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author | Nao Pross <np@0hm.ch> | 2021-07-04 14:11:40 +0200 |
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committer | Nao Pross <np@0hm.ch> | 2021-07-04 14:11:40 +0200 |
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In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften welche Kenneth Falconer in seinem Buch Fractal Geometry \cite{ifs:fractal-geometry} beschreibt. -Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten: +Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten: \begin{enumerate} \item $F$ hat eine unendlich feine Struktur \item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden. - \item Oftmals haf $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit. - \item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die Topologische Dimension - \item Viele Fraktale lassen sich einfach beschrieben + \item Oftmals hat $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit. + \item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die topologische Dimension + \item Viele Fraktale lassen sich auf eine simple Art definieren. Es genügen zum Beispiel nur wenige Funktionen, welche rekursiv ausgeführt werden, um ein Fraktal zu definieren. \end{enumerate} \subsection{Koch Kurve \label{ifs:subsection:lilkoch}} -Diese Eigenschaften möchten wir nun anhand der Koch Kurve näher anschauen. -In \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Wie man schon erahnen kann, besteht sie aus lauter kleineren Kopien von sich selber. +Diese Eigenschaften möchten wir nun am Beispiel der Koch Kurve näher anschauen. +In Abbildung \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Sie besteht aus lauter kleineren Kopien von sich selber. Den Konstruktionsvorgang ist in Abbildung \ref{ifs:kochconst} dargestellt. Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$. -Diese wird in ersten Schritt mit vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt. +Diese wird in ersten Schritt durch vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt. In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich. Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt. -Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist. +Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist. +Man spricht von einer selbstähnlichen Menge, wenn sich diese Menge überdecken lässt mit echten Teilmengen, die zur ganzen Menge ähnlich sind. \begin{figure} @@ -54,41 +55,80 @@ Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch \end{figure} Die resultierende Kurve hat ein paar interessante Eigenschaften. -Die Länge der Kurve lasst sich einfach berechnen. +Die Länge der Kurve der jeweiligen Iteration lässt sich mit \begin{align*} - l_0 = a ,\quad l_1 = a \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad ... , \quad - l_n = a * \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad + l_0 = a ,\quad l_1 = a \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad \cdots , \quad + l_n = a \cdot \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad \Rightarrow \quad \lim_{n\to\infty} a \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty \end{align*} -In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Somit divergiert die Länge gegen Unendlich. +berechnen. +In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Daraus resultiert, dass die Länge gegen $\infty$ divergiert. + + Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen \begin{align*} - A_0 = 0 , \quad A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\ - A_2 = A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\ - A_3 = A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1 + A_0 &= 0 \\ + A_1 &= \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\ + A_2 &= A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\ + A_3 &= A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1. \end{align*} Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist. -Daraus resultiert eine konvergierende Geometrische Reihe. +Die Gesamtfläche ist daher gegeben durch die konvergierende geometrische Reihe, \begin{align*} A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \\ - \lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2 \end{align*} -Wie wir sehen ist die Kochkurve ein Konstrukt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang. +mit dem Grenzwert +\begin{align*} + \lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2. +\end{align*} +Wie wir sehen ist die Koch-Kurve ein Objekt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang. + + Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. -Es gibt viele verschiedene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern. -Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur viele verschiedene Arten. +Es gibt viele verschiedene Methoden die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern. +Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur unterschiedliche Arten. In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension \cite{ifs:fractal-geometry}. +Die Ähnlichkeits-Dimension $D$ ist das Verhältnis der Logarithmen der Anzahl Kopien $N$ des Originales und deren Skalierungsfaktor $\epsilon$ + \begin{align*} - D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)} + D = - \frac{\log N}{\log \epsilon }. \end{align*} Mit ihr kann man einfach die Dimension selbstähnlicher Mengen bestimmen. -Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge. +Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge $l$, Abbildung \ref{ifs:trinagle}. Somit hat das Dreieck die Dimension $D = 2$. -Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon = 1/3$. +Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon =l \cdot 1/3$. +Ihre Ähnlichkeits-Dimension ist somit \begin{align*} - D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)} = - \frac{log(4)}{log(1/3)} \approx 1.2619 + D = - \frac{\log N }{\log \epsilon } = - \frac{\log 4 }{\log 1/3 } \approx 1.2619. \end{align*} -Wie wir nun sehen besitzt die Kochkurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. +Wie wir nun sehen besitzt die Koch-Kurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall. Sonst wäre die Frage nach einer 'richtigen' Definition einfach zu beantworten. +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + + % draw the background + \draw [line width=1.5pt, fill=gray!2] (0,0) -- (60:4) -- (4,0) -- cycle; + + \coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0); + \coordinate[label=right:$B$] (B) at (4,0); + \coordinate[label=above:$C$] (C) at (2,3.464); + + \coordinate[label=below:$l$](c) at ($ (A)!.5!(B) $); + \coordinate[label=left:$l$] (b) at ($ (A)!.5!(C) $); + \coordinate[label=right:$l$](a) at ($ (B)!.5!(C) $); + + \coordinate[label=below:$l/2$](d) at ($ (b)!.5!(a)$); + + % the triangle + \draw [line width=1.5pt] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; + \draw [line width=0.5pt] (a) -- (b); + \draw [line width=0.5pt] (a) -- (c); + \draw [line width=0.5pt] (c) -- (b); + + \end{tikzpicture} + \caption{Selbstähnlichkeit eines gleichseitigen Dreiecks} + \label{ifs:trinagle} +\end{figure} |