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author | JODBaer <JODBaer@github.com> | 2021-07-21 15:48:14 +0200 |
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Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. +\rhead{Erdbeben} +\section{Erdbebenmessung} +\subsection{Was ist ein Erdbeben} +Fabio +\subsection{Funktion eines Seismograph} +Um ein Erdbeben kenntlich zu machen, werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. +Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, bleibt die gekoppelte Masse stehen aber das Gehäuse schwingt mit. +Relativbewegung des Bodens kann damit als Auslenkung im Zeitverlauf gemessen werden. +In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. +Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen mit eine Gehäuse, an dem zwei Federn und eine Masse befestigt ist. +Ein Sensor unter der Masse misst die Position, bzw. die Auslenkung der Feder und der Masse. +Dies bedeutet unser Seismograph kann nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. + +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Apperatur} + \caption{Aufbau des Seismographen mit Gehäuse, Masse, Federn und Sensor} + \end{center} +\end{figure} + +\subsection{Ziel} +Unser Seismograph misst nur die Position der Masse über die Zeit. +Wir wollen jedoch die Beschleunigung $a(t)$ des Boden bzw. die Kraft $f(t)$ welche auf das Gehäuse wirkt bestimmten. +Anhand dieser Beschleunigung bzw. der Krafteinwirkung durch die Bodenbewegung wird später das Bauwerk bemessen. +Dies bedeutet, die für uns interessante Grösse $f(t)$ wird nicht durch einen Sensor erfasst. +Jedoch können wir durch zweifaches ableiten der Positionsmessung $s(t)$ die Beschleunigung der Masse berechnen. +Das heisst: Die Messung ist zweifach Integriert die Kraft $f(t)$ + der Eigendynamik der Masse. +Um die Bewegung der Masse zu berechnen, müssen wir Gleichungen für unser System finden. + +\subsection{Systemgleichung} +Im Fall unseres Seismographen, kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. +Diese lautet: +\begin{equation} +m\ddot s + 2k \dot s + Ds = f +\end{equation} +mit den Konstanten $m$ = Masse, $k$ = Dämpfungskonstante und $D$ = Federkonstante. +Um diese nun in die Systemmatrix umzuwandeln, wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung substituiert: +\[ {x_1}=s \qquad +{x_2}=\dot s, \qquad\] +Somit entstehen die Gleichungenür die Position $s(t)$ der Masse : +\[ \dot {x_1} = {x_2}\] +und +\[ \dot x_2 = -\frac{D}{m} {x_1} -\frac{2k}{m} {x_2} + \frac{f} {m} \] für die Geschwindigkeit $v(t)$ der Masse. + +Diese können wir nun in der Form +\[ {x_3}=-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] +auch als Matrix-Vektor-Gleichung darstellen. +Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. +Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen System. +Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt. +Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). +In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbebenanregung gleich kommt. +\begin{equation} +\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \end{array}\right) = \left( + \begin{array}{ccc} +0 & 1& 0 \\ +- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\ +\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \\ {s_3} \end{array}\right). +\end{equation} + +Durch Rücksubstituion ergibt sich: +\begin{equation} +\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} s(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left( + \begin{array}{ccc} +0 & 1& 0 \\ +- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\ +\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} s(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right). +\end{equation} +Wir wissen nicht wie sich die Kraft verhält. +Deshalb treffen wir die Annahme, das sich die Kraft über die Beobachtungszeit nicht verändert. +Diese unzutreffende Annahme wird später durch einen grossen Systemfehler kompensiert. +Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile mit Nullen gefüllt, denn genau diese Werte wollen wir. + + + + + + + + + |