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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/Makefile b/buch/papers/punktgruppen/Makefile
index f92dc95..03ad15a 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/Makefile
+++ b/buch/papers/punktgruppen/Makefile
@@ -11,11 +11,16 @@ SOURCES := \
 	symmetry.tex
 
 TIKZFIGURES := \
+	tikz/atoms-grid-still.tex \
+	tikz/atoms-grid-force.tex \
+	tikz/atoms-piezo-still.tex \
+	tikz/atoms-piezo-force-vertical.tex \
+	tikz/atoms-piezo-force-horizontal.tex \
 	tikz/combine-symmetries.tex \
 	tikz/lattice.tex \
-	tikz/piezo-atoms.tex \
 	tikz/piezo.tex \
 	tikz/projections.tex \
+	tikz/stereographic-projections.tex \
 	tikz/symmetric-shapes.tex
 
 FIGURES := $(patsubst tikz/%.tex, figures/%.pdf, $(TIKZFIGURES))
@@ -28,7 +33,7 @@ figures/%.pdf: tikz/%.tex
 	pdflatex --output-directory=figures $<
 
 .PHONY: standalone
-standalone: standalone.tex $(SOURCES)
+standalone: standalone.tex $(SOURCES) $(FIGURES)
 	mkdir -p standalone
 	cd ../..; \
 		pdflatex \
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
index 8cde9d7..fbb073e 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
@@ -11,8 +11,15 @@ dependencies-punktgruppen =	\
 	papers/punktgruppen/crystals.tex \
 	papers/punktgruppen/piezo.tex \
 	papers/punktgruppen/references.bib \
-    papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-force.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-still.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-horizontal.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-vertical.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-still.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex \
 	papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex \
 	papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex \
 	papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex \
-	papers/punktgruppen/tikz/projections.tex
+	papers/punktgruppen/tikz/projections.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/stereographic-projections.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/symmetric-shapes.tex
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 1aec16f..21e29c9 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Kristalle}
 %einleitung sollte noch an das ende von der Symmetrie angepasst werden
-Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können. 
+Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können.
 Wir werden uns aber nicht auf sein Äusseres fokussieren, sondern was ihn im Inneren ausmacht.
 Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
 \begin{definition}[Kristall]
@@ -12,117 +12,151 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/lattice}
     \caption{
         Zweidimensionales Kristallgitter.
-        \texttt{TODO: make wider and shorter}
         \label{fig:punktgruppen:lattice}
     }
 \end{figure}
 \subsection{Kristallgitter}
 Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}.
-Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in Zwei Dimensionen.
-Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
-Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt 
-und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, 
-endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
-Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also 
+Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes dargestellt und betrachten dies nur in zwei Dimensionen.
+Die eingezeichneten Vektoren \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
+Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
+Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor \(\vec{c}\) also
 \[
-    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   
+	\vec{r} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 = \sum_i n_i \vec{a}_i
 \]
-erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
-Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben ,
-ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
+erreicht werden sofern \(n_1,n_2,n_3 \in \mathbb{Z}\) sind.
+Sind die Vektoren  \(\vec{a}_1\), \(\vec{a}_2\), \(\vec{a}_3\) gegeben, ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
 
-\subsection{Translationssymmetrie}
+\subsection{Translationssymmetrie} 
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
-Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, 
-da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind. 
-Mit anderen worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
+Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. 
+Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
 \[
-    Q_i(G) = G + \vec{a_i}
-\] wobei der Vektor $a_i$ ein Grundvektor sein muss.
+    \vec{Q}_i(G) = G + \vec{a}_i
+\] wobei der Vektor $\vec{a}_i$ ein Grundvektor sein muss.
 Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, 
 können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination 
-der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
+der Vektoren $\vec{a}_1$ , $\vec{a}_2$ und $\vec{a}_3$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
 Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, 
 solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
-\subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
+\subsection{Limitierte Kristallsymmetrien} \label{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie}
  Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
- Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, 
- können nur Rotationssymmetrische Kristalle bestimmter Rotationswinkel erzeugt werden.
-
+ Was nicht direkt ersichtlich ist, dass bei beliebigen Grundvektoren nicht beliebige Symmetrien erstellt werden können.
+ Die geforderte Translationssymmetrie eines Kristalles schränkt weitere Symmetrien deutlich ein.
+  
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries}
     \caption{
         Translations und Rotationssymmetrisches Kristallgitter
-        \texttt{TODO: make wider and change color (yellow)}
     }
     \label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
 \end{figure}
 
- \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
- In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
+\begin{satz}
+   Die Rotationssymmetrien eines Kristalls sind auf 2-fach, 3-fach, 4-fach und 6-fach beschränkt.
+   Mit anderen Worten: Es sind nur Drehwinkel von
+    0\(^{\circ}\),
+    60\(^{\circ}\),
+    90\(^{\circ}\),
+    120\(^{\circ}\) und
+    180\(^{\circ}\)
+   erlaubt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+ In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
 
  \begin{itemize}
-     \item  $A$ ist unser erster Gitterpunkt. 
-
-     \item  $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
-            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss.
-     \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
-            Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. 
-            Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird.
-            An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
-      \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. 
-            Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
-            Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert
-            \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren. 
-            Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
-            auch auf $A'$ an. 
-            Dies dreht $A$ auf einen neuen Punkt.
-     \item $B'$ ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
-            Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet.
+     \item  \(A\) ist unser erster Gitterpunkt. 
+
+     \item  \(A'\) ist gegeben, weil wir \(A\) mit der Translation \(\vec{Q}\) um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
+            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der verschobenen Stelle sein muss.
+     \item \(B\) entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie \(C_n\) auf den Punkt \(A\) anwenden.
+         Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel \(360^\circ/n\). 
+         Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt \(A'\) abgedreht wird.
+         An der neuen Position \(B\) von \(A'\) muss also auch ein Punkt des Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
+     \item \(B\) ist unser Name für diesen neuen Punkt.
+         Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_n\) auch auf \(A'\) anwenden.
+         Also wenden wir \(C_n\) invertiert\footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.
+         Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
+         auch auf \(A'\) an. 
+         Dies dreht \(A\) auf einen neuen Punkt.
+     \item \(B'\) ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
+         Die  Translationssymmetrie zwischen \(B\) und \(B'\) ist hier als \(\vec{Q}'\) bezeichnet.
  \end{itemize}  
  Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
- Wir beginnen, indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen.
- Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass $|Q| = |Q'|+ 2x$.
- Ist $Q$ ein Grundvektor so muss $|Q'|$ ein ganzes vielfaches von $|Q|$ sein. Also 
+ Wir beginnen, indem wir die Länge der Verschiebung \(|\vec{Q}| = Q\) setzen und \(|\vec{Q}'| = Q'\).
+ Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q' = Q + 2x\).
+ Da \(\vec{Q}\) eine Translation um ein Grundvektor ist , muss \(\vec{Q}'\) ein ganzes vielfaches von \(\vec{Q}\) sein.
+ Demnach auch die Längen
  \[
-    |Q'| = n|Q| = |Q| + 2x
+    Q' = nQ = Q + 2x
  \]
- Die Strecke $x$ lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel $\alpha$ ausdrücken:
+ Die Strecke \(x\) lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel \(\alpha\) ausdrücken:
  \[
-    n|Q| = |Q| + 2|Q|\sin(\alpha - \pi/2)
+    nQ = Q + 2Q\sin(\alpha - \pi/2)
  \]
- Wir können mit $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, 
- was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangieren soll. 
+ Wir können durch \(Q\) dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, was auch Sinn macht, 
+ da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangiert.
  Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
  \[
-     n = 1 - 2\cos\alpha
+     n = 1 - 2\cos\alpha \quad\iff\quad
      \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1-n}{2}\right)
  \]
  Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
- \[
+ \(
      \alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}
- \]
+ \)
 ein.
+\end{proof}
 
 \begin{figure}
     \centering
-    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
-    \caption{Kristallklassen mit zugehöriger Schönfliesnotation}
-    \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
+    \includegraphics[height=6cm]{papers/punktgruppen/figures/stereographic-projections}
+    \caption{
+      Stereografische Projektion einer \(C_{i}\) Symmetrie. Es wird eine Linie vom magentafarbenen Punkt auf der oberen Hälfte der Kugel zum Südpol gezogen.
+      Wo die Linie die Ebene schneidet (\(z = 0\)), ist die Projektion des Punktes.
+      Die Koordinaten der Projektionen sind einfach zu berechnen: ein Punkt auf eine Kugel mit Radius \(r\) mit den Koordinaten \(x, y, z,\) wird auf \(xr/(r + z), yr/(r + z)\) projiziert.
+      Für den orangefarbenen Punkt unterhalb des Äquators wird die Linie zum Nordpol gezogen und die Projektionsformel hat stattdessen einen Nenner von \(r - z\).
+    }
+    \label{fig:punktgruppen:stereographic-projections}
 \end{figure}
 
 \subsection{Kristallklassen}
+
 Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
-Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
-\footnote{Alle $17$ möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt} 
-nur auf genau $32$ Arten punktsymmetrisch sein können.
-Diese $32$ möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
-Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
-welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
-Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
-Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden.  
+ Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische Symmetriegruppen bilden können.
+ Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+ Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen.
+ Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographischen Projektion ermöglicht (siehe Abbildung \ref{fig:punktgruppen:stereographic-projections}), wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden.
+
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
+    \caption{Kristallklassen mit zugehörigem Schönflies-Symbol}
+    \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Schönflies-Symbilok}
+
+Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem zugehörigen Schöönflies-Symbol bezeichnet.
+ Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
+ Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
+ Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Untergruppen von Schönflies verwendet.
+ Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
+ Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
+ Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
+ Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen, weil das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
+ Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
+ Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
+ Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum\footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.} \(i\) oder eine horizontale\footnote{Als Orientierungspunkt wird die Symmetrieachse höchster Ordnung (\(n\)) als vertikal definiert} Spiegelachse \(h\).
+ Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
+ \(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
+
 
 
 
+%% vim:spell spelllang=de showbreak=.. breakindent linebreak:
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-force.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-force.pdf
new file mode 100644
index 0000000..b3e6215
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-force.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-still.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-still.pdf
new file mode 100644
index 0000000..752014d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-still.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-horizontal.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-horizontal.pdf
new file mode 100644
index 0000000..313dc69
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-horizontal.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-vertical.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-vertical.pdf
new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-vertical.pdf
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new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-still.pdf
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index 13f7330..6cd4e64 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries.pdf
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries.pdf
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index 6565be5..712d6f4 100644
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+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/lattice.pdf
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deleted file mode 100644
index 63da7a9..0000000
--- a/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms.pdf
+++ /dev/null
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf
index ca6192b..904250a 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf
index c9369b2..bc04313 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/stereographic-projections.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/stereographic-projections.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7598265
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/stereographic-projections.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf
index 0b3ba54..3a8d9dd 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
index 24212e7..b6a72b5 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
@@ -1,14 +1,26 @@
 \section{Einleitung}
 Es gibt viele Möglichkeiten sich in Kristallen zu verlieren.
-Auch wen man nur die mathematischen Betrachtunngsweisen berüksichtigt, hat man noch viel zu viele Optionen sich mit Kristallen zu beschäftigen.
-In diesem Kapitel ist daher der Fokus ``nur'' auf die Symmetrie gelegt.
-Zu beginn werden wir zeigen was eine Symmetrie ausmacht und dass sie noch weit mehr in sich verbirgt als nur schön auszusehen.
-Die vorgestellten Symmetrien sind äusserst gut geeignet um die Grundeigenschaften eines Kristalles zu Beschreiben.
-Mit etwas kiffligen geometrischen Überlegungen kann man zeigen wass in der Welt der Kristallographie alles möglich ist oder nicht.
-Die Einschränkungen sind durchaus wilkommen, dank ihnen halten sich die möglichen Kristallgitter in Grenzen und Lassen sich Kategorisieren.
-Kategorien sind nicht nur für einen besseren Überblich nützlich, sondern kann man aus ihnen auch auf Physikalische Eigenschaften schliessen, als spannendes Beispiel: Die Piezoelektrizität.
-Die Piezoelektrizität ist vielleicht noch nicht jedem bekannt, sie versteckt sich aber in diversen Altagsgegenständen zum Beispiel sorgen sie in den meisten Feuerzeugen für die Zündung.
-Ein Funken Interesse ist hoffentlich geweckt um sich mit dem scheinbar trivialen thema der Symmetrie auseinander zu setzten.
+Auch wen man nur die mathematischen Betrachtungsweisen berücksichtigt, 
+hat man noch viel zu viele Optionen sich mit Kristallen zu beschäftigen.
+In diesem Kapitel wird daher der Fokus ``nur'' auf die Symmetrie gelegt.
+Zu Beginn werden wir zeigen was eine Symmetrie ausmacht und 
+dass sie noch weit mehr in sich verbirgt als nur schön auszusehen.
+Die vorgestellten Symmetrien sind äusserst gut geeignet, 
+um die Grundeigenschaften eines Kristalles zu beschreiben.
+Mit etwas kniffligen geometrischen Überlegungen kann man zeigen, 
+was in der Welt der Kristallographie alles möglich ist oder nicht.
+Einschränkungen in Kristallsymmetrien sind durchaus willkommen, 
+da dank ihnen sich die möglichen Kristallgitter in Grenzen halten
+und sich kategorisieren lassen. 
+Kategorien sind nicht nur für einen besseren Überblick nützlich, 
+sondern kann man aus ihnen auch auf Physikalische Eigenschaften schliessen. 
+Als spannendes Beispiel: Die Piezoelektrizität.
+Die Piezoelektrizität ist vielleicht noch nicht jedem bekannt, 
+sie versteckt sich aber in diversen Altagsgegenständen 
+zum Beispiel sorgen sie in den meisten Feuerzeugen für die Zündung.
+Hiermit ist hoffentlich ein Funken Interesse geweckt 
+um sich mit dem scheinbar trivialen Thema der Symmetrie auseinander zu setzten.
 
 
 
+%% vim:linebreak breakindent showbreak=.. spell spelllang=de:
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/main.tex b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
index a6e246c..ea19421 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/main.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
@@ -18,6 +18,7 @@
 \nocite{punktgruppen:pinter-algebra}
 \nocite{punktgruppen:sands-crystal}
 \nocite{punktgruppen:lang-elt2}
+\nocite{punktgruppen:ouchem}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
index e6b595a..6defcdc 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -19,10 +19,17 @@ Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für
 
 \begin{figure}
     \centering
-    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms} 
+    \begin{tabular}{c |c}
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-piezo}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-still}} &
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-grid}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-still}} \\
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-vertical}}
+      \hspace{2mm}
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-horizontal}}
+      \hspace{3mm} & \hspace{3mm}
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-grid-f}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-force}} \\
+    \end{tabular}
     \caption{
         Kristallstrukturen mit und ohne piezoelektrischer Eigenschaft.
-        \texttt{TODO: adapt figure for paper with subfigure markers.}
     }
     \label{fig:punktgruppen:atomPiezo}
 \end{figure}
@@ -32,26 +39,29 @@ Die Polarisation resultiert über eine gesamte Oberfläche eines Kristalles, ent
 Wir wollen dazu die verschiedenen Kristallstrukturen auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} diskutieren.
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise Positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren. 
 %liste oder anderes format?..
-Struktur$(a)$ zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur $(b)$ ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. 
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
 Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil mitlleren Ladungsträger weiter auseinander gerdrückt werden.
-Als hilfe zur Vorstellung kann man $(b)$ zwischen zwei leitende Platten setzen, 
-so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird,
-während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
-$(d)$ ist nicht piezoelektrisch.
-Dies wird ersichtlich, wenn man $(d)$ unterdruck setzt und sich die Struktur zu $(e)$ verformt.
-Setzt man  $(e)$ gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden 
-und links umgekehrt.
-Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn der Kristall nach oben und periodisch wiederholt.
-Struktur $(c)$ zeigt $(a)$ in unter horizontaler Belastung. 
-Was in zwischen $(b)$ und $(c)$ zu beobachten ist, ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht,
-im Gegensatz zu $(b)$.
-Daraus kann man schlissen, dass $(a)$ keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. 
-Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von $(a)$ bestätigt werden. 
+Als hilfe zur Vorstellung kann man \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, 
+dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird, während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
+\subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} ist nicht piezoelektrisch.
+Dies wird ersichtlich, wenn man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} unterdruck setzt und sich die Struktur zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} verformt.
+Setzt man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten, 
+scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden und links umgekehrt.
+Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn die Struktur sich nach oben und unten periodisch wiederholt.
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zeigt \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} in unter horizontaler Belastung. 
+Was zwischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} und \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zu beobachten ist, 
+ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht, 
+im Gegensatz zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh}.
+Daraus kann man schlissen, dass \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, 
+weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. 
+Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} bestätigt werden. 
 
-\subsection{Punktsymmetrie}\footnote{In der Literatur wird ein Punktsymmetrisches Kristallgitter oft als Kristallgitter mit Inversionszentrum bezeichnet.}
+\subsection{Punktsymmetrie}
 Piezoelektrische Kristalle können nicht Punktsymmetrisch sein.
 Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden.
-Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst $(a)$ ein nicht Punktsymmetrischer Kristall mit einem Punktsymmetrischen $(d)$ verglichen worden.
+Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht Punktsymmetrischer Kristall 
+mit einem Punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid}verglichen worden.
 Als vereinfachte Erklärung kann mann sich wieder das Bild vor augen führen, eines Kristalles, 
 welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt.
 Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den Positiven auf der anderen seite landen,
@@ -70,5 +80,4 @@ Sollten Sie also eines Tages in die Situation geraten, in welcher Sie zwei versc
 und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen müssen,
 wobei Sie aber wissen, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist,
 versuche sie es mit dem anderen.
-Ich muss aber anmerken, dass aus den $21$ möglichen Kristallsymmetrien ohne Punktsymmetrie einer nicht piezoelektrisch ist.
-ein wenig glück brauchen Sie also immer noch.
+
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/references.bib b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
index 9edb8bd..a29640c 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/references.bib
+++ b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
@@ -33,3 +33,12 @@
 	inseries = {Vorlesungsskript zum Modul ELT},
 }
 
+@online{punktgruppen:ouchem,
+  title = {Symmetry in Crystallography},
+  author = {Dept. of Chemistry \& Biochemistry, Chemical Crystallography Laboratory, University of Oklahoma},
+  year = {2019},
+  month = {11},
+  day = {17},
+  url = {http://archive.today/2021.07.22-083802/http://xrayweb.chem.ou.edu/notes/symmetry.html},
+  urldate = {2021-07-22},
+}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 1dc6f98..0bb4aec 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -1,175 +1,134 @@
 \section{Symmetrie}
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
-ursprünglichen griechischen Wort
-\(\mathrm{\Sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
-\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
-verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
-locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
-präzise Bedeutung.
+ursprünglichen griechischen Wort \(\mathrm{\Sigma\upsilon\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,verhältnismässig} fast nicht verändert.
+In der Alltagssprache mag es ein locker definierter Begriff sein, in der Mathematik hat Symmetrie jedoch eine sehr präzise Bedeutung.
 \begin{definition}[Symmetrie]
-	Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer
-	bestimmten Operation invariant ist.
+  Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer bestimmten Operation invariant ist.
 \end{definition}
-Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
-einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
-ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.  
+Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit einigen geometrischen Beispielen beginnen.
+Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.
 
 \begin{figure}
-	\centering
-	\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes}
-	\caption{
-		Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
-		\label{fig:punktgruppen:geometry-example}
-	}
+  \centering
+  \includegraphics{papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes}
+  \caption{
+    Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
+    \label{fig:punktgruppen:geometry-example}
+  }
 \end{figure}
 
 \subsection{Geometrische Symmetrien}
 
-In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen,
-die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an
-deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.  Regelmässige
-Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete
-Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
-einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert
-lässt.  Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
-Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
-\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.  Dies ist
-hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die
-nun eingeführt wird.
-
-% Vieleicht eine kurze Einführung in für die Definition, ich habe das gefühl, dass in der Definition die Symmetrie-Operation und die Gruppe auf einmal erklährt wird 
-\subsubsection{Symetriegruppe}
-\texttt{TODO: review this paragraph, explain what is \(\mathds{1}\).}
+In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind.
+Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
+Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt.
+Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
 Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
-Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example}
-nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$ gedreht werden.
-Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
+Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
+Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
-	Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\)
-	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
-	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
-\end{definition} % ich lese diese  Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen
+  \(g\) und \(h\) sein umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
+  Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander.
+  Alle möglichen Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+\end{definition}
+
+Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
+Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
+\(\mathds{1}\) ist auch äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen (ihre Inverse anzuwenden).
+ Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, es wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
+Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
+Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B.
+durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition.
 
-% Nach meinem Geschmack könne es hier auch eine einleitung wie mein Beispiel geben dammit man den Text flüssiger lesen kann 
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
-	Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
-	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
-	Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die erzeugte
-	Untergruppe \(\langle g \rangle\) wird mit spitzen Klammern um den Erzeuger
-	bezeichnet.
+  \(g\) sei ein Element einer Symmetriegruppe \(G\).
+  Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird.
+  Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z} \right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
 \end{definition}
+\begin{beispiel}
+  Um die Syntax zu verstehen, betrachten wir eine durch \(a\) erzeugte Gruppe \(G = \langle a \rangle\).
+  Das bedeutet, dass \(G\) die Elemente \(a, aa, aaa, \ldots\) sowie \(a^{-1}, a^{-1}a^{-1}, \ldots\) und ein neutrales Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält.
+\end{beispiel}
+\begin{beispiel}
+  Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine Zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren.
+  Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) um einen Punkt.
+  Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
+  \[
+    C_n = \langle r \rangle
+      = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+  \]
+  der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen.
+  Das liegt daran, dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die Rotationssymmetrie bewahrt.
+  In ähnlicher Weise, aber weniger interessant  enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
+\end{beispiel}
 
-Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren.
-Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\)
-um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
-\[
-	C_n = \langle r \rangle
-		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
-\]
-der Drehungen eines \(n\)-Gons zu definieren. Das liegt daran,
-dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen, der
-die Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als
-wiederholte Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots
-r\circ r\).  Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem
-Erzeugendensystemen komplexere Strukturen aufbauen.
+Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystemen
+komplexere Strukturen aufbauen.
 
 \begin{definition}[Erzeugendensysteme]
-	% please fix this unreadable mess
-	Jede Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
-	Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
-	Symmetriegruppe sein.  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die
-	sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die
-	Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls
-	in den Klammern angegeben. Die erzeugende Elementen zusammen mit der
-	Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
+  Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
+  Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
+  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
+  Die Gleichungen sind ebenfalls in den Klammern angegeben.
+  Die erzeugende Elementen zusammen mit der Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
 \end{definition}
+\begin{beispiel}
+  Wir werden nun alle Symmetrien eines \(n\)-Gons beschreiben, was bedeutet, dass wir die Operationen \(r\) und \(\sigma\) kombinieren.
+  Die Definitionsgleichungen sind \(r^n = \mathds{1}\), \(\sigma^2 = \mathds{1}\) und \((\sigma r)^2 = \mathds{1}\).
+  Die ersten beiden sind ziemlich offensichtlich.
+  Die letzte wird oft auch als Inversion bezeichnet, weil die Anwendung von \(\sigma r\) dasselbe ist wie das Ziehen einer Linie von einem Punkt, die durch den Ursprung geht, und das Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts.
+  Wenn man dies zweimal macht, geht man zurück zum Anfangspunkt.
+  Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe 
+  \begin{align*}
+    D_n &= \langle r, \sigma : r^n = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle \\
+      &= \left\{
+          \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
+      \right\}.
+  \end{align*}
+\end{beispiel}
 
-\texttt{TODO: should put examples for generators?} \\
-
-Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
-\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
-der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
-\[
-	D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
-		= \left\{
-				\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
-		\right\}.
-\]
-
-Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer
-mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im
-Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der
-Spiegelachse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es
-Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
-Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
-Punktsymmetrie.
+Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird.
+Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der Spiegelachse.
+Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
+ Diesen Spezialfall, bei dem immer mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man Punktsymmetrie.
 \begin{definition}[Punktgruppe]
-	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
-	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
-	Punktgruppe ist.
+  Wenn es einen Punkt gibt, der von jeder Gruppenoperation unverändert gelassen wird, ist die Symmetriegruppe eine Punktgruppe.
 \end{definition}
 
 \subsection{Algebraische Symmetrien}
-Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
-möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die naheliegende Frage ist dann, könnte
-es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?  Natürlich, ja.
+Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich möglich ist, Gleichungen zu schreiben.
+Die anschliesende Frage ist dann, ob wir bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die sich auf die gleiche Weise verhalten.
+Die Antwort lautet natürlich ja.
 Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
-	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
-	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
-	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
-	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
-	\(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man sagt, dass der Homomorphismus
-	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
+  \(G\) und \(H\) seien  Gruppen mit unterschiedlichen Operationen \(\diamond\) bzw.
+  \(\star\).
+  Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).
+  Man sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
-	Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
-	komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
-	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
+  Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem komplexen Einheitskreis.
+  Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\) ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
 \end{beispiel}
 
 \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe]
-	Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe
-	auf eine Menge von Matrizen abbildet.
-	\[
-		\Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
-	\]
-	Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen
-	Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
+  Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe auf eine Menge von Matrizen abbildet.
+  \[
+    \Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
+  \]
+  Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
-	Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar. Die mit der Matrix 
-	\[
-		\Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
-			\cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
-			\sin(2\pi k/n) &  \cos(2\pi k/n)
-		\end{pmatrix}
-	\]
-	definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
-	\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
-	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
-	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+  Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar.
+  Die mit der Matrix 
+  \[
+    \Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
+      \cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
+      \sin(2\pi k/n) &  \cos(2\pi k/n)
+    \end{pmatrix}
+  \]
+  definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von \(C_n\).
+  In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und die zweite die Matrixmultiplikation.
+  Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
 \end{beispiel}
-
-\texttt{TODO: rewrite section on translational symmetry.}
-%% TODO: title / fix continuity
-% Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
-% eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
-% nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
-% Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
-% hat, wenn es die Gleichung 
-% \[
-% 	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
-% \]
-% für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
-% Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
-% zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
-% dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
-
-% \subsection{Sch\"onflies notation} 
-
-% vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de:
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-force.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-force.tex
new file mode 100644
index 0000000..05742cf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-force.tex
@@ -0,0 +1,42 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
+      node distance = 2mm,
+      charge/.style = {
+        circle, draw = black, thick,
+        minimum size = 5mm
+      },
+      positive/.style = { fill = red!50 },
+      negative/.style = { fill = blue!50 },
+    ]
+
+    \matrix[nodes = { charge }, row sep = 5mm, column sep = 1cm] {
+      \node[positive] (NW) {}; & \node[negative] (N) {}; & \node [positive] (NE) {}; \\
+      \node[negative] (W) {}; & \node[positive] {}; & \node [negative] (E) {}; \\
+      \node[positive] (SW) {}; & \node[negative] (S) {}; & \node [positive] (SE) {}; \\
+    };
+
+    \foreach \d in {NW, N, NE} {
+      \draw[orange, very thick, <-] (\d) to ++(0,.7);
+    }
+
+    \foreach \d in {SW, S, SE} {
+      \draw[orange, very thick, <-] (\d) to ++(0,-.7);
+    }
+
+    \draw[gray, dashed] (W) to (N) to (E) to (S) to (W);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-still.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-still.tex
new file mode 100644
index 0000000..4e43856
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-still.tex
@@ -0,0 +1,33 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
+      node distance = 2mm,
+      charge/.style = {
+        circle, draw = black, thick,
+        minimum size = 5mm
+      },
+      positive/.style = { fill = red!50 },
+      negative/.style = { fill = blue!50 },
+    ]
+
+    \matrix[nodes = { charge }, row sep = 8mm, column sep = 8mm] {
+      \node[positive] {}; & \node[negative] (N) {}; & \node [positive] {}; \\
+      \node[negative] (W) {}; & \node[positive] {}; & \node [negative] (E) {}; \\
+      \node[positive] {}; & \node[negative] (S) {}; & \node [positive] {}; \\
+    };
+    \draw[gray, dashed] (W) to (N) to (E) to (S) to (W);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-horizontal.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-horizontal.tex
new file mode 100644
index 0000000..e4c3f93
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-horizontal.tex
@@ -0,0 +1,47 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
+      node distance = 2mm,
+      charge/.style = {
+        circle, draw = black, thick,
+        minimum size = 5mm
+      },
+      positive/.style = { fill = red!50 },
+      negative/.style = { fill = blue!50 },
+    ]
+
+    \node[charge, positive, yshift= 2.5mm] (C1) at ( 60:1.5cm) {};
+    \node[charge, negative, yshift= 2.5mm] (C2) at (120:1.5cm) {};
+    \node[charge, positive, xshift= 2.5mm] (C3) at (180:1.5cm) {};
+    \node[charge, negative, yshift=-2.5mm] (C4) at (240:1.5cm) {};
+    \node[charge, positive, yshift=-2.5mm] (C5) at (300:1.5cm) {};
+    \node[charge, negative, xshift=-2.5mm] (C6) at (360:1.5cm) {};
+
+    \draw[black] (C1) to (C2) to (C3) to (C4) to (C5) to (C6) to (C1);
+    % \draw[gray, dashed] (C2) to (C4) to (C6) to (C2);
+
+    \draw[orange, very thick, <-] (C6) to ++(.7,0);
+    \draw[orange, very thick, <-] (C3) to ++(-.7,0);
+
+    \node[black] (E) {\(\vec{E}_p\)};
+    \begin{scope}[node distance = .5mm]
+      \node[blue!50, right = of E] {\(-\)};
+      \node[red!50, left = of E] {\(+\)};
+    \end{scope}
+    % \draw[gray, thick, dotted] (E) to ++(0,2);
+    % \draw[gray, thick, dotted] (E) to ++(0,-2);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-vertical.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-vertical.tex
new file mode 100644
index 0000000..892ab42
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-vertical.tex
@@ -0,0 +1,52 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
+      node distance = 2mm,
+      charge/.style = {
+        circle, draw = black, thick,
+        minimum size = 5mm
+      },
+      positive/.style = { fill = red!50 },
+      negative/.style = { fill = blue!50 },
+    ]
+
+    \node[charge, positive, yshift=-2.5mm] (C1) at ( 60:1.5cm) {};
+    \node[charge, negative, yshift=-2.5mm] (C2) at (120:1.5cm) {};
+    \node[charge, positive, xshift=-2.5mm] (C3) at (180:1.5cm) {};
+    \node[charge, negative, yshift= 2.5mm] (C4) at (240:1.5cm) {};
+    \node[charge, positive, yshift= 2.5mm] (C5) at (300:1.5cm) {};
+    \node[charge, negative, xshift= 2.5mm] (C6) at (360:1.5cm) {};
+
+    \draw[black] (C1) to (C2) to (C3) to (C4) to (C5) to (C6) to (C1);
+    % \draw[gray, dashed] (C2) to (C4) to (C6) to (C2);
+
+    \foreach \d in {C1, C2} {
+      \draw[orange, very thick, <-] (\d) to ++(0,.7);
+    }
+
+    \foreach \d in {C4, C5} {
+      \draw[orange, very thick, <-] (\d) to ++(0,-.7);
+    }
+
+    \node[black] (E) {\(\vec{E}_p\)};
+    \begin{scope}[node distance = .5mm]
+      \node[red!50, right = of E] {\(+\)};
+      \node[blue!50, left = of E] {\(-\)};
+    \end{scope}
+    % \draw[gray, thick, dotted] (E) to ++(0,2);
+    % \draw[gray, thick, dotted] (E) to ++(0,-2);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-still.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-still.tex
new file mode 100644
index 0000000..2eb78ba
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-still.tex
@@ -0,0 +1,34 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
+      node distance = 2mm,
+      charge/.style = {
+        circle, draw = black, thick,
+        minimum size = 5mm
+      },
+      positive/.style = { fill = red!50 },
+      negative/.style = { fill = blue!50 },
+    ]
+
+    \foreach \x/\t [count=\i] in {60/positive, 120/negative, 180/positive, 240/negative, 300/positive, 360/negative} {
+      \node[charge, \t] (C\i) at (\x:1.5cm) {};
+    }
+
+    \draw[black] (C1) to (C2) to (C3) to (C4) to (C5) to (C6) to (C1);
+    \node[circle, draw=gray, fill=gray, outer sep = 0, inner sep = 0, minimum size = 3mm] {};
+    % \draw[gray, dashed] (C2) to (C4) to (C6) to (C2);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex
index 84e0a76..fa669ae 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex
@@ -13,6 +13,7 @@
 
 \begin{document}
 \begin{tikzpicture}[
+    >=latex, 
     dot/.style = {
       draw, circle, thick, black, fill = gray!40!white,
       minimum size = 2mm,
@@ -45,7 +46,7 @@
     (A2) ++(-.5,0) arc (180:60:.5);
   \draw[red!80!black, dashed, thick, ->] (A2) to (B2);
 
-  \draw[yellow!50!orange, thick, ->]
+  \draw[cyan!40!blue, thick, ->]
     (B1) to node[above, midway] {\(\vec{Q}'\)} (B2);
 
   \draw[gray, dashed, thick] (A1) to (A1 |- B1) node (Xl) {};
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex
index 9c05af3..a6b1876 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex
@@ -13,23 +13,24 @@
 
 \begin{document}
 \begin{tikzpicture}[
-	dot/.style = {
-	  draw, circle, thick, black, fill = gray!40!white,
-	  minimum size = 2mm,
-	  inner sep = 0pt,
-	  outer sep = 1mm,
-	},
+    >=latex, 
+    dot/.style = {
+      draw, circle, thick, black, fill = gray!40!white,
+      minimum size = 2mm,
+      inner sep = 0pt,
+      outer sep = 1mm,
+    },
   ]
 
   \begin{scope}
-	\clip (-2,-2) rectangle (3,4);
+	\clip (-2,-2) rectangle (7,2);
 	\foreach \y in {-7,-6,...,7} {
 	  \foreach \x in {-7,-6,...,7} {
 		\node[dot, xshift=3mm*\y] (N\x\y) at (\x, \y) {};
 	  }
 	}
   \end{scope}
-  \draw[black, thick] (-2, -2) rectangle (3,4);
+  \draw[black, thick] (-2, -2) rectangle (7,2);
 
   \draw[red!80!black, thick, ->] 
 	(N00) to node[midway, below] {\(\vec{a}_1\)} (N10);
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex
index 82a2710..1811392 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex
@@ -13,6 +13,7 @@
 
 \begin{document}
   \begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
       node distance = 2mm,
       charge/.style = {
         circle, draw = black, thick,
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex
index 1d16ab7..6542f26 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex
@@ -12,12 +12,14 @@
 \usetikzlibrary{calc}
 
 \begin{document}
-\begin{tikzpicture}
+\begin{tikzpicture}[
+    >=latex, 
+  ]
   \begin{scope}[
         node distance = 0cm
     ]
     \node[
-        rectangle, fill = gray!60!white,
+        rectangle, fill = gray!20!white,
         minimum width = 3cm, minimum height = 2cm,
     ] (body) {\(\vec{E}_p = \vec{0}\)};
 
@@ -43,9 +45,9 @@
         xshift = 7cm
     ]
     \node[
-        rectangle, fill = gray!40!white,
+        rectangle, fill = gray!20!white,
         minimum width = 3cm, minimum height = 1.5cm,
-    ] (body) {\(\vec{E}_p = \vec{0}\)};
+    ] (body) {\(\vec{E}_p \neq \vec{0}\)};
 
     \node[
         draw, rectangle, thick, black, fill = red!50,
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/projections.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/projections.tex
index a763e77..64ab468 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/tikz/projections.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/projections.tex
@@ -13,6 +13,7 @@
 
 \begin{document}
 \begin{tikzpicture}[
+    >=latex, 
     classcirc/.style = {
       draw = gray, thick, circle,
       minimum size = 12mm,
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/stereographic-projections.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/stereographic-projections.tex
new file mode 100644
index 0000000..7d612fb
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/stereographic-projections.tex
@@ -0,0 +1,108 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{tikz-3dplot}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+
+\tdplotsetmaincoords{60}{130}
+\pgfmathsetmacro{\l}{2}
+
+\begin{tikzpicture}[
+    >=latex,
+    tdplot_main_coords,
+    dot/.style = {
+      black, fill = black, circle,
+      outer sep = 0, inner sep = 0,
+      minimum size = 1mm 
+    },
+    round/.style = {
+      draw = orange, thick, circle,
+      minimum size = 1mm,
+      inner sep = 0pt, outer sep = 0pt,
+    },
+    cross/.style = {
+      cross out, draw = magenta, thick,
+      minimum size = 1mm, 
+      inner sep = 0pt, outer sep = 0pt
+    },
+  ]
+
+  % origin
+  \coordinate (O) at (0,0,0);
+
+  % poles
+  \coordinate (NP) at (0,0,\l);
+  \coordinate (SP) at (0,0,-\l);
+
+  % axis
+  % \draw[->] (O) -- ++(1.5*\l,0,0);
+  % \draw[->] (O) -- ++(0,1.5*\l,0);
+  % \draw[->] (O) -- ++(0,0,1.5*\l);
+
+  % gray unit circle
+  \tdplotdrawarc[gray, thick]{(O)}{\l}{0}{360}{}{};
+  \draw[gray, dotted] (-\l, 0, 0) to (\l, 0, 0);
+  \draw[gray, dotted] (0, -\l, 0) to (0, \l, 0);
+
+  % meridians
+  \foreach \phi in {0, 30, 60, ..., 150}{
+    \tdplotsetrotatedcoords{\phi}{90}{0};
+    \tdplotdrawarc[lightgray, dashed, tdplot_rotated_coords]{(O)}{\l}{0}{360}{}{};
+  }
+
+  % dot above and its projection
+  \pgfmathsetmacro{\phi}{120}
+  \pgfmathsetmacro{\theta}{60}
+
+  \pgfmathsetmacro{\px}{cos(\phi)*sin(\theta)*\l}
+  \pgfmathsetmacro{\py}{sin(\phi)*sin(\theta)*\l}
+  \pgfmathsetmacro{\pz}{cos(\theta)*\l})
+
+  \coordinate (A) at (\px,\py,\pz);
+  \coordinate (Aproj) at ({\px * \l / (\l + \pz)}, {\py * \l / (\l + \pz)}, 0);
+
+  % dot below and its projection
+  \pgfmathsetmacro{\phi}{-60}
+  \pgfmathsetmacro{\theta}{120}
+
+  \pgfmathsetmacro{\px}{cos(\phi)*sin(\theta)*\l}
+  \pgfmathsetmacro{\py}{sin(\phi)*sin(\theta)*\l}
+  \pgfmathsetmacro{\pz}{cos(\theta)*\l})
+
+  \coordinate (B) at (\px,\py,\pz);
+  \coordinate (Bproj) at ({\px * \l / (\l - \pz)}, {\py * \l / (\l - \pz)}, 0);
+
+  % projection lines
+  \draw[gray] (A) to (SP);
+  \draw[gray] (SP) to (O) to (Aproj);
+
+  \draw[gray] (B) to (NP);
+  \draw[gray] (NP) to (O) to (Bproj);
+
+  % dots
+  \draw (O) node[dot] {};
+  \draw (SP) node[dot] {};
+  \draw (NP) node[dot] {};
+  \draw (A) node[dot, fill = magenta, minimum size = 1.5mm] {};
+  \draw (B) node[dot, fill = orange, minimum size = 1.5mm] {};
+
+  % projection markers
+  \draw[very thick, magenta] 
+    (Aproj) ++(.15,0) to ($(Aproj)+(-.15, 0)$)
+    (Aproj) ++(0,.15) to ($(Aproj) +(0, -.15)$);
+
+  \tdplotdrawarc[orange, very thick]{(Bproj)}{.1}{0}{360}{}{};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+% vim:ts=2 sw=2 et:
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/symmetric-shapes.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/symmetric-shapes.tex
index b2c051f..688fb61 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/tikz/symmetric-shapes.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/symmetric-shapes.tex
@@ -14,6 +14,7 @@
 
 \begin{document}
 	\begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
 			node distance = 2cm,
 			shapetheme/.style = {
 				very thick, draw = black, fill = magenta!20!white,