Diverse Änderungen / Korrekturen

7 files changed, 80 insertions, 76 deletions

diff --git a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
index b1588ff..8e0d36d 100644
--- a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
+++ b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
@@ -1,17 +1,18 @@
 \section{Einleitung\label{spannung:section:Einleitung}}
 \rhead{Einleitung}
 Das Hook'sche Gesetz beschreibt die Beziehung von Spannung und Dehnung von linear-elastischen Materialien im Eindimensionalen.
-In diesem Kapitel geht es darum das Hook'sche Gesetz im Dreidimensionalen zu beschreiben.
+In diesem Kapitel geht es darum, das Hook'sche Gesetz im Dreidimensionalen zu beschreiben.
 Durch variable Krafteinwirkungen entstehen in jedem Punkt des Materials eine Vielzahl an unterschiedlichen Spannungen.
 In jedem erdenklichen Punkt im Dreidimensionalen herrscht daher ein entsprechender individueller Spannungszustand.
 Um das Hook'sche Gesetz für den 3D Spannungszustand formulieren zu können, reichen Skalare nicht aus.
-Darum werden Vektoren, Matrizen und Tensoren zur Hilfe gezogen.
+Darum werden Vektoren, Matrizen und Tensoren zu Hilfe gezogen.
 Mit diesen lässt sich eine Spannungsformel für den 3D Spannungszustand bilden.
 Diese Spannungsformel ist Grundlage für Computerprogramme und geotechnische Versuche, wie der Oedometer-Versuch.
 
-Um die mathematische Untersuchung vorzunehmen, beschäftigt man sich zuerst mit den spezifischen Gegebenheiten und Voraussetzungen.
-Ebenfalls gilt es ein paar wichtige Begriffe und deren mathematischen Zeichen einzuführen.
-In diesem Kapitel gehen wir auch auf die Zusammenhänge von Spannung, Dehnungen und Verformungen an elastischen Materialien ein,
+Um die mathematischen und physikalischen Berechnungen anwenden zu können,
+müssen vorerst ein paar spezifische Bedingungen vorausgesetzt und Annahmen getroffen werden.
+Ebenfalls gilt es, ein paar wichtige Begriffe und deren mathematischen Zeichen einzuführen.
+In diesem Kapitel gehen wir auch auf die Zusammenhänge von Spannungen, Dehnungen und Verformungen an elastischen Materialien ein,
 wie sie in gängigen Lehrbüchern der Mechanik oder der Geotechnik behandelt werden, z.~B.~\cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik}.
 
 \section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Spannungsausbreitung}}
@@ -29,7 +30,7 @@ Belastet man den Boden mit einer Spannung
 so wird diese in den Boden geleitet und von diesem kompensiert.
 Im Boden entstehen unterschiedlich hohe Zusatzspannungen.
 Diese Zusatzspannung breitet sich räumlich im Boden aus.
-Im Falle einer konstanten Flächenlast $\sigma$ siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild4} breitet sich die Zusatzspannung zwiebelartig aus.
+Im Falle einer konstanten Flächenlast $\sigma$ siehe Abbildung~\ref{fig:Bild4} breitet sich die Zusatzspannung zwiebelartig aus.
 
 \begin{figure}
 	\centering
@@ -38,11 +39,11 @@ Im Falle einer konstanten Flächenlast $\sigma$ siehe Abbildung~\ref{spannung:Bi
 	\label{fig:Bild4}
 \end{figure}
 
-Mit der Tiefe $t$ nimmt diese permanent ab (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild5}).
-Wie diese Geometrie der Ausbreitung ist, kann durch viele Modelle und Ansätze näherungsweise beschrieben werden.
+Mit der Tiefe $t$ nimmt diese permanent ab (siehe Abbildung~\ref{fig:Bild5}).
+Wie diese Geometrie der Ausbreitung aussieht, kann durch viele Modelle und Ansätze näherungsweise beschrieben werden.
 Diese Zusatzspannung $\sigma$ ist im Wesentlichen abhängig von $(x,y,t)$.
 Je nach Modell werden noch andere Parameter berücksichtigt.
-Das können beispielsweise jenste Bodenkennwerte oder auch der Wassergehalt sein.
+Das können beispielsweise verschiedene Bodenkennwerte oder auch der Wassergehalt sein.
 
 \begin{figure}
 	\centering
@@ -72,18 +73,18 @@ berechnet werden mit:
 	          t &= \text{Tiefe [\si{\meter}]}                               \\
 	          s &= \text{Setzung, Absenkung [m].}
 \end{align*}
-Diese Zusammenhänge sind wie erwähnt unter anderem im  Lehrbuch [\cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik}] beschrieben.
+Diese Zusammenhänge sind wie erwähnt unter anderem im  Lehrbuch \cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik} beschrieben.
 In der praktischen Geotechnik wird man allerdings weitaus schwierigere Situationen antreffen.
-Ein Beispiel wäre eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen ist (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild3}).
+Ein Beispiel wäre eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen ist (siehe Abbildung~\ref{fig:Bild3}).
 Die Ausbreitung der Zusatzspannung $\sigma(x,y,t)$ würde hier deutlich komplizierter ausfallen.
 Dies bedeutet auch eine komplexere Setzung der Bodenoberfläche infolge einer Flächenlast $\sigma$.
 Aus allen zusätzlichen Spannungen müssen die adäquaten Dehnungen mit Hilfe einer Spannungsgleichung berechnet werden.
 Diese beruht auf Annahmen nach Hooke auf einem linear-elastischen Boden.
-Generell wird im Ingenieurwesen versucht Phänomene möglichst nach dem Hook'schen Gesetz abbilden zu können.
+Generell wird im Bauingenieurwesen oder auch im Maschinenbau versucht, manche Phänomene möglichst nach dem Hook'schen Gesetz abbilden zu können.
 
 \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.45\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild3.png}
-	\caption{Beispiel eines Lastauftrags auf den Boden bei einer komplexeren Situation, welches kompliziertere Spannungsausbreitung zur Folge hat}
+	\caption{Beispiel eines Lastauftrags auf den Boden bei einer komplexeren Situation, welche kompliziertere Spannungsausbreitung zur Folge hat}
 	\label{fig:Bild3}
 \end{figure}
diff --git a/buch/papers/spannung/main.tex b/buch/papers/spannung/main.tex
index bbdf730..d2aeda9 100644
--- a/buch/papers/spannung/main.tex
+++ b/buch/papers/spannung/main.tex
@@ -3,7 +3,7 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:spannung}}
+\chapter{Dreidimensionaler Spannungszustand\label{chapter:spannung}}
 \lhead{Dreiachsiger Spannungszustand}
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Adrian Schuler und Thomas Reichlin}
diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex
index 7647252..089c28e 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil0.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex
@@ -1,9 +1,10 @@
 \section{Der Spannungszustand\label{spannung:section:Der Spannungsustand}}
 \rhead{Der Spannungszustand}
-Ein Spannungszustand ist durch alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken, definiert (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild2}).
+Ein Spannungszustand ist durch alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken, definiert (siehe Abbildung~\ref{fig:Bild2}).
 Änderungen der äusseren Kräfte verändern die inneren Spannungszustände im Material.
-Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können, wird ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels modellhaft vorgestellt.
-Man spricht auch von einem Elementarwürfel, da dieser elementar klein ist.
+Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können,
+stellt man sich modellhaft ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels vor.
+Man spricht auch von einem Elementarwürfel.
 
 \begin{figure}
 	\centering
@@ -15,19 +16,19 @@ Man spricht auch von einem Elementarwürfel, da dieser elementar klein ist.
 Es werden jeweils drei Seiten dieses Würfels betrachtet, wobei die drei gegenüberliegenden Seiten im Betrag die selben Spannungen aufweisen,
 sodass der Elementarwürfel im Gleichgewicht ist.
 Wäre dieses Gleichgewicht nicht vorhanden, käme es zu Verschiebungen und Drehungen.
-Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinaten $1$, $2$, $3$.
+Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinatenachsen $1$, $2$, $3$.
 Veränderungen der Normalspannungen können durch Schubspannungen kompensiert werden und umgekehrt.
-So sind insgesamt neun verschiedene Spannungen möglich, wobei drei Normal- und sechs Schubspannungen sind.
+So sind insgesamt neun verschiedene Spannungen möglich, konkret sind dies drei Normal- und sechs Schubspannungen.
 Normalspannungen wirken normal (mit rechtem Winkel) zur angreifenden Fläche und Schubspannungen parallel zur angreifenden Fläche.
 Alle Beträge dieser neun Spannungen am Elementarwürfel bilden den Spannungszustand.
-Daraus können die äquivalenten Dehnungen $\varepsilon$ mit Hilfe des Hook'schen Gesetz berechnet werden.
+Daraus können die äquivalenten Dehnungen $\varepsilon$ mit Hilfe des Hook'schen Gesetzes berechnet werden.
 Daher gibt es auch den entsprechenden Dehnungszustand.
 
 
 \section{Spannungszustand\label{spannung:section:Spannungsustand}}
 \rhead{Spannungszustand}
 
-Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild1}).
+Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung~\ref{fig:Bild1}).
 Das Hook'sche Gesetz beschreibt genau diesen 1D Spannungszustand.
 Nach Hooke gilt:
 \[
@@ -59,7 +60,7 @@ mit
 	  A &= \text{Fläche [\si{\meter\squared}].}
 \end{align*}
 Diese Beziehung gilt bei linear-elastischen Materialien, welche reversible Verformungen zulassen.
-Es ist praktisch die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine absolute Längenänderung $\Delta l$.
+Es ist praktisch, die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine absolute Längenänderung $\Delta l$.
 \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.35\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild1.png}
@@ -73,10 +74,10 @@ Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich
 E\cdot\varepsilon
 \]
 beschreiben.
-Im Falle, dass $E$ nicht konstant ist, kann dieser näherungsweise durch
+Im Falle, dass $E$ nicht konstant ist, wird dieser durch
 \[
 E
 =
-\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}
+\frac{\text{d}\sigma}{\text{d}\varepsilon}
 \]
-ausgedrückt werden.
\ No newline at end of file
+ausgedrückt.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/spannung/teil1.tex b/buch/papers/spannung/teil1.tex
index 74516c1..647b452 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil1.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil1.tex
@@ -1,8 +1,8 @@
 \section{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren\label{spannung:section:Skalare,_Vektoren,_Matrizen_und_Tensoren}}
 \rhead{Skalare, Vektoren, Matrizen und Tensoren}
-Der Begriff Tensor kann als Überbegriff, der mathematischen Objekte Skalar, Vektor und Matrix, betrachtet werden.
+Der Begriff Tensor kann als Überbegriff der mathematischen Objekte Skalar, Vektor und Matrix, betrachtet werden.
 Allerdings sind noch höhere Stufen dieser Objekte beinhaltet.
-Ein Skalar, ein Vektor oder eine Matrix ist daher auch ein Tensor.
+Skalare, Vektoren oder Matrizen sind daher auch Tensoren.
 Ein Skalar ist ein Tensor 0. Stufe.
 Mit einem Vektor können mehrere Skalare auf einmal beschrieben werden.
 Ein Vektor hat daher die Stufe 1 und ist höherstufig als ein Skalar.
@@ -14,11 +14,10 @@ Jede Stufe von Tensoren verlangt andere Rechenregeln.
 So zeigt sich auch der Nachteil von Tensoren mit Stufen höher als 2.
 Man ist also bestrebt höherstufige Tensoren mit Skalaren, Vektoren oder Matrizen zu beschreiben.
 
-Der Begriff Tensor wurde 1840 von Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt.
+In den 40er Jahren vom 19. Jahrhundert wurde der Begriff Tensor von Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt.
 James Clerk Maxwell hat bereits mit Tensoren operiert, ohne den Begriff Tensor gekannt zu haben.
 Erst Woldemar Voigt hat den Begriff in die moderne Bedeutung von Skalar, Matrix und Vektor verallgemeinert.
 Er hat in der Elastizitätstheorie als erstes Tensoren eingesetzt und beschrieben.
 Auch Albert Einstein hat solche Tensoren eingesetzt,
 um in der Relativitätstheorie die Änderung der 4D Raumzeit beschreiben zu können.
 \cite{spannung:Tensor}
-\cite{spannung:Voigtsche-Notation}
diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index 6326eab..8620afe 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -3,7 +3,7 @@
 Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D Spannungszustand unterschiedliche Normal- und Schubspannungen.
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.4\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png}
+	\includegraphics[width=0.30\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png}
 	\caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchen}
 	\label{fig:infinitesimalerWuerfel}
 \end{figure}
@@ -49,7 +49,7 @@ Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2. Stufe und kann somit auch als $3\
 dargestellt werden und beschreibt den gesamten Dehnungszustand.
 
 Der Spannungs- und Dehnungstensor 2. Stufe kann je in einen Tensor 1. Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist.
-Gemäss der Hadamard-Algebra dürfen Zeile um Zeile in eine Spalte notiert werden, sodass es einen Spaltenvektor ergibt.
+Man darf Zeile um Zeile in eine Spalte notieren, sodass es einen Spaltenvektor ergibt.
 So ergibt sich der Spannungsvektor
 
 \[
@@ -79,7 +79,7 @@ So ergibt sich der Spannungsvektor
 	\sigma_{33}
 \end{pmatrix}
 \]
-und Dehnungsvektor
+und der Dehnungsvektor
 \[
 \overline{\varepsilon}
 =
@@ -140,14 +140,6 @@ C_{3311} & C_{3312} & C_{3313} & C_{3321} & C_{3322} & C_{3323} & C_{3331} & C_{
 \end{pmatrix}
 \]
 geschrieben werden kann.
-Dieser Elastizitätstensor muss für isotrope Materialien zwingend symmetrisch sein.
-Folglich gilt:
-\[
-\overline{\overline{C}}
-=
-\overline{\overline{C}}~^{T}
-.
-\]
 Die allgemeine Spannungsgleichung lautet nun:
 \[
 \vec\sigma
@@ -155,8 +147,7 @@ Die allgemeine Spannungsgleichung lautet nun:
 \overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon}
 .
 \]
-
-Als Indexnotation
+Sie kann ebenfalls als Indexnotation
 \[
 \sigma_{ij}
 =
@@ -164,7 +155,15 @@ Als Indexnotation
 \sum_{l=1}^3
 C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl}
 \]
-kann dies ebenfalls geschrieben werden.
+geschrieben werden.
+Der Elastizitätstensor muss für isotrope Materialien zwingend symmetrisch sein.
+Folglich gilt:
+\[
+\overline{\overline{C}}
+=
+\overline{\overline{C}}~^{T}
+.
+\]
 
 Die Konstanten $C$ werden nun nach dem Hook'schen Gesetz mit Hilfe des Elastizitätsmoduls $E$ definiert.
 Da dieser Modul durch die eindimensionale Betrachtung definiert ist,
@@ -221,7 +220,7 @@ definiert ist. Trägt man die Konstanten in die Matrix ein, ergibt sich
 \end{pmatrix}
 .
 \]
-Die Normalspannung $\sigma_{22}$ lässt sich exemplarisch als
+Die Normalspannung $\sigma_{22}$ lässt sich zum Beispiel als
 \[
 \sigma_{22}
 =
@@ -229,11 +228,13 @@ Die Normalspannung $\sigma_{22}$ lässt sich exemplarisch als
 \]
 berechnen.
 
+Reduzierte Spannungs- und Dehnungsgleichungen
+
 Man betrachte nun die Eigenschaften des Elastizitätstensors.
 Dieser ist quadratisch und symmetrisch, die verschiedenen Einträge wechseln sich aber miteinander ab.
 Es ergeben sich keine Blöcke mit einheitlichen Einträgen.
 
-Allerdings weiss man, dass im isotropen Boden der Spannungs-, Dehnungs- und daher auch Elastizitätstensor symmetrisch sind.
+Allerdings weiss man, dass im isotropen Boden der Spannungs-, Dehnungs- und daher auch der Elastizitätstensor symmetrisch sind.
 Wäre dem nicht so, würde sich das Material je nach Richtung unterschiedlich elastisch verhalten.
 Diese Symmetrie setzt daher voraus, dass
 \[
@@ -399,7 +400,7 @@ Somit lässt sich die reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit
 \]
 beschreiben.
 Die Konstanten $C$ werden wieder nach dem Hook'schen Gesetz definiert.
-Dies ergibt die Spannungsformel, welche weit möglichst vereinfacht ist:
+Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist:
 \begin{equation}
 \begin{pmatrix}
 	\sigma_{11}\\
@@ -433,7 +434,7 @@ Dies ergibt die Spannungsformel, welche weit möglichst vereinfacht ist:
 
 Im Elastizitätstensor fallen zwei $3\times3$ Blöcke auf, welche nur Einträge mit $0$ haben. Der Tensor besagt also,
 dass diese jeweiligen Dehnungen keinen Einfluss auf unsere Spannung haben.
-Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich zu der allgemeinen Spannungsgleichung, die Einträge verschoben haben.
+Man sieht nun auch ganz gut, dass sich im Vergleich zu der allgemeinen Spannungsgleichung die Einträge verschoben haben.
 Da nach Voigt zuerst die Normalspannungen und anschliessend die Schubspannungen notiert worden sind, ergeben sich die  $3\times3$ Blöcke.
 
 Man betrachte als Beispiel die Berechnung von $\sigma_{33}$.
@@ -441,8 +442,8 @@ Es ist ersichtlich, dass die Schubdehnungen keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ ha
 Der Einfluss der zu $\sigma_{33}$ äquivalenten Dehnung $\varepsilon_{33}$ hat den grössten Einfluss.
 Die anderen Normalspannungen $\sigma_{11}$ und $\sigma_{22}$ haben einen unter anderem mit $\nu$ korrigierten Einfluss.
 
-Von  $\overline{\overline{C}}$ bildet man noch die inverse Matrix $\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}$ um die Gleichung umstellen zu können.
-Dadurch erhält man die Dehnungsgleichung:
+Von  $\overline{\overline{C}}$ bildet man die inverse Matrix $\overline{\overline{C}}\mathstrut^{-1}$, mithilfe des Gauss - Jordan Algorithmus, um die Gleichung umstellen zu können.
+Durch einige Berechnungsschritte erhält man die Dehnungsgleichung:
 
 \[
 \vec{\varepsilon}
diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index 3e456c3..a9080ea 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -30,7 +30,7 @@ q
 \label{spannung:Invariante_q}
 .
 \end{equation}
-Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt.
+Diese Zusammenhänge werden im Skript \cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik} aufgezeigt.
 Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_p} als
 \[
 p
@@ -38,28 +38,28 @@ p
 \frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
 \]
 vereinfacht werden.
-Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_q}als
+Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_q} als
 \[
 q
 =
 \sigma_{11}-\sigma_{33}
 \]
-vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.
+vereinfacht. Man kann $p$ als Druck und $q$ als Schub betrachten.
 
-Die Invarianten können mit der Spannungsformel \eqref{spannung:Spannungsgleichung} berechnet werden.
+Die Invarianten $p$ und $q$ können mit der Spannungsgleichung \eqref{spannung:Spannungsgleichung} berechnet werden.
 Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
 Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
 So ergibt sich
 \[
-\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{\displaystyle{p}}
 =
-\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{v}}
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\displaystyle{{\varepsilon_{v}}}}
 \]
 und
 \[
-\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{\displaystyle{q}}
 =
-\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\displaystyle{\varepsilon_{s}}}
 .
 \]
 Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so mit
@@ -79,8 +79,8 @@ eingeführt werden, mit
 	\varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\
 	\varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].}
 \end{align*}
-Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglichen werden.
-Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$  kann mit einer Verzerrung verglichen werden.
+Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression und
+die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$  mit einer Verzerrung verglichen werden.
 
 Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
 \begin{equation}
@@ -90,8 +90,8 @@ Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-	\frac{3E}{2(1+\nu)} &                   0 \\
-	                  0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
+	\displaystyle{\frac{3E}{2(1+\nu)}} &                                  0 \\
+	                                 0 & \displaystyle{\frac{E}{3(1-2\nu)}}
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{s}\\
@@ -100,9 +100,11 @@ Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
 \label{spannung:Matrixschreibweise}
 \end{equation}
 vereinfachen.
-Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
-Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.
 
+Änderungen des Spannungszustandes können mit diesen Gleichungen vollumfänglich erfasst werden.
+Diese Spannungsgleichung mit den zwei Einträgen ($p$ und $q$) ist gleichwertig
+wie die ursprüngliche Spannungsgleichung mit den neun Einträgen
+($\sigma_{11}$, $\sigma_{12}$, $\sigma_{13}$, $\sigma_{21}$, $\sigma_{22}$, $\sigma_{23}$, $\sigma_{31}$, $\sigma_{32}$, $\sigma_{33}$).
 Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
-Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
+Ein solcher Versuch, der oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
 Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex
index 2f2e4ce..00b2d4f 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil4.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
-\section{Oedometer-Versuch\label{spannung:section:Oedometer-Versuch}}
-\rhead{Oedometer-Versuch}
-Mit dem Oedometer-Versuch kann der oedometrische Elastizitätsmodul $E_{OED}$ bestimmt werden.
+\section{Oedometrischer Elastizitätsmodul\label{spannung:section:Oedometrischer Elastizitätsmodul}}
+\rhead{Oedometrischer Elastizitätsmodul}
+Mit dem Oedometer-Versuch kann der oedometrische Elastizitätsmodul $E_{\text{OED}}$ bestimmt werden.
 Dieser beschreibt ebenfalls das Verhältnis zwischen Spannung und Dehnung, allerdings unter anderen Bedingungen.
 Diese Bedingung ist das Verhindern der seitlichen Verformung, sprich der Dehnung in Richtung $1$ und $2$.
 Es wird ein Probeelement mit immer grösseren Gewichten belastet, welche gleichmässig auf das Material drücken.
@@ -43,8 +43,8 @@ Diese lautet nun:
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-	\frac{E_{OED}}{(1+\nu)} &                             0 \\
-                          0 & \frac{E_{OED}}{3(1-2\nu)}
+	\displaystyle{\frac{E_{\text{OED}}}{(1+\nu)}} &                                               0 \\
+                                                0 & \displaystyle{\frac{E_{\text{OED}}}{3(1-2\nu)}}
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{11}\\
@@ -52,28 +52,28 @@ Diese lautet nun:
 \end{pmatrix}
 .
 \]
-Daraus lässt sich bei jedem Setzungsgrad der oedometrische Elastitzitätsmodul $E_{OED}$ und die seitlichen Spannungen $\sigma_{33}$ mit den 2 Gleichungen
+Daraus lässt sich bei jedem Setzungsgrad der oedometrische Elastitzitätsmodul $E_{\text{OED}}$ und die seitlichen Spannungen $\sigma_{33}$ mit den zwei Gleichungen
 \[
 \sigma_{11}-\sigma_{33}
 =
-\frac{E_{OED}}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{11}
+\frac{E_{\text{OED}}}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{11}
 \]
 und
 \[
 \sigma_{11}+2\sigma_{33}
 =
-\frac{E_{OED}}{3(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}
+\frac{E_{\text{OED}}}{3(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11}
 \]
 berechnen.
-Mit diesen Gleichungen hat man das Gleichungssystem um $E_{OED}$ und $\sigma_{33}$ zu berechnen.
+Mit diesen Gleichungen hat man das Gleichungssystem um $E_{\text{OED}}$ und $\sigma_{33}$ zu berechnen.
 Die Poisson-Zahl muss als Kennwert gemäss der Bodenklasse gewählt werden.
-Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung~\ref{spannung:DiagrammOedometer-Versuch}).
+Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung~\ref{fig:DiagrammOedometer-Versuch}).
 Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark.
-Mit diesem ermittelten $E_{OED}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.
+Mit diesem ermittelten $E_{\text{OED}}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.
 
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png}
+	\includegraphics[width=0.45\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png}
 	\caption{Diagramm Charakteristik verschiedener Elastizitätsmodule bei gleichem Material}
 	\label{fig:DiagrammOedometer-Versuch}
 \end{figure}
\ No newline at end of file