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index 6defcdc..1cf9b98 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -1,6 +1,5 @@
 \section{Piezoelektrizität}
-Die Piezoelektrizität ist per Definition spannend.
-Sie beschreibt die Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung erzeugen, wenn machanischer Druck auf sie ausgeübt wird.
+Die Piezoelektrizität ist die spannende Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung erzeugen, wenn mechanischer Druck auf sie ausgeübt wird.
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -10,13 +9,13 @@ Sie beschreibt die Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung
 \end{figure}
 
 \subsection{Polarisierung}
-Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberflächen des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}.
-Dieses Ungleichgewicht resultiert, 
-weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positiv Ione näher an die Oberfläche gelangen,
-wärend auf der gegenüberliegenden Oberfläche sich mehr negative Ionen Sammeln.
-Das sich die atomare Struktur eines Kristalles unter Druck genau so verformt ist nicht bei jedem Kristall gegeben.
+
+Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberflächen des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht (siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}).
+Dieses Ungleichgewicht resultiert, weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positive Ionen näher an die Oberfläche gelangen, wärend auf der gegenüberliegenden Seite dasselbe mit negativen Ionen passiert.
+Es besitzt jedoch nicht jeder Kristall eine atomare Struktur, welche sich unter Druck genau so verformt.
 Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für die Entstehung dieses Effektes.
 
+
 \begin{figure}
     \centering
     \begin{tabular}{c |c}
@@ -35,49 +34,44 @@ Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für
 \end{figure}
 
 \subsection{Atomarer Aufbau}
-Die Polarisation resultiert über eine gesamte Oberfläche eines Kristalles, entscheidend ist aber der atomare Aufbau.
+
+Die Polarisation entsteht an der Oberfläche eines Kristalles, die Erklärung dazu finden wir jedoch im atomaren Aufbau.
 Wir wollen dazu die verschiedenen Kristallstrukturen auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} diskutieren.
-In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise Positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren. 
-%liste oder anderes format?..
-Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. 
-Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
-Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil mitlleren Ladungsträger weiter auseinander gerdrückt werden.
-Als hilfe zur Vorstellung kann man \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, 
-dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird, während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
-\subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} ist nicht piezoelektrisch.
-Dies wird ersichtlich, wenn man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} unterdruck setzt und sich die Struktur zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} verformt.
-Setzt man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten, 
-scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden und links umgekehrt.
-Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn die Struktur sich nach oben und unten periodisch wiederholt.
-Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zeigt \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} in unter horizontaler Belastung. 
-Was zwischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} und \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zu beobachten ist, 
-ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht, 
-im Gegensatz zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh}.
-Daraus kann man schlissen, dass \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, 
-weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. 
-Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} bestätigt werden. 
+In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren.
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe.
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet.
+Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil die Ladungsträger ganz links und rechts weiter auseinander gedrückt werden.
+Als Hilfe zur Vorstellung kann man \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird, während sich die positiven Ionen weiter entfernen.
+ 
+
+Die Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} ist nicht piezoelektrisch.
+Dies wird ersichtlich, wenn man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} unter Druck setzt und sich die Struktur zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} verformt.
+Setzt man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten, scheint es, als würden rechts mehr positive Ionen in die Platte gedrückt werden und links umgekehrt.
+Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn sich die Struktur nach oben und unten periodisch wiederholt.
+
+
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zeigt \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} in unter horizontaler Belastung.
+Was zwischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} und \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zu beobachten ist, dass die entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht, im Gegensatz zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh}.
+Daraus kann man schliessen, dass \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} keine Rotationssymmetrie von \(90^\circ\) besitzen kann, weil die Eigenschaften der Struktur sich bei einer \(90^\circ\) Drehung ändern.
+Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie bestätigt sich auch wenn \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} als Hexagon betrachtet wird.
+ 
 
 \subsection{Punktsymmetrie}
-Piezoelektrische Kristalle können nicht Punktsymmetrisch sein.
+
+Piezoelektrische Kristalle können nicht punktsymmetrisch sein.
 Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden.
-Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht Punktsymmetrischer Kristall 
-mit einem Punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid}verglichen worden.
-Als vereinfachte Erklärung kann mann sich wieder das Bild vor augen führen, eines Kristalles, 
-welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt.
-Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den Positiven auf der anderen seite landen,
-was der Definition einer Symmetrie deutlich widerspricht.
+Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht punktsymmetrischer Kristall mit einem punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} verglichen worden.
+Als vereinfachte Erklärung kann man sich wieder das Bild eines Kristalles wie \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} vor Augen führen, welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt.
+Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der Mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den positiven auf der anderen Seite landen, was der Definition einer Symmetrie deutlich widerspricht.
+
 
 \subsection{Vom Kristall zum Feuer}
-Piezoelektrizität hat durchaus nutzen im Alltag.
-Feuerzeuge welche nicht auf dem Prinzip beruhen einen Zündstein abzuschleifen, 
-sonder ohne Verschleiss auf Knopfdruck einen Zündfunken erzeugen, basieren auf dem Prinzip der Piezoelektrizität.
-Drückt der Nutzende auf den Zündknopf spannt sich eine Feder bis zu einer Konfigurierten Spannung.
-Wird vom Nutzenden weiter gedrückt entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer,
-welcher auf das Piezoelement aufschlägt.
-Der augenblicklich hohe Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so Kurze aber hohe elekrische Spannung.
+
+Piezoelektrizität hat durchaus Nutzen im Alltag.
+Feuerzeuge welche nicht auf dem Prinzip beruhen einen Zündstein abzuschleifen, sondern ohne Verschleiss auf Knopfdruck einen Zündfunken erzeugen, basieren auf dem Prinzip der Piezoelektrizität.
+Drückt der Nutzende auf den Zündknopf, spannt sich eine Feder bis zu einer konfigurierten Spannung.
+Drückt der Nutzende stärker zu, entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer, welcher auf das Piezoelement aufschlägt.
+Der augenblicklich hohe Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so kurze aber hohe elektrische Spannung.
 Die Spannung reicht aus, um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden.
-Sollten Sie also eines Tages in die Situation geraten, in welcher Sie zwei verschiedene Kristalle vor sich haben
-und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen müssen,
-wobei Sie aber wissen, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist,
-versuche sie es mit dem anderen.
+Sollte der Leser eines Tages in die Situation geraten, in welcher er zwei verschiedene Kristalle vor sich hat und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen musst, wobei bekannt ist, dass der eine eine Punktsymmetrie aufweist, empfiehlt es sich, sich mit dem anderen zu versuchen.