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--- a/buch/papers/munkres/teil1.tex
+++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex
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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Was ist die ungarische Methode?
+\section{Beschrieb des Zuordnungsproblems
 \label{munkres:section:teil1}}
 \rhead{Problemstellung}
-Es ist ein kombinatorischer Optimierungsalgorithmus, der das Zuordnungsproblem
-in polynomieller Zeit löst.
-\begin{itemize}
-\item
-Polynom = vielgliedrig
-\end{itemize}
-Der Begriff polynomielle Laufzeit bedeutet, dass die Laufzeit des Programms
-wie $n^2$, $n^3$, $n^4$, etc.~wächst und vernünftig skaliert.
-Mit der ungarischen Methode können also lineare Optimierungsprobleme gelöst
-werden, die bei gewichteten Zuordnungen in bipartiten Graphen entstehen.
-Mit ihr kann die eindeutige Zuordnung von Objekten aus zwei Gruppen so
-optimiert werden, dass die Gesamtkosten minimiert werden bzw.~der
-Gesamtgewinn maximiert werden kann. 
+
+Das spezielle an einem Zuordnungsproblem ist, dass es an jedem Ort nur eine Einheit angeboten bzw. nachgefragt wird. Es werden hier nicht Mengen möglichst kostenminimal von einem zum anderen
+Ort transportiert, sondern es geht um die kostenminimale Zuordnung von z.B. Personen, oder Bau-Materialien auf bestimmte Orte, Stellen oder Aufgaben.
+Um dieses Problem in einer einfachen, händischen Art und Weise zu lösen wurde der Munkres-Algorithmus, auch die Ungarische Methode genannt, entwickelt. Diese Methode ist ein weiteres Hauptthema dieses Kapitels.
+
+\subsection{Zuordnungsproblem an einem konkreten Beispiel
+\label{munkres:subsection:bonorum}}
+
+\subsection{Zuordnungsproblem abstrakt
+\label{munkres:subsection:bonorum}}
+
+Es sind alle Angebots- und Bedarfsmengen gleich 1 
+\begin{equation}
+a_{i}=b_{j}=1
+\end{equation}
+
+\subsection{alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems
+\label{munkres:subsection:bonorum}}
+\begin{equation}
+Netzwerk
+\end{equation}
+\begin{equation}
+Matrix
+\end{equation}
+\begin{equation}
+Bitpartiter Graph
+\end{equation}
+Ein bipartiter Graph ist ein mathematisches Modell für Beziehungen
+zwischen den Elementen zweier Mengen.
+Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen» 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung}
+\caption{Typische Netzwerkdarstellung eines Zuordnungsproblems.}
+\label{munkres:Vr2}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Matrixdarstellung}
+\caption{Typische 4x4 Matrixdarstellung eines Zuordnungsproblems.}
+\label{munkres:Vr2}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/bipartiter_graph}
+\caption{$K_{3,3}$ vollständig bipartiter Graph mit 3 Knoten pro Teilmenge.}
+\label{munkres:Vr2}
+\end{figure}