Verbesserungen aus Besprechung Kapitel 18.3, 18.4

+ Abbildung in GA bewiesen
+ Vektor n neu Vektor u
+ grössen Klammern angepasst
+ Graphiken angepasst

In Kapitel 18.2 \\ in Gleichung entfernt

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diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
index b960b56..1d5e889 100644
--- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
+++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
@@ -15,19 +15,28 @@ Eine Rotation kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das ka
 		\draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3);
 		\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
 		\draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$};
+		\draw[line width=1.0pt,green,-stealth](2,2)--(-2,2) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{-2v_{\parallel u}}$};
+		\draw[line width=1.0pt,green,-stealth](-2,2)--(-2.828,0) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{-2v'_{\parallel w}}$};
+		\draw[blue, line width=1.0pt] (0,3)--(0,-1) node[anchor=south east]{$\sigma_u$};
+		\draw[red, line width=1.0pt] (-3,1.24)--(2.21,-1) node[anchor=south]{$\sigma_w$};
 		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
-		\draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(0,2.5) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$};
+		\draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(2.5, 0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$};
 		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$};
-		\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(-2.31, 0.957) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$};
+		\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(0.957, 2.31) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$};
 		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2.828,0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v''}$};
 		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$};
-		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{e_2}$};
+		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$};
 		
 		\coordinate (A) at (0,0);
-		\coordinate (B) at (0,2.5);
-		\coordinate (C) at (-2.31, 0.957);
-		\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, draw,  thick, angle radius=1.25cm}}
+		\coordinate (B) at (2.5,0);
+		\coordinate (C) at (0.957, 2.31);
+		\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple, draw,  thick, angle radius=1cm}}
 		\draw pic ["$\theta$", anglestyle] {angle = B--A--C};
+		\coordinate (D) at (0,0);
+		\coordinate (E) at (1,1);
+		\coordinate (F) at (-1, 0);
+		\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple,  draw,  thick, angle radius=1.25cm}}
+		\draw pic ["$2\theta$", anglestyle] {angle = E--D--F};
 	\end{tikzpicture}
 	\caption{Rotation des Vektors $\textbf{v}$ um $2\theta$}
 	\label{BildRotation}
@@ -51,13 +60,13 @@ Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Spiegelunge
 \begin{satz}
 	Durch zwei nacheinander auf einen Vektor $\mathbf{v}$ angewendete Spiegelungen lässt sich eine Rotation 
 	\begin{align} \label{rotGA}
-		\mathbf{v}'' = \mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = \mathbf{w}(\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1})
+		\mathbf{v}'' = -\mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = -\mathbf{w}(-\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1})
 	\end{align}
 	beschreiben.
 \end{satz}
 Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese Formel versuchen wir jetzt noch durch Umstrukturierung zu verbessern. 
 \subsubsection{Exponentialform}
-Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{12}$ Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{ij}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden. Für die Herleitung ersetzen wir als erstes in der Polarform
+Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{1}$-$\mathbf{e}_{2}$-Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{i}$-$\mathbf{e}_{j}$-Ebenen $(i\not=j)$ erreicht werden. Für die Herleitung ersetzen wir als erstes in der Polarform
 \begin{align}
 	\mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right)
 \end{align}
@@ -87,7 +96,7 @@ Man sieht, dass die beiden Reihen übereinstimmen. Es folgt somit
 \begin{align}\label{EulerGA}
 	e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12},
 \end{align} 
-es gibt eine Euler-Formel mit $mathbf{e}_{12}$ anstelle der imaginären Einheit $j$.
+es gibt eine Euler-Formel mit $\mathbf{e}_{12}$ anstelle der imaginären Einheit $j$.
 
 Wenn man jetzt den Vektor \eqref{ExponentialGA} durch die eulersche Schreibweise
 \begin{align}
@@ -126,7 +135,7 @@ Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren  $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\t
 \subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung}
 Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein
 \begin{align}
-	\mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}) \mathbf{v}( \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}),
+	\mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}})\mathbf{v}\biggl(\dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}\biggr),
 \end{align}
 erhalten wir durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung
 \begin{align}
@@ -153,12 +162,12 @@ kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors
 	\end{align}
 	und das Produkt der Inversen $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$
 	\begin{align}
-		\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = (\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2})(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}.
+		\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \biggl(\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2}\biggr) \left(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}\right) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}.
 	\end{align}
 	Der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$ können wir nun durch das einsetzten und auflösen der Produkte in die Gleichung \eqref{rotGA}
 	\begin{align}
-		\mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2e_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12})\\
-		&= (2\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_{123})(\dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12})\\
+		\mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2e_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\
+		&= (2\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_{123})(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\
 		&= -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3
 	\end{align}
 	finden. Aus dem Resultat $\mathbf{v}''= -1\mathbf{e}_1 + 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3$ können wir bestätigen, dass
@@ -167,11 +176,11 @@ kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors
 		\item sich der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}'' = -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2$ gedreht hat und der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}'' = 1\mathbf{e}_3$ unverändert blieb.
 		\item der parallele Teil sich genau um $2\theta=180$° gedreht hat. $\theta$ kann übrigens durch die Umformung des Produkt $\mathbf{wu}$ in die Exponentialschreibweise
 		\begin{align}
-			&\mathbf{wu} = -2\mathbf{e}_{12} = 2(0-1\mathbf{e}_{12})=2(\cos(\dfrac{-\pi}{2} + \sin(\dfrac{-\pi}{2})\mathbf{e}_{12})) = 2e^{(-\pi/2)\mathbf{e}_{12}}
+			&\mathbf{wu} = -2\mathbf{e}_{12} = 2(0-1\mathbf{e}_{12})=2(\cos\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) + \sin\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr)\mathbf{e}_{12}) = 2e^{(-\pi/2)\mathbf{e}_{12}}
 		\end{align}
 		durch einen Vergleich mir der Formel \eqref{wuExpo}
 		\begin{align}
-			\theta = -(\dfrac{-\pi}{2}) = \dfrac{\pi}{2}
+			\theta = -\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) = \dfrac{\pi}{2}
 		\end{align}
 		ausgelesen werden.
 	\end{itemize}