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author | Nao Pross <np@0hm.ch> | 2021-06-20 19:11:28 +0200 |
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committer | Nao Pross <np@0hm.ch> | 2021-06-20 19:11:28 +0200 |
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Wir betrachten deshalb den Übertragungskanal als fehlerfrei. + +Der Übertragungsvektor empfangen wir also als +\[ +v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]. +\] +% Old Text +%Im ersten Teil zur Decodierung des Übertragungsvektor betrachten wir den Übertragungskanal als fehlerfrei. +%Wir erhalten also unseren Übertragungsvektor +%\[ +%v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]. +%\] +Nach einem banalen Ansatz ist die Decodierung die Inverse der Codierung. Dank der Matrixschreibweise lässt sich dies relativ einfach umsetzen. +% Old Text +%Gesucht ist nun einen Weg, mit dem wir auf unseren Nachrichtenvektor zurückrechnen können. +%Ein banaler Ansatz ist das Invertieren der Glechung +\[ +v = A \cdot m \qquad \Rightarrow \qquad m = A^{-1} \cdot v +\] +Nur stellt sich jetzt die Frage, wie wir die Inverse von $A$ berechnen. +Dazu können wir wiederum den Ansatz der Fouriertransformation uns zur Hilfe nehmen, +jedoch betrachten wir jetzt deren Inverse. +Definiert ist sie als +\[ +F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt \qquad \Rightarrow \qquad \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega. +\] +Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:algdec} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$. +\[ +8^1 \qquad \rightarrow \qquad 8^{-1} +\] +Mit einem solchen Problem haben wir uns bereits in Abschnitt \ref{buch:section:euklid} befasst und so den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können. + +% Old Text +%Im Abschnitt \textcolor{red}{4.1} haben wir den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können. + +\subsection{Inverse der primitiven Einheitswurzel +\label{reedsolomon:subsection:invEinh}} + +Die Funktionsweise des euklidischen Algorithmus ist im Kapitel \ref{buch:section:euklid} ausführlich beschrieben. +Für unsere Anwendung wählen wir die Parameter $a = 8$ und $b = 11$ ($\mathbb{F}_{11}$). +Daraus erhalten wir + +\begin{center} + +\begin{tabular}{| c | c c | c | r r |} + \hline + $k$ & $a_i$ & $b_i$ & $q_i$ & $c_i$ & $d_i$\\ + \hline + & & & & $1$& $0$\\ + $0$& $8$& $11$& $0$& $0$& $1$\\ + $1$& $11$& $8$& $1$& $1$& $0$\\ + $2$& $8$& $3$& $2$& $-1$& $1$\\ + $3$& $3$& $2$& $1$& $3$& $-2$\\ + $4$& $2$& $1$& $2$& \textcolor{blue}{$-4$}& \textcolor{red}{$3$}\\ + $5$& $1$& $0$& & $11$& $-8$\\ + \hline +\end{tabular} + +\end{center} +\begin{center} + +\begin{tabular}{rcl} + $\textcolor{blue}{-4} \cdot 8 + \textcolor{red}{3} \cdot 11$ &$=$& $1$\\ + $7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$\\ + $8^{-1}$ &$=$& $7$ + +\end{tabular} + +\end{center} +als Inverse der primitiven Einheitswurzel. Die inverse Transformationsmatrix $A^{-1}$ bilden wir indem wir jetzt die inverse primitive Einheitswurzel anstelle der primitiven Einheitswurzel in die Matrix einsetzen. + +\subsection{Allgemeine Decodierung + \label{reedsolomon:subsection:algdec}} + +Wir haben jetzt fast alles für eine erfolgreiche Rücktransformation beisammen. Wir haben aber noch nicht alle Aspekte der inversen diskreten Fouriertransformation befolgt, so fehlt uns noch einen Vorfaktor +\[ +m = \textcolor{red}{s} \cdot A^{-1} \cdot v +\] +den wir noch bestimmen müssen. +Glücklicherweise lässt der sich analog wie bei der inversen diskreten Fouriertransformation bestimmen und beträgt +\[ +s = \frac{1}{10}. +\] +Da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht können wir $s$ ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ in $\mathbb{F}_{11}$ ergibt. Somit lässt sich der Nachrichtenvektor einfach bestimmen mit +\[ +m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v \qquad \Rightarrow \qquad m = 10 \cdot \begin{pmatrix} + 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0\\ + 7^0& 7^1& 7^2& 7^3& 7^4& 7^5& 7^6& 7^7& 7^8& 7^9\\ + 7^0& 7^2& 7^4& 7^6& 7^8& 7^{10}& 7^{12}& 7^{14}& 7^{16}& 7^{18}\\ + 7^0& 7^3& 7^6& 7^9& 7^{12}& 7^{15}& 7^{18}& 7^{21}& 7^{24}& 7^{27}\\ + 7^0& 7^4& 7^8& 7^{12}& 7^{16}& 7^{20}& 7^{24}& 7^{28}& 7^{32}& 7^{36}\\ + 7^0& 7^5& 7^{10}& 7^{15}& 7^{20}& 7^{25}& 7^{30}& 7^{35}& 7^{40}& 7^{45}\\ + 7^0& 7^6& 7^{12}& 7^{18}& 7^{24}& 7^{30}& 7^{36}& 7^{42}& 7^{48}& 7^{54}\\ + 7^0& 7^7& 7^{14}& 7^{21}& 7^{28}& 7^{35}& 7^{42}& 7^{49}& 7^{56}& 7^{63}\\ + 7^0& 7^8& 7^{16}& 7^{24}& 7^{32}& 7^{40}& 7^{48}& 7^{56}& 7^{64}& 7^{72}\\ + 7^0& 7^9& 7^{18}& 7^{27}& 7^{36}& 7^{45}& 7^{54}& 7^{63}& 7^{72}& 7^{81}\\ +\end{pmatrix} +\cdot +\begin{pmatrix} + 5 \\ 3 \\ 6 \\ 5 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 10 \\ 4 \\ +\end{pmatrix} +\] +und wir erhalten +\[ +m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1] +\] +als unsere Nachricht zurück.
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