das Produkt der Pivot-Elemente bei der Durchführung des Gauss-Algorithmus
 für eine Gleichungssystem mit quadratischer Koeffizientenmatrix $A$
-heisst die Determinante $\det(A)$ der Matrix $A$.
+heisst die {\em Determinante} $\det(A)$ der Matrix $A$.
+\index{Determinante}%
 \end{definition}
 
 Aus den Regeln für die Durchführung des Gauss-Algorithmus kann man die
@@ -887,17 +962,18 @@ und
 \ref{buch:linear:determinante:asymetrisch}
 eindeutig bestimmt.
 \item
-Der Entwicklungssatz von Laplace.
+Der Entwicklungssatz von Laplace:
 \index{Entwicklungssatz Laplace}%
 Die Determinante der $n\times n$-Matrix $A$ kann mit der Formel
 \begin{equation}
 \det(A)
 =
-\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det(A_{ij})
+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{i\!j} \cdot \det(A_{i\!j})
 \end{equation}
-wobei die $(n-1)\times(n-1)$-Matrix $A_{ij}$ die Matrix $A$ ist, aus der
+berechnet werden,
+wobei die $(n-1)\times(n-1)$-Matrix $A_{i\!j}$ die Matrix $A$ ist, aus der
 man Zeile $i$ und Spalte $j$ entfernt hat.
-$A_{ij}$ heisst ein {\em Minor} der Matrix $A$.
+$A_{i\!j}$ heisst ein {\em Minor} der Matrix $A$.
 \index{Minor einer Matrix}%
 \end{enumerate}
 
@@ -925,6 +1001,9 @@ aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.
 Die Determinanten ermöglicht auch, eine Formel für die Lösung eines
 Gleichungssystems zu geben.
 Dies ist bekannt als die {\em Regel von Cramer}.
+\index{Cramer, Regel von}%
+\index{Cramersche Regel}%
+\index{Regel von Cramer}%
 
 \begin{satz}
 \label{buch:linear:determinante:cramer}
@@ -967,13 +1046,13 @@ Die Inverse der $n\times n$-Matrix $A$ ist gegeben durch
 \index{Formel für die inverse Matrix}%
 \index{inverse Matrix, Formel für}%
 \begin{equation}
-(A^{-1})_{ij}
+(A^{-1})_{i\!j}
 =
 \frac{1}{\det(A)}
 \begin{pmatrix}
-\det(A_{11}) & -\det(A_{21}) & \dots & (-1)^{i+1}\det(A_{i1}) & \dots
+\phantom{(-1)^{1+1}}\det(A_{11}) & \phantom{()^{1+1}}-\det(A_{21}) & \dots & (-1)^{i+1}\det(A_{i1}) & \dots
 	& (-1)^{1+n} \det(A_{n1}) \\
--\det(A_{12}) & \det(A_{22}) & \dots & (-1)^{i+2}\det(A_{i2}) & \dots
+\phantom{()^{1+1}}-\det(A_{12}) & \phantom{(-1)^{1+1}}\det(A_{22}) & \dots & (-1)^{i+2}\det(A_{i2}) & \dots
 	& (-1)^{2+n} \det(A_{n2}) \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 (-1)^{1+j}\det(A_{1j}) & (-1)^{2+j}\det(A_{2j}) & \dots
@@ -982,7 +1061,7 @@ Die Inverse der $n\times n$-Matrix $A$ ist gegeben durch
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 (-1)^{1+n}\det(A_{1n}) & (-1)^{2+n}\det(A_{2n}) & \dots
 	& (-1)^{i+n}\det(A_{in})
-	& \dots & \det(A_{nn})
+	& \dots & \phantom{(-1)^{n+n}}\det(A_{nn})
 \end{pmatrix}
 \label{buch:linalg:inverse:formel}
 \end{equation}
@@ -992,7 +1071,7 @@ heisst die {\em Adjunkte} $\operatorname{adj}A$ von $A$.
 \index{Adjunkte}%
 \end{satz}
 
-Der Satz~\ref{buch:linalg:inverse:adjoint} liefert eine algebraische
+Der Satz~\ref{buch:linalg:inverse:adjunkte} liefert eine algebraische
 Formel für die Elemente der inversen Matrix.
 Für kleine Matrizen wie im nachfolgenden Beispiel ist die
 Formel~\eqref{buch:linalg:inverse:formel} oft einfachter anzuwenden.
@@ -1011,7 +1090,7 @@ d&-b\\
 erhält.
 
 \begin{beispiel}
-Die Inverse der Matrix
+Die Matrix
 \begin{equation}
 A=\begin{pmatrix}
 1&a&a\\
@@ -1022,8 +1101,9 @@ a&a&1
 \end{equation}
 ist mit Hilfe von Determinanten besonders einfach zu invertieren.
 Die Determinante von $A$ ist nach der Sarrus-Formel
+Satz~\ref{buch:linear:determinate:sarrus}
 \[
-\operatorname{adj}A
+\operatorname{det}A
 =
 1 + 2a^3  - 3a^2.
 \]
@@ -1048,13 +1128,13 @@ A^{-1}
 -\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right|
 &
 \left|\begin{matrix}a&a\\1&a\end{matrix}\right|
-\\
+\\[10pt]
 -\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right|
 &
 \left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right|
 &
 -\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right|
-\\
+\\[10pt]
 \left|\begin{matrix}a&1\\a&a\end{matrix}\right|
 &
 -\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right|
@@ -1071,7 +1151,7 @@ a^2-a & a^2-a & 1-a^2
 \end{pmatrix}.
 \end{align*}
 Mit $1-a^2=(1+a)(1-a)$ und $a^2-a=a(a-1)$ kann man dies noch etwas
-vereinfachen, indem man den gemeinsamen Faktor $1-a$ ausklammern.
+vereinfachen, indem man den gemeinsamen Faktor $1-a$ ausklammert.
 Man erhält so die Form
 \begin{equation}
 A^{-1}
@@ -1091,6 +1171,7 @@ für die Inverse einer Matrix der Form
 \subsubsection{Produktregel für die Determinante}
 Aus der Charakterisierung der Determinanten kann man auch ableiten,
 dass  die Produktregel 
+\index{Produktregel}%
 \[
 \det (AB) = \det(A) \cdot \det(B)
 \]
@@ -1114,8 +1195,9 @@ dass die Operationen des Vektorraums erhalten bleiben.
 Dies wird von der folgenden Definition erreicht.
 
 \begin{definition}
+\index{lineare Abbildung}%
 Eine Abbildung $f\colon V\to U$ zwischen Vektorräumen $V$ und $U$
-heisst linear, wenn
+heisst {\em linear}, wenn
 \[
 \begin{aligned}
 f(v+w) &= f(v) + f(w)&&\forall v,w\in V
@@ -1126,12 +1208,13 @@ f(\lambda v) &= \lambda f(v) &&\forall v\in V,\lambda \in \Bbbk
 gilt.
 \end{definition}
 
-Lineare Abbildungen sind in der Mathematik sehr verbreitet.
+Lineare Abbildungen sind in der Mathematik weit verbreitet, wie die
+folgenden Beispiele zeigen.
 
 \begin{beispiel}
 Sie $V=C^1([a,b])$ die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen
 auf dem Intervall $[a,b]$ und $U=C([a,b])$ die Menge der
-stetigen Funktion aif $[a,b]$.
+stetigen Funktion auf $[a,b]$.
 Die Ableitung $\frac{d}{dx}$ macht aus einer Funktion $f(x)$ die
 Ableitung $f'(x)$.
 Die Rechenregeln für die Ableitung stellen sicher, dass
@@ -1196,9 +1279,12 @@ x_n(a_{1n} c_1 + \dots + a_{mn} c_m)
 Die Koordinaten von $f(x)$ in der Basis $\mathcal{C}$ in $U$ sind
 also gegeben durch das Matrizenprodukt $Ax$, wenn $x$ der Spaltenvektor
 aus den Koordinaten in der Basis $\mathcal{B}$ in $V$ ist.
+Die Matrix $A$ heisst die Matrix der linearen Abbildung $f$ in
+den Basen $\mathcal{B}$ bzw.~$\mathcal{C}$.
+\index{Matrix einer linearen Abbildung}%
 
 Die Matrix einer linearen Abbildung macht Aussagen über eine lineare
-Abbilung der Rechnung zugänglich.
+Abbilung der rechnerischen Untersuchung zugänglich.
 Allerdings hängt die Matrix einer linearen Abbildung von der Wahl der
 Basis ab.
 Gleichzeitig ist dies eine Chance, durch Wahl einer geeigneten Basis
@@ -1208,10 +1294,10 @@ Problems optimal geeignet ist.
 \subsubsection{Basiswechsel}
 In einem Vektorraum $V$ seien zwei Basen $\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}$
 und $\mathcal{B}'=\{b_1',\dots,b_n'\}$ gegeben.
-Ein Vektor $v\in V$ kann in beiden beiden Basen dargestellt werden.
+Ein Vektor $v\in V$ kann in beiden Basen dargestellt werden.
 Wir bezeichnen mit dem Spaltenvektor $x$ die Koordinaten von $v$ in der
 Basis $\mathcal{B}$ und mit dem Spaltenvektor $x'$ die Koordinaten
-in der Basisi $\mathcal{B}'$.
+in der Basis $\mathcal{B}'$.
 Um die Koordinaten umzurechnen, muss man die Gleichung
 \begin{equation}
 x_1b_1 + \dots + x_nb_n = x_1'b_1' + \dots + x_n'b_n'
@@ -1220,7 +1306,7 @@ x_1b_1 + \dots + x_nb_n = x_1'b_1' + \dots + x_n'b_n'
 lösen.
 
 Stellt man sich die Vektoren $b_i$ und $b_j'$ als $m$-dimensionale
-Spaltenvektoren vor mit $m\ge n$, dann bekommt
+Spaltenvektoren mit $m\ge n$ vor, dann bekommt
 \eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselgleichung}
 die Form eines Gleichungssystems
 \[
@@ -1231,7 +1317,8 @@ b_{m1}x_1&+& \dots &+&b_{mn}x_n&=&b_{m1}'x_1'&+& \dots &+&b_{mn}'x_n'
 \end{linsys}
 \]
 Dieses Gleichungssystem kann man mit Hilfe eines Gauss-Tableaus lösen.
-Wir schreiben die zugehörigen Variablen
+Wir schreiben die zugehörigen Variablen in die Kopfzeile der Tableaus.
+Die Durchführung des Gauss-Algorithmus liefert
 \[
 \renewcommand{\arraystretch}{1.1}
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$} >{$}c<{$} >{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
@@ -1267,12 +1354,28 @@ Vektor in $V$ sich in beiden Mengen $\mathcal{B}$ und $\mathcal{B}'$
 ausdrücken lässt.
 Dies folgt aber aus der Tatsache, dass $\mathcal{B}$ und $\mathcal{B}'$
 beide Basen sind, also insbesondere den gleichen Raum aufspannen.
-Die $n\times n$-Matrix $T$ mit Komponenten $t_{ij}$ rechnet Koordinaten
+Die $n\times n$-Matrix $T$ mit Komponenten $t_{i\!j}$ rechnet Koordinaten
 in der Basis $\mathcal{B}'$ um in Koordinaten in der Basis $\mathcal{B}$.
 
+\subsubsection{Basiswechselformel für die Matrix einer linearen Abbildung}
+Die Matrix einer linearen Abbildung $f\colon U\to V$ ist abhängig von den
+in $U$ bzw.~$V$ gewählten Basen $\mathcal{B}$ bzw.~$\mathcal{C}$.
+Wechselt man die Basis und verwendet in $U$ die Basis $\mathcal{B}'$ und
+in $V$ die Basis $\mathcal{C}'$, dann gibt es Matrizen
+$T_U$ und $T_V$, die die Koordinaten in $U$ bzw.~$V$ von der gestrichenen
+Basis in die gestrichen umzurechnen gestattet.
+Ist $A$ die Matrix von $A$ in den Basen $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$,
+dann ist Matrix der gleichen Abbildung in den Basen $\mathcal{B}'$
+und $\mathcal{C}'$ gegeben durch die Matrix
+\begin{equation}
+A' = T_VAT_U^{-1}.
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselabb}
+\end{equation}
+
 \subsubsection{Umkehrabbbildung}
 Sei $f$ eine umkehrbare lineare Abbildung $U\to V$ und $g\colon V\to U$.
 die zugehörige Umkehrabbildung.
+\index{Umkehrabbildung}%
 Für zwei Vektoren $u$ und $w$ in $U$ gibt es daher Vektoren $a=g(u)$
 und $b=g(w)$ in $V$ derart, dass $f(a)=u$ und $f(b)=w$.
 Weil $f$ linear ist, folgt daraus $f(a+b)=u+w$ und $f(\lambda a)=\lambda a$
@@ -1305,6 +1408,8 @@ Ist $f$ eine lineare Abbildung $U\to V$, dann heisst die Menge
 \{x\in U\;|\; f(x)=0\}
 \]
 der {\em Kern} oder {\em Nullraum} der linearen Abbildung $f$.
+\index{Kern}%
+\index{Nullraum}%
 Ist $A \in M_{m\times n}(\Bbbk)$ Matrix, dann gehört dazu eine lineare
 Abbildung $f\colon\Bbbk^n\to\Bbbk^m$.
 Der Kern oder Nullraum der Matrix $A$ ist die Menge
@@ -1326,8 +1431,9 @@ gilt.
 
 Ob ein Gleichungssystem $Ax=b$ überhaupt eine Lösung hat, hängt davon,
 ob der Vektor $b$ als Bild der durch $A$ beschriebenen linearen Abbildung
-$\Bbbk^n \to \Bbbk^m$ enthalten ist.
-Wir definieren daher das Bild einer linearen Abbildung oder Matrix.
+$\Bbbk^n \to \Bbbk^m$ dargestellt werden kann.
+Wir definieren daher das Bild einer linearen Abbildung oder Matrix
+wie folgt.
 
 \begin{definition}
 Ist $f\colon V\to U$ eine lineare Abbildung dann ist das Bild von $f$
@@ -1336,25 +1442,26 @@ der Unterraum
 \operatorname{im}f = \{ f(v)\;|\;v\in V\} \subset U
 \]
 von $U$.
-Das Bild einer $m\times n$-Matrix $A$ ist die Menge
+Das {\em Bild} einer $m\times n$-Matrix $A$ ist die Menge
 \[
 \operatorname{im}A = \{ Av \;|\; v\in\Bbbk^n\} \subset \Bbbk^m.
 \]
 \end{definition}
+\index{Bild}%
 
 Zwei Vektoren $a,b\in\operatorname{im} f$ haben Urbilder $u,w\in V$ mit
 $f(u)=a$ und $f(w)=b$.
 Für Summe und Multiplikation mit Skalaren folgt
 \[
 \begin{aligned}
-a+b&= f(u)+f(v)=f(u+v) &&\Rightarrow a+b\in\operatorname{im}f\\
-\lambda a&=\lambda f(u) = f(\lambda u) &&\Rightarrow \lambda a&\in\operatorname{im}f,
+a+b       &= f(u)+f(v)=f(u+v)           & \Rightarrow &       a+b &\in\operatorname{im}f\\
+\lambda a &=\lambda f(u) = f(\lambda u) & \Rightarrow & \lambda a &\in\operatorname{im}f,
 \end{aligned}
 \]
 also ist auch das Bild $\operatorname{im}f$ ein Unterraum von $U$.
 Das Bild der Matrix $A$ ist der Unterraum
 \[
-\{ x_1f(b_1) + \dots x_n f(b_n) | x_i\in\Bbbk\}
+\{ x_1f(b_1) + \dots x_n f(b_n) \,|\, x_i\in\Bbbk\}
 =
 \langle f(b_1),\dots,f(b_n)\rangle
 =
@@ -1369,6 +1476,7 @@ Sei $A$ eine Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$.
 Der {\em Rang} der Matrix $A$ ist die Dimension des Bildraumes von $A$:
 $\operatorname{rank}A=\dim\operatorname{im} A$.
 \index{Rang einer Matrix}%
+\index{rank@$\operatorname{rank}A$}%
 Der {\em Defekt} der Matrix $A$ ist die Dimension des Kernes von $A$:
 $\operatorname{def}A=\dim\ker A$.
 \index{Defekt einer Matrix}%
@@ -1389,5 +1497,94 @@ n-\operatorname{def}A.
 \]
 \end{satz}
 
+\begin{proof}[Beweis]
+Der Defekt der Matrix $A$ ist die Dimension des Kernes, also die
+Dimension des Lösungsraumes des homogenen Gleichungssystems mit
+Koeffizientenmatrix $A$.
+Dies ist auch die Anzahl der frei wählbaren Variablen nach
+der Durchführung des Gaussalgorithmus
+Die behauptete Bezieung kann man jetzt unmittelbar aus dem
+Schlusstableau
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.5]
+\draw (0,0) rectangle (8,7);
+\draw (0,3) -- (8,3);
+\draw (4,0) -- (4,7);
+\node at (0.5,6.5) {$1$};
+\node at (2,5.25) {$\ddots$};
+\node at (3.5,3.5) {$1$};
+
+\node at (4.5,6.5) {$*$};
+\node at (4.5,3.5) {$*$};
+\node at (7.5,6.5) {$*$};
+\node at (7.5,3.5) {$*$};
+\node at (4.5,5.25) {$\vdots$};
+\node at (7.5,5.25) {$\vdots$};
+\node at (6,3.5) {$\cdots$};
+\node at (6,6.5) {$\cdots$};
+\node at (6,5.25) {$\ddots$};
+
+\node at (2,1.5) {$0$};
+\node at (6,1.5) {$0$};
+
+\draw[<->] (-0.3,7) -- (-0.3,3);
+\node at (-0.3,5) [left] {$\operatorname{rank}A$};
+\draw[<->] (4,7.3) -- (8,7.3);
+\node at (6,7.3) [above] {$\operatorname{def}A\mathstrut$};
+\node at (2,7.3) [above] {$n-\operatorname{def}A\mathstrut$};
+\draw[<->] (0,7.3) -- (4,7.3);
+\draw[<->] (0,-0.3) -- (8,-0.3);
+\node at (4,-0.3) [below] {$n$};
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+ablesen.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Gauss-Algorithmus und Basiswechsel}
+Die Zeilenoperationen des Gauss-Algorithmus können durch Multiplikation
+mit Matrizen der Form
+\[
+\begin{pmatrix}
+1&      & &                        & & &      & \\
+ &\ddots& &                        & & &      & \\
+ &      &1&                        & & &      & \\
+ &      & &{\color{red}1}          & & &      & \\
+ &      & &{\color{blue}-a_{i+1,i}}&1& &      & \\
+ &      & &{\color{blue}-a_{i+2,i}}& &1&      & \\
+ &      & &\vdots                  & & &\ddots& \\
+ &      & &{\color{blue}-a_{n,i}}  & & &      &1
+\end{pmatrix}
+\]
+ausgedrückt werden.
+Diese Matrizen sind alle invertiertbar.
+Man kann die Zeilenoperationen also als ein Basiswechsel im Bildraum
+verstehen.
+
 \subsubsection{Quotient}
-TODO: $\operatorname{im} A \simeq \Bbbk^m/\ker A$
+Ist $U\subset V$ ein Unterraum, dann kann man einen neuen Vektorraum
+$V/U$ bilden, dessen Vektoren Äquivalenzklassen von Vektoren aus $V$
+sind, die sich nur um einen Vektor aus $U$ unterscheiden.
+Wir können solche Vektoren als $v+U$ schreiben. 
+Diese abstrakte Definition des Quotienten kann im Falle 
+des Quotienten $\Bbbk^n / \ker A$ mit Hilfe des
+Gauss-Algorithmus wesentlich anschaulicher realisiert werden,
+wie im folgenden Abschnitt gezeigt wird.
+
+\subsubsection{Realisierung des Quotienten}
+Der Quotient besteht aus den Vektoren, die ``übrig'' bleiben, wenn man die
+Vektoren im Kern mit $0$ identifiziert.
+Man kann ihn sich als das Bild vorstellen.
+
+Etwas konkreter erlaubt der Gauss-Algorithmus,
+für das Bild $\operatorname{im}A$ eine Basis zu finden.
+Aus dem Schlusstableau lässt sich zunächst eine Basis des Kernes
+ablesen, dies sind die ``grünen'' Spalten.
+Die Pivotspalten bilden dagegen eine Basis für den Bildraum
+nach dem im vorangegangenen Abschnitt angesprochenen Basiswechsel.
+
+Die Pivotspalten beschreiben Vektoren, die durch die Abbildung {\em nicht}
+zu $0$ gemacht werden.
+Wendet man $A$ auf die Standardbasisvektoren ab, die zu den 
+Pivospalten gehören, erhält man also eine Basis für da Bild
+von $A$.
+
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
index 21b29c2..3b2780a 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
@@ -13,6 +13,7 @@ Eine ähnliche Situation haben wir bei $M_n(\Bbbk)$ angetroffen.
 $M_n(\Bbbk)$ ist eine zunächst eine Gruppe bezüglich der Addition,
 hat aber auch noch eine Multiplikation, die nicht immer umkehrbar ist.
 Diese Art von Struktur nennt man einen Ring.
+\index{Ring}
 
 \subsubsection{Definition eines Rings}
 
@@ -21,6 +22,7 @@ Diese Art von Struktur nennt man einen Ring.
 Eine Menge $R$ mit einer additiven Operation $+$ mit neutralem Element
 $0$ und einer multiplikativ geschriebenen Operation $\cdot$ heisst ein
 {\em Ring}, wenn folgendes gilt.
+\index{Ring}%
 \begin{enumerate}
 \item
 $R$ ist eine Gruppe bezüglich der Addition.
@@ -56,14 +58,15 @@ kein neutrales Element hat oder beides.
 
 \begin{definition}
 \index{Ring mit Eins}%
-Ein Ring $R$ heisst ein Ring mit Eins, wenn die Multiplikation ein
+Ein Ring $R$ heisst ein {\em Ring mit Eins}, wenn die Multiplikation ein
 neutrales Element hat.
+\index{Ring mit Eins}%
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
 \index{Ring!kommutativ}%
 \index{kommutativer Ring}%
-Ein Ring $R$ heisst kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ
+Ein Ring $R$ heisst {\em kommutativ}, wenn die Multiplikation kommutativ
 ist.
 \end{definition}
 
@@ -93,7 +96,7 @@ für $a,b\in c(\mathbb{Z})$.
 Die Algebra ist kommutativ und hat die konstante Folge 
 $u_n = 1\;\forall n$ als Eins.
 
-Wir betrachten jetzt ein Unterring $c_0(\mathbb{Z})\subset c(\mathbb{Z})$
+Wir betrachten jetzt den Unterring $c_0(\mathbb{Z})\subset c(\mathbb{Z})$
 bestehend aus den Folgen, die nur für endlich viele Folgenglieder von
 $0$ verschieden sind.
 Für eine Folge $a\in c_0(\mathbb{Z})$ gibt es eine Zahl $N$ derart, dass
@@ -138,8 +141,8 @@ Ebenso ist das Produkt dieser Zahlen
 weil Realteil $ac-bd\in\mathbb{Z}$ und der Imaginärteil $ad+bc\in\mathbb{Z}$
 ganze Zahlen sind.
 Die Menge $\mathbb{Z}[i]$ ist also ein kommutative Ring mit Eins, er
-heisst der Ring der ganzen {\em Gaussschen Zahlen}.
-\index{Gausssche Zahlen}%
+heisst der Ring der {\em ganzen Gaussschen Zahlen}.
+\index{ganze Gausssche Zahlen}%
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}
@@ -214,14 +217,17 @@ $U(M_n(\Bbbk))=\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$.
 
 \subsubsection{Nullteiler}
 Ein möglicher Grund, warum ein Element $r\in R$ nicht invertierbar
-ist, kann sein, dass es ein Element $s\in R$ gibt mit $rs=0$.
+ist, kann sein, dass es ein Element $s\in R$ mit $rs=0$ gibt.
 Wäre nämlich $t$ ein inverses Element, dann wäre $0=t0 = t(rs) = (tr)s=s$.
 
 \begin{definition}
+\label{buch:grundlagen:def:nullteiler}
 Ein Element $r\in R^*$ heisst ein {\em Nullteiler} in $R$,
 wenn es ein $s\in R^*$ gibt mit $rs=0$
 Ein Ring ohne Nullteiler heisst {\em nullteilerfrei}.
 \end{definition}
+\index{Nullteiler}%
+\index{nullteilerfrei}%
 
 In $\mathbb{R}$ ist man sich gewohnt zu argumentieren, dass wenn ein
 Produkt $ab=0$ ist, dann muss einer der Faktoren $a=0$ oder $b=0$ sein.
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
index 408bfeb..b249d0d 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
@@ -17,8 +17,9 @@ der genau der geometrischen Intuition entspricht.
 
 \subsection{Bilinearformen und Skalarprodukte
 \label{buch:subsection:bilinearformen}}
-Damit man mit einem Skalarprodukt rechnen kann wie mit jedem anderen
-Produkt, müssen man auf beiden Seiten des Zeichesn ausmultiplizieren können:
+Damit man mit einem Skalarprodukt wie mit jedem anderen Produkt
+rechnen kann, müssen man auf beiden Seiten des Zeichesn ausmultiplizieren
+können:
 \begin{align*}
 (\lambda x_1 + \mu x_2)\cdot y &= \lambda x_1\cdot y + \mu x_2\cdot y\\
 x\cdot (\lambda y_1 + \mu y_2) &= \lambda x\cdot y_1 + \mu x\cdot y_2.
@@ -48,7 +49,7 @@ Eine bilineare Funktion mit Werten in $\Bbbk$ heisst auch {\em Bilinearform}.
 Das Skalarprodukt hängt nicht von der Reihenfolge der Faktoren ab.
 In Frage dafür kommen daher nur Bilnearformen $f\colon V\times V\to\Bbbk$,
 die zusätzlich $f(x,y)=f(y,x)$ erfüllen.
-Solche Bilinearformen heissen symmetrisch.
+Solche Bilinearformen heissen {\em symmetrisch}.
 Für eine symmetrische Bilinearform gilt die binomische Formel
 \begin{align*}
 f(x+y,x+y)
@@ -62,8 +63,19 @@ f(x,x)+2f(x,y)+f(y,y)
 \end{align*}
 wegen $f(x,y)=f(y,x)$.
 
+Aus einer beliebigen bilinearen Funktion $g(x,y)$ kann immer eine
+symmetrische bilineare Funktion $f(x,y)$ gewonnen werden, indem
+man 
+\[
+f(x,y) = \frac12 \bigl(g(x,y)+g(x,y)\bigr)
+\]
+setzt.
+Dieser Prozess heisst auch {\em Symmetrisieren}.
+\index{symmetrisieren}%
+Ist $g$ bereits symmetrische, dann ist $g(x,y)=f(x,y)$.
+
 \subsubsection{Positiv definite Bilinearformen und Skalarprodukt}
-Bilinearität alleine genügt nicht, um einen Vektorraum mit einem
+Bilinearität allein genügt nicht, um einen Vektorraum mit einem
 nützlichen Abstandsbegriff auszustatten.
 Dazu müssen die berechneten Abstände vergleichbar sein, es muss also
 eine Ordnungsrelation definiert sein, wie wir sie nur in $\mathbb{R}$
@@ -75,15 +87,14 @@ Man lernt in der Vektorgeometrie, dass sich mit einer Bilinearform
 $f\colon V\times V\to\mathbb{R}$ 
 die Länge eines Vektors $x$ definieren lässt, indem man $\|x\|^2 = f(x,x)$
 setzt.
-Ausserdem muss $f(x,x)\ge 0$ sein für alle $x$, was die Bilinearität
+Dazu muss $f(x,x)\ge 0$ sein für alle $x$, was die Bilinearität
 allein nicht garantieren kann.
 Verschiedene Punkte in einem Vektorraum sollen in dem aus der Bilinearform
 abgeleiteten Abstandsbegriff immer unterscheidbar sein.
 Dazu muss jeder von $0$ verschiedene Vektor positive Länge haben.
 
-% XXX Positiv definite Form
 \begin{definition}
-Eine Bilinearform $f\colon V\times V\to\mathbb{R}$
+Eine symmetrische Bilinearform $f\colon V\times V\to\mathbb{R}$
 heisst {\em positiv definit}, wenn
 \index{positiv definit}%
 \[
@@ -94,12 +105,14 @@ geschrieben.
 \index{Skalarprodukt}%
 Die {\em $l^2$-Norm} $\|x\|_2$ eines Vektors ist definiert durch
 $\|x\|_2^2 = \langle x,x\rangle$.
+\index{l2-norm@$l^2$-Norm}%
 \end{definition}
 
 \subsubsection{Dreiecksungleichung}
 % XXX Dreiecksungleichung
 Damit man sinnvoll über Abstände sprechen kann, muss die Norm
-$\|\;\cdot\;\|_2$ der geometrischen Intuition folgen, die durch
+$\|\mathstrut\cdot\mathstrut\|_2$
+der geometrischen Intuition folgen, die durch
 die Dreiecksungleichung ausgedrückt wird.
 In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass die $l^2$-Norm
 diese immer erfüllt.
@@ -107,14 +120,17 @@ Dazu sei $V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum mit Skalarprodukt
 $\langle\;,\;\rangle$.
 
 \begin{satz}[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]
+\label{buch:skalarprodukt:satz:cauchy-schwarz-ungleichung}
 Für $x,y\in V$ gilt
-\[
+\begin{equation}
 |\langle x,y\rangle |
 \le
 \| x\|_2\cdot \|y\|_2
-\]
+\label{buch:skalarprodukt:eqn:cauchy-schwarz-ungleichung}
+\end{equation}
 mit Gleichheit genau dann, wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind.
 \end{satz}
+\index{Cauchy-Schwarz-Ungleichung}%
 
 \begin{proof}[Beweis]
 Wir die Norm von $z=x-ty$:
@@ -152,7 +168,7 @@ x  - \frac{\langle x,y\rangle}{\|y\|_2^2}y
 }{
 \|y\|_2^2
 }
-\ge 0
+\ge 0.
 \intertext{Es folgt}
 &&&\Rightarrow&
 \|x\|_2^2\cdot\|y\|_2^2 - (\langle x,y\rangle)^2 &\ge 0
@@ -164,14 +180,18 @@ mit Gleichheit genau dann, wenn es ein $t$ gibt mit $x=ty$.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[Dreiecksungleichung]
+\label{buch:skalarprodukt:satz:dreiecksungleichung}
 Für $x,y\in V$ ist
 \[
 \| x + y \|_2 \le \|x\|_2 + \|y\|_2
 \]
 mit Gleichheit genau dann, wenn $x=ty$ ist für ein $t\ge 0$.
 \end{satz}
+\index{Dreiecksungleichung}%
 
 \begin{proof}[Beweis]
+Wir berechnen die Norm von $x+y$ und wenden die
+Cauchy-Schwarz-Ungleichung darauf an:
 \begin{align*}
 \|x+y\|_2^2
 &=
@@ -189,20 +209,21 @@ mit Gleichheit genau dann, wenn $x=ty$ ist für ein $t\ge 0$.
 2\langle x,y\rangle
 +
 \|y\|_2^2
-=
-\|x\|_2^2 + 2\langle x,y\rangle + \|y\|_2^2
-\le
+\\
+&\le
 \|x\|_2^2 + 2\|x\|_2\cdot\|y\|_2 + \|y\|_2^2
 \\
 &=
 (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2
 \\
+\Rightarrow\qquad
 \|x + y\|_2
-&\le \|x\|_2 + \|y\|_2,
+&\le \|x\|_2 + \|y\|_2.
 \end{align*}
 Gleichheit tritt genau dann ein, wenn 
 $\langle x,y\rangle=\|x\|_2\cdot \|y\|_2$.
-Dies tritt genau dann ein, wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind.
+Dies tritt nach Satz~\ref{buch:skalarprodukt:satz:cauchy-schwarz-ungleichung}
+genau dann ein, wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind.
 \end{proof}
 
 \subsubsection{Polarformel}
@@ -215,6 +236,7 @@ Norm zurückgewinnen.
 Dies ist der Inhalt der sogenannte Polarformel.
 
 \begin{satz}[Polarformel]
+\label{buch:skalarprodukt:satz:polarformel}
 Ist $\|\cdot\|_2$ eine Norm, die aus einer symmetrischen Bilinearform
 $\langle\;,\;\rangle$ hervorgegangen ist, dann kann die Bilinearform
 mit Hilfe der Formel
@@ -232,6 +254,7 @@ mit Hilfe der Formel
 \end{equation}
 für $x,y\in V$ wiedergewonnen werden.
 \end{satz}
+\index{Polarformel}%
 
 \begin{proof}[Beweis]
 Die binomischen Formel
@@ -269,13 +292,14 @@ Seien $U,V,W$ komplexe Vektorräume.
 Eine Abbildung $f\colon U\times V\to W$ heisst
 {\em sesquilinear}\footnote{Das lateinische Wort {\em sesqui} bedeutet
 eineinhalb, eine Sesquilinearform ist also eine Form, die in einem 
-Faktor (dem zweiten) linear ist, und im anderen nur halb linear.}
-\index{sesquilinear}
+Faktor (dem zweiten) linear ist, und im anderen nur ``halb'' linear.
+}
+\index{sesquilinear}%
 wenn gilt
 \begin{align*}
-f(\lambda x_1+\mu x_2,y) &= \overline{\lambda}f(x_1,y) + \overline{\mu}f(x_2,y)
+f(\lambda x_1+\mu x_2,y) &= \overline{\lambda}f(x_1,y) + \overline{\mu}f(x_2,y),
 \\
-f(x,\lambda y_1+\mu y_2) &= \lambda f(x,y_1) + \mu f(x,y_2)
+f(x,\lambda y_1+\mu y_2) &= \lambda f(x,y_1) + \mu f(x,y_2).
 \end{align*}
 \end{definition}
 
@@ -295,6 +319,23 @@ Für die Norm $\|x\|_2^2=\langle x,x\rangle$ bedeutet dies jetzt
 \subsection{Orthognormalbasis
 \label{buch:subsection:orthonormalbasis}}
 \index{orthonormierte Basis}%
+Sowohl die Berechnung von Skalarprodukten wie auch der Basis-Wechsel
+werden besonders einfach, wenn die verwendeten Basisvektoren orthogonal
+sind und Länge $1$ haben.
+
+\subsubsection{Orthogonale Vektoren}
+In der Vektorgeometrie definiert man den Zwischenwinkel $\alpha$
+zwischen zwei von $0$ verschiedene Vektoren $u$ und $v$ mit Hilfe
+des Skalarproduktes und er Formel
+\[
+\cos\alpha = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|_2\cdot\|v\|_2}.
+\]
+Der Winkel ist $\alpha=90^\circ$ genau dann, wenn das Skalarprodukt
+verschwindet.
+Zwei Vektoren $u$ und $v$ heissen daher {\em orthogonal} genau dann,
+wenn $\langle u,v\rangle=0$.
+Wir schreiben dafür auch $u\perp v$.
+\index{orthogonal}%
 
 \subsubsection{Gram-Matrix}
 Sei $V$ ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt und $\{b_1,\dots,b_n\}$ eine
@@ -308,7 +349,7 @@ y = \sum_{i=1}^n \eta_i b_i
 \]
 berechnen?
 Setzt man $x$ und $y$ in das Skalarprodukt ein, erhält man
-\begin{align*}
+\begin{align}
 \langle x,y\rangle
 &=
 \biggl\langle
@@ -317,31 +358,70 @@ Setzt man $x$ und $y$ in das Skalarprodukt ein, erhält man
 \biggr\rangle
 =
 \sum_{i,j=1}^n \xi_i\eta_j \langle b_i,b_j\rangle.
-\end{align*}
-Die Komponente $g_{ij}=\langle b_i,b_j\rangle$ bilden die sogenannte
-Gram-Matrix $G$.
+\label{buch:skalarprodukt:eqn:skalarproduktgram}
+\end{align}
+Die Komponente $g_{i\!j}=\langle b_i,b_j\rangle$ bilden die sogenannte
+{\em Gram-Matrix} $G$.
+\index{Gram-Matrix}%
+Da das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist, ist die
+Gram-Matrix symmetrisch.
 Mit ihr kann das Skalarprodukt auch in Vektorform geschrieben werden
 als $\langle x,y\rangle = \xi^t G\eta$.
 
 \subsubsection{Orthonormalbasis}
-Eine Basis $\{a_1,\dots,a_n\}$ aus orthogonalen Einheitsvektoren,
+Eine Basis $\{b_1,\dots,b_n\}$ aus orthonormierten Einheitsvektoren,
 also mit
 $
-\langle a_i,a_j\rangle=\delta_{ij}
+\langle b_i,b_j\rangle=\delta_{i\!j},
 $
 heisst {\em Orthonormalbasis}.
-In einer Orthonormalbasis ist die Bestimmung der Koordinaten eines
-beliebigen Vektors besonders einfach, ist nämlich
+\index{Orthonormalbasis}%
+Die Gram-Matrix einer Orthonormalbasis ist die Einheitsmatrix.
+
+Eine Orthonormalbasis zeichnet sich dadurch aus, dass die Berechnung
+des Skalarproduktes in einer solchen Basis besonders einfach ist.
+Aus \eqref{buch:skalarprodukt:eqn:skalarproduktgram} kann man ablesen,
+dass $\langle x,y\rangle = \xi^t G \eta = \xi^t I \eta = \xi^t\eta$.
+
+In einer Orthonormalbasis ist auch die Bestimmung der Koordinaten
+eines beliebigen Vektors besonders einfach.
+Sei also $\{b_1,\dots,b_n\}$ eine Orthonormalbasis und $v$ ein
+Vektor, der in dieser Basis dargestellt werden soll.
+Der Vektor
 \begin{equation}
-v=\sum_{i=1}^n \langle v,a_i\rangle a_i.
+v'=\sum_{i=1}^n \langle v,b_i\rangle b_i,
 \label{buch:grundlagen:eqn:koordinaten-in-orthonormalbasis}
 \end{equation}
-Die Gram-Matrix einer Orthonormalbasis ist die Einheitsmatrix.
+hat die Skalarprodukte
+\[
+\langle v',b_j\rangle=
+\biggl\langle \sum_{i=1}^n \langle v,b_i\rangle b_i,b_j\biggr\rangle
+=
+\sum_{i=1}^n \bigl\langle \langle v,b_i\rangle b_i, b_j\bigr\rangle
+=
+\sum_{i=1}^n \langle v,b_i\rangle \rangle b_i, b_j\rangle
+=
+\sum_{i=1}^n \langle v,b_i\rangle \delta_{i\!j}
+=
+\langle v,b_j\rangle.
+\]
+Insbesondere gilt 
+\[
+\langle v,b_j\rangle = \langle v',b_j\rangle
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\langle v-v',b_j\rangle = 0
+\qquad\Rightarrow\qquad
+v-v'=0
+\qquad\Rightarrow\qquad
+v=v'.
+\]
+Die Koordinaten von $v$ in der Basis $\{b_i\,|\,1\le i\le n\}$
+sind also genau die Skalarprodukte $\langle v,b_i\rangle$.
 
 \subsubsection{Gram-Schmidt-Orthonormalisierung}
 Mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsprozesses kann aus
 einer beliebige Basis $\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\subset V$ eines Vektorraums
-mit einem SKalarprodukt eine orthonormierte Basis 
+mit einem Skalarprodukt eine orthonormierte Basis 
 $\{b_1,b_2,\dots,b_n\}$ gefunden werden derart, dass für alle $k$
 $\langle b_1,\dots,b_k\rangle = \langle a_1,\dots ,a_k\rangle$.
 \index{Gram-Schmidt-Orthonormalisierung}%
@@ -392,7 +472,7 @@ a_n-b_1\langle b_1,a_n\rangle-b_2\langle b_2,a_n\rangle
 \end{align*}
 Die Basisvektoren $b_i$ sind orthogonal, aber $\|b_i\|_2$ kann auch
 von $1$ abweichen.
-Damit ist es zwar nicht mehr so einfach 
+Damit ist es leider nicht mehr so einfach 
 wie in \eqref{buch:grundlagen:eqn:koordinaten-in-orthonormalbasis},
 einen Vektor in der Basis zu zerlegen.
 Ein Vektor $v$ hat nämlich in der Basis $\{b_1,\dots,b_n\}$ die Zerlegung
@@ -403,10 +483,10 @@ v
 \frac{\langle b_i,v\rangle}{\|b_i\|_2^2} b_i,
 \label{buch:grundlagen:eqn:orthogonal-basiszerlegung}
 \end{equation}
-Die Koordinaten bezüglich dieser Basis sind also
+die Koordinaten bezüglich dieser Basis sind also
 $\langle b_i,v\rangle/\|b_i\|_2^2$.
 
-Die Gram-Matrix einer Orthogonalen Basis ist immer noch diagonal,
+Die Gram-Matrix einer orthogonalen Basis ist immer noch diagonal,
 auf der Diagonalen stehen die Normen der Basisvektoren.
 Die Nenner in der Zerlegung
 \eqref{buch:grundlagen:eqn:orthogonal-basiszerlegung}
@@ -416,7 +496,7 @@ sind die Einträge der inverse Matrix der Gram-Matrix.
 Die Gram-Matrix einer Basis $\{b_1,\dots,b_n\}$ in einem komplexen
 Vektorraum hat die Eigenschaft
 \[
-g_{ij}
+g_{i\!j}
 =
 \langle b_i,b_j\rangle
 =
@@ -430,11 +510,13 @@ der folgenden Definition.
 
 \begin{definition}
 \label{buch:grundlagen:definition:selstadjungiert}
-Sei $A$ eine komplexe Matrix mit Einträgen $a_{ij}$, dann ist
+Sei $A$ eine komplexe Matrix mit Einträgen $a_{i\!j}$, dann ist
 $\overline{A}$ die Matrix mit komplex konjugierten Elementen
-$\overline{a}_{ij}$.
+$\overline{a}_{i\!j}$.
 Die {\em adjungierte} Matrix ist $A^*=\overline{A}^t$.
-Eine Matrix heisst selbstadjungiert, wenn $A^*=A$.
+\index{adjungiert}%
+Eine Matrix heisst {\em selbstadjungiert}, wenn $A^*=A$.
+\index{selbstadjungiert}%
 \end{definition}
 
 \subsection{Symmetrische und selbstadjungierte Abbilungen
@@ -456,12 +538,12 @@ Sei $f\colon V\to V$ eine lineare Abbildung.
 In einer Basis $\{b_1,\dots,b_n\}\subset V$ wird $f$ durch eine
 Matrix $A$ beschrieben.
 Ist die Basis orthonormiert, dann kann man die Matrixelemente 
-mit $a_{ij}=\langle b_i,Ab_j\rangle$ berechnen.
+mit $a_{i\!j}=\langle b_i,Ab_j\rangle$ berechnen.
 Die Matrix ist symmetrisch, wenn 
 \[
 \langle b_i,Ab_j\rangle
 =
-a_{ij}
+a_{i\!j}
 = 
 a_{ji}
 =
@@ -477,6 +559,7 @@ symmetrischen Abbildung ab.
 Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ heisst {\em symmetrisch}, wenn
 $\langle x,Ay\rangle=\langle Ax,y\rangle$ gilt für beliebige 
 Vektoren $x,y\in V$.
+\index{symmetrische Abbildung}%
 \end{definition}
 
 Für $V=\mathbb{R}^n$ und das Skalarprodukt $\langle x,y\rangle=x^ty$ 
@@ -507,6 +590,7 @@ und symmetrisch, sondern sesquilinear und konjugiert symmetrisch.
 \begin{definition}
 Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ heisst {\em selbstadjungiert},
 wenn $\langle x,fy\rangle=\langle fx,y\rangle$ für alle $x,y\in\mathbb{C}$.
+\index{selbstadjungiert}%
 \end{definition}
 
 Im komplexen Vektorraum $\mathbb{C}^n$ ist das Standardskalarprodukt
@@ -528,12 +612,13 @@ Die lineare Abbildung $f^*\colon V\to V$ definiert durch
 \langle f^*x,y\rangle = \langle x,fy\rangle,\qquad x,y\in V
 \]
 heisst die {\em Adjungierte} von $f$.
+\index{Adjungierte}%
 \end{definition}
 
 Eine selbstadjungierte Abbildung ist also eine lineare Abbildung,
 die mit ihrer Adjungierte übereinstimmt, als $f^* = f$.
 In einer orthonormierten Basis $\{b_1,\dots,b_n\}$ hat die Abbildung
-$f$ die Matrixelemente $a_{ij}=\langle b_i,fb_j\rangle$.
+$f$ die Matrixelemente $a_{i\!j}=\langle b_i,fb_j\rangle$.
 Die adjungierte Abbildung hat dann die Matrixelemente
 \[
 \langle b_i,f^*b_j \rangle
@@ -560,6 +645,8 @@ Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ in einem reellen
 Vektorraum mit heisst {\em orthogonal}, wenn
 $\langle fx,fy\rangle = \langle x,y\rangle$ für alle
 $x,y\in V$ gilt.
+\index{orthogonale Abbildung}%
+\index{orthogonale Matrix}%
 \end{definition}
 
 Die adjungierte einer orthogonalen Abbildung erfüllt
@@ -579,18 +666,101 @@ Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ eines komplexen Vektorraumes
 $V$ mit Skalarprodukt heisst unitär,
 wenn $\langle x,y\rangle = \langle fx,fy\rangle$ für alle Vektoren $x,y\in V$.
 Eine Matrix heisst unitär, wenn $U^*U=I$.
+\index{unitäre Abbildung}%
+\index{unitäre Matrix}%
 \end{definition}
 
 Die Matrix einer unitären Abbildung in einer orthonormierten Basis ist unitär.
 
-% XXX Skalarprodukt und Lineare Abbildungen
-% XXX Symmetrische Matrizen
-% XXX Selbstadjungierte Matrizen
-
 \subsection{Orthogonale Unterräume
 \label{buch:subsection:orthogonale-unterraeume}}
-% XXX Invariante Unterräume 
-% XXX Kern und Bild orthogonaler Abbildungen
+Die Orthogonalitätsrelation lässt sich auch auf Unterräume ausdehnen.
+Zwei Unterräume $U\subset V$ und $W\subset V$ eines Vektorraums mit
+Skalarprodukt heissen orthogonal, wenn gilt
+\(
+u\perp w\forall u\in U,w\in W
+\).
+
+\subsubsection{Orthogonalkomplement}
+Zu einem Unterraum $U$ kann man den Vektorraum
+\[
+U^\perp = \{ v\in V\,|\, v\perp u\forall u\in U\}
+\]
+bilden.
+$U^\perp$ ist ein Unterraum, denn für zwei Vektoren
+$v_1,v_2\in U^\perp$ gilt
+\[
+\langle \lambda v_1+\mu v_2,u\rangle
+=
+\lambda \langle v_1,u\rangle + \mu \langle v_2,u\rangle
+=
+0
+\]
+für alle $u\in U$, also ist $\lambda v_1+\mu v_2\in U^\perp$.
+Der Unterraum $U^\perp$ heisst das {\em Orthogonalkomplement}
+von $U$.
+\index{Orthogonalkomplement}%
+
+\subsubsection{Kern und Bild}
+Die adjungierte Abbildung ermöglicht, eine Abbildung in einem
+Skalarprodukt auf den anderen Faktor zu schieben und damit
+einen Zusammenhang zwischen Bildern und Kernen mit Hilfe des
+Orthogonalkomplements herzustellen.
+
+\begin{satz}
+Sei $f\colon U\to V$ eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen
+mit Skalarprodukt, und $f^*\colon V \to U$ die adjungierte Abbildung,
+Dann gilt
+\[
+\begin{aligned}
+\ker f^*
+&=
+(\operatorname{im}f)^\perp
+&&
+&
+\operatorname{im}f\phantom{\mathstrut^*}
+&=
+(\ker f^*)^\perp
+\\
+\ker f\phantom{\mathstrut^*}
+&=
+(\operatorname{im}f^*)^\perp
+&
+&&
+\operatorname{im}f^*
+&=
+(\ker f)^\perp.
+\end{aligned}
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Es gilt $\langle fu,v\rangle = \langle u,f^*v\rangle$ für
+alle $u\in U, v\in V$.
+Das Orthogonalkomplement des Bildes von $f$ ist
+\begin{align*}
+(\operatorname{im} f)^\perp
+&=
+\{
+v\in V
+\,|\,
+\langle v, fu\rangle=0\forall u\in U
+\}
+\end{align*}
+Ein Vektor $v$ ist genau dann in $(\operatorname{im}f)^\perp$ enthalten,
+wenn für alle $u$ 
+\[
+0
+=
+\langle v,fu\rangle
+=
+\langle f^*v,u\rangle
+\]
+gilt.
+Das ist aber gleichbdeutend damit, dass $f^*v=0$ ist, dass also 
+$v\in\ker f^*$.
+Dies beweist die erste Beziehung, alle anderen folgen auf analoge Weise.
+\end{proof}
 
 \subsection{Andere Normen auf Vektorräumen
 \label{buch:subsection:andere-normen}}
@@ -602,6 +772,7 @@ zusammen.
 \subsubsection{$l^1$-Norm}
 \begin{definition}
 Die $l^1$-Norm in $V=\mathbb{R}^n$ oder $V=\mathbb{C}^n$ ist definiert durch
+\index{l1-Norm@$l^1$-Norm}%
 \[
 \| v\|_1
 =
@@ -652,7 +823,6 @@ ein Widerspruch.
 
 \subsubsection{$l^\infty$-Norm}
 
-
 \begin{definition}
 Die $l^\infty$-Norm in $V=\mathbb{R}^n$ und $V=\mathbb{C}^n$ ist definiert
 \[
@@ -662,6 +832,7 @@ Die $l^\infty$-Norm in $V=\mathbb{R}^n$ und $V=\mathbb{C}^n$ ist definiert
 \]
 Sie heisst auch die {\em Supremumnorm}.
 \index{Supremumnorm}%
+\index{lunendlich-norm@$l^\infty$-Norm}%
 \end{definition}
 
 Auch diese Norm  erfüllt die Dreiecksungleichung
@@ -715,6 +886,7 @@ Norm ausgestattet werden, wenn $U$ und $V$ jeweils eine Norm haben.
 Seien $U$ und $V$ Vektorräume über $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ und
 $f\colon U\to V$ eine lineare Abbildung.
 Die {\em Operatorname} der linearen Abbildung ist 
+\index{Operatornorm}%
 \[
 \|f\|
 =
@@ -736,7 +908,8 @@ l_y
 \colon
 V\to \mathbb{C}: x\mapsto \langle y,x\rangle.
 \]
-Zur Berechnung der Operatorname von $l_y$ 
+Zur Berechnung der Operatorname von $l_y$ verwenden wir die
+Cauchy-Schwarz-Ungleichung~\eqref{buch:skalarprodukt:eqn:cauchy-schwarz-ungleichung}
 \[
 |l_y(x)|^2
 =
@@ -788,6 +961,7 @@ sich auf den Raum der stetigen Funktionen $[a,b]\to\mathbb{R}$ oder
 $[a,b]\to\mathbb{C}$ verallgemeinern.
 
 Die Supremumnorm auf dem Vektorraum der stetigen Funktionen ist
+\index{Supremumnorm}%
 \[
 \|f\|_\infty = \sup_{x\in[a,b]} |f(x)|
 \]
@@ -796,6 +970,8 @@ für $f\in C([a,b],\mathbb{R})$ oder $f\in C([a,b],\mathbb{C})$.
 Für die anderen beiden Normen wird zusätzlich das bestimmte Integral
 von Funktionen auf $[a,b]$ benötigt.
 Die $L^2$-Norm wird erzeugt von dem Skalarprodukt
+\index{L2-norm@$L^2$-Norm}%
+\index{Skalarprodukt}%
 \[
 \langle f,g\rangle
 =
@@ -804,10 +980,38 @@ Die $L^2$-Norm wird erzeugt von dem Skalarprodukt
 \qquad\Rightarrow\qquad
 \|f\|_2^2 = \frac{1}{b-a}\int_a^b |f(x)|^2\,dx.
 \]
-Die $L^2$-Norm ist dagegen
+Die $L^1$-Norm ist dagegen definiert als.
 \[
 \|f\|_1
 =
 \int_a^b |f(x)|\,dx.
 \]
+Die drei Normen stimmen nicht überein.
+Beschränkte Funktionen sind zwar immer integrierbar und quadratintegrierbar.
+Es gibt integrierbare Funktionen, die nicht quadratintegrierbar sind, zum
+Beispiel ist die Funktion $f(x)=1/\sqrt{x}$ auf dem Interval $[0,1]$
+\begin{align*}
+\|f\|_1
+&=
+\int_0^1 \frac 1{\sqrt{x}}\,dx
+=
+[2\sqrt{x}]_0^1
+=
+2
+<
+\infty
+&&\Rightarrow& \|f\|_1&<\infty
+\\
+\|f\|_2^2
+&=
+\int_0^1 \biggl(\frac1{\sqrt{x}}\biggr)^2\,dx
+=
+\int_0^1 \frac1x\,dx
+=
+\lim_{t\to 0} [\log x]_t^1 = \infty
+&&\Rightarrow&
+\|f\|_2 &= \infty.
+\end{align*}
+Die Vektorräume der integrierbaren und der quadratintegrierbaren Funktionen
+sind also verschieden.
 
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex
index a2afa37..2ad7b88 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex
@@ -17,9 +17,10 @@ werden.
 Im Laufe der Definition der Vektorräume $\Bbbk^n$ und der
 Operationen für die Matrizen in $M_{m\times n}(\Bbbk)$ haben
 wir eine ganze Reihe von algebraischen Strukturen kennengelernt.
-Nicht immer sind alle Operationen verfügbar, in einem Vektorraum
-gibt es normalerweise kein Produkt.
-Und bei der Konstruktion des Zahlensystems wurde gezeigt, dass
+Nicht immer sind alle Operationen verfügbar, die uns von der Diskussion
+der Zahlenmengen her vertraut sind, zum Beispiel gibt es in einem
+Vektorraum normalerweise kein Produkt.
+Bei der Konstruktion des Zahlensystems wurde gezeigt, dass
 additive oder multiplikative Inverse nicht selbstverständlich
 sind.
 Sinnvolle Mathematik lässt sich aber erst betreiben, wenn zusammen
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
index c7fc9e9..fd72a59 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
@@ -38,7 +38,7 @@ verwendet werden, warum also diese Beschränkung.
 Für die nachfolgenden Betrachtungen stellen wir uns $X$ daher nicht
 mehr einfach als einen Platzhalter für eine Zahl vor, sondern als ein neues
 algebraisches Objekt, für das man die Rechenregeln erst noch definieren muss.
-In diesem Kapteil sollen die Regeln zum Beispiel sicherstellen,
+In diesem Kapitel sollen die Regeln zum Beispiel sicherstellen,
 dass man mit Polynomen so rechnen kann, wie wenn $X$ eine Zahl wäre.
 Es sollen also zum Beispiel die Regeln
 \begin{align}
@@ -120,7 +120,7 @@ Elemente einer Algebra sind.
 
 \input{chapters/20-polynome/definitionen.tex}
 \input{chapters/20-polynome/vektoren.tex}
-\input{chapters/20-polynome/matrizen.tex}
-\input{chapters/20-polynome/minimalpolynom.tex}
+%\input{chapters/20-polynome/matrizen.tex}
+%\input{chapters/20-polynome/minimalpolynom.tex}
 
 
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
index 135ebf6..3c541d8 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
@@ -12,8 +12,8 @@ Rechnen mit Polynomen zusammen.
 %
 % Skalare
 %
-\subsection{Skalare
-\label{buch:subsection:polynome:skalare}}
+\subsection{Polynome
+\label{buch:subsection:polynome:polynome}}
 Wie schon in der Einleitung angedeutet sind Polynome nur dann sinnvoll,
 wenn man mit den Koeffizienten gewisse Rechenoperationen durchführen kann.
 Wir brauchen mindestens die Möglichkeit, Koeffizienten zu addieren.
@@ -31,7 +31,7 @@ in das Polynom einsetzen kann, dann muss es möglich sein, in $R$ zu
 Multiplizieren und zu Addieren, und es müssen die üblichen Rechenregeln
 der Algebra gelten, $R$ muss also ein Ring sein.
 \index{Ring}%
-Wir werden im folgenden meistens voraussetzen, dass $R$ sogar kommutativ
+Wir werden im folgenden zusätzlich voraussetzen, dass $R$ sogar kommutativ
 ist und eine $1$ hat.
 
 \begin{definition}
@@ -85,6 +85,7 @@ X^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1} + \dots + \frac{a_0}{a_n}
 \]
 machen.
 Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde normiert.
+Wenn $R$ ein Körper ist, ist die Normierung immer möglich.
 
 Die Tatsache, dass zwei  Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten haben müssen,
 verkompliziert die Beschreibung der Rechenoperationen ein wenig.
@@ -109,42 +110,10 @@ dass nur über diejenigen Indizes $k$ summiert wird, für die $a_k$
 definiert ist.
 \label{summenzeichenkonvention}
 
-%
-% Abschnitt über Polynomring Definition
-%
-\subsection{Der Polynomring
-\label{buch:subsection:polynome:ring}}
-Die Menge $R[X]$ aller Polynome über $R$ wird zu einem Ring, wenn man die
-Rechenoperationen Addition und Multiplikation so definiert, wie man das
-in der Schule gelernt hat.
-Die Summe von zwei Polynomen
-\begin{align*}
-p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0\\
-q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0
-\end{align*}
-ist
-\[
-p(X)+q(X)
-=
-\sum_{k} (a_k+b_k)X^k,
-\]
-wobei die Summe wieder so zu interpretieren ist, über alle Terme
-summiert wird, für die mindestens einer der Summanden von $0$
-verschieden ist.
-
-Für das Produkt verwenden wir die Definition
-\[
-p(X)q(X)
-=
-\sum_{k}\sum_{l} a_kb_l X^{k+l},
-\]
-die natürlich mit Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung}
-gleichbedeutend ist.
-Die Polynom-Multiplikation und Addition sind nur eine natürliche
-Erweiterung der Rechenregeln, die man schon in der Schule lernt,
-es ist daher nicht überraschend, dass die bekannten Rechenregeln
-auch für Polynome gelten.
+Die Menge $R[X]$ aller Polynome über $R$ mit den beschriebenen
+Operationen ist ein Ring. 
 Das Distributivgesetz
+\index{Distributivgesetz}%
 \[
 p(X)(u(X)+v(X)) = p(X)u(X) + p(X)v(X)
 \qquad
@@ -152,6 +121,7 @@ p(X)(u(X)+v(X)) = p(X)u(X) + p(X)v(X)
 \]
 zum Beispiel sagt ja nichts anderes, als dass man ausmultiplizieren
 kann.
+\index{ausmultiplizieren}%
 Oder die Assoziativgesetze
 \begin{align*}
 p(X)+q(X)+r(X)
@@ -178,6 +148,7 @@ Reihenfolge man die Additionen oder Multiplikationen ausführt.
 \begin{definition}
 Der {\em Grad} eines Polynoms $p(X)$ ist die höchste Potenz von $X$, die im
 Polynom vorkommt.
+\index{Grad eines Polynoms}%
 Das Polynom
 \[
 p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots a_1X + a_0
@@ -219,10 +190,12 @@ $\deg(\lambda p) \le \deg\lambda + \deg p$.
 
 \begin{proof}[Beweis]
 Wir schreiben die Polynome wieder in der Form
-\begin{align*}
+\[
+\begin{aligned}
 p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0&&\Rightarrow&\deg p&=n\\
 q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0&&\Rightarrow&\deg q&=m.
-\end{align*}
+\end{aligned}
+\]
 Dann kann der höchste Koeffizient in der Summe $p+q$ nicht weiter oben
 sein als die grössere von den beiden Zahlen $n$ und $m$ angibt, dies
 beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradsumme}.
@@ -230,48 +203,15 @@ Ebenso kann der höchste Koeffizient im Produkt nach der
 Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht weiter oben als bei
 $n+m$ liegen, dies beweist
 beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}.
-Es könnte aber passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich,
+In einem Ring mit Nullteilern
+(Siehe Definition~\ref{buch:grundlagen:def:nullteiler})
+könnte es passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich,
 dass der Grad kleiner ist.
 Schliesslich kann der höchsten Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser
 als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was
 \eqref{buch:eqn:polynome:gradskalar} beweist.
 \end{proof}
 
-Etwas enttäuschend an diesen Rechenregeln ist, dass der Grad eines
-Produktes nicht exakt die Summe der Grade hat.
-Der Grund ist natürlich, dass es in gewissen Ringen $R$ passieren kann,
-dass das Produkt $a_n\cdot b_m=0$ ist.
-Zum Beispiel ist im Ring der $2\times 2$ Matrizen das Produkt der Elemente
-\begin{equation}
-a_n = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
-\quad\text{und}\quad
-b_m = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}
-\qquad\Rightarrow\qquad
-a_nb_m = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
-\label{buch:eqn:definitionen:nullteilerbeispiel}
-\end{equation}
-Diese unangehme Situation tritt immer ein, wenn es von Null verschiedene
-Elemente gibt, deren Produkt $0$ ist.
-In Matrizenringen ist das der Normalfall, man kann diesen Fall also nicht
-einfach ausschliessen.
-In den Zahlenmengen wie $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ passiert
-das natürlich nie.
-
-\begin{definition}
-Ein Ring $R$ heisst {\em nullteilerfrei}, wenn für zwei Elemente
-$a,b\in R$ aus $ab=0$ immer geschlossen werden kann, dass
-$a=0$ oder $b=0$.
-Ein von $0$ verschiedenes Element $a\in R$ heisst Nullteiler,
-wenn es eine $b\in R$ mit $b\ne 0$ gibt derart dass $ab=0$.
-\index{Nullteiler}
-\index{nullteilerfrei}
-\end{definition}
-
-Die beiden Matrizen in
-\eqref{buch:eqn:definitionen:nullteilerbeispiel}
-sind Nullteiler im Ring $M_2(\mathbb{Z})$ der $2\times 2$-Matrizen.
-Der Matrizenring $M_2(\mathbb{Z})$ ist also nicht nullteilerfrei.
-
 In einem nullteilerfreien Ring gelten die Rechenregeln für den Grad
 jetzt exakt:
 
@@ -381,6 +321,7 @@ R^{(k+l)}[X].
 Im Ring der ganzen Zahlen sind nicht alle Divisionen ohne Rest
 ausführbar, so entsteht das Konzept der Teilbarkeit.
 Der Divisionsalgorithmus, den man in der Schule lernt, liefert
+\index{Divisionsalgorithmus}%
 zu beliebigen ganzen Zahlen $a,b\in\mathbb{Z}$ den Quotienten
 $q$ und den Rest $r$ derart, dass $a=qb+r$.
 Der Algorithmus basiert auf der Zehnersystemdarstellung 
@@ -399,11 +340,12 @@ b &= b_mX^{n} + b_{m-1}X^{n-1} + \dots + b_1X^{1} + b_0,
 \end{align*}
 mit dem einzigen Unterschied, dass statt $X$ mit der festen Zahl $X=10$
 gearbeitet wird.
-Der Teilungsalgorithmus für Polynome lässt sich aber leicht
+Der Divisionsalgorithmus für Polynome lässt sich aber leicht
 rekonstruieren.
 
 \subsubsection{Polynomdivision}
 Wir zeigen den Polynomdivisionsalgorithmus an einem konkreten Beispiel.
+\index{Polynomdivision}%
 Gesucht sind Quotient $q\in \mathbb{Z}[X]$ und Rest $r\in\mathbb{Z}[X]$
 der beiden Polynome
 \begin{equation}
@@ -427,7 +369,7 @@ X^4&-& X^3&-&7X^2&+& X&+&6&:&X^2&+&X&+&1&=&X^2&-&2X&-&6=q\\
    & &    & &    & &9X&+&12\rlap{$\mathstrut=r$}& &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{7-9}
 \end{array}
 \]
-Durch nachrechnen kann man überprüfen, dass tatsächlich
+Durch Nachrechnen kann man überprüfen, dass tatsächlich
 \begin{align*}
 bq
 &=
@@ -445,7 +387,7 @@ Jedes für $q$ in Frage kommende Polynom vom Grad $2$ muss von der
 Form $q=q_2X^2+q_1X+q_0$ sein.
 Multipliziert man mit $b$, erhält man $bq=2q_2X^4 + (2q_1+q_2)X^3+\dots$.
 Insbesondere ist es nicht möglich mit ganzzahligen Quotienten
-$q_k\in\mathbb{Z}$ auch nur der ersten Koeffizienten von $a$ zu
+$q_k\in\mathbb{Z}$ auch nur den ersten Koeffizienten von $a$ zu
 erhalten.
 Dazu müsste nämlich $a_n = 1 = 2q_2$ oder $q_2 = \frac12\not\in\mathbb{Z}$
 sein.
@@ -454,7 +396,7 @@ Division durch den führenden Koeffizienten des Divisorpolynomes $b$
 immer ausführbar ist.
 Im Beispiel~\eqref{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe} war das der
 Fall, weil der führende Koeffizient $1$ war.
-Für beliebige Polynome $b\in R[X]$ ist das aber nur der Fall,
+Für beliebige Polynome $b\in R[X]$ ist dies aber nur dann immer der Fall,
 wenn die Koeffizienten in Tat und Wahrheit einem Körper entstammen.
 
 Im Folgenden betrachten wir daher nur noch Polynomringe mit Koeffizienten
@@ -494,6 +436,7 @@ $f=qg+r$, wobei ausserdem $\deg r<\deg g$ ist.
 
 \begin{definition}
 Ein {\em euklidischer Ring} $R$ ist ein nullteilerfreier Ring mit einer
+\index{euklischer Ring}%
 Gradfunktion $\deg\colon R\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$ mit folgenden
 Eigenschaften
 \begin{enumerate}
@@ -520,10 +463,12 @@ zerlegt werden.
 
 \subsubsection{Irreduzible Polynome}
 Das Konzept der Primzahl lässt sich wie folgt in den Polynomring übertragen.
+\index{Primzahl}%
 
 \begin{definition}
-Ein Polynom $f\in R[X]$ heisst irreduzibel, es keine Faktorisierung $f=gh$
-in Faktoren $g,h\in R[X]$ mit $\deg(g)>0$ und $\deg(h) >0$.
+Ein Polynom $f\in R[X]$ heisst irreduzibel, wenn es keine Faktorisierung $f=gh$
+in Faktoren $g,h\in R[X]$ mit $\deg(g)>0$ und $\deg(h) >0$ gibt.
+\index{irreduzibles Polynom}%
 \end{definition}
 
 \begin{beispiel}
@@ -540,7 +485,7 @@ x_i = -\frac{b}2\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}
 \]
 gefunden werden.
 Die Faktorisierung ist also genau dann möglich, wenn $b^2/4-c$ ein 
-Quadrat in $\mathbb{Q}$.
+Quadrat in $\mathbb{Q}$ ist.
 In $\mathbb{R}$ ist das Polynom faktorisierbar, wenn $b^2-4c\ge 0$ ist.
 In $\mathbb{C}$ gibt es keine Einschränkung, die Wurzel zu ziehen,
 in $\mathbb{C}$ gibt es also keine irreduziblen Polynome im Grad $2$.
@@ -572,12 +517,3 @@ eindeutig sind.
 \end{satz}
 
 
-%
-% Abschnitt über formale Potenzreihen
-%
-\subsection{Formale Potenzreihen
-\label{buch:subsection:polynome:potenzreihen}}
-XXX TODO
-
-
-
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
index 408587d..0743592 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
@@ -25,14 +25,14 @@ a_{n-1}\\
 a_{n}
 \end{pmatrix}
 \in
-R^n.
+R^{n+1}.
 \]
 Diese Darstellung eines Polynoms gibt auch die Addition von Polynomen
 und die Multiplikation von Polynomen mit Skalaren aus $R$ korrekt wieder.
 Die Abbildung von Vektoren auf Polynome
 \[
 \varphi
-\colon  R^n \to R[X]
+\colon  R^{n+1} \to R[X]
 :
 \begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}
 \mapsto
@@ -52,7 +52,7 @@ Die Abbildung $\varphi$ ist also ein Isomorphismus
 \varphi
 \colon
 \{p\in R[X]\;|\; \deg(p) \le n\}
-\overset{\equiv}{\to}
+\overset{\cong}{\to}
 R^{n+1}
 \]
 zwischen der Menge
@@ -93,7 +93,7 @@ mit der Eigenschaft, dass die Komponenten mit Indizes
 $m+1,\dots n$ verschwinden.
 Polynome vom Grad $m<n$ bilden einen Unterraum der Polynome vom Grad $n$.
 Wir können auch die $m+1$-dimensionalen Vektoren in den $n+1$-dimensionalen
-Vektoren einbetten, indem wir die Vektoren durch ``auffüllen'' mit Nullen
+Vektoren einbetten, indem wir die Vektoren durch ``Auffüllen'' mit Nullen
 auf die richtige Länge bringen.
 Es gibt also eine lineare Abbildung
 \[
@@ -108,25 +108,25 @@ b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots
 \end{pmatrix}
 .
 \]
-Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
+Die Moduln $R^{k+1}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
 alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring
 $R[X]$ abgebildet werden.
 \begin{center}
-\begin{tikzcd}
-\{0\}\ar[r] %\arrow[d,"\varphi"]
-	&R \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"]
-		&R^2 \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"]
+\begin{tikzcd}[>=latex]
+R \ar[r] \arrow[d, "\varphi"]
+	&R^2 \ar[r] \arrow[d, "\varphi"]
+		&R^3 \ar[r] \arrow[d, "\varphi"]
 			&\dots \ar[r]
-				&R^k \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"]
-					&R^{k+1} \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"]
+				&R^k \ar[r] \arrow[d, "\varphi"]
+					&R^{k+1} \ar[r] \arrow[d, "\varphi"]
 						&\dots
 \\
 R^{(0)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drrr,hook]
 	&R^{(1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drr,hook]
 		&R^{(2)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dr,hook]
 			&\dots\arrow[r,hook]
-				&R^{(k)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dl,hook]
-					&R^{(k+1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dll,hook]
+				&R^{(k-1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dl,hook]
+					&R^{(k)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dll,hook]
 						&\dots
 \\
 	&
@@ -137,10 +137,115 @@ R^{(0)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drrr,hook]
 						&
 \end{tikzcd}
 \end{center}
+In diesem Sinne können wir $R^m$ für $m<n$ als Teilmenge von $R^n$ betrachten
+und $R^\infty$ als deren Vereinigung definieren.
+Polynome in $R[X]$ sind also Vektoren beliebiger Länge mit Kompoenten
+in $R$.
+
 \subsection{Multiplikative Struktur
 \label{buch:subsection:polynome:multiplikativestruktur}}
+Den Polynomring $R[X]$ aus den Vektoren $R^{k}$ aufzubauen, bedeutet,
+dass wir die multiplikative Struktur ignorieren.
+Augrund der Rechenregeln für das Symbol $X$ können wir $X$ als einen
+Multiplikationsoperator 
+\[
+{X\cdot} 
+\colon R^{m} \to R^{n}
+:
+\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\\\vdots\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}0\\a_0\\a_1\\\vdots\end{pmatrix}
+\]
+betrachten.
+Diese Operatoren setzen sich zusammen zu einem Operator
+\[
+{X\cdot} \colon R^\infty \to \infty,
+\]
+der die Multiplikation mit $X$ beschreibt.
 
+Ist $p(X)$ ein Polynom, dann lässt sich die Multiplikation
+in von Polynome mit $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben.
+Die Potenz $X^k$ wird durch $k$-fache Iteration des Operators
+$X\cdot$.
+Das Polynom $p(X)$ wird durch Linearkombination, entspricht
+also dem Operator, den man durch Einsetzen von $X\cdot$
+in das Polynom erhalten kann:
+\[
+p(X\cdot)
+=
+a_n(X\cdot)^n + a_{n-1}(X\cdot)^{n+1} + \dots + a_1(X\cdot) + a_0
+\colon
+R^\infty \to R^\infty
+:
+q(X) 
+\mapsto
+p(X)q(X).
+\]
+Man kann den Operator $X\cdot$ oder den iterierten Operator
+$(X\cdot)^k$ auch in Matrixform darstellen:
+\begin{align*}
+{X\cdot}
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&0&0&0&\dots\\
+1&0&0&0&\dots\\
+0&1&0&0&\dots\\
+0&0&1&0&\dots\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots
+\end{pmatrix}
+&
+(X\cdot)^k
+&=
+\begin{pmatrix}
+  0   &  0   &  0   &  0   &\dots\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&     \\
+  0   &  0   &  0   &  0   &\dots\\
+  1   &  0   &  0   &  0   &\dots\\
+  0   &  1   &  0   &  0   &\dots\\
+  0   &  0   &  1   &  0   &\dots\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots
+\end{pmatrix}.
+\end{align*}
+In der Matrix für $(X\cdot)^k$ steht die erste $1$ auf der
+$k+1$-ten Zeile.
+Der zum Polynom $p(X)$ gehörige Operator $p(X\cdot)$ bekommt
+damit die Matrix
+\[
+p(X\cdot)
+=
+\begin{pmatrix}
+a_0    & 0     &  0   &  0   &  0   & \dots  \\
+a_1    &a_0    &  0   &  0   &  0   & \dots  \\
+a_2    &a_1    & a_0  &  0   &  0   & \dots  \\
+a_3    &a_2    & a_1  & a_0  &  0   & \dots  \\
+a_4    &a_3    & a_2  & a_1  & a_0  & \dots  \\
+\vdots &\vdots &\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
+\end{pmatrix}.
+\]
+Da die Matrix-Operation als Produkt
+$\text{Zeile}\times\text{Spalte}$ ausgeführt wird,
+kann man erkennen, dass das Polynomprodukt auch auf
+eine Faltung hinausläuft.
 
+Die wichtigste Lehre aus obigen Ausführungen aber ist
+die Beobachtung, dass sich eine ganz allgemeine Algebra
+wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise auf
+abbilden lässt in eine Algebra von Matrizen auf einem
+geeigneten Vektorraum.
+Im vorliegenden Fall sind das zwar ``undendliche''
+Matrizen, in zukünftigen Beispielen werden wir das
+selbe Prinzip jedoch in Aktion sehen in Situationen,
+wo eine Operation auf einem endlichen Vektorraum
+und ``gewöhnliche'' Matrizen entstehen.
+Die Möglichkeit, beliebige Polynome solcher Operatoren
+zu berechnen, erlaubt uns, mehr über den Operator 
+herauszufinden
 
-
+Dies eröffnet vielfältige Möglichkeiten, auf einfachere
+Art mit den Operatoren zu rechnen.
+In Kapitel~\ref{buch:chapter:eigenwerte-und-eigenvektoren}
+wird sich daraus eine Reihe von Normalformen einer Matrix
+ergeben sowie die Möglichkeit, für viele Matrizen $A$
+die Matrix $f(A)$ für eine grosse Zahl von praktisch
+interessanten Funktionen $f(z)$ zu berechnen.
 
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex
index 1a0a323..b4c602e 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/chapter.tex
@@ -8,13 +8,14 @@
 \lhead{Endliche Körper}
 \rhead{}
 Aus den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ entsteht ein Körper, indem wir Brüche
-bilden alle von $0$ verschiedenen Nenner zulassen.
+bilden und dabei alle von $0$ verschiedenen Nenner zulassen.
 Der Körper der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ enthält unendliche
 viele Zahlen und hat zusätzlich die sogenannte archimedische Eigenschaft,
 nämliche dass es zu zwei positiven rationalen Zahlen $a$ und $b$ immer eine
 ganze Zahl $n$ gibt derart, dass $na>b$.
 Dies bedeutet auch, dass es in den rationalen Zahlen beliebig grosse Zahlen
 gibt.
+
 Man kann aus den ganzen Zahlen aber auch eine Reihe von Körpern ableiten,
 die diese Eigenschaft nicht haben.
 Nicht überraschend werden die ersten derartigen Körper, die wir
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
index 0bf3016..a75046f 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
@@ -8,18 +8,33 @@
 \rhead{Der euklidische Algorithmus}
 Der euklidische Algorithmus bestimmt zu zwei gegebenen ganzen
 Zahlen $a$ und $b$ den grössten gemeinsamen Teiler $g$.
-Zusätzlich findet er ganze Zahlen $s$ und $t$ derart, dass
+
+\begin{definition}
+\label{buch:endliche-koerper:def:ggt}
+Der grösste gemeinsame Teiler von $a$ und $b$ ist die grösste
+ganze Zahl $g$, die sowohl $a$ als auch $b$ teilt: $g|a$ und
+$g|b$.
+\index{grösster gemeinsamer Teiler}%
+\index{ggT}%
+\end{definition}
+
+Zusätzlich findet der euklidische Algorithmus  ganze Zahlen $s$
+\index{euklidischer Algorithmus}%
+und $t$ derart, dass
 \[
 sa + tb = g.
 \]
 In diesem Abschnitt soll der Algorithmus zunächst für ganze Zahlen
 vorgestellt werden, bevor er auf Polynome verallgemeinert und dann
 in Matrixform niedergeschrieben wird.
+Die Matrixform ermöglicht, einfach zu implementierende iterative
+Algorithmen für die Zahlen $s$ und $t$ un später auch für die
+Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu finden.
 
 %
 % Der euklidische Algorithmus für ganze Zahlen
 %
-\subsection{Ganze Zahlen}
+\subsection{Grösster gemeinsamer Teiler ganzer Zahlen}
 Gegeben sind zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ und wir dürfen annehmen,
 dass $a\ge b$.
 Gesucht ist der grösste gemeinsame Teiler $g$ von $a$ und $b$.
@@ -55,11 +70,11 @@ neuen Quotienten $q_1$ und einen neuen Rest $r_1$ liefert mit $a_1-q_1b_1=r_1$.
 So entstehen vier Folgen von Zahlen $a_k$, $b_k$, $q_k$ und $r_k$ derart,
 dass in jedem Schritt gilt
 \begin{align*}
-a_k - q_kb_k &= r_k & g&|a_k & g&|b_k & a_k &= b_{k-1} & b_k = r_{k-1}
+a_k - q_kb_k &= r_k & g&|a_k & g&|b_k & a_k &= b_{k-1} & b_k = r_{k-1}.
 \end{align*}
 Der Algorithmus bricht im Schritt $n$ ab, wenn $r_{n+1}=0$.
 Der letzte nicht verschwindende Rest $r_n$ muss daher der grösste gemeinsame
-Teiler sein: $g=r_n$.
+Teiler $g$ von $a$ und $b$ sein: $g=r_n$.
 
 \begin{beispiel}
 \label{buch:endlichekoerper:beispiel1}
@@ -131,7 +146,7 @@ In jedem Schritt arbeitet man mit zwei ganzen Zahlen $a_k$ und $b_k$, die wir
 als zweidimensionalen Spaltenvektor betrachten können.
 Der Algorithmus macht aus $a_k$ und $b_k$ die neuen Zahlen
 $a_{k+1} = b_k$ und $b_{k+1} = r_k = a_k - q_kb_k$, dies
-kann man als
+kann man als die Matrixoperation
 \[
 \begin{pmatrix} a_{k+1} \\ b_{k+1} \end{pmatrix}
 =
@@ -143,7 +158,7 @@ kann man als
 schreiben.
 Der Algorithmus bricht ab, wenn die zweite Komponente des Vektors $=0$ ist,
 in der ersten steht dann der grösste gemeinsame Teiler.
-Hier ist die Durchführung des Algorithmus in Matrix-Schreibweise:
+Hier die Durchführung des Algorithmus in Matrix-Schreibweise:
 \begin{align*}
 \begin{pmatrix} 23205 \\ 6800 \end{pmatrix}
 &=
@@ -196,16 +211,16 @@ beschreiben.
 
 \begin{algorithmus}[Euklid]
 \label{lifting:euklid}
-Der Algorithmus operiert auf zweidimensionalen Zustandsvektoren
+Der Algorithmus operiert auf zweidimensionalen Vektoren
 $x\in\mathbb Z^2$ 
 wie folgt:
 \begin{enumerate}
-\item Initialisiere  den Zustandsvektor mit den ganzen Zahlen $a$ und $b$:
-$\displaystyle x = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$
+\item Initialisiere  den Vektor mit den ganzen Zahlen $a$ und $b$:
+$\displaystyle x = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$
 \item Bestimme den Quotienten $q$ als die grösste ganze Zahl,
 für die $qx_2\le x_1$ gilt.
-\item Berechne den neuen Zustandsvektor als $Q(q)x$.
-\item Wiederhole Schritte 2 und 3 bis die zweite Komponente des Zustandsvektors
+\item Berechne den neuen Vektor als $Q(q)x$.
+\item Wiederhole Schritte 2 und 3 bis die zweite Komponente des Vektors
 verschwindet.
 Die erste Komponente ist dann der gesuchte grösste gemeinsame Teiler.
 \end{enumerate}
@@ -319,13 +334,11 @@ Q(q) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -q \end{pmatrix}
 \]
 lässt sich mit genau einer Multiplikation und einer Addition
 berechnen.
-Dies ist die Art von Matrix, die wir für die Implementation der
-Wavelet-Transformation anstreben.
 
 %
 % Vereinfachte Durchführung des euklidischen Algorithmus
 %
-\subsection{Vereinfachte Durchführung
+\subsection{Iterative Durchführung des erweiterten euklidischen Algorithmus
 \label{buch:endlichekoerper:subsection:matrixschreibweise}}
 Die Durchführung des euklidischen Algorithmus mit Hilfe der Matrizen
 $Q(q_k)$ ist etwas unhandlich.
@@ -334,7 +347,7 @@ dargestellt werden, die leichter als Programm zu implementieren ist.
 
 In Abschnitt~\ref{buch:endlichekoerper:subsection:matrixschreibweise}
 wurde gezeigt, dass das Produkt der aus den Quotienten $q_k$ gebildeten
-Matrizen $Q(q_k)$ berechnet werden müssen.
+Matrizen $Q(q_k)$ berechnet werden muss.
 Dazu beachten wir zunächst, dass die Multiplikation mit der Matrix
 $Q(q_k)$ die zweite Zeile in die erste Zeile verschiebt:
 \[
@@ -357,7 +370,7 @@ u-q_kc&v-q_kd
 \]
 Die Matrizen
 \[
-Q_k = Q(q_k)Q(q_{k-1})\dots Q(q_0)
+Q_k = Q(q_k)Q(q_{k-1})\cdots Q(q_0)
 \]
 haben daher jeweils für aufeinanderfolgende Werte vo $k$ eine Zeile
 gemeinsam.
@@ -419,7 +432,7 @@ gesetzt werden muss.
 
 Mit diesen Notationen kann man den Algorithmus jetzt in der früher
 verwendeten Tabelle durchführen, die man um die zwei
-Spalten $c_k$ und $d_k$ hinzufügt und die Werte in dieser
+Spalten $c_k$ und $d_k$ erweitert und die Werte in dieser
 Spalte mit Hilfe der
 Rekursionsformeln~\eqref{buch:endlichekoerper:eqn:cdrekursion}
 aus den initialen Werten~\eqref{buch:endlichekoerper:eqn:cdinitial}
@@ -428,7 +441,7 @@ berechnet.
 \begin{beispiel}
 Wir erweitern das Beispiel von Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:beispiel1}
 zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers von $76415$ und $23205$
-zur Berechnung der Koeffizienten $c_k$ und $d_k$
+um die Spalten zur Berechnung der Koeffizienten $c_k$ und $d_k$
 Wir schreiben die gefundenen Zahlen in eine Tabelle:
 \begin{center}
 \label{buch:endlichekoerper:beispiel1erweitert}
@@ -503,7 +516,7 @@ Tabelle vertauscht wurden.
 %
 % Der euklidische Algorithmus für Polynome
 %
-\subsection{Polynome}
+\subsection{Grösster gemeinsare Teiler von Polynomen}
 Der Ring $\mathbb{Q}[X]$ der Polynome in der Variablen $X$ mit rationalen
 Koeffizienten\footnote{Es kann auch ein beliebiger anderer Körper für
 die Koeffizienten verwendet werden.
@@ -579,7 +592,7 @@ ta+sb
 (X^4+X^3-7X^2-X+6)
 \\
 &=
--4X^2+4X+8
+-4X^2+4X+8,
 \end{align*}
 und dies ist tatsächlich der gefundene grösste gemeinsame Teiler.
 Die zweite Zeile von $Q$ gibt uns die Polynomfaktoren, mit denen
@@ -621,6 +634,8 @@ $ua-vb = ab/g - ab/g = 0$, wie erwartet.
 %
 \subsection{Das kleinste gemeinsame Vielfache
 \label{buch:subsection:daskgv}}
+\index{kleinstes gemeinsames Vielfaches}%
+\index{kgV}%
 Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen $a$ und $b$ ist
 \[
 \operatorname{kgV}(a,b)
@@ -631,8 +646,8 @@ Wir suchen nach einen Algorithmus, mit dem man das kleinste gemeinsame
 Vielfache effizient berechnen kann.
 
 Die Zahlen $a$ und $b$ sind beide Vielfache des grössten gemeinsamen
-Teilers $g=\operatorname{ggT}(a,b)$, es gibt also Zahlen $u$ und $v$ derart,
-dass $a=ug$ und $b=vg$.
+Teilers $g=\operatorname{ggT}(a,b)$.
+Es gibt daher Zahlen $u$ und $v$ derart, dass $a=ug$ und $b=vg$.
 Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von $u$ und $v$ ist, dann ist $tg$ ein
 grösserer gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$.
 Dies kann nicht sein, also müssen $u$ und $v$ teilerfremd sein.
@@ -641,6 +656,7 @@ Die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist also gleichbedeutend
 mit der Bestimmung der Zahlen $u$ und $v$.
 
 Die definierende Eigenschaften von $u$ und $v$ kann man in Matrixform als
+\index{Matrixform des kgV-Algorithmus}%
 \begin{equation}
 \begin{pmatrix}
 a\\b
@@ -669,7 +685,7 @@ Algorithmus beschreiben, ergeben ihn als
 \operatorname{ggT}(a,b)\\0
 \end{pmatrix}
 =
-Q(q_n)Q(q_{n-1}) \dots Q(q_1)Q(q_0)
+Q(q_n)Q(q_{n-1}) \cdots Q(q_1)Q(q_0)
 \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}.
 \]
 Indem wir die Matrizen $Q(q_n)$ bis $Q(q_0)$ auf die linke Seite der
@@ -679,7 +695,7 @@ Gleichung schaffen, erhalten wir
 =
 Q(q_0)^{-1}
 Q(q_1)^{-1}
-\dots
+\cdots
 Q(q_{n-1})^{-1}
 Q(q_n)^{-1}
 \begin{pmatrix}\operatorname{ggT}(a,b)\\0\end{pmatrix}.
@@ -692,15 +708,14 @@ K
 =
 Q(q_0)^{-1}
 Q(q_1)^{-1}
-\dots
+\cdots
 Q(q_{n-1})^{-1}
 Q(q_n).
 \]
 Insbesondere ist die Matrix $K$ die Inverse der früher gefundenen
 Matrix $Q$.
 
-Die Berechnung der Matrix $K$ als Inverse von $Q$ ist nicht sehr
-effizient.
+Die Berechnung der Matrix $K$ als Inverse von $Q$ ist nicht schwierig.
 Genauso wie es möglich war, das Produkt $Q$ der Matrizen
 $Q(q_k)$ iterativ zu bestimmen, muss es auch eine Rekursionsformel
 für das Produkt der inversen Matrizen $Q(q_k)^{-1}$ geben.
@@ -709,7 +724,7 @@ Schreiben wir die gesuchte Matrix
 \[
 K_k
 =
-Q(q_0)^{-1}\dots Q(q_{k-1})^{-1}
+Q(q_0)^{-1}\cdots Q(q_{k-1})^{-1}
 =
 \begin{pmatrix}
 e_k & e_{k-1}\\
@@ -825,13 +840,12 @@ va
 \]
 \end{beispiel}
 
+\subsection{Kleinstes gemeinsames Vielfaches von Polynomen}
 Der erweiterte Algorithmus kann auch dazu verwendet werden,
 das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Polynome zu berechnen.
 Dies wird zum Beispiel bei der Decodierung des Reed-Solomon-Codes in
 Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon} verwendet.
 
-\subsubsection{Polynome
-\label{buch:endlichekoerper:eqn:polynomkgv}}
 Im Beispiel auf Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:eqn:polynomggt}
 wird der grösste gemeinsame Teiler der Polynome
 \[
@@ -844,6 +858,8 @@ b = X^4 + X^3 -7X^2 -X + 6
 berechnet.
 Dies kann jetzt erweitert werden für die Berechnung des kleinsten
 gemeinsamen Vielfachen.
+\index{kleinstes gemeinsames Vielfaches von Polynomen}%
+\index{kgV von Polynomen}%
 
 \begin{beispiel}
 Die Berechnungstabelle nur für die Spalten $e_k$ und $f_k$ ergibt
@@ -890,8 +906,9 @@ Daraus ergibt sich das kleinste gemeinsame Vielfache auf zwei verschiedene Weise
 Die beiden Berechnungsmöglichkeiten stimmen wie erwartet überein.
 \end{beispiel}
 
-\subsubsection{Anwendung: Decodierung des Reed-Solomon-Codes}
+\subsection{Anwendung: Decodierung des Reed-Solomon-Codes}
 Der Reed-Solomon-Code verwendet Polynome zur Codierung der Daten,
+\index{Reed-Solomon-Code}%
 dies wird in Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon} im Detail beschrieben.
 Bei der Decodierung muss der Faktor $u$ für zwei gegebene Polynome
 $n(X)$ und $r(X)$ bestimmt werden.
@@ -902,6 +919,7 @@ Algorithmus braucht.
 Daraus lässt sich genügend Information gewinnen, um die Faktoren $u$
 und $v$ zu bestimmen.
 Das Video \url{https://youtu.be/uOLW43OIZJ0} von Edmund Weitz
+\index{Weitz, Edmund}
 erklärt die Theorie hinter dieser Teilaufgabe anhand von Beispielen.
 
 \begin{beispiel}
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
index c7147bf..5189dec 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
@@ -9,11 +9,11 @@
 \rhead{Galois-Körper}
 Ein Körper $\Bbbk$ enthält mindestens die Zahlen $0$ und $1$.
 Die Null ist nötig, damit $\Bbbk$ eine Gruppe bezüglich der
-Addition ist, die immer ein neutrales Element, geschrieben $0$
+Addition ist, die immer ein neutrales Element, geschrieben $0$,
 enthält.
 Die Eins ist nötig, damit $\Bbbk^*=\Bbbk\setminus\{0\}$ eine
 Gruppe bezüglich der Multiplikation ist, die immer eine neutrales
-Element, geschrieben $1$ enthält.
+Element, geschrieben $1$, enthält.
 Durch wiederholte Addition entstehen auch die Zahlen $2=1+1$, $3=2+1$ 
 und so weiter.
 Es sieht also so aus, als ob ein Körper immer unendliche viele
@@ -21,6 +21,8 @@ Elemente enthalten müsste.
 Wie können also endliche Körper entstehen?
 
 In diesem Abschnitt sollen die sogenannten Galois-Körper $\mathbb{F}_p$
+\index{Galois-Körper}%
+\index{Fp@$\mathbb{F}_p$}%
 mit genau $p$ Elementen konstruiert werden, die es für jede Primzahl $p$ gibt.
 Sie sind die Basis für weitere endliche Körper, die eine beliebige
 Primzahlpotenz $p^n$ von Elementen haben und die die Basis wichtiger
@@ -51,6 +53,7 @@ Zahlen $\{0,1,2,\dots,n-1\}$ identifiziert werden kann.
 
 \begin{definition}
 Die Zahlen $a,b\in\mathbb{Z}$ heissen {\em kongruent modulo $n$},
+\index{kongruent modulo $n$}%
 geschrieben
 \[
 a\equiv b\mod n,
@@ -60,6 +63,7 @@ wenn $a-b$ durch $n$ teilbar ist, also $n|(a-b)$.
 
 Die Zahlen mit gleichem Rest sind Äquivalenzklassen der Kongruenz modulo $n$.
 Die Zahlen mit Rest $k$ modulo $n$ bilden die {\em Restklasse}
+\index{Restklasse}%
 \[
 \llbracket k\rrbracket=\{\dots,k-2n,k-n,k,k+n,k+2n,\dots\} \subset\mathbb{Z}.
 \]
@@ -90,7 +94,7 @@ Tatsächlich kann man auf den Restklassen eine Ringstruktur definieren.
 Dazu muss man sicherstellen, dass die Auswahl eines Repräsentanten keinen
 Einfluss auf den Rest hat.
 Der Rest $a$ kann jede Zahl der Form $a+kn$ darstellen.
-Ebenso kann der Rest $b$ jede zahl der Form $b+ln$ darstellen.
+Ebenso kann der Rest $b$ jede Zahl der Form $b+ln$ darstellen.
 Deren Summe ist $a+b+(k+l)n\equiv a+b\mod n$.
 Der Repräsentant des Restes hat also keinen Einfluss auf die Summe.
 
@@ -121,8 +125,9 @@ Insbesondere darf kein Produkt $a\cdot b$ mit Faktoren in
 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \setminus \{\llbracket0\rrbracket\}$
 zu Null werden.
 Für $n=15$ funktioniert dies nicht, das Produkt $3\cdot 5\equiv 0\mod 15$.
-Man nennt von Null verschiedene Faktoren, deren Produkt Null ist, einen
-{\em Nullteiler}.
+Wir kommen daher zu der Forderung, dass der Ring $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 
+nur dann ein Körper sein kann, wenn er nullteilerfrei ist.
+
 Falls sich $n=p_1\cdot p_2$ in zwei Faktoren zerlegen lässt, dann sind
 $p_1$ und $p_2$ Nullteiler in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
 Ein Körper kann also nur entstehen, wenn $n$ eine Primzahl ist.
@@ -130,7 +135,9 @@ Ein Körper kann also nur entstehen, wenn $n$ eine Primzahl ist.
 \begin{definition}
 \label{buch:endlichekoerper:def:galois-koerper}
 Ist $p$ eine Primzahl, dann heisst $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$
+\index{Primzahl}%
 der Galois-Körper der Ordnung $p$.
+\index{Galois-Körper}%
 \end{definition}
 
 Diese Definition ist nur gerechtfertigt, wenn $\mathbb{F}_p^*$ tatsächlich
@@ -152,6 +159,7 @@ lösen kann, wenn die beiden gegebenen Zahlen $a$ und $p$ teilerfremd sind.
 Dies ist aber dadurch garantiert, dass $p$ eine Primzahl ist und $1\le a <p$.
 Die multiplikative Inverse von $a$ in $\mathbb{F}_p^*$ kann also mit
 Hilfe des euklidischen Algorithmus effizient gefunden werden.
+\index{multiplikative Inverse in $\mathbb{F}_p$}%
 
 \begin{beispiel}
 Die kleinste Primzahl grösser als $2021$ ist $p=2063$.
@@ -210,6 +218,8 @@ Inverse von $2021$ in $\mathbb{F}_{2063}$.
 \end{beispiel}
 
 \subsubsection{Der kleine Satz von Fermat}
+\index{Fermat, kleiner Satz von}%
+\index{kleiner Satz von Fermat}%
 In $\mathbb{Z}$ wachsen die Potenzen einer Zahl immer weiter an.
 In einem endlichen Körper kann dies nicht gelten, da nur endlich
 viele Werte zur Verfügung stehen.
@@ -221,6 +231,22 @@ die Potenz mit Exponent $p$ muss also mit einer früheren Potenz
 Der kleine Satz von Fermat sagt etwas genauer: die $p$-te Potenz
 von $a$ ist genau die Zahl $a$:
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.pdf}
+\caption{$G$ ist die Menge aller verschiedenfarbigen geschlossenen
+Perlenketten mit $p$ Perlen und $a$ Farben.
+$A$ ist die Menge aller linearen verschiedenfarbigen Ketten.
+Die Abbildung $s_i$ schneidet die Ketten an der Stelle $i$ auf,
+dadurch entstehen die Menge $A_i$, verschiedenfarbigen linearen
+Ketten der Länge $p$ mit $a$ Farben.
+Die Abbildungen $s_i$ sind injektiv, die Mengen $A_i$ haben alle
+die gleiche Anzahl Elemente.
+Genau dann ist $|A|$ durch $p$ teilbar, wenn die Mengen $A_i$
+disjunkt sind.
+\label{buch:endliche-koerper:fig:fermat}}
+\end{figure}
+
 \begin{satz}[Kleiner Satz von Fermat]
 \label{buch:endliche-koerper:satz:fermat}
 In $\mathbb{F}_p$ gilt $a^p=a$ für alle $a\in\mathbb{F}_p^*$.
@@ -237,10 +263,10 @@ $p$ eine Primzahl ist.
 \begin{proof}[Beweis]
 Wir müssen zeigen, dass $p$ ein Teiler ist von $a^p-a$.
 Das nachfolgende kombinatorische Argument wird zum Beispiel
-von Mathologor auf seinem Youtube-Kanal im Video
+von Mathologer auf seinem Youtube-Kanal im Video
 \url{https://youtu.be/_9fbBSxhkuA} illustriert.
 
-Zum Beiweis interpretieren wir die vorkommenden Zahlen kombinatorisch.
+Zum Beweis interpretieren wir die vorkommenden Zahlen kombinatorisch.
 Die Zahl $a^p$ ist die Anzahl der verschiedenen Perlenketten der Länge
 $p$, die sich aus Glasperlen mit $a$ verschiedenen Farben herstellen
 lassen.
@@ -248,26 +274,52 @@ Davon bestehen $a$ Perlenketten aus nur einer einzigen Farbe.
 Die Zahl $a^p-a$ ist also die Anzahl der Perlenketten der Länge $p$
 aus Glasperlen mit $a$ verschiedenen Farben, die mindestens zwei
 verschiedene Farben verwenden.
+Wir bezeichnen die Menge der nicht einfarbigen Perlenketten der
+Länge $p$ mit $a$ Farben mit $A$.
+Es ist $|A|=a^p-a$.
+
+Zu sagen, dass $a^p-a$ durch $p$ teilbar ist, ist gleichbedeutend
+damit, dass die Menge der Perlenkette in $p$
+disjunkte, gleichmächtige Mengen aufgeteilt werden kann.
+Es ist also zu zeigen, dass sich die Menge $A$ genau dann in
+disjunkte gleichmächtige Mengen zerlegen lässt, wenn $p$ eine
+Primzahl ist.
+
+Wir betrachten dazu die Menge der nicht einfarbigen, geschlossenen
+Perlenketten der Länge $p$ mit $a$ Farben.
+Einge dieser Perlenketten unterscheiden sich nur durch eine
+Drehung um einzelne Perlen.
+Sei $G$ die Menge der nicht einfarbigen, geschlossenen
+Perlenketten, die sich nicht nur um eine Drehung unterscheiden.
+
+Die Abbildung $s_i\colon G\to A$
+in Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:satz:fermat} 
+schneidet die Perlenkette in $G$ an der Stelle $i$ auf.
+Diese Abbildungen sond ganz offensichtlich injektiv.
+Die Bildmengen $A_i = s_i(G)$ haben daher alle gleich
+viele Elemente wie $G$: $|A_i|=|G|$.
+
+Da jede lineare Perlenkette in $A$ durch geeignetes Aufschneiden
+einer geschlossenen Perlenkette in $G$ entsteht, ist 
+\[
+A=\bigcup_{i=1}^p A_i.
+\]
 
-Wir stellen jetzt die Frage nach der Anzahl der geschlossenen
-Perlenketten der Länge $p$ als Glasperlen in $a$ verschiedenen Farben.
-Aus jeder geschlossenen Perlenkette lassen sich $p$ Perlenketten machen,
-indem man sie an einer der $p$ Trennstellen zwischen Perlen aufteilt.
-
-Wir müssen uns noch überlegen, unter welchen Voraussetzungen 
-alle diese möglichen Auftrennungen zu verschiedenen Perlenketten
-führen.
-Zwei Trennstellen, die $k$-Perlen auseinander liegen, führen nur dann
-zur gleichen Perlenkette, wenn die geschlossenen Ketten durch Drehung 
-um $k$ Perlen ineinander übergehen.
-Dies bedeutet aber auch, dass sich das Farbmuster alle $k$-Perlen
-wiederholen muss.
-Folglich ist $k$ ein Teiler von $p$.
-$p$ verschiedene Perlenketten entstehen also immer genau dann, wenn $p$
+Wir müssen jetzt nur noch untersuchen, unter welchen Bedingungen
+die Mengen $A_i$ disjunkt sind.
+Zwei Mengen $A_i$ und $A_j$ enthalten genau dann eine
+gemeinsame Perlenkette, wenn es eine geschlossene Kette in $G$
+gibt, die beim Aufschneiden an den Stellen $i$ und $j$ die
+gleiche Kette ergeben.
+Dies bedeutet, dass sich die Farben zwischen $i$ und $j$ nach
+der Stelle $j$ wiederholen.
+Die Mengen sind also genau dann nicht disjunkt, wenn es
+peridische Ketten gibt mit einer Periode $k<p$.
+
+Da die Periode einer periodischen Kette ein Teiler von $p$
+ist, gibt es genau dann keine periodischen Ketten, wenn $p$
 eine Primzahl ist.
-
-Wir schliessen daraus, dass $a^p-a$ durch $p$ teilbar ist, genau dann,
-wenn $p$ eine Primzahl ist.
+Damit ist die Behauptung gezeigt.
 \end{proof}
 
 Der kleine Satz von Fermat kann auch dazu verwendet werden, Potenzen 
@@ -302,6 +354,8 @@ Sie ist zwar nicht unbedingt einfacher, aber manchmal nützlich für
 theoretische Überlegungen.
 
 \begin{satz}[Wilson]
+\index{Wilson, Satz von}%
+\index{Satz von Wilson}%
 Die ganze Zahl $p\ge 2$ ist genau dann eine Primzahl, wenn
 $(p-1)!\equiv -1\mod p$.
 \end{satz}
@@ -341,7 +395,7 @@ die Behauptung des Satzes.
 \end{proof}
 
 Mit dem Satz von Wilson kann man die Inverse einer beliebigen Zahl
-$a\in\mathbb{F}_p$ finden.
+$a\in\mathbb{F}_p$ wie folgt finden.
 Dazu verwendet man, dass $a$ einer der Faktoren in $(p-1)!$ ist.
 Lässt man diesen Faktor weg, erhält man eine Zahl
 \[
@@ -390,6 +444,7 @@ der Körper $\mathbb{F}_p$ in $\Bbbk$ enthalten sein muss.
 Dies ist der kleinste Teilkörper, der in $\Bbbk$ enthalten ist.
 
 \begin{definition}
+\index{Primkörper}
 Der kleinste Teilkörper eines Körpers $\Bbbk$ heisst der 
 {\em Primkörper} von $\Bbbk$.
 \end{definition}
@@ -398,7 +453,8 @@ Der Primkörper erlaubt jetzt, die Charakteristik eines Körpers $\Bbbk$
 zu definieren.
 
 \begin{definition}
-Die Charakteristik eines Körpers $\Bbbk$ ist $p$, wenn der Primkörper
+\index{Charakteristik}%
+Die {\em Charakteristik} eines Körpers $\Bbbk$ ist $p$, wenn der Primkörper
 $\mathbb{F}_p$ ist.
 Falls der Primkörper $\mathbb{Q}$ ist, ist die Charakteristik $0$.
 \end{definition}
@@ -411,6 +467,10 @@ Ein Körper mit Charakteristik $0$ enthält immer unendliche viele
 Elemente.
 
 \subsubsection{Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten}
+Als Beispiel für die Auswrikung der Charakteristik auf die Arithmetik
+in einem endlichen Körper betrachten wir die Teilbarkeitseigenschaften
+der Binomialkoeffizienten.
+
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf}
@@ -437,11 +497,14 @@ sind alle Koeffizienten ausser dem ersten und letzten durch $5$ teilbar.
 \egroup
 Die Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomial2} zeigt den
 Rest bei Teilung durch $2$ der Binomialkoeffizienten.
+\index{Binomialkoeffizient}%
 Man kann daraus ablesen, dass $\binom{n}{m}\equiv 0\mod 2$ für $n=2^k$ 
 und $0<m<n$.
 Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomial5} zeigt das Pascal-Dreieck
 auch noch für $p=5$.
 Hier ist auch schön die Selbstähnlichkeit des Pascal-Dreiecks erkennbar.
+\index{Selbstähnlichkeit}%
+\index{Pascal-Dreieck}%
 Ersetzt man die ``5er-Dreiecke'' durch ein volles Dreieck mit der Farbe
 des kleinen Dreiecks an seiner Spitze, entsteht wieder das ursprüngliche
 Pascal-Dreieck.
@@ -454,6 +517,10 @@ Sei $p$ eine Primzahl, dann ist
 \binom{p}{m} \equiv 0\mod p
 \]
 für $0<m<n$.
+Für $a,b\in\mathbb{Z}$ bedeutet dies
+\[
+(a+b)^p \equiv a^p + b^p\mod p.
+\]
 \end{satz}
 
 \begin{proof}[Beweis]
@@ -466,6 +533,30 @@ Für den Binomialkoeffizienten gilt
 Für $m<p$ kann keiner der Faktoren im Nenner $p$ sein, der Faktor $p$
 im Zähler kann also nicht weggekürzt werden, so dass der Binomialkoeffizient
 durch $p$ teilbar sein muss.
+
+In der binomischen Formel
+\[
+(a+b)^p
+=
+a^p
++
+\binom{p}{1} a^{p-1}b
++
+\binom{p}{2} a^{p-2}b^2
++
+\dots
++
+\binom{p}{p-1} ab^{p-1}
++
+b^p
+\]
+sind alle ``inneren'' Terme auf der rechten Seite durch $p$ teilbar,
+weil der Binomialkoeffizient durch $p$ teilbar ist.
+Modulo $p$ ergibt sich daher
+\[
+(a+b)^p \equiv a^p + b^p \mod p.
+\]
+Damit ist alles bewiesen.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}
@@ -544,6 +635,7 @@ Binomialkoeffizienten der Zwischenterme der Summe
 \eqref{buch:endliche-koerper:fig:binomischeformel}
 als Elemente von $\mathbb{F}_p$.
 Daher gilt
+\index{Frobenius-Automorphismus}%
 
 \begin{satz}[Frobenius-Automorphismus]
 In einem Körper $\Bbbk$ der Charakteristik $p$ ist die Abbildung
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/Makefile b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/Makefile
index c49fe56..bf53c29 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/Makefile
@@ -3,10 +3,14 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	binomial2.pdf binomial5.pdf
+all:	binomial2.pdf binomial5.pdf fermat.pdf
 
 binomial2.pdf:	binomial2.tex
 	pdflatex binomial2.tex
 
 binomial5.pdf:	binomial5.tex farben.tex
 	pdflatex binomial5.tex
+
+fermat.pdf:	fermat.tex
+	pdflatex fermat.tex
+
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.pdf b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4513e62
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.pdf
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.tex
new file mode 100644
index 0000000..6cdafaa
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/fermat.tex
@@ -0,0 +1,138 @@
+%
+% fermat.tex -- Illustration zum kleinen Satz von Fermat
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\s{34}
+
+\definecolor{farbe1}{rgb}{0.0,0.4,0.0}
+\definecolor{farbe2}{rgb}{0.0,1.0,1.0}
+\definecolor{farbe3}{rgb}{0.0,0.4,0.6}
+\definecolor{farbe4}{rgb}{0.0,0.0,0.8}
+\definecolor{farbe5}{rgb}{0.4,0.0,1.0}
+\definecolor{farbe6}{rgb}{0.8,0.0,0.0}
+\definecolor{farbe7}{rgb}{0.8,0.4,0.4}
+\definecolor{farbe8}{rgb}{1.0,0.8,0.0}
+
+\def\perle#1#2#3{
+	\fill[color=#3] ($#1+({#2*0.15},0)$) circle[radius=0.075];
+}
+
+\def\perlena#1#2#3#4#5#6{
+	\draw #1 -- ($#1+({0.15*9},0)$);
+	\perle{#1}{0}{#2}
+	\perle{#1}{1}{#3}
+	\perle{#1}{2}{#4}
+	\perle{#1}{3}{#5}
+	\perle{#1}{4}{#6}
+}
+\def\perlenb#1#2#3#4#5#6{
+	\perle{#1}{5}{#2}
+	\perle{#1}{6}{#3}
+	\perle{#1}{7}{#4}
+	\perle{#1}{8}{#5}
+	\perle{#1}{9}{#6}
+}
+
+\begin{scope}[xshift=3cm]
+\draw (0,0) circle[radius=4];
+\foreach \k in {-1,...,8}{
+	\draw (0,0) -- ({90+\k*\s}:4);
+}
+\foreach \k in {1,...,8}{
+	\node at ({90+\s*(\k-0.5)}:3.7) {$A_{\k\mathstrut}$};
+}
+
+\pgfmathparse{90-(360-9*\s)/2-\s}
+\xdef\b{\pgfmathresult}
+\foreach \d in {-10,-5,...,10}{
+	\fill ({\b+\d}:2.8) circle[radius=0.04];
+}
+\node at ({90-(\s/2)}:3.7) {$A_{p\mathstrut}$};
+
+\node at (-4,4) {$s_1$};
+\node at (-3.8,2.6) {$s_2$};
+\node at (-4.8,0.6) {$s_3$};
+\node at (-4.2,-2) {$s_4$};
+\node at (-4,-4) {$s_5$};
+
+\perlena{({-3*sin(-0.5*\s)-0.54},{3*cos(-0.5*\s)})}{farbe8}{farbe1}{farbe2}{farbe3}{farbe4}
+\perlenb{({-3*sin(-0.5*\s)-0.54},{3*cos(-0.5*\s)})}{farbe5}{farbe6}{farbe7}{black,opacity=0}{black,opacity=0}
+
+\perlena{({-3*sin(0.5*\s)-0.74},{3*cos(0.5*\s)})}{farbe1}{farbe2}{farbe3}{farbe4}{farbe5}
+\perlenb{({-3*sin(0.5*\s)-0.74},{3*cos(0.5*\s)})}{farbe6}{farbe7}{black,opacity=0}{black,opacity=0}{farbe8}
+
+\perlena{({-3*sin(1.5*\s)-0.74},{3*cos(1.5*\s)-0.2})}{farbe2}{farbe3}{farbe4}{farbe5}{farbe6}
+\perlenb{({-3*sin(1.5*\s)-0.74},{3*cos(1.5*\s)-0.2})}{farbe7}{black,opacity=0}{black,opacity=0}{farbe8}{farbe1}
+
+\perlena{({-3*sin(2.5*\s)-0.0},{3*cos(2.5*\s)-0.0})}{farbe3}{farbe4}{farbe5}{farbe6}{farbe7}
+\perlenb{({-3*sin(2.5*\s)-0.0},{3*cos(2.5*\s)-0.0})}{black,opacity=0}{black,opacity=0}{farbe8}{farbe1}{farbe2}
+
+\perlena{({-3*sin(3.5*\s)-0.74},{3*cos(3.5*\s)+0.2})}{farbe4}{farbe5}{farbe6}{farbe7}{black,opacity=0}
+\perlenb{({-3*sin(3.5*\s)-0.74},{3*cos(3.5*\s)+0.2})}{black,opacity=0}{farbe8}{farbe1}{farbe2}{farbe3}
+
+\perlena{({-3*sin(4.5*\s)-0.74},{3*cos(4.5*\s)})}{farbe5}{farbe6}{farbe7}{black,opacity=0}{black,opacity=0}
+\perlenb{({-3*sin(4.5*\s)-0.74},{3*cos(4.5*\s)})}{farbe8}{farbe1}{farbe2}{farbe3}{farbe4}
+
+\perlena{({-3*sin(5.5*\s)-0.64},{3*cos(5.5*\s)})}{farbe6}{farbe7}{black,opacity=0}{black,opacity=0}{farbe8}
+\perlenb{({-3*sin(5.5*\s)-0.64},{3*cos(5.5*\s)})}{farbe1}{farbe2}{farbe3}{farbe4}{farbe5}
+
+\perlena{({-3*sin(6.5*\s)-0.64},{3*cos(6.5*\s)})}{farbe7}{black,opacity=0}{black,opacity=0}{farbe8}{farbe1}
+\perlenb{({-3*sin(6.5*\s)-0.64},{3*cos(6.5*\s)})}{farbe2}{farbe3}{farbe4}{farbe5}{farbe6}
+
+\perlena{({-3*sin(7.5*\s)-1.14},{3*cos(7.5*\s)+0.1})}{black,opacity=0}{black,opacity=0}{farbe8}{farbe1}{farbe2}
+\perlenb{({-3*sin(7.5*\s)-1.14},{3*cos(7.5*\s)+0.1})}{farbe3}{farbe4}{farbe5}{farbe6}{farbe7}
+
+\node at (45:4) [above right] {$A$};
+
+\clip (-7,-4.4) rectangle (0,4.8);
+\foreach \k in {1,...,5}{
+	\pgfmathparse{20*(3-\k)}
+	\xdef\c{\pgfmathresult}
+	\pgfmathparse{90+(\k-0.5)*\s}
+	\xdef\a{\pgfmathresult}
+	\pgfmathparse{\a-180}
+	\xdef\b{\pgfmathresult}
+	\draw[->] (-7.5,0) to[out={\c},in={180+\b}] (\a:4);
+	%\node at (\a:4) [left] {$\b$};
+}
+\end{scope}
+
+\def\pearl#1#2{
+	\fill[color=#2] ($({90+(#1-0.5)*\s}:0.6)$) circle[radius=0.12];
+	\draw[line width=0.1pt] ($({90+(#1-0.5)*\s}:0.6)$) circle[radius=0.12];
+}
+
+\def\kette{
+	\draw (0,0) circle[radius=0.6];
+	\pearl{1}{farbe1}
+	\pearl{2}{farbe2}
+	\pearl{3}{farbe3}
+	\pearl{4}{farbe4}
+	\pearl{5}{farbe5}
+	\pearl{6}{farbe6}
+	\pearl{7}{farbe7}
+	\pearl{0}{farbe8}
+}
+
+\begin{scope}[xshift=-4.5cm]
+\fill[color=white] (-1.5,-2.5) rectangle (1.5,2.5);
+\draw (-1.5,-2.5) rectangle (1.5,2.5);
+\kette
+\node at (-1.5,2.5) [below right] {$G$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
index 600336c..b066969 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
@@ -52,10 +52,10 @@ Inverse kann zum Beispiel als die inverse Matrix mit dem
 Gauss-Algorithmus berechnet werden.
 In einem zweiten Schritt zeigen wir dann, dass man die Rechnung noch
 etwas vereinfachen kann, wenn man in Polynomringen arbeitet.
-Schliesslich zeigen wir dann im
-Abschnitt~\ref{buch:subsection:zerfaellungskoerper}, wie man 
-den Prozess iterieren kann und so für beliebige Polynome immer einen
-Körper finden kann, der alle Nullstellen enthält.
+%Schliesslich zeigen wir dann im
+%Abschnitt~\ref{buch:subsection:zerfaellungskoerper}, wie man 
+%den Prozess iterieren kann und so für beliebige Polynome immer einen
+%Körper finden kann, der alle Nullstellen enthält.
 Wir beginnen in Abschnitt~\ref{buch:subsection:irreduziblepolynome}
 damit, die Polynome, die für die Konstruktion in Frage kommen, etwas
 genauer zu charakterisieren.
@@ -608,7 +608,17 @@ $J$ mit $I\subset J\subset R$ entweder $I=J$ oder $J=R$ gilt.
 Die Ideale $p\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}$ sind maximal genau dann, wenn
 $p$ eine Primzahl ist.
 
-TODO: XXX Begründung
+Ist nämlich $p=n_1n_2$ eine Faktorisierung, dann ist
+$\mathbb{Z}\supset n_1\mathbb{Z} \supset p\mathbb{Z}$ 
+und $n_1\mathbb{Z}$ ist ein grössers Ideal als $p\mathbb{Z}$,
+d.~h.~$p\mathbb{Z}$ ist nicht maximal.
+
+In $\mathbb{Z}$ sind alle Ideale von der Form $n\mathbb{Z}$.
+Wenn es also ein Ideal $I\supset p\mathbb{Z}$ gibt, welches
+$p\mathbb{Z}$ echt enthält, dann gibt es $n\in\mathbb{Z}$ derart,
+dass $n\mathbb{Z} \subset p\mathbb{Z}$.
+Dies ist gleichbedeutend damit, dass $n$ ein echter Teiler von $p$
+ist, also ist $p$ keine Primzahl.
 \end{beispiel}
 
 \begin{satz}
@@ -616,6 +626,23 @@ Der Ring $R/I$ ist genau dann ein Körper, wenn $I$ ein maximales Ideal ist.
 \end{satz}
 
 \begin{proof}[Beweis]
+Nehmen wir zunächst an, dass $I$ ein maximales Ideal ist.
+Damit $R/I$ ein Körper ist, muss jedes von $0$ verschiedene Element 
+eine multiplikatives Inverses haben.
+Sei als $a\in R\setminus I$, dann ist $a+I$ ein von $0$ verschiedenes
+Körperelement.
+Die Menge $Ra+I$ ist dann ein Ideal von $R$, welches $I$ echt enthält.
+Weil $I$ maximal ist, ist $Ra+I=R$, also gibt es ein Element $b\in I$
+derart, dass $ab+I=1+I$, d.~h.~$b+I$ ist das gesuchte multiplikative 
+Inverse.
+
+Sei nun umgekehrt $R/I$ ein Körper und $J\supset I$ sei ein Ideal,
+welches $I$ echt enhält.
+Sei $a\in J\setminus I$.
+Da $R/I$ ein Körper ist, ist $a+I$ invertierbar, es gibt also ein
+$b\in R$ mit $ab+I=1+I$.
+Da $a\in J$ folgt $Ra\subset J$.
+Andererseits ist $1\in Ra$, also ist $J=R$ und das Ideal $J$ ist maximal.
 \end{proof}
 
 Ein irreduzibles Polynom $m\in\Bbbk[X]$ erzeugt ein maximales Ideal,
@@ -894,10 +921,3 @@ Dieser Spezialfall ist für die praktische Anwendung in der Kryptographie
 von besonderer Bedeutung, daher wird er im 
 In Kapitel~\ref{buch:chapter:kryptographie} genauer untersucht.
 
-\subsection{Zerfällungskörper
-\label{buch:subsection:zerfaellungskoerper}}
-XXX TODO
-
-
-
-
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc b/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc
index 41b1569..3b2b50c 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc
@@ -8,7 +8,11 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/95-homologie/simplex.tex				\
 	chapters/95-homologie/komplex.tex				\
 	chapters/95-homologie/homologie.tex				\
+	chapters/95-homologie/homologieketten.tex			\
+	chapters/95-homologie/basiswahl.tex				\
 	chapters/95-homologie/fixpunkte.tex				\
+	chapters/95-homologie/eulerchar.tex				\
+	chapters/95-homologie/induzierteabb.tex				\
 	chapters/95-homologie/chapter.tex
 
 
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
new file mode 100644
index 0000000..aacfa9f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
@@ -0,0 +1,817 @@
+\subsection{Basiswahl
+\label{buch:subsection:basiswahl}}
+Die Definition der Homologiegruppen $H_k(C)$ als Quotient von
+Vektorräumen ist ziemlich abstrakt.
+Sie besteht aus Klassen von Zyklen, die sich höchstens um einen
+Rand unterscheiden.
+Indem wir eine geeignete Basis wählen, können wir konkrete Zyklen
+identifizieren, die eine Basis für den Vektorraum $H_k(C)$ bilden.
+Dies soll im Folgenden schrittweise durchgeführt werden.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf}
+\caption{Beispiel für die Berechnung von Basisvektoren und Homologieklassen
+mit Hilfe des Gauss-Algorithmus
+\label{buch:homologie:fig:gausshomoex}}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Basis von $Z_k(C)$}
+Um eine Basis für $H_k(C)$ zu konstruieren, ist es zunächst nötig,
+eine Basis der Zyklen $Z_k(C)$ zu bestimmen.
+Ausgehend von einer beliebigen Basis der $C_k$ und einer 
+zugehörigen Darstellung des Randoperators $\partial_k$ als
+Matrix, kann eine Basis von Zyklen mit Hilfe des Gauss-Algorithmus
+gefunden werden.
+Wir bezeichnen die Menge dieser Zyklen mit
+\[
+\mathcal{Z}_k 
+=
+\{
+z_1^{(k)},
+z_2^{(k)},
+\dots,
+z_l^{(k)}
+\}.
+\]
+$\mathcal{Z}_k$ erzeugt den $l$-dimensionalen Vektorraum $Z_k(C)$.
+
+\begin{beispiel}
+\label{buch:homologie:beispiel:gausshomo}
+In Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomoex} ist ein Polyeder 
+dargestellt, dessen Homologiegruppe $H_1$ berechnet werden soll.
+Um eine Basis für die Zyklen zu berechnen, wird zunächst die Matrix
+des Randoperators $\partial_1$ aufgestellt.
+Sie ist
+\[
+\setcounter{MaxMatrixCols}{27}
+\partial_1
+=
+\footnotesize
+\setlength\arraycolsep{2pt}
+\begin{pmatrix*}[r]
+%1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
+-1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 1
+ 1&-1& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 2
+ 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 3
+ 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 4
+ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 5
+ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 6
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 7
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 8
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 9
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ %10
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0\\ %11
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ %12
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 1& 0\\ %13
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 1& 0&-1\\ %14
+ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1\\ %15
+\end{pmatrix*}
+\]
+Die reduzierte Zeilenstufenform von $\partial_1$ ist
+(Pivotpositionen in {\color{red}rot}, frei wählbare Variablen
+in {\color{darkgreen}grün})
+\begin{center}
+%\tiny
+\scriptsize
+%\footnotesize
+\setlength\tabcolsep{3pt}
+\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+  & 1& 2& 3& 4& 5&{\color{darkgreen}6}& 7&{\color{darkgreen}8}& 9&{\color{darkgreen}10}&11&{\color{darkgreen}12}&{\color{darkgreen}13}&{\color{darkgreen}14}&15&{\color{darkgreen}16}&17&{\color{darkgreen}18}&19&{\color{darkgreen}20}&21&{\color{darkgreen}22}&23&{\color{darkgreen}24}&{\color{darkgreen}25}&26&{\color{darkgreen}27}\\
+\hline
+ 1&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 2& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 3& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 4& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 5& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 6& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 7& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
+ 8& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 9& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+10& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
+11& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 1& 1& 0&-1\\
+12& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 1& 0&-1\\
+13& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1&-1& 0& 1\\
+14& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1\\
+15& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+\hline
+\end{tabular}.
+\end{center}
+Daraus kann man die Zyklen wie folgt ablesen, indem man jeweils
+genau eine frei wählbare Variable auf $1$ setzt:
+\begin{align*}
+z_1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_2
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_3
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_4 % variable 12 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_5 % variable 13 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_6 % variable 14 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_7 % variable 16 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},\\
+z_8 % variable 18 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_9 % variable 20 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+-1\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_{10} % variable 22 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+\phantom{-}
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %5
+ 0\\ 
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %10
+ 0\\ 
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %15
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\ %20
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %25
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_{11} % variable 24 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\ %5
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\ %10
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\ %15
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\ %20
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 1\\
+ 0\\ %25
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_{12} % variable 25 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %10
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\ %15
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\ %20
+-1\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\
+ 1\\ %25
+ 0\\
+ 0
+\end{pmatrix*},
+&z_{13} % variable 27 = 1
+&=
+\tiny
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 0\\
+ 1\\
+ 0\\ %20
+ 1\\
+ 0\\
+-1\\
+ 0\\
+ 0\\ %25
+ 1\\
+ 1
+\end{pmatrix*}
+\end{align*}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf}
+\caption{Zyklen des Randoperators $\partial_1$ im Beispiel von
+Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}.
+\label{buch:homologie:fig:homocycles}}
+\end{figure}%
+Die Zyklen sind in Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} {\color{red}rot} dargestellt.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Basis für $B_k(C)$}
+Da $B_k(C)\subset Z_k(C)$ gilt, lässt sich für jedes $c_{k+1}\in C_{k+1}$
+der Rand $\partial_{k+1}c_{k+1}$ als Linearkombination der im 
+vorangegangenen Schritt gefundenen Basiszyklen finden.
+Wir können also aus der Standardbasis $e^{(k+1)}_i\in C_{k+1}$ eine Menge
+von Vektoren $\partial_{k+1}e^{(k+1)}_i$ gewinnen, die mit Sicherheit
+ganz $B_k(C)$ aufspannen.
+Es ist aber davon auszugehen, dass diese Vektoren nicht linear unabhängig
+sind.
+Es ist also nötig, eine Teilmenge
+\[
+\mathcal{B}_k
+=
+\{
+\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_1},
+\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_2},
+\dots,
+\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_m}
+\}
+\]
+von Vektoren auszuwählen, die linear
+unabhängig sind.
+Diese bilden eine Basis von $B_k(C)$.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf}
+\caption{Die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ für das Beispiel von
+Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}.
+Die grauen Dreiecke bilden die Standardbasis $e_i^{(2)}$ von $C_2$,
+die blauen Dreiecke sind die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ dieser
+Dreiecke.
+\label{buch:homologie:fig:homoboundaries}}
+\end{figure}
+
+Aus den Abbildungen~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} und
+\ref{buch:homologie:fig:homoboundaries} kann man auch ablesen,
+wie die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ aus den Zyklen von $\mathcal{Z}_1$
+linear kombiniert werden können.
+Man erhält so die Beziehungen
+\begin{equation}
+\setcounter{MaxMatrixCols}{29}
+\setlength\arraycolsep{1pt}
+\begin{array}{lcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+\partial_2e_1^{(2)} &=&z_1& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_2^{(2)} &=&   & &z_2& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_3^{(2)} &=&   & &   & &z_3& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_4^{(2)} &=&   & &   & &   & &z_4& &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_5^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &z_5& &   &+&z_7& &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_6^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &z_6& &   &+&z_8& &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_7^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &z_{10}& &      & &      & &      \\
+\partial_2e_8^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &z_{11}& &      & &      \\
+\partial_2e_9^{(2)} &=&   &\phantom{+}&   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &      &\phantom{+} &      & &z_{12}&+&z_{13}
+\end{array}
+\end{equation}
+Dies reicht jedoch nicht, um herauszufinden, welche der blauen Dreiecke
+linear unabhängig sind.
+Im vorliegenden Fall ist dies einfach: jedes blaue Dreieck besteht aus
+Kanten, die in keinem anderen blauen Dreieck vorkommen, daher müssen
+sie alle linear unabhängig sein.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf}
+\caption{Bestimmung einer Basis für die Homologiegruppe $H_k(C)$ mit
+Hilfe der Vorwärtsreduktion des Gaussalgorithmus.
+Die schwarzen Nullzeilen zeigen an, welche Zeilenvektoren zusammen mit
+den darüberliegenden Vektoren nicht linear unabhängig sind und damit nicht
+in Frage kommen für die besuchte Basis.
+Übrig bleiben die {\color{red}rot} und {\color{darkgreen}grün} hervorgehobenen
+Vektoren.
+\label{buch:homologie:fig:gausshomobasis}}
+\end{figure}
+
+Diese Auswahl lässt sich sehr leicht mit Hilfe der folgenden
+Variante des Gauss-Algorithmus realisieren.
+Dazu werden die $n_{k+1}$ Zeilen Gauss-Tableau zunächst mit den Vektoren
+$\partial_{k+1}{e_i^{(k+1)}}^t$ gefüllt.
+Führt man in diesem Tableau die Vorwärtsreduktion durch, wobei man
+entstehende Nullzeilen einfach überspringt, bleiben nur noch Zeilen
+übrig, die linear unabhängig sind.
+Diese Zeilen entsprechen den linear unabhängigen Vektoren von $\mathcal{B}_k$,
+die Zeilennummern sind $i_1,i_2,\dots,i_m$.
+Dieses Vorgehen ist schematisch im oberen Teil der
+Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomobasis} dargestellt.
+
+\subsubsection{Basis für die Homologiegruppe $H_k(C)$}
+Um eine Basis von $H_k(C)$ zu konstruieren, müssen wir jetzt eine
+Basis von Zyklen finden, die sich nicht nur um einen Rand unterscheiden,
+die also zu verschiedenen Homologie-Klassen in $H_k(C)$ gehören.
+Gesucht sind jetzt also Vektoren $\mathcal{Z}'_k$ derart, dass 
+die Vektoren von $\mathcal{Z}'_k\cup\mathcal{B}_k$ immer noch $Z_k(C)$
+aufspannen, aber zusätzlich linear unabhängig sind.
+
+Dazu kann man wie folgt vorgehen.
+\begin{enumerate}
+\item
+Man beginnt mit $\mathcal{D}_0=\emptyset$ und setzt $j=0$.
+\item
+Dann testet man der Reihe nach alle noch nicht getesteten Vektoren
+von $z_i^{(k)}\in\mathcal{Z}_k$ daraufhin, ob sie von den Vektoren
+$\mathcal{B}_k\cup \mathcal{D}_j$ linear unabhängig sind.
+Wenn ja, bildet man $\mathcal{D}_{j+1} = \mathcal{D}\cup\{z^{(k)}_i\}$ und
+setzt $j=1$.
+Andernfalls ignoriert man $z^{(k)}_i$.
+\item
+Schritt 2 wird wiederholt, bis man alle Vektoren von $\mathcal{Z}_k$
+getestet hat.
+Die gesuchte Basis setzt sich zusammen  aus $\mathcal{B}_k$ und
+$\mathcal{D}_l$,
+also
+$
+\mathcal{Z}_k'
+=
+\mathcal{B}_k
+\cup
+\mathcal{D}_l.
+$
+\end{enumerate}
+
+Dieser Algorithmus kann ebenfalls mit der oben angesprochenen Variante
+des Gauss-Algorithmus durchgeführt werden.
+Dazu werden die Zeilen $n_k+1$ bis $n_k+1+|\mathcal{Z}_k|$ mit den
+Vektoren $z_i^t$.
+Dann führt man die Vorwärtsreduktion im ganzen Tableau durch, wobei
+man wieder die Nullzeilen stehen lässt.
+Nullzeilen zeigen wieder Vektoren an, die sich linear durch die darüber
+liegenden Vektoren ausdrücken lassen.
+Die auszuwählenden Vektoren sind daher genau diejenigen, die für
+$\mathcal{Z}_k'$ ausgewählt werden müssen.
+
+Um den Algorithmus durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau
+in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau},
+bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9
+Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen.
+Das reduzierte Tableau nach der Vorwärtsreduktion ist in
+Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}
+dargestellt, amn erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$,
+$z_9$ und $z_{10}$ sowie $z_{13}$ weggelassen werden müssen.
+Es bleiben die folgenden Zyklen:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{>{$}l<{$}l}
+\text{Zyklus}&Eigenschaft\\
+\hline
+z_5   &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck links unten\\
+z_6   &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck rechts unten\\
+z_9   &Zyklus umschliesst das grosse weisse Dreieck\\
+z_{12}&Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreicke oben\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Die Zyklen, die nach der Reduktion übrig bleiben, sind in
+Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} zusammengestellt.
+Jede solche Klasse entspricht genau einem der ``Löcher'', der weissen
+Dreiecke.
+Die Homologie kann man also als eine exakte Version der Idee eines
+Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polygons verstehen.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\setlength\tabcolsep{1pt}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5
+&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10
+&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15
+&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20
+&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25
+&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27
+\\
+%                                1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7
+\hline
+\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}& 1&  &  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}&  & 1&  &  &  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}&  &  & 1&  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}&  &  &  &\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  &\phantom{-}1& 1&  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\
+\hline
+%                    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
+\scriptstyle z_{ 1}& 1&  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 2}&  & 1&  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 3}&  &  & 1&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 4}&  &  &  & 1&  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 5}&-1&  &  &  &-1&  & 1&  &  &  &  &  & 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 6}&  &  &-1&  &  &  &  &  &-1&  & 1&  &  & 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 7}& 1&  &  &  & 1&  &-1&  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 8}&  &  & 1&  &  &  &  &  & 1&  &-1&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 9}&-1&-1&  &  & 1&  &  &  & 1&  &  &  &  &  &-1&  & 1& 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{10}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1& 1&  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{11}& 1& 1&  &  & 1&  &  &  &-1&  &  &  &  &  & 1&  &-1&  &-1&  &  &  & 1& 1&  &  &  \\
+\scriptstyle z_{12}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &-1&  &-1&  & 1&  & 1&  &  \\
+\scriptstyle z_{13}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1&  &-1&  &  & 1& 1\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Gauss-Tableau für die Bestimmung einer Basis von
+$H_1$ für das Beispiel. 
+Die ersten neuen Zeilen bestehen aus den Bildern der
+Basisvektoren von $C_2$.
+Im vorliegenden Fall kann man sofort sehen, dass alle diese
+Zeilen linear unabhängig sind.
+Die folgenden Zeilen sind die Zyklen in $\mathbb{Z}_2$, sie
+sind ebenfalls linear unabhängig.
+Mit Hilfe der Vorwärtsreduktion müssen jetzt diejenigen
+Zeilen elminiert werden, die bereits aus anderen Zyklen
+mit Hilfe von Rändern der Zeilen 1--9 kombiniert werden können.
+\label{buch:homologie:beispiel:gausstableau}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\setlength\tabcolsep{1pt}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5
+&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10
+&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15
+&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20
+&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25
+&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27
+\\
+%                                1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7
+\hline
+\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}&\phantom{-}1&  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}&  &\phantom{-}1&  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}&  &  &\phantom{-}1&  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}&  &  &  &\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1&  &\phantom{-}1& 1&  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  \\
+\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\
+\hline
+%                     1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
+\scriptstyle z_{ 1}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 2}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 3}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 4}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 5}'&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &-1&-1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 6}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &-1&-1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 7}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 8}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 9}'&  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &-1&-1&-1&-1&  &  &  \\
+\scriptstyle z_{10}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{11}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{12}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &-1&-1\\
+\scriptstyle z_{13}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Nach Durchführung der Vorwärtsreduktion kann man die Zyklen
+ablesen, die nicht für eine Basis von $H_1$ gebraucht werden.
+Die resultierenden Zyklen sind in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses}
+dargestellt.
+\label{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf}
+\caption{Repräsentanten für die reduzierten Klassen aus dem
+Tableau von
+Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert},
+sie bilden eine Basis der Homologie-Gruppe $H_1$.
+Jeder dieser Repräsentanten umschliesst genau ein ``Loch'',
+also genau ein weisses Dreieck.
+\label{buch:homologie:beispiel:homoclasses}}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Basis von $H_k(C)$}
+Die im vorangegangenen Abschnitt konstruierte Basis kann jetzt auch
+dazu verwendet werden, eine Basis von $H_k(C)$ zu finden.
+Die Vektoren in $\mathcal{B}_k$ bilden eine Basis von $B_k(C)$
+und die Vektoren in $\mathcal{Z}_k'$ sind davon unabhängig.
+Die Klassen der Vektoren von $\mathcal{Z}_k'$ in $H_k(C)$ sind
+daher ebenfalls linear unabhängig und bilden damit eine Basis
+von $H_k(C)$.
+Die von obigem Algorithmus ausgewählten Zyklen bilden also automatisch
+eine Basis von Zyklen, die nicht Rand irgend einer Kette in $C_{k+1}$
+sein können.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
index 994c400..e25188c 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex
@@ -3,9 +3,9 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Homologie
+\chapter{Kettenkomplexe und Homologie
 \label{buch:chapter:homologie}}
-\lhead{Homologie}
+\lhead{Kettenkomplexe und Homologie}
 \rhead{}
 Mit der Inzidenzmatrix war es möglich, einen Graphen zu beschreiben
 und verschiedene interessante Eigenschaften desselben zu berechnen.
@@ -35,6 +35,16 @@ Der sogenannte Randoperator ordnet jedem Dreieck, Tetraeder oder allgemein
 jedem Simplex seinen Rand zu.
 Damit wird es möglich, das Dreieck vom Rand des Dreiecks zu unterschieden.
 
+Die Verallgemeinerung dieser Idee liefert eine algebraische Konstruktion
+zu jedem topologischen Raum, die sogenannten Homologie-Gruppen.
+Sie formalisieren ein mögliches Konzept der Dimension und der
+Idee von ``Löchern'' in einem topologischen Raum.
+Sie können dabei helfen, die topologische Struktur verschiedener
+Räume zu unterscheiden.
+Das Ziel dieses Kapitels ist nicht, die Homologietheorie 
+vollständig zu entwickeln, sondern zu zeigen, wie man Matrizen
+verwenden kann, um konkrete Rechnungen durchzuführen.
+
 \input{chapters/95-homologie/simplex.tex}
 \input{chapters/95-homologie/komplex.tex}
 \input{chapters/95-homologie/homologie.tex}
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
new file mode 100644
index 0000000..03e389b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
@@ -0,0 +1,139 @@
+\subsection{Euler-Charakteristik}
+Die Homologiegruppen fassen die Idee, die ``Löcher'' in 
+Dimension $k$ eines Polyeders zu zählen, algebraisch exakt.
+Dazu ist aber die algebraische Struktur von $H_k(C)$  gar 
+nicht nötig, nur schon die Dimension des Vektorraumes $H_k(C)$
+liefert bereits die verlange Information.
+
+Dies ist auch der Ansatz, den der eulersche Polyedersatz verfolgt.
+Euler hat für dreidimensionale Polyeder eine Invariante gefunden, 
+die unabhängig ist von der Triangulation.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:homologie:def:eulerchar0}
+Ist $E$ die Anzahl der Ecken, $K$ die Anzahl der Kanten und $F$
+die Anzahl der Flächen eines dreidimensionalen Polyeders $P$, dann
+heisst
+\[
+\chi(P) = E-K+F
+\]
+die {\em Euler-Charakteristik} des Polyeders $P$.
+\end{definition}
+
+Der Eulersche Polyedersatz, den wir nicht gesondert beweisen
+wollen, besagt, dass $\chi(P)$ unabhängig ist von der 
+Triangulation.
+Alle regelmässigen Polyeder sind verschiedene Triangulationen
+einer Kugel, sie haben alle den gleichen Wert $2$
+der Euler-Charakteristik.
+
+Ändert man die Triangulation, dann wird die Dimension der
+Vektorräume $B_k(C)$ und $Z_k(C)$ grösser werden.
+Kann man eine Grösse analog zu $\chi(P)$ finden, die sich nicht ändert?
+
+\begin{definition}
+\label{buch:homologie:def:eulerchar}
+Sei $C$ ein Kettenkomplex, dann heisst
+\[
+\chi(C) = \sum_{k=0}^n (-1)^k\dim H_k(C)
+\]
+die Euler-Charakteristik von $C$.
+\end{definition}
+
+Die Summe in Definition~\ref{buch:homologie:def:eulerchar} erstreckt
+sich bis zum Index $n$, der Dimension des Simplexes höchster Dimension
+in einem Polyeder.
+Für $k>n$ ist $H_k(C)=0$, es ändert sich also nichts, wenn wir
+die Summe bis $\infty$ erstrecken, da die zusätzlichen Terme alle
+$0$ sind.
+Wir werden dies im folgenden zur Vereinfachung der Notation tun.
+
+Die Definition verlangt, dass man erst die Homologiegruppen
+berechnen muss, bevor man die Euler-Charakteristik bestimmen
+kann.
+Dies ist aber in vielen Fällen gar nicht nötig, da dies nur
+eine Frage der Dimensionen ist, die man direkt aus den
+$C_k$ ablesen kann, wie wir nun zeigen wollen.
+
+Die Dimension der Homologiegruppen ist
+\begin{equation}
+\dim H_k(C)
+=
+\dim \bigl(Z_k(C) / B_k(C)\bigr)
+=
+\dim Z_k(C) - \dim B_k(C).
+\label{buch:homologie:eqn:dimHk}
+\end{equation}
+Die Bestimmung der Dimensionen der Zyklen und Ränder erfordert
+aber immer noch, dass wir dafür Basen bestimmen müssen, es ist
+also noch nichts eingespart.
+Die Zyklen bilden den Kern von $\partial$, also 
+\[
+\dim Z_k(C) = \dim\ker \partial_k.
+\]
+Die Ränder $B_k(C)$ sind die Bilder von $\partial_{k+1}$, also
+\[
+\dim B_k(C)
+=
+\dim C_{k+1} - \ker\partial_{k+1}
+=
+\dim C_{k+1} - \dim Z_{k+1}(C).
+\]
+Daraus kann man jetzt eine Formel für die Euler-Charakteristik
+gewinnen.
+Sie ist
+\begin{align*}
+\chi(C)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim H_k(C)
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \bigl(\dim Z_k(C) - \dim B_k(C)\bigr)
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim Z_k(C) 
+-
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \bigl(\dim C_{k+1} - \dim_{k+1}(C)\bigr)
+\\
+&=
+-\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim C_{k+1} 
++
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim Z_k(C) 
++
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim Z_{k+1}(C).
+\intertext{Indem wir in der letzten Summe den Summationsindex $k$ durch
+$k-1$ ersetzen, können wir bis auf den ersten Term die Summen
+der $\dim Z_k(C)$ zum Verschwinden bringen:}
+&=
+-\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim C_{k+1} 
++
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim Z_k(C) 
+-
+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \dim Z_k(C)
+\\
+&=
+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \dim C_{k}
++
+\dim \underbrace{Z_0(C)}_{\displaystyle =C_0}.
+\intertext{In der letzten Umformung haben wir auch in der ersten
+Summe den Summationsindex $k$ durch $k-1$ ersetzt.
+Damit beginnt die Summation bei $k=1$.
+Der fehlende Term ist genau der Term, der von den Summen der
+$\dim Z_k(C)$ übrig bleibt.
+Damit erhalten wir}
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim C_{k}.
+\end{align*}
+
+\begin{satz}
+Für die Euler-Charakteristik eines endlichdimensionalen Kettenkomplexes $C$ gilt
+\[
+\chi(C)
+=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim H_k(C)
+=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \dim C_k.
+\]
+\end{satz}
+Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass die Euler-Charakteristik
+als Spezialfall der Lefshetz-Zahl verstanden werden kann.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
index a03d4b5..b3b184e 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
@@ -33,7 +33,7 @@ ist die Spur von $H_k(f)$ wohldefiniert.
 
 \begin{definition}
 Die {\em Lefshetz-Zahl} einer Abbildung $f$ von Kettenkomplexen ist
-\[
+\begin{equation}
 \lambda(f)
 =
 \sum_{k=0}^\infty
@@ -41,7 +41,8 @@ Die {\em Lefshetz-Zahl} einer Abbildung $f$ von Kettenkomplexen ist
 =
 \sum_{k=0}^\infty 
 (-1)^k \operatorname{Spur}(H_k(f)).
-\]
+\label{buch:homologie:lefschetz-zahl}
+\end{equation}
 \end{definition}
 
 Die zweite Darstellung  der Lefshetz-Zahl auf der rechten Seite ist
@@ -49,11 +50,55 @@ meistens viel leichter zu berechnen als die erste.
 Die einzelnen Vektorräume eines Kettenkomplexes können haben typischerweise
 eine hohe Dimension, so hoch wie die Anzahl der Simplizes der Triangulation.
 Die Homologiegruppen dagegen haben typischerweise sehr viel kleinere 
-Dimension, die Matrizen $H_k(F)$ sind also relativ klein.
+Dimension, die Matrizen $H_k(f)$ sind also relativ klein.
 Es ist aber nicht klar, dass beide Berechnungsmethoden für die 
 Lefshetz-Zahl auf das gleiche Resultat führen müssen.
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/95-homologie/images/approximation.pdf}
+\caption{Stückweise lineare Approximation einer Abbildung derart,
+dass die Bildpunkt von Knoten auf Gitterpunkte fallen.
+Die Abbildung wird damit zu einer Abbildung von Polyedern und
+die induzierte Abbildung der Kettenkomplexe lässt sich direkt berechnen.
+Wenn die Auflösung des Gitters klein genug ist, hat die Approximation
+einer Abbildung ohne Fixpunkte immer noch keine Fixpunkte.
+\label{buch:homologie:fig:simplapprox}}
+\end{figure}%
+
 \begin{proof}[Beweis]
+Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:induzierte-abbildung} wurde gezeigt,
+dass die Basis des Komplexes immer so gewählt werden kann, dass für
+die Spuren der Teilmatrizen von $f_k$ die
+Formel~\eqref{buch:homologie:eqn:spur} gilt.
+Damit kann jetzt die alternierenierden Summe der Spuren von $f_k$ ermittelt
+werden:
+\begin{align*}
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_k)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B})
++
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z})
++
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k-1,B})
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B})
++
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z})
+-
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B})
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}).
+\intertext{Die Abbildung $H_k(f)$ hat $f_{k,Z}$ als Matrix, also ist
+die letzte Form gleichbedeutend mit}
+&=
+\sum_{k=0} (-1)^k\operatorname{Spur} H_k(f).
+\end{align*}
+Damit ist die Formel
+\eqref{buch:homologie:lefschetz-zahl}
+bewiesen.
 \end{proof}
 
 Die Lefshetz-Zahl ist eine Invariante einer topologischen Abbildung,
@@ -67,6 +112,7 @@ ist $\lambda(f) \ne 0$, dann hat $f$ einen Fixpunkt.
 Im Folgenden soll nur ein heuristisches Argument gegeben werden, warum
 ein solcher Satz wahr sein könnte.
 
+
 Wenn eine Abbildung keinen Fixpunkt hat, dann ist $f(x) \ne x$ für alle
 Punkte von $X$.
 Da $X$ kompakt ist, gibt es einen minimalen Abstand $d$ zwischen $f(x)$ und $x$.
@@ -76,6 +122,9 @@ Punkte im selben Simplex oder in einem Nachbarsimplex abgebildet wird.
 Indem man nötigenfalls die Triangulation nochmals verfeinert, kann man auch
 genügend Platz schaffen, dass man die Abbildung $f$ etwas modifizieren kann,
 so dass auch die deformierte Abbildung immer noch diese Eigenschaft hat.
+Die Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:simplapprox} illustriert, wie eine
+Abbildung durch eine andere approximiert werden kann, die die Triangulation
+im Bildraum respektiert.
 
 Die zugehörige Abbildung des Kettenkomplexes der Triangulation hat damit
 die Eigenschaft, dass kein Basisvektor auf sich selbst abgebildet wird.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
index 905ecc3..747c00f 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
@@ -34,321 +34,8 @@ Es soll möglich werden, kompliziertere Fragen des Zusammenhangs, zum
 Beispiel das Vorhandensein von Löchern mit algebraischen Mitteln
 zu analysieren.
 
-\subsection{Homologie eines Kettenkomplexes
-\label{buch:subsection:homologie-eines-kettenkomplexes}}
-Wegzusammenhang lässt sich untersuchen, indem man in der Triangulation
-nach Linearkombinationen von Kanten sucht, die als Rand die beiden Punkte
-haben.
-Zwei Punkte sind also nicht verbindbar und liegen damit in verschiedenen
-Komponenten, wenn die beiden Punkte nicht Rand irgend einer
-Linearkombination von Kanten sind.
-Komponenten können also identifiziert werden, indem man unter allen
-Linearkombinationen von Punkten, also $C_0$ all diejenigen ignoriert,
-die Rand einer Linearkombinationv on Kanten sind, also $\partial_1C_1$.
-Der Quotientenraum $H_0=C_0/\partial_1C_1$ enthält also für jede Komponente
-eine Dimension.
-
-Eine Dimension höher könnten wir danach fragen, ob sich ein geschlossener
-Weg zusammenziehen lässt.
-In der Triangulation zeichnet sich ein geschlossener Weg dadurch aus,
-dass jedes Ende einer Kante auch Anfang einer Folgekante ist, dass also
-der Rand der Linearkombination von Kanten 0 ist.
-Algebraisch bedeutet dies, dass wir uns für diejenigen Linearkombinationen
-$z\in C_1$ interessieren, die keinen Rand haben, für die also $\partial_1z=0$
-gilt.
-
-\begin{definition}
-Die Elemente von
-\[
-Z_k
-=
-Z_k^C
-=
-\{z\in C_k\;|\; \partial_k z = 0\}
-=
-\ker \partial_k
-\]
-heissen die {\em ($k$-dimensionalen) Zyklen} von $C_*$.
-\end{definition}
-
-In einem Dreieck ist der Rand ein geschlossener Weg, der sich zusammenziehen
-lässt, indem man ihn durch die Dreiecksfläche deformiert.
-Entfernt man aber die Dreiecksfläche, ist diese Deformation nicht mehr
-möglich.
-Einen zusammenziehbaren Weg kann man sich also als den Rand eines Dreiecks
-einer vorstellen.
-``Löcher'' sind durch geschlossene Wege erkennbar, die nicht Rand eines
-Dreiecks sein können.
-Wir müssen also ``Ränder'' ignorieren.
-
-\begin{definition}
-Die Elemente von
-\[
-B_k
-=
-B_k^C
-=
-\{\partial_{k+1}z\;|\; C_{k+1}\}
-=
-\operatorname{im} \partial_{k+1}
-\]
-heissen die {\em ($k$-dimensionalen) Ränder} von $C_*$.
-\end{definition}
-
-Algebraisch ausgedrückt interessieren uns also nur Zyklen, die selbst
-keine Ränder sind.
-Der Quotientenraum $Z_1/B_1$ ignoriert unter den Zyklen diejenigen, die
-Ränder sind, drückt also algebraisch die Idee des eindimensionalen
-Zusammenhangs aus.
-Wir definieren daher
-
-\begin{definition}
-Die $k$-dimensionale Homologiegruppe des Kettenkomplexes $C_*$ ist
-\[
-H_k(C) = Z_k/B_k = \ker \partial_k / \operatorname{im} \partial_{k+1}.
-\]
-Wenn nur von einem Kettenkomplex die Rede ist, kann auch $H_k(C)=H_k$
-abgekürzt werden.
-\end{definition}
-
-Die folgenden zwei ausführlichen Beispiele sollen zeigen, wie die
-Homologiegruppe $H_2$ die Anwesenheit eines Hohlraumes detektieren kann,
-der entsteht, wenn man aus einem Tetraeder das innere entfernt.
-
-\begin{beispiel}
-\begin{figure}
-\centering
-XXX Bild eines Tetraeders mit Bezeichnung der Ecken und Kanten
-\caption{Triangulation eines Tetraeders, die Orientierung von Kanten
-und Seitenflächen ist immer so gewählt, dass die Nummern der Ecken
-aufsteigend sind.
-\label{buch:homologie:tetraeder:fig}}
-\end{figure}
-Ein Tetraeder ist ein zweidmensionales Simplex, wir untersuchen seinen
-Kettenkomplex und bestimmen die zugehörigen Homologiegruppen.
-Zunächst müssen wir die einzelnen Mengen $C_k$ beschreiben und verwenden
-dazu die Bezeichnungen gemäss Abbildung~\ref{buch:homologie:tetraeder:fig}.
-$C_0$ ist der vierdimensionale Raum aufgespannt von den vier Ecken 
-$0$, $1$, $2$ und $3$ des Tetraeders.
-$C_1$ ist der sechsdimensionale Vektorraum der Kanten 
-\[
-k_0 = [0,1],\quad
-k_1 = [0,2],\quad
-k_2 = [0,3],\quad
-k_3 = [1,2],\quad
-k_4 = [1,3],\quad
-k_5 = [2,3]
-\]
-Der Randoperator $\partial_1$ hat die Matrix
-\[
-\partial_1
-=
-\begin{pmatrix*}[r]
--1&-1&-1& 0& 0& 0\\
- 1& 0& 0&-1&-1& 0\\
- 0& 1& 0& 1& 0&-1\\
- 0& 0& 1& 0& 1& 1
-\end{pmatrix*}.
-\]
-
-Wir erwarten natürlich, dass sich zwei beliebige Ecken verbinden lassen,
-dass es also nur eine Komponente gibt und dass damit $H_1=\Bbbk$ ist.
-Dazu beachten wir, dass das Bild von $\partial_1$ genau aus den Vektoren
-besteht, deren Komponentensumme $0$ ist.
-Das Bild $B_0$ von $\partial_1$ ist daher die Lösungsmenge der einen
-Gleichung
-\(
-x_0+x_1+x_2+x_3=0.
-\)
-Der Quotientenraum $H_0=Z_0/B_0 = C_0/\operatorname{im}\partial_1$
-ist daher wie erwartet eindimensional.
-
-Wir bestimmen jetzt die Homologiegruppe $H_1$.
-Da sich im Tetraeder jeder geschlossene Weg zusammenziehen lässt,
-erwarten wir $H_1=0$.
-
-Die Menge der Zyklen $Z_1$ wird bestimmt, indem man die Lösungsmenge
-des Gleichungssystems $\partial_1z=0$ bestimmt.
-Der Gauss-Algorithmus für die Matrix $\partial_1$ liefert das
-Schlusstableau
-\[
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
-\hline
-k_0&k_1&k_2&k_3&k_4&k_5\\
-\hline
-   1&  0&  0& -1& -1&  0\\
-   0&  1&  0&  1&  0& -1\\
-   0&  0&  1&  0&  1&  1\\
-   0&  0&  0&  0&  0&  0\\
-\hline
-\end{tabular}
-\]
-Daraus lassen sich drei linear unabhängig eindimensionale Zyklen ablesen,
-die zu den Lösungsvektoren
-\[
-z_1
-=
-\begin{pmatrix*}[r]
-1\\
--1\\
-0\\
-1\\
-0\\
-0
-\end{pmatrix*},
-\qquad
-z_2
-=
-\begin{pmatrix*}[r]
-1\\
-0\\
--1\\
-0\\
-1\\
-0
-\end{pmatrix*},
-\qquad
-z_3
-=
-\begin{pmatrix*}[r]
-0\\
-1\\
--1\\
-0\\
-0\\
-1
-\end{pmatrix*}
-\]
-gehören.
-
-$C_2$ hat die vier Seitenflächen
-\[
-f_0=[0,1,2],\quad
-f_1=[0,1,3],\quad
-f_2=[0,2,3],\quad
-f_3=[1,2,3]
-\]
-als Basis.
-Der zweidimensionale Randoperator ist die $6\times 4$-Matrix 
-\[
-\partial_2
-=
-\begin{pmatrix*}[r]
- 1& 1& 0& 0\\
--1& 0& 1& 0\\
- 0&-1&-1& 0\\
- 1& 0& 0& 1\\
- 0& 1& 0&-1\\
- 0& 0& 1& 1
-\end{pmatrix*}.
-\]
-Man kann leicht nachrechnen, dass $\partial_1\partial_2=0$ ist, wie es
-für einen Kettenkomplex sein muss.
-
-Um nachzurechnen, dass die Homologiegruppe $H_1=0$ ist, müssen wir jetzt 
-nachprüfen, ob jeder Zyklus in $Z_1$ auch Bild der Randabbildung $\partial_2$
-ist.
-Die ersten drei Spalten von $\partial_2$ sind genau die drei Zyklen
-$z_1$, $z_2$ und $z_3$.
-Insbesondere lassen sich alle Zyklen als Ränder darstellen, die
-Homologiegruppe $H_1=0$ verschwindet.
-
-Die Zyklen in $C_2$ sind die Lösungen von $\partial_2z=0$.
-Der Gauss-Algorithmus für $\partial_2$ liefert das -Tableau
-\[
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
-\hline
-f_0&f_1&f_2&f_3\\
-\hline
-1&0&0& 1\\
-0&1&0&-1\\
-0&0&1& 1\\
-0&0&0& 0\\
-0&0&0& 0\\
-0&0&0& 0\\
-\hline
-\end{tabular}
-\]
-Daraus liest man ab, dass es genau einen Zyklus nämlich
-\[
-z
-=
-\begin{pmatrix}
--1\\1\\-1\\1
-\end{pmatrix}
-\]
-$Z_2$ besteht also aus Vielfachen des Vektors $z$.
-
-Da es nur ein zweidimensionales Simplex gibt, ist $C_3$ eindimensional.
-Die Randabbildung $\partial_3$ hat die Matrix
-\[
-\partial_3
-=
-\begin{pmatrix}
-1\\
--1\\
-1\\
--1
-\end{pmatrix}.
-\]
-Die Zyklen $Z_2$ und die Ränder $B_2$ bilden also dieselbe Menge, auch
-die Homologie-Gruppe $H_2$ ist $0$.
-
-Da es keine vierdimensionalen Simplizes gibt, ist $B_3=0$.
-Die Zyklen $Z_3$ bestehen aus den Lösungen von $\partial_3w=0$, da
-aber $\partial_3$ injektiv ist, ist $Z_3=0$.
-Daher ist auch $H_3=0$.
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-Für dieses Beispiel entfernen wir das Innere des Tetraeders, es entsteht
-ein Hohlraum.
-Am Kettenkomplex der Triangulation ändert sich nur, dass $C_3$ jetzt 
-nur noch den $0$-Vektor enthält.
-Das Bild $B_2=\operatorname{im}\partial_3$ wird damit auch $0$-dimensional,
-während es im vorigen Beispiel eindimensional war.
-Die einzige Änderung ist also in der Homologiegruppe 
-$H_2 = Z_2/B_2 = Z_2 / \{0\} \simeq \Bbbk$.
-Die Homologiegruppe $H_2$ hat jetzt Dimension $1$ und zeigt damit den
-Hohlraum an.
-\end{beispiel}
-
-\subsection{Induzierte Abbildung
-\label{buch:subsection:induzierte-abbildung}}
-Früher haben wurde eine Abbildung $f_*$ zwischen Kettenkomplexen $C_*$ und
-$D_*$ so definiert,
-dass sie mit den Randoperatoren verträglich sein muss.
-Diese Forderung bewirkt, dass sich auch eine lineare Abbildung
-\[
-H_k(f) \colon H_k(C) \to H_k(D)
-\]
-zwischen den Homologiegruppen ergibt, wie wir nun zeigen wollen.
-
-Um eine Abbildung von $H_k(C)$ nach $H_k(D)$ zu definieren, müssen wir
-zu einem Element von $H_k(C)$ ein Bildelement konstruieren.
-Ein Element in $H_k(C)$ ist eine Menge von Zyklen in $Z^C_k$, die sich
-nur um einen Rand in $B_k$ unterscheiden.
-Wir wählen also einen Zyklus $z\in Z_k$ und bilden ihn auf $f_k(z)$ ab.
-Wegen $\partial^D_kf(z)=f\partial^C_kz = f(0) =0 $ ist auch $f_k(z)$
-ein Zyklus.
-Wir müssen jetzt aber noch zeigen, dass eine andere Wahl des Zyklus
-das gleiche Element in $H_k(D)$ ergibt.
-Dazu genügt es zu sehen, dass sich $f(z)$ höchstens um einen Rand
-ändert, wenn man $z$ um einen Rand ändert.
-Sei also $b\in B^C_k$ ein Rand, es gibt also ein $w\in C_{k+1}$ mit
-$\partial^C_{k+1}w=b$.
-Dann gilt aber auch
-\[
-f_k(z+b)
-=
-f_k(z) + f_k(b)
-=
-f_k(z) + f_k(\partial^C_{k+1}w)
-=
-f_k(z) + \partial^D_{k+1}(f_k(w)).
-\]
-Der letzte Term ist ein Rand in $D_k$, somit ändert sich $f_k(z)$ nur
-um diesen Rand, wenn man $z$ um einen Rand ändert.
-$f_k(z)$ und $f_k(z+b)$ führen auf die selbe Homologieklasse.
-
+\input{chapters/95-homologie/homologieketten.tex}
+\input{chapters/95-homologie/basiswahl.tex}
+\input{chapters/95-homologie/eulerchar.tex}
+\input{chapters/95-homologie/induzierteabb.tex}
 
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
new file mode 100644
index 0000000..1b40147
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
@@ -0,0 +1,286 @@
+%
+% homologieketten.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\subsection{Homologie eines Kettenkomplexes
+\label{buch:subsection:homologie-eines-kettenkomplexes}}
+Wegzusammenhang lässt sich untersuchen, indem man in der Triangulation
+nach Linearkombinationen von Kanten sucht, die als Rand die beiden Punkte
+haben.
+Zwei Punkte sind also nicht verbindbar und liegen damit in verschiedenen
+Komponenten, wenn die beiden Punkte nicht Rand irgend einer
+Linearkombination von Kanten sind.
+Komponenten können also identifiziert werden, indem man unter allen
+Linearkombinationen von Punkten, also $C_0$ all diejenigen ignoriert,
+die Rand einer Linearkombinationv on Kanten sind, also $\partial_1C_1$.
+Der Quotientenraum $H_0=C_0/\partial_1C_1$ enthält also für jede Komponente
+eine Dimension.
+
+Eine Dimension höher könnten wir danach fragen, ob sich ein geschlossener
+Weg zusammenziehen lässt.
+In der Triangulation zeichnet sich ein geschlossener Weg dadurch aus,
+dass jedes Ende einer Kante auch Anfang einer Folgekante ist, dass also
+der Rand der Linearkombination von Kanten 0 ist.
+Algebraisch bedeutet dies, dass wir uns für diejenigen Linearkombinationen
+$z\in C_1$ interessieren, die keinen Rand haben, für die also $\partial_1z=0$
+gilt.
+
+\begin{definition}
+Die Elemente von
+\[
+Z_k
+=
+Z_k^C
+=
+\{z\in C_k\;|\; \partial_k z = 0\}
+=
+\ker \partial_k
+\]
+heissen die {\em ($k$-dimensionalen) Zyklen} von $C_*$.
+\end{definition}
+
+In einem Dreieck ist der Rand ein geschlossener Weg, der sich zusammenziehen
+lässt, indem man ihn durch die Dreiecksfläche deformiert.
+Entfernt man aber die Dreiecksfläche, ist diese Deformation nicht mehr
+möglich.
+Einen zusammenziehbaren Weg kann man sich also als den Rand eines Dreiecks
+einer vorstellen.
+``Löcher'' sind durch geschlossene Wege erkennbar, die nicht Rand eines
+Dreiecks sein können.
+Wir müssen also ``Ränder'' ignorieren.
+
+\begin{definition}
+Die Elemente von
+\[
+B_k
+=
+B_k^C
+=
+\{\partial_{k+1}z\;|\; C_{k+1}\}
+=
+\operatorname{im} \partial_{k+1}
+\]
+heissen die {\em ($k$-dimensionalen) Ränder} von $C_*$.
+\end{definition}
+
+Algebraisch ausgedrückt interessieren uns also nur Zyklen, die selbst
+keine Ränder sind.
+Der Quotientenraum $Z_1/B_1$ ignoriert unter den Zyklen diejenigen, die
+Ränder sind, drückt also algebraisch die Idee des eindimensionalen
+Zusammenhangs aus.
+Wir definieren daher
+
+\begin{definition}
+Die $k$-dimensionale Homologiegruppe des Kettenkomplexes $C_*$ ist
+\[
+H_k(C) = Z_k/B_k = \ker \partial_k / \operatorname{im} \partial_{k+1}.
+\]
+Wenn nur von einem Kettenkomplex die Rede ist, kann auch $H_k(C)=H_k$
+abgekürzt werden.
+\end{definition}
+
+% XXX Visualisierung Zyklen/Ränder, Klassen von Zyklen, die sich um einen
+% XXX Rand unterscheiden
+
+Die folgenden zwei ausführlichen Beispiele sollen zeigen, wie die
+Homologiegruppe $H_2$ die Anwesenheit eines Hohlraumes detektieren kann,
+der entsteht, wenn man aus einem Tetraeder das innere entfernt.
+
+\begin{beispiel}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/tetraeder.pdf}
+\caption{Triangulation eines Tetraeders, die Orientierung von Kanten
+und Seitenflächen ist immer so gewählt, dass die Nummern der Ecken
+aufsteigend sind.
+\label{buch:homologie:tetraeder:fig}}
+\end{figure}
+Ein Tetraeder ist ein zweidmensionales Simplex, wir untersuchen seinen
+Kettenkomplex und bestimmen die zugehörigen Homologiegruppen.
+Zunächst müssen wir die einzelnen Mengen $C_k$ beschreiben und verwenden
+dazu die Bezeichnungen gemäss Abbildung~\ref{buch:homologie:tetraeder:fig}.
+$C_0$ ist der vierdimensionale Raum aufgespannt von den vier Ecken 
+$0$, $1$, $2$ und $3$ des Tetraeders.
+$C_1$ ist der sechsdimensionale Vektorraum der Kanten 
+\[
+k_0 = [0,1],\quad
+k_1 = [0,2],\quad
+k_2 = [0,3],\quad
+k_3 = [1,2],\quad
+k_4 = [1,3],\quad
+k_5 = [2,3]
+\]
+Der Randoperator $\partial_1$ hat die Matrix
+\[
+\partial_1
+=
+\begin{pmatrix*}[r]
+-1&-1&-1& 0& 0& 0\\
+ 1& 0& 0&-1&-1& 0\\
+ 0& 1& 0& 1& 0&-1\\
+ 0& 0& 1& 0& 1& 1
+\end{pmatrix*}.
+\]
+
+Wir erwarten natürlich, dass sich zwei beliebige Ecken verbinden lassen,
+dass es also nur eine Komponente gibt und dass damit $H_1=\Bbbk$ ist.
+Dazu beachten wir, dass das Bild von $\partial_1$ genau aus den Vektoren
+besteht, deren Komponentensumme $0$ ist.
+Das Bild $B_0$ von $\partial_1$ ist daher die Lösungsmenge der einen
+Gleichung
+\(
+x_0+x_1+x_2+x_3=0.
+\)
+Der Quotientenraum $H_0=Z_0/B_0 = C_0/\operatorname{im}\partial_1$
+ist daher wie erwartet eindimensional.
+
+Wir bestimmen jetzt die Homologiegruppe $H_1$.
+Da sich im Tetraeder jeder geschlossene Weg zusammenziehen lässt,
+erwarten wir $H_1=0$.
+
+Die Menge der Zyklen $Z_1$ wird bestimmt, indem man die Lösungsmenge
+des Gleichungssystems $\partial_1z=0$ bestimmt.
+Der Gauss-Algorithmus für die Matrix $\partial_1$ liefert das
+Schlusstableau
+\[
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+k_0&k_1&k_2&k_3&k_4&k_5\\
+\hline
+   1&  0&  0& -1& -1&  0\\
+   0&  1&  0&  1&  0& -1\\
+   0&  0&  1&  0&  1&  1\\
+   0&  0&  0&  0&  0&  0\\
+\hline
+\end{tabular}
+\]
+Daraus lassen sich drei linear unabhängig eindimensionale Zyklen ablesen,
+die zu den Lösungsvektoren
+\[
+z_1
+=
+\begin{pmatrix*}[r]
+1\\
+-1\\
+0\\
+1\\
+0\\
+0
+\end{pmatrix*},
+\qquad
+z_2
+=
+\begin{pmatrix*}[r]
+1\\
+0\\
+-1\\
+0\\
+1\\
+0
+\end{pmatrix*},
+\qquad
+z_3
+=
+\begin{pmatrix*}[r]
+0\\
+1\\
+-1\\
+0\\
+0\\
+1
+\end{pmatrix*}
+\]
+gehören.
+
+$C_2$ hat die vier Seitenflächen
+\[
+f_0=[0,1,2],\quad
+f_1=[0,1,3],\quad
+f_2=[0,2,3],\quad
+f_3=[1,2,3]
+\]
+als Basis.
+Der zweidimensionale Randoperator ist die $6\times 4$-Matrix 
+\[
+\partial_2
+=
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 1& 1& 0& 0\\
+-1& 0& 1& 0\\
+ 0&-1&-1& 0\\
+ 1& 0& 0& 1\\
+ 0& 1& 0&-1\\
+ 0& 0& 1& 1
+\end{pmatrix*}.
+\]
+Man kann leicht nachrechnen, dass $\partial_1\partial_2=0$ ist, wie es
+für einen Kettenkomplex sein muss.
+
+Um nachzurechnen, dass die Homologiegruppe $H_1=0$ ist, müssen wir jetzt 
+nachprüfen, ob jeder Zyklus in $Z_1$ auch Bild der Randabbildung $\partial_2$
+ist.
+Die ersten drei Spalten von $\partial_2$ sind genau die drei Zyklen
+$z_1$, $z_2$ und $z_3$.
+Insbesondere lassen sich alle Zyklen als Ränder darstellen, die
+Homologiegruppe $H_1=0$ verschwindet.
+
+Die Zyklen in $C_2$ sind die Lösungen von $\partial_2z=0$.
+Der Gauss-Algorithmus für $\partial_2$ liefert das -Tableau
+\[
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+f_0&f_1&f_2&f_3\\
+\hline
+1&0&0& 1\\
+0&1&0&-1\\
+0&0&1& 1\\
+0&0&0& 0\\
+0&0&0& 0\\
+0&0&0& 0\\
+\hline
+\end{tabular}
+\]
+Daraus liest man ab, dass es genau einen Zyklus nämlich
+\[
+z
+=
+\begin{pmatrix}
+-1\\1\\-1\\1
+\end{pmatrix}
+\]
+$Z_2$ besteht also aus Vielfachen des Vektors $z$.
+
+Da es nur ein zweidimensionales Simplex gibt, ist $C_3$ eindimensional.
+Die Randabbildung $\partial_3$ hat die Matrix
+\[
+\partial_3
+=
+\begin{pmatrix}
+1\\
+-1\\
+1\\
+-1
+\end{pmatrix}.
+\]
+Die Zyklen $Z_2$ und die Ränder $B_2$ bilden also dieselbe Menge, auch
+die Homologie-Gruppe $H_2$ ist $0$.
+
+Da es keine vierdimensionalen Simplizes gibt, ist $B_3=0$.
+Die Zyklen $Z_3$ bestehen aus den Lösungen von $\partial_3w=0$, da
+aber $\partial_3$ injektiv ist, ist $Z_3=0$.
+Daher ist auch $H_3=0$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Für dieses Beispiel entfernen wir das Innere des Tetraeders, es entsteht
+ein Hohlraum.
+Am Kettenkomplex der Triangulation ändert sich nur, dass $C_3$ jetzt 
+nur noch den $0$-Vektor enthält.
+Das Bild $B_2=\operatorname{im}\partial_3$ wird damit auch $0$-dimensional,
+während es im vorigen Beispiel eindimensional war.
+Die einzige Änderung ist also in der Homologiegruppe 
+$H_2 = Z_2/B_2 = Z_2 / \{0\} \simeq \Bbbk$.
+Die Homologiegruppe $H_2$ hat jetzt Dimension $1$ und zeigt damit den
+Hohlraum an.
+\end{beispiel}
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/hx.m b/buch/chapters/95-homologie/hx.m
new file mode 100644
index 0000000..0003e76
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/hx.m
@@ -0,0 +1,129 @@
+split_long_rows(0)
+
+d = [
+#1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
+-1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; #  1
+ 1,-1, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; #  2
+ 0, 1,-1, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; #  3
+ 0, 0, 1,-1, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; #  4
+ 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; #  5
+ 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; #  6
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0,-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; #  7
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0, 0,-1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; #  8
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 1, 0, 0, 0,-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; #  9
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0,-1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 10
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,-1, 0,-1, 1, 0, 0, 0, 0; # 11
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 1, 0, 0, 0,-1, 0, 0, 0; # 12
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 0, 0,-1, 1, 0; # 13
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1, 1, 0,-1; # 14
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 1  # 15
+]
+
+rref(d)
+
+B = [
+#1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718192021222324252627
+ 1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
+ 0,1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
+ 0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
+ 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
+ 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
+ 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
+ 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0;
+ 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0;
+ 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1
+]';
+
+d*B
+
+Z = [
+#1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
+ 1, 0, 0, 0,-1, 0, 1, 0,-1, 0, 1, 0, 0; #  1
+ 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1, 0, 1, 0, 0; #  2
+ 0, 0, 1, 0, 0,-1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0; #  3
+ 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; #  4
+ 1, 0, 0, 0,-1, 0, 1, 0,-1, 0, 1, 0, 0; #  5
+ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; #  6
+ 0, 1, 0, 0, 1, 0,-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0; #  7
+ 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; #  8
+ 0, 0, 1, 0, 0,-1, 0, 1, 1, 0,-1, 0, 0; #  9
+ 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 10
+ 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0,-1, 0, 0, 0, 0, 0; # 11
+ 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 12
+ 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 13
+ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 14
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,-1, 0, 1, 0, 0; # 15
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0; # 16
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0,-1, 0, 0; # 17
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0; # 18
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1,-1,-1, 1; # 19
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0; # 20
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,-1, 1; # 21
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0; # 22
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1,-1; # 23
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0; # 24
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0; # 25
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1; # 26
+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1  # 27
+]
+
+d * Z
+
+T = zeros(22, 9);
+T(1:9,1:27) = B';
+T(10:22,1:27) = Z';
+
+T
+
+for i = (2:22)
+	T(i,:) = T(i,:) - T(i,1) * T(1,:);
+end
+for i = (3:22)
+	T(i,:) = T(i,:) - T(i,2) * T(2,:);
+end
+for i = (4:22)
+	T(i,:) = T(i,:) - T(i,3) * T(3,:);
+end
+for i = (5:22)
+	T(i,:) = T(i,:) - T(i,4) * T(4,:);
+end
+
+T
+
+for i = (15:22)
+	T(i,:) = T(i,:) - T(i,6) * T(14,:);
+end
+T
+for i = (19:22)
+	T(i,:) = T(i,:) - T(i,8) * T(18,:);
+end
+T
+for i = (16:22)
+	T(i,:) = T(i,:) - T(i,10) * T(15,:);
+end
+T
+for i = (6:22)
+	T(i,:) = T(i,:) - T(i,13) * T(5,:);
+end
+T
+for i = (7:22)
+	T(i,:) = T(i,:) - T(i,14) * T(6,:);
+end
+T
+for i = (8:22)
+	T(i,:) = T(i,:) - T(i,19) * T(7,:);
+end
+T
+for i = (9:22)
+	T(i,:) = T(i,:) - T(i,20) * T(8,:);
+end
+T
+for i = (22:22)
+	T(i,:) = T(i,:) - T(i,22) * T(21,:);
+end
+T
+for i = (10:22)
+	T(i,:) = T(i,:) - T(i,25) * T(9,:);
+end
+#
+T
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile
index ac964ff..0a3979e 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile
@@ -3,7 +3,9 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	dreieck.pdf polyeder.pdf
+all:	complexbasis.pdf homocycles.pdf homoboundaries.pdf homoclasses.pdf \
+	gausshomoex.pdf gausshomobasis.pdf dreieck.pdf polyeder.pdf \
+	approximation.pdf tetraeder.pdf
 
 dreieck.pdf:	dreieck.tex
 	pdflatex dreieck.tex
@@ -11,3 +13,34 @@ dreieck.pdf:	dreieck.tex
 polyeder.pdf:	polyeder.tex
 	pdflatex polyeder.tex
 
+gausshomobasis.pdf:	gausshomobasis.tex
+	pdflatex gausshomobasis.tex
+
+gausshomoex.pdf:	gausshomoex.tex
+	pdflatex gausshomoex.tex
+
+homocycles.pdf:	homocycles.tex
+	pdflatex homocycles.tex
+
+homoboundaries.pdf:	homoboundaries.tex
+	pdflatex homoboundaries.tex
+
+homoclasses.pdf:	homoclasses.tex
+	pdflatex homoclasses.tex
+
+complexbasis.pdf:	complexbasis.tex
+	pdflatex complexbasis.tex
+
+approximation.pdf:	approximation.tex approx.tex
+	pdflatex approximation.tex
+
+approx.tex:	approx.m
+	octave approx.m
+
+tetraeder.png:	tetraeder.pov
+	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -O$@ $<
+tetraeder.jpg:	tetraeder.png Makefile
+	convert -extract 1080x1080+520 tetraeder.png tetraeder.jpg
+tetraeder.pdf:	tetraeder.tex tetraeder.jpg
+	pdflatex tetraeder.tex
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m b/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m
new file mode 100644
index 0000000..0db41c2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m
@@ -0,0 +1,77 @@
+#
+# approx.m
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+x = zeros(7,7);
+y = zeros(7,7);
+
+s = 1.05;
+
+for i = (1:7)
+	winkel = (i-1) * 8.333333 + 20;
+	for j = (1:7)
+		radius = (j-1) * 0.5 + 3;
+		x(i,j) = 1.05 * radius * cosd(winkel);
+		y(i,j) = 1.05 * radius * sind(winkel);
+	endfor
+endfor
+
+X = x;
+Y = y;
+for i = (1:7)
+	for j = (1:7)
+		X(i,j) = round(2 * x(i,j)) / 2;
+		Y(i,j) = round(2 * y(i,j)) / 2;
+	endfor
+endfor
+
+fn = fopen("approx.tex", "w");
+
+
+for i = (1:6)
+	for j = (1:6)
+		winkel = (i-1+0.6666) * 8.33333 + 20;
+		radius = (j-1+0.3333) * 0.5 + 3;
+		fprintf(fn, "\\definecolor{mycolor}{rgb}{%.2f,%.2f,%.2f};\n",
+			(winkel - 20) / 50, 0.8, (radius-3)/3);
+		fprintf(fn, "\\fill[color=mycolor] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- cycle;\n",
+			X(i,j), Y(i,j),
+			X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1),
+			X(i+1,j), Y(i+1,j));
+		winkel = (i-1+0.3333) * 8.33333 + 20;
+		radius = (j-1+0.6666) * 0.5 + 3;
+		fprintf(fn, "\\definecolor{mycolor}{rgb}{%.2f,%.2f,%.2f};\n",
+			(winkel - 20) / 50, 0.8, (radius-3)/3);
+		fprintf(fn, "\\fill[color=mycolor] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- cycle;\n",
+			X(i,j), Y(i,j),
+			X(i,j+1), Y(i,j+1),
+			X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1));
+	endfor
+endfor
+
+linewidth = 0.4;
+
+fprintf(fn, "\\gitter\n");
+	
+for i = (1:7)
+	for j = (1:6)
+		fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth,
+			X(i,j), Y(i,j), X(i,j+1), Y(i,j+1));
+	endfor
+endfor
+for i = (1:6)
+	for j = (1:7)
+		fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth,
+			X(i,j), Y(i,j), X(i+1,j), Y(i+1,j));
+	endfor
+endfor
+for i = (1:6)
+	for j = (1:6)
+		fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth,
+			X(i,j), Y(i,j), X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1));
+	endfor
+endfor
+
+fclose(fn)
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf
new file mode 100644
index 0000000..8bdd2e7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex
new file mode 100644
index 0000000..042f0e2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex
@@ -0,0 +1,69 @@
+%
+% approximation.tex -- Approximation einer Abbildung durch eine simpliziale
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1.3}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0}
+\definecolor{darkred}{rgb}{0,0,0}
+
+\def\gitter{
+	\foreach \x in {1,1.5,...,6}{
+		\draw[color=gray] (\x,1) -- (\x,6);
+		\draw[color=gray] (1,\x) -- (6,\x);
+	}
+}
+
+\def\s{1.05}
+
+\def\colorsector{
+	\foreach \r in {3,3.2,...,5.8}{
+		\foreach \a in {20,...,69}{
+			\pgfmathparse{(\a-20)/50}
+			\xdef\rot{\pgfmathresult}
+			\pgfmathparse{(\r-3)/3}
+			\xdef\blau{\pgfmathresult}
+			\definecolor{mycolor}{rgb}{\rot,0.8,\blau}
+			\fill[color=mycolor]
+				(\a:{\s*\r}) -- (\a:{\s*(\r+0.2)}) -- ({\a+1}:{\s*(\r+0.2)}) -- ({\a+1}:{\s*\r}) -- cycle;
+		}
+	}
+}
+
+\begin{scope}[xshift=0cm]
+\colorsector
+\gitter
+\foreach \r in {3,3.5,...,6.0}{
+	\draw[color=black,line width=0.4pt] (20:{\s*\r}) arc (20:70:{\s*\r});
+}
+\foreach \a in {20,28.3333,...,70}{
+	\draw[color=black,line width=0.4pt] (\a:{\s*3}) -- (\a:{\s*6});
+}
+\begin{scope}
+\clip (20:{\s*3}) -- (20:{\s*6}) arc (20:70:{\s*6}) -- (70:{\s*3});
+\foreach \a in {-5,...,5}{
+	\draw[color=black,line width=0.4pt]
+		plot[domain={20+8.33333*\a}:{70+8.3333*\a},samples=100]
+			(\x:{\s*(3+3*(\x-(20+8.3333*\a))/50)});
+}
+\end{scope}
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=5.5cm]
+\input{approx.tex}
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9ff6709
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.tex
new file mode 100644
index 0000000..bab89d2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/complexbasis.tex
@@ -0,0 +1,158 @@
+%
+% complexbasis.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\s{0.5}
+\def\h{0.02}
+
+\def\rechteck#1#2#3{
+	\fill[color=#3!20,rounded corners=2pt]
+		({-\s+\h},{(2*(#1)-1)*\s+\h})
+		rectangle
+		({\s-\h},{(2*(#2)+1)*\s-\h});
+	\draw[color=#3,rounded corners=2pt]
+		({-\s+\h},{(2*(#1)-1)*\s+\h})
+		rectangle
+		({\s-\h},{(2*(#2)+1)*\s-\h});
+	\foreach \y in {{#1},...,{#2}}{
+		\fill[color=#3] (0,{2*\y*\s}) circle[radius=0.05];
+	}
+}
+\def\Rechteck#1#2{
+	\draw[rounded corners=3pt]
+		({-\s-\h},{(2*(#1)-1)*\s-\h})
+		rectangle
+		({\s+\h},{(2*(#2)+1)*\s+\h});
+}
+
+\def\abbildung#1#2#3#4{
+	\fill[color=gray!20]
+		({\s+\h},{(2*(#1)+1)*\s})
+		--
+		({3.5-\s-\h},{-\s})
+		--
+		({3.5-\s-\h},{(2*(#3)+1)*\s})
+		--
+		({\s+\h},{(2*(#1)+1)*\s})
+		--
+		cycle;
+	\fill[color=gray!40]
+		({\s+\h},{(2*(#1+1)-1)*\s})
+		--
+		({3.5-\s-\h},{(2*(#3+1)-1)*\s})
+		--
+		({3.5-\s-\h},{(2*(#4)+1)*\s})
+		--
+		({\s+\h},{(2*(#2)+1)*\s})
+		--
+		cycle;
+	\draw[<-,color=gray]
+		({\s+\h},{(2*(#1+1)-1)*\s})
+		--
+		({3.5-\s-\h},{(2*(#3+1)-1)*\s});
+	\draw[->,color=gray]
+		({3.5-\s-\h},{(2*(#4)+1)*\s})
+		--
+		({\s+\h},{(2*(#2)+1)*\s});
+	\draw[<-,color=gray!40]
+		({\s+\h},{(2*(#1)+1)*\s})
+		--
+		({3.5-\s-\h},{-\s});
+}
+
+\clip ({-3.5-1.7},-1.2) rectangle ({7+1.7},11.7);
+
+\begin{scope}[xshift=-7cm]
+	\abbildung{6}{7}{10}{11}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=-3.5cm]
+	\abbildung{6}{10}{7}{11}
+	\rechteck{0}{6}{red}
+	\rechteck{7}{10}{darkgreen}
+	\rechteck{11}{11}{blue}
+	\Rechteck{0}{11}
+	\node[color=darkgreen] at ({0},{(9*2-1)*\s}) {$B_{k-2\mathstrut}$};
+	\node at (1.75,{9*2*\s}) {$\Delta_{k-1}$};
+	\node at (1.75,{-\s}) [above] {$\partial_{k-1\mathstrut}$};
+	\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}]
+		({-\s-0.1},{-\s}) -- ({-\s-0.1},{(2*10+1)*\s});
+	\node at ({-\s-0.17},{10*\s}) [left] {$Z_{k-2\mathstrut}$};
+	\node at (0,{-\s}) [below] {$C_{k-2\mathstrut}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}
+	\abbildung{2}{7}{5}{10}
+	\rechteck{8}{11}{blue}
+	\rechteck{3}{7}{darkgreen}
+	\rechteck{0}{2}{red}
+	\Rechteck{0}{11}
+	\node at (0,{-\s}) [below] {$C_{k-1\mathstrut}$};
+	\node[color=darkgreen] at ({0},{(5*2-1)*\s}) {$B_{k-1\mathstrut}$};
+	\node at (1.75,{6.5*2*\s}) {$\Delta_k$};
+	\node at (1.75,{-\s}) [above] {$\partial_{k\mathstrut}$};
+	\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}]
+		({-\s-0.1},{-\s}) -- ({-\s-0.1},{(2*7+1)*\s});
+	\node at ({-\s-0.17},{7*\s}) [left] {$Z_{k-1\mathstrut}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3.5cm]
+	\abbildung{3}{5}{5}{7}
+	\rechteck{6}{10}{blue}
+	\rechteck{4}{5}{darkgreen}
+	\rechteck{0}{3}{red}
+	\Rechteck{0}{10}
+	\node at (0,{-\s}) [below] {$C_{k\mathstrut}$};
+	\node[color=darkgreen] at ({-0.25},{9*\s})
+		{$B_{k\mathstrut}$};
+	\node[color=darkgreen] at (0.24,{2*4*\s}) {$b_1$};
+	\node[color=darkgreen] at (0.24,{2*4.5*\s+0.1}) {$\vdots$};
+	\node[color=darkgreen] at (0.24,{2*5*\s}) {$b_r$};
+	\node[color=red] at (0.24,{2*0*\s}) {$z_1$};
+	\node[color=red] at (0.24,{2*1*\s}) {$z_2$};
+	\node[color=red] at (0.24,{2*2*\s+0.1}) {$\vdots$};
+	\node[color=red] at (0.24,{2*3*\s}) {$z_l$};
+	\node[color=blue] at (0.24,{2*6*\s}) {$c_1$};
+	\node[color=blue] at (0.24,{2*7*\s}) {$c_2$};
+	\node[color=blue] at (0.24,{2*8*\s}) {$c_3$};
+	\node[color=blue] at (0.24,{2*9*\s}) {$\vdots$};
+	\node[color=blue] at (0.24,{2*10*\s}) {$c_s$};
+	\node at (1.75,{5.5*2*\s}) {$\Delta_{k+1}$};
+	\node at (1.75,{-\s}) [above] {$\partial_{k+1\mathstrut}$};
+	\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}]
+		({-\s-0.1},{-\s}) -- ({-\s-0.1},{(2*5+1)*\s});
+	\node at ({-\s-0.17},{5*\s}) [left] {$Z_{k\mathstrut}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=7cm]
+	\abbildung{0}{5}{4}{8}
+	\rechteck{5}{7}{blue}
+	\rechteck{1}{5}{darkgreen}
+	\rechteck{0}{0}{red}
+	\Rechteck{0}{7}
+	\node at (0,{-\s}) [below] {$C_{k+1\mathstrut}$};
+	\node[color=darkgreen] at ({0},{(2.0*2+1)*\s})
+		{$B_{k+1\mathstrut}$};
+	\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}]
+		({-\s-0.1},{-\s}) -- ({-\s-0.1},{(2*5+1)*\s});
+	\node at ({-\s-0.17},{5*\s}) [left] {$Z_{k+1\mathstrut}$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf
new file mode 100644
index 0000000..07414bb
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.tex
new file mode 100644
index 0000000..ba21f54
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.tex
@@ -0,0 +1,109 @@
+%
+% gaushomobasis.tex -- Bestimmung einer Basis der Homologiegruppen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\s{0.5}
+\def\inset{0.05}
+\def\w{8}
+
+\def\zeile#1#2{
+	\fill[color=#2] ({0+\inset},{(12-#1)*\s+\inset})
+		rectangle ({\w*\s-\inset},{(13-#1)*\s-\inset});
+}
+\def\marke#1#2{
+\node at ({0.5*\w*\s},{12.5-#1)*\s}) {$#2\mathstrut$};
+}
+
+\def\gauss{
+\draw (0,0) rectangle ({\w*\s},{12*\s});
+\draw (0,{7*\s}) -- ({\w*\s},{7*\s});
+}
+
+\draw[->,color=red,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-1)*\s})
+	to[out=180,in=90] (-3.6,-2);
+\draw[->,color=red,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-2)*\s})
+	to[out=180,in=90] (-2.2,-2);
+\draw[->,color=red,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-4)*\s})
+	to[out=180,in=90] (-0.7,-2);
+
+\draw[->,color=darkgreen,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-7)*\s})
+	to[out=180,in=90] (0.9,-2);
+\draw[->,color=darkgreen,line width=1pt] ({0.1*\s},{(12.5-8)*\s})
+	to[out=180,in=90] (1.6,-2);
+\draw[->,color=darkgreen,line width=1pt] ({(\w-0.1)*\s},{(12.5-12)*\s})
+	to[out=0,in=90] (2.6,-2);
+
+\draw[->,line width=2pt] ({\w*\s+0.1},{6*\s}) -- (5.4,{6*\s});
+\node at ({0.5*(\w*\s+5.5)},{6*\s}) [above] {Gauss};
+
+\begin{scope}
+\zeile{1}{red!30}
+\zeile{2}{red!30}
+\zeile{4}{red!30}
+\zeile{7}{darkgreen!30}
+\zeile{8}{darkgreen!30}
+%\zeile{10}{darkgreen!30}
+\zeile{12}{darkgreen!30}
+\marke{1}{\scriptstyle\partial_{k+1}e_1^{(k+1)}}
+\marke{2}{\scriptstyle\partial_{k+1}e_2^{(k+1)}}
+\marke{3}{\scriptstyle\partial_{k+1}e_3^{(k+1)}}
+\marke{4}{\vdots}
+\marke{5}{\scriptstyle\partial_{k+1}e_{n_{k+1}}^{(k+1)}}
+\marke{6}{\scriptstyle z_1^{(k)}}
+\marke{7}{\scriptstyle z_2^{(k)}}
+\marke{8}{\scriptstyle z_3^{(k)}}
+\marke{9}{\scriptstyle z_4^{(k)}}
+\marke{10}{\vdots}
+\marke{11}{\scriptstyle z_{l-1}^{(k)}}
+\marke{12}{\scriptstyle z_{l}^{(k)}}
+\gauss
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=5.5cm]
+\zeile{1}{black!20}
+\zeile{2}{black!20}
+\zeile{3}{black}
+\marke{3}{\color{white}0}
+\zeile{4}{black!20}
+\zeile{5}{black}
+\marke{5}{\color{white}0}
+\zeile{6}{black}
+\marke{6}{\color{white}0}
+\zeile{7}{black!20}
+\zeile{8}{black!20}
+\zeile{9}{black}
+\marke{9}{\color{white}0}
+\zeile{10}{black}
+\marke{10}{\color{white}0}
+\zeile{11}{black}
+\marke{11}{\color{white}0}
+\zeile{12}{black!20}
+\gauss
+\end{scope}
+
+\node at (-4.4,-2) [below right] {$\{
+{\color{red}\partial_{k+1}e_1^{(k+1)}},
+{\color{red}\partial_{k+1}e_2^{(k+1)}},
+{\color{red}\partial_{k+1}e_{i_3}^{(k+1)}},\dots,
+{\color{darkgreen}z_2^{(k)}},
+{\color{darkgreen}z_3^{(k)}},
+\dots
+{\color{darkgreen}z_l^{(k)}}
+\} = {\color{red}\mathcal{B}_k} \cup {\color{darkgreen}\mathcal{Z}_k'}$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf
new file mode 100644
index 0000000..bc0b766
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.tex
new file mode 100644
index 0000000..df53f70
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/gausshomoex.tex
@@ -0,0 +1,120 @@
+%
+% gausshomoex.tex -- Beispiel für die Bestimmung einer Basis von H_1
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\s{2.0}
+
+\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})}
+
+\def\knoten#1#2#3{
+	\fill[color=white] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3];
+	\node at \punkt{#1}{#2} {$#3$\strut};
+	\draw \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3];
+}
+\def\dreieck#1#2#3{
+	\fill[color=gray] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+		-- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle;
+	\node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut};
+	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
+		\punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2};
+	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
+		\punkt{#1+1}{#2} -- \punkt{#1}{#2+1};
+	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
+		\punkt{#1}{#2+1} -- \punkt{#1}{#2};
+}
+
+\def\Dreieck#1#2#3{
+	\fill[color=gray!50] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+		-- \punkt{#1+1}{(#2)-1} -- cycle;
+	\node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut};
+}
+
+\def\kante#1#2#3{
+	\fill[color=white,opacity=0.8] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.15];
+	\node at \punkt{#1}{#2} {$\scriptstyle #3$};
+}
+
+\dreieck{0}{0}{1}
+\dreieck{1}{0}{2}
+\dreieck{2}{0}{3}
+\dreieck{3}{0}{4}
+
+\dreieck{0}{1}{5}
+\dreieck{2}{1}{6}
+
+\dreieck{0}{2}{7}
+\dreieck{1}{2}{8}
+
+\dreieck{0}{3}{9}
+
+
+\knoten{0}{0}{1}
+\knoten{1}{0}{2}
+\knoten{2}{0}{3}
+\knoten{3}{0}{4}
+\knoten{4}{0}{5}
+
+\knoten{0}{1}{6}
+\knoten{1}{1}{7}
+\knoten{2}{1}{8}
+\knoten{3}{1}{9}
+
+\knoten{0}{2}{10}
+\knoten{1}{2}{11}
+\knoten{2}{2}{12}
+
+\knoten{0}{3}{13}
+\knoten{1}{3}{14}
+
+\knoten{0}{4}{15}
+
+\kante{0.5}{0}{1}
+\kante{1.5}{0}{2}
+\kante{2.5}{0}{3}
+\kante{3.5}{0}{4}
+
+\kante{0}{0.5}{5}
+\kante{0.5}{0.5}{6}
+\kante{1}{0.5}{7}
+\kante{1.5}{0.5}{8}
+\kante{2}{0.5}{9}
+\kante{2.5}{0.5}{10}
+\kante{3}{0.5}{11}
+\kante{3.5}{0.5}{12}
+
+\kante{0.5}{1}{13}
+\kante{2.5}{1}{14}
+
+\kante{0}{1.5}{15}
+\kante{0.5}{1.5}{16}
+\kante{2}{1.5}{17}
+\kante{2.5}{1.5}{18}
+
+\kante{0.5}{2}{19}
+\kante{1.5}{2}{20}
+
+\kante{0}{2.5}{21}
+\kante{0.5}{2.5}{22}
+\kante{1}{2.5}{23}
+\kante{1.5}{2.5}{24}
+
+\kante{0.5}{3}{25}
+
+\kante{0}{3.5}{26}
+\kante{0.5}{3.5}{27}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fb94ec8
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex
new file mode 100644
index 0000000..53087fa
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex
@@ -0,0 +1,115 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\s{0.55}
+
+\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})}
+\def\A{\punkt{0}{0}}
+\def\B{\punkt{1}{0}}
+\def\C{\punkt{2}{0}}
+\def\D{\punkt{3}{0}}
+\def\E{\punkt{4}{0}}
+\def\F{\punkt{0}{1}}
+\def\G{\punkt{1}{1}}
+\def\H{\punkt{2}{1}}
+\def\I{\punkt{3}{1}}
+\def\J{\punkt{0}{2}}
+\def\K{\punkt{1}{2}}
+\def\L{\punkt{2}{2}}
+\def\M{\punkt{0}{3}}
+\def\N{\punkt{1}{3}}
+\def\O{\punkt{0}{4}}
+
+\def\dreieck#1#2#3{
+	\fill[color=gray] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+		-- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle;
+}
+
+\def\blau#1#2{
+	\draw[color=blue] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+		-- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle;
+	\draw[->,color=blue] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2};
+}
+
+\def\gebiet{
+	\dreieck{0}{0}{1}
+	\dreieck{1}{0}{2}
+	\dreieck{2}{0}{3}
+	\dreieck{3}{0}{4}
+	\dreieck{0}{1}{5}
+	\dreieck{2}{1}{6}
+	\dreieck{0}{2}{7}
+	\dreieck{1}{2}{8}
+	\dreieck{0}{3}{9}
+}
+
+\begin{scope}
+\gebiet
+\blau{0}{0}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_1^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3cm]
+\gebiet
+\blau{1}{0}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_2^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=6cm]
+\gebiet
+\blau{2}{0}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_3^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=9cm]
+\gebiet
+\blau{3}{0}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_4^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=2.59cm]
+\gebiet
+\blau{0}{1}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_5^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=7.5cm,yshift=2.59cm]
+\gebiet
+\blau{2}{1}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_6^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3cm,yshift=5.19cm]
+\gebiet
+\blau{0}{2}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_7^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=6cm,yshift=5.19cm]
+\gebiet
+\blau{1}{2}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_8^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4.5cm,yshift=7.79cm]
+\gebiet
+\blau{0}{3}
+\node[color=blue] at ({2*\s},-0.5) {$\partial_2e_9^{(2)}$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fbbaedd
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex
new file mode 100644
index 0000000..4467f08
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex
@@ -0,0 +1,109 @@
+%
+% homoclasses.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1.4}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\def\s{0.4}
+\def\h{-0.3}
+
+\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})}
+\def\A{\punkt{0}{0}}
+\def\B{\punkt{1}{0}}
+\def\C{\punkt{2}{0}}
+\def\D{\punkt{3}{0}}
+\def\E{\punkt{4}{0}}
+\def\F{\punkt{0}{1}}
+\def\G{\punkt{1}{1}}
+\def\H{\punkt{2}{1}}
+\def\I{\punkt{3}{1}}
+\def\J{\punkt{0}{2}}
+\def\K{\punkt{1}{2}}
+\def\L{\punkt{2}{2}}
+\def\M{\punkt{0}{3}}
+\def\N{\punkt{1}{3}}
+\def\O{\punkt{0}{4}}
+
+%\def\knoten#1#2#3{
+%	\fill[color=white] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3];
+%	\node at \punkt{#1}{#2} {$#3$\strut};
+%	\draw \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3];
+%}
+\def\dreieck#1#2#3{
+	\fill[color=gray] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+		-- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle;
+%	\node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut};
+%	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
+%		\punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2};
+%	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
+%		\punkt{#1+1}{#2} -- \punkt{#1}{#2+1};
+%	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
+%		\punkt{#1}{#2+1} -- \punkt{#1}{#2};
+}
+
+%\def\Dreieck#1#2#3{
+%	\fill[color=gray!50] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+%		-- \punkt{#1+1}{(#2)-1} -- cycle;
+%	\node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut};
+%}
+
+%\def\kante#1#2#3{
+%	\fill[color=white,opacity=0.8] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.15];
+%	\node at \punkt{#1}{#2} {$\scriptstyle #3$};
+%}
+
+\def\gebiet{
+	\dreieck{0}{0}{1}
+	\dreieck{1}{0}{2}
+	\dreieck{2}{0}{3}
+	\dreieck{3}{0}{4}
+	\dreieck{0}{1}{5}
+	\dreieck{2}{1}{6}
+	\dreieck{0}{2}{7}
+	\dreieck{1}{2}{8}
+	\dreieck{0}{3}{9}
+}
+
+\begin{scope}
+\gebiet
+\draw[color=darkgreen] \B -- \G -- \J -- \F -- cycle;
+\draw[->,color=darkgreen] \B -- \G;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_5'$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=2cm]
+\gebiet
+\draw[color=darkgreen] \D -- \I -- \L -- \H -- cycle;
+\draw[->,color=darkgreen] \D -- \I;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_6'$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4cm]
+\gebiet
+\draw[color=darkgreen] \C -- \L -- \N -- \K -- \M -- \J -- cycle;
+\draw[->,color=darkgreen] \C -- \L;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_9'$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=6cm]
+\gebiet
+\draw[color=darkgreen] \K -- \N -- \O -- \M -- cycle;
+\draw[->,color=darkgreen] \K -- \N;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_{12}'$};
+\end{scope}
+
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf
new file mode 100644
index 0000000..b68519e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex
new file mode 100644
index 0000000..8f20a0c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex
@@ -0,0 +1,170 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\s{0.4}
+
+\def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})}
+\def\A{\punkt{0}{0}}
+\def\B{\punkt{1}{0}}
+\def\C{\punkt{2}{0}}
+\def\D{\punkt{3}{0}}
+\def\E{\punkt{4}{0}}
+\def\F{\punkt{0}{1}}
+\def\G{\punkt{1}{1}}
+\def\H{\punkt{2}{1}}
+\def\I{\punkt{3}{1}}
+\def\J{\punkt{0}{2}}
+\def\K{\punkt{1}{2}}
+\def\L{\punkt{2}{2}}
+\def\M{\punkt{0}{3}}
+\def\N{\punkt{1}{3}}
+\def\O{\punkt{0}{4}}
+
+%\def\knoten#1#2#3{
+%	\fill[color=white] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3];
+%	\node at \punkt{#1}{#2} {$#3$\strut};
+%	\draw \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.3];
+%}
+\def\dreieck#1#2#3{
+	\fill[color=gray] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+		-- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle;
+%	\node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut};
+%	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
+%		\punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2};
+%	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
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+%	\draw[->,line width=1pt,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.3cm]
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+}
+
+%\def\Dreieck#1#2#3{
+%	\fill[color=gray!50] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
+%		-- \punkt{#1+1}{(#2)-1} -- cycle;
+%	\node at \punkt{#1+0.3333}{#2+0.3333} {$#3$\strut};
+%}
+
+%\def\kante#1#2#3{
+%	\fill[color=white,opacity=0.8] \punkt{#1}{#2} circle[radius=0.15];
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+
+\def\gebiet{
+	\dreieck{0}{0}{1}
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+}
+
+\begin{scope}
+\gebiet
+\draw[->,color=red] \A -- \B -- \F -- cycle;
+\draw[->,color=red] \A -- \B;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_1$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=2cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \B -- \C -- \G -- cycle;
+\draw[->,color=red] \B -- \C;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_2$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \C -- \D -- \H -- cycle;
+\draw[->,color=red] \C -- \D;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_3$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=6cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \D -- \E -- \I -- cycle;
+\draw[->,color=red] \D -- \E;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_4$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=8cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \A -- \B -- \G -- \F -- cycle;
+\draw[<-,color=red] \A -- \B;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_5$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=10cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \C -- \D -- \I -- \H -- cycle;
+\draw[<-,color=red] \C -- \D;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_6$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=12cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \A -- \B -- \G -- \J -- \F -- cycle;
+\draw[->,color=red] \A -- \B;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_7$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-3cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \C -- \D -- \I -- \L -- \H -- cycle;
+\draw[->,color=red] \C -- \D;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_8$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=2cm,yshift=-3cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \A -- \B -- \C -- \H -- \L -- \K -- \J -- \F -- cycle;
+\draw[<-,color=red] \A -- \B;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_9$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4cm,yshift=-3cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \J -- \K -- \M -- cycle;
+\draw[->,color=red] \J -- \K;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{10}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=6cm,yshift=-3cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \A -- \B -- \C -- \H -- \L -- \N -- \K -- \J -- \F -- cycle;
+\draw[->,color=red] \A -- \B;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{11}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=8cm,yshift=-3cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \J -- \K -- \N -- \M -- cycle;
+\draw[<-,color=red] \J -- \K;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{12}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=10cm,yshift=-3cm]
+\gebiet
+\draw[color=red] \J -- \K -- \N -- \O -- \M -- cycle;
+\draw[->,color=red] \J -- \K;
+\node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{13}$};
+\end{scope}
+
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.jpg b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.jpg
new file mode 100644
index 0000000..0ec168b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.jpg
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0a57e95
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.pov b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.pov
new file mode 100644
index 0000000..b110f96
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.pov
@@ -0,0 +1,116 @@
+//
+// tetraeder.pov
+//
+// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+
+global_settings {
+	assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.169;
+#declare O = <0, 0, 0>;
+#declare at = 0.02;
+
+camera {
+	location <-2, 3, -10>
+	look_at <0, 0.18, 0>
+	right 16/9 * x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
+//light_source {
+//      <-14, 20, -50> color White
+//      area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+//      adaptive 1
+//      jitter
+//}
+
+light_source {
+	<-41, 20, -20> color White
+	area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+	adaptive 1
+	jitter
+}
+
+sky_sphere {
+	pigment {
+		color rgb<1,1,1>
+	}
+}
+
+#declare v1 = <1,1,1>;
+#declare v2 = <-1,1,-1>;
+#declare farbe = rgbf<0.8,0.8,1.0,0.5>;
+
+#declare tetraederwinkel = acos(vdot(v1,v2)/(vlength(v1)*vlength(v2)));
+
+#declare O = < 0, 0, 0 >;
+#declare A = < 0, 1, 0 >;
+#declare B = < sin(tetraederwinkel), cos(tetraederwinkel), 0>;
+#declare C = < sin(tetraederwinkel)*cos(2*pi/3), cos(tetraederwinkel),  sin(2*pi/3)>;
+#declare D = < sin(tetraederwinkel)*cos(2*pi/3), cos(tetraederwinkel), -sin(2*pi/3)>;
+
+#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
+#declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
+#declare arrowlength = vlength(to - from);
+union {
+	sphere {
+		from, 1.0 * arrowthickness
+	}
+	cylinder {
+		from,
+		from + (arrowlength - 8 * arrowthickness) * arrowdirection,
+		arrowthickness
+	}
+	cone {
+		from + (arrowlength - 8 * arrowthickness) * arrowdirection,
+		2 * arrowthickness,
+		to - 3 * arrowthickness * arrowdirection,
+		0
+	}
+	pigment {
+		color c
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+#end
+
+union {
+	arrow(B, C, at, White)
+	arrow(D, C, at, White)
+	arrow(D, B, at, White)
+	arrow(B, A, at, White)
+	arrow(C, A, at, White)
+	arrow(D, A, at, White)
+	sphere { A, 4 * at }
+	sphere { B, 4 * at }
+	sphere { C, 4 * at }
+	sphere { D, 4 * at }
+	pigment {
+		color White
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+
+mesh {
+	triangle { A, B, C }
+	triangle { A, C, D }
+	triangle { A, D, B }
+	triangle { B, C, D }
+	pigment {
+		color farbe
+	}
+//	finish {
+//		specular 0.9
+//		metallic
+//	}
+}
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.tex
new file mode 100644
index 0000000..e62770f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/tetraeder.tex
@@ -0,0 +1,97 @@
+%
+% tetraeder.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{7}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{tetraeder.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\def\knoten#1#2{
+	%\fill[color=white,opacity=0.5] #1 circle[radius=0.2];
+	\node at #1 {$#2$};
+}
+
+\knoten{(-2.2,-3.6)}{0};
+\knoten{( 3.3,-1.9)}{1};
+\knoten{(-3.4,-1.2)}{2};
+\knoten{(-0.75,3.6)}{3};
+
+\def\s{0.2}
+
+\def\kante#1#2{
+	%\fill[color=white,opacity=0.5] #1 circle[radius=0.2];
+	\fill[color=white,opacity=0.5] 
+		($#1+(-\s,-\s)$) --
+		($#1+(+\s,-\s)$) --
+		($#1+(+\s,+\s)$) --
+		($#1+(-\s,+\s)$) -- cycle;
+	\node at #1 {$#2$};
+}
+
+\kante{(0.5,-2.8)}{k_0}
+\kante{(-2.8,-2.3)}{k_1}
+\kante{(-1.4,0)}{k_2}
+\kante{(-0.4,-1.55)}{k_3}
+\kante{(1.25,0.95)}{k_4}
+\kante{(-2.08,1.1)}{k_5}
+
+\def\r{0.33}
+
+\def\flaeche#1#2{
+	\fill[color=white,opacity=0.5]
+		($#1+({-\r*cos(30)},{-\r*sin(30)})$) --
+		($#1+({\r*cos(30)},{-\r*sin(30)})$) --
+		($#1+(0,{\r})$) -- cycle;
+	\node at #1 {$#2$};
+}
+
+\flaeche{(-0.7,-5)}{f_0}
+\draw (-0.7,-4.7) -- (-0.7,-3.25);
+\draw[->,color=black!70] (-0.7,-3.06) -- (-0.7,-2.5);
+\flaeche{(0.2,-0.5)}{f_1}
+\flaeche{(-2.3,-0.7)}{f_2}
+\coordinate (A) at (1,2.6);
+\coordinate (B) at (0,1);
+
+\flaeche{($1.2*(A)-0.2*(B)$)}{f_3}
+
+\def\t{0.58}
+\pgfmathparse{1-\t}
+\xdef\T{\pgfmathresult}
+\draw (A) -- ($\t*(A)+\T*(B)$);
+
+\def\t{0.48}
+\pgfmathparse{1-\t}
+\xdef\T{\pgfmathresult}
+\draw[->,color=black!70] ($\t*(A)+\T*(B)$) -- (B);
+
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex b/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex
new file mode 100644
index 0000000..13591d7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/induzierteabb.tex
@@ -0,0 +1,204 @@
+\subsection{Induzierte Abbildung
+\label{buch:subsection:induzierte-abbildung}}
+Früher haben wurde eine Abbildung $f_*$ zwischen Kettenkomplexen $C_*$ und
+$D_*$ so definiert,
+dass sie mit den Randoperatoren verträglich sein muss.
+Diese Forderung bewirkt, dass sich auch eine lineare Abbildung
+\[
+H_k(f) \colon H_k(C) \to H_k(D)
+\]
+zwischen den Homologiegruppen ergibt, wie wir nun zeigen wollen.
+
+\subsubsection{Definition der induzierten Abbildung}
+Um eine Abbildung von $H_k(C)$ nach $H_k(D)$ zu definieren, müssen wir
+zu einem Element von $H_k(C)$ ein Bildelement konstruieren.
+Ein Element in $H_k(C)$ ist eine Menge von Zyklen in $Z^C_k$, die sich
+nur um einen Rand in $B_k$ unterscheiden.
+Wir wählen also einen Zyklus $z\in Z_k$ und bilden ihn auf $f_k(z)$ ab.
+Wegen $\partial^D_kf(z)=f\partial^C_kz = f(0) =0 $ ist auch $f_k(z)$
+ein Zyklus.
+Wir müssen jetzt aber noch zeigen, dass eine andere Wahl des Zyklus
+das gleiche Element in $H_k(D)$ ergibt.
+Dazu genügt es zu sehen, dass sich $f(z)$ höchstens um einen Rand
+ändert, wenn man $z$ um einen Rand ändert.
+Sei also $b\in B^C_k$ ein Rand, es gibt also ein $w\in C_{k+1}$ mit
+$\partial^C_{k+1}w=b$.
+Dann gilt aber auch
+\[
+f_k(z+b)
+=
+f_k(z) + f_k(b)
+=
+f_k(z) + f_k(\partial^C_{k+1}w)
+=
+f_k(z) + \partial^D_{k+1}(f_k(w)).
+\]
+Der letzte Term ist ein Rand in $D_k$, somit ändert sich $f_k(z)$ nur
+um diesen Rand, wenn man $z$ um einen Rand ändert.
+$f_k(z)$ und $f_k(z+b)$ führen auf die selbe Homologieklasse.
+
+\subsubsection{Matrixdarstellung}
+In Abschnitt~\ref{buch:subsection:basiswahl} wurde gezeigt, wie man
+für die Vektorräume der Zyklen eine Basis derart finden kann, 
+dass die Ränder von einer Teilmenge der Basis aufgespannt werden.
+Eine solche Basis kann man immer erweitern zu einer Basis von $C_k$.
+Für das Folgende bezeichnen wir die Vektoren einer solche Basis von $C_k$ 
+mit
+\[
+\{
+b_1,\dots, b_r,
+z_1,\dots,z_l,
+c_1,\dots,c_s
+\}.
+\]
+wobei die Vektoren  die folgende Bedeutung haben:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|l|l|}
+\hline
+Vektoren&Bedeutung\\
+\hline
+$b_1,\dots,b_r$ & Basis für $B_k(C)$ \\
+$z_1,\dots,z_l$ & zusätzliche Vektoren für eine Basis von $Z_k(C)$ \\
+$c_1,\dots,c_s$ & zusätzliche Vektoren für eine Basis von $C_k$ \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Wählt man eine Basis dieser Art sowohl in $C_*$ wie auch in $D_*$,
+dann kann man die induzierte Abbildung als $3\times 3$-Blockmatrix
+schreiben.
+Man verwendet dabei, dass $f_k$ die Unterräume $B_k(C)$ und
+$Z_k(C)$ in die entsprechenden Unterräume $B_k(D)$ und $Z_k(D)$
+abbildet, also
+\[
+f_k(B_k(C)) \subset B_k(D)
+\qquad\text{und}\qquad
+f_k(Z_k(C)) \subset Z_k(D).
+\]
+In der Matrixdarstellung äussert sich das darin, dass die Blöcke
+links unten zu Null werden.
+Die Matrixdarstellung von $f_k$ hat daher die Form
+\[
+f_k
+=
+\begin{pmatrix}
+f_{k,B} &    *    & * \\
+   0    & f_{k,Z} & * \\
+   0    &    0    & f_{k,*}
+\end{pmatrix}.
+\]
+Genauso kann man natürlich auch die Randoperatoren in dieser Basis
+ausdrücken.
+Sie bilden die Zyklen auf $0$ ab und aus den Vektoren $c_1,\dots,c_s$
+werden Ränder.
+Die Matrix hat daher die Form
+\[
+\partial_k
+=
+\begin{pmatrix}
+0& 0 & \Delta_k \\
+0& 0 & 0 \\
+0& 0 & 0
+\end{pmatrix}
+\]
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/complexbasis.pdf}
+\caption{Basiswahl für den Kettenkomplex $C_k$.
+Der Randoperator $\partial_k$ bildet $Z_k$ auf $0$ ab, der blaue
+Unterraum, aufgespannt von den Vektoren $c_i$, wird bijektiv auf $B_{k-1}$
+abgebildet.
+Eine Basis kann immer so gefunden werden, dass die Vektoren $c_i$ 
+von $\partial_k$ auf die Basisvektoren von $B_{k-1}$ abgebildet werden.
+In dieser Basis ist $\Delta_k$ eine Einheitsmatrix.
+\label{buch:homologie:fig:komplexbasis}}
+\end{figure}%
+Die Bedingung \eqref{buch:komplex:abbildung} für die Komplexabbildung
+bekommt jetzt die Matrixform
+\begin{equation}
+\left.
+\begin{aligned}
+\partial_k^{D}\circ f_k
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&0&\Delta_k^{(D)}\\
+0&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+f_{k,B} &    *    & * \\
+   0    & f_{k,Z} & * \\
+   0    &    0    & f_{k,*}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&\Delta_k^{(D)}f_{k,*}\\
+0&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+\\
+f_{k-1}\circ \partial_k^C
+&=
+\begin{pmatrix}
+f_{k-1,B}&   *   &   *   \\
+   0   &f_{k-1,Z}&   *   \\
+   0   &   0   &f_{k-1,*}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0&0&\Delta_k^{(C)}\\
+0&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&f_{k-1,B}\Delta_k^{(C)}\\
+0&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+\end{aligned}
+\right\}
+\Rightarrow
+\Delta_k^{(D)}f_{k,*}
+=
+f_{k-1,B}\Delta_k^{(C)}.
+\label{buch:homologie:matrixform}
+\end{equation}
+Für die induzierte Abbildung in Homologie ist ausschliesslich der
+Block $f_{k,Z}$ notwendig, die Matrix von $H_k(f)$ in der gewählten
+Basis von $H_k(C)$ bzw.~$H_k(D)$ ist also genau die Matrix $f_{k,Z}$.
+
+
+Wie Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:komplexbasis} können die
+Basisvektoren $c_*$ in $C_k$ so gewählt werden, dass sie vom Randoperator
+$\partial_k$ auf die Basisvektoren von $Z_{k-1}$ abgebildet werden.
+Bei dieser Wahl wird die Matrix $\Delta_k$ eine Einheitsmatrix.
+
+\subsubsection{Spur}
+Wir betrachten jetzt den Fall einer Selbstabbildung $f_*\colon C_*\to C_*$.
+Die Basis soll so gewählt werden, dass $\Delta_k$ eine Einheitsmatrix ist.
+Aus~\eqref{buch:homologie:matrixform} kann man ablesen, dass für diese
+Basiswahl $f_{k,*}=f_{k-1,B}$ gilt.
+Die Matrizen von $f_k$ haben daher die Form
+\[
+f_k
+=
+\begin{pmatrix}
+f_{k,B} &    *    & * \\
+   0    & f_{k,Z} & * \\
+   0    &   0     & f_{k-1,B}
+\end{pmatrix}.
+\]
+Entsprechend ist die Spur
+\begin{equation}
+\operatorname{Spur} f_k
+=
+\operatorname{Spur} f_{k,B}
++
+\operatorname{Spur} f_{k,Z}
++
+\operatorname{Spur} f_{k-1,B}.
+\label{buch:homologie:eqn:spur}
+\end{equation}
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
index 7ed5937..9787bb2 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
@@ -56,7 +56,7 @@ für jedes $k$
 \circ
 f_{k}
 =
-f_{k+1}
+f_{k-1}
 \circ
 \partial^C_k
 \label{buch:komplex:abbildung}
@@ -76,26 +76,26 @@ kommutatives Diagramm dargestellt werden.
 			& C_2 \arrow[l,"\partial_2^C" above]
 				\arrow[d, "f_2"]
 				& \dots \arrow[l]
-					\arrow[l, "\partial_{k-1}^C" above]
-					& C_k
-						\arrow[l, "\partial_k^C" above]
-						\arrow[d, "f_k"]
-						& C_{k+1}\arrow[l, "\partial_{k+1}^C" above]
-							\arrow[d, "f_{k+1}"]
+					\arrow[l, "\partial_{3}^C" above]
+					& C_{k-1}
+						\arrow[l, "\partial_{k-1}^C" above]
+						\arrow[d, "f_{k-1}"]
+						& C_{k}\arrow[l, "\partial_{k}^C" above]
+							\arrow[d, "f_{k}"]
 							& \dots
-								\arrow[l,"\partial_{k+2}^C"]
+								\arrow[l,"\partial_{k+1}^C" above]
 \\
 0 
 	& D_0 \arrow[l, "\partial_0^D" above]
 		& D_1 \arrow[l,"\partial_1^D" above]
 			& D_2 \arrow[l,"\partial_2^D" above]
 				& \dots \arrow[l]
-					\arrow[l, "\partial_{k-1}^D" above]
-					& D_k
-						\arrow[l, "\partial_k^D" above]
-						& D_{k+1}\arrow[l, "\partial_{k+1}^D" above]
+					\arrow[l, "\partial_{3}^D" above]
+					& D_{k-1}
+						\arrow[l, "\partial_{k-1}^D" above]
+						& D_{k}\arrow[l, "\partial_{k}^D" above]
 							& \dots
-								\arrow[l,"\partial_{k+2}^D" above]
+								\arrow[l,"\partial_{k+1}^D" above]
 \end{tikzcd}
 \label{buch:komplex:abbcd}
 \end{equation}
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
index 0cf4aa7..3bf1004 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
@@ -3,14 +3,14 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Simplices
+\section{Simplizes
 \label{buch:section:simplexe}}
-\rhead{Simplices}
+\rhead{Simplizes}
 Die Idee, das Dreieck und seinen Rand zu unterscheiden verlangt,
 dass wir zunächst Dreiecke und deren höherdimensionale Verallgemeinerungen,
 die sogenannten Simplizes entwickeln müssen.
 
-\subsection{Simplices und Rand
+\subsection{Simplizes und Rand
 \label{buch:subsection:simplices}}
 
 \subsubsection{Rand eines Dreiecks}