Merge remote-tracking branch 'upstream/master'

1 files changed, 55 insertions, 75 deletions

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index d96d450..6ac86ad 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -1,99 +1,75 @@
-\section{Einführung}
 \label{section:verkehr/einfuehrung}
 
-\subsection{Verkehrsnetze}
 Das Verkehrsnetz besteht aus allen Anlagen, auf oder unter der Erdoberfläche, auf denen eine räumliche Fortbewegung von Personen oder auch Gütern stattfindet. Verkehrsnetze sind ein Bestandteil der Verkehrsinfrastruktur, die auf topografischen Karten festgehalten werden. Sie umfassen den Schienenverkehr, alle Strassen und Wege, wie auch Flugplätze und alle dazugehörigen Bauwerke.
 Aus verkehrsgeografischer Sicht besteht das Verkehrsnetz aus Kanten, Knotenpunkten und dem Hinterland. Die Knotenpunkte werden auch hier durch die Kanten verbunden, die den Verkehrsstrom aufnehmen, wobei das Hinterland durch einzelne Knoten versorgt wird. Die Aufteilung in Kanten und Knotenpunkte ermöglicht eine Vereinfachung komplexer Verkehrsnetze, damit sie mittels der Graphentheorie untersucht werden können.
 Grundsätzlich können kurze Wege zwischen den Knotenpunkten das Ziel beim Aufbau eines Verkehrsnetzes sein. Es kann aber auch versucht werden, die Bau- und Unterhaltskosten des Verkehrsnetzes in einem gewissen Rahmen zu halten. Aus diesen Vorgaben ergibt sich dann, je nach dem was gewünscht wird, eine grob- oder feinmaschige Struktur des Netzes.
 Ziel ist aber ein möglichst wirtschaftliches und optimales Verkehrsnetz.
 
-\subsection{Suchalgorithmen}
+\section{Suchalgorithmen}
+Inbesondere bei Graphen in Form von Verkehrsnetzen ist das Finden eines kürzesten Weges von Interesse. Mathematisch betrachtet handelt es sich hierbei um ein Optimierungsproblem, bei dem die Summe der Kantengewichte zwischen zwei Knoten minimiert werden soll. Zu diesem Zweck existieren verschiedene Suchalgorithmen. In den folgenden Abschnitten wird auf eine Auswahl davon eingegangen. Zuvor ist es jedoch notwendig, einige Begriffe und Eigenschaften von Suchalgorithmen zu definieren.
 
-\subsubsection{Dijkstra-Algorithmus}
-Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Infomratikprofessor Edsger Dijkstra. Den Algorithmus hat er im Jahr 1959 erfunden.
-Der Algorithmus von Dijkstra ist ein Greedy-Algorithmus (gieriger Algorithmus), der schrittweise einen Folgezustand auswählt, damit beim Zeitpunkt der Wahl der grösste Gewinn bzw. das beste Ergebnis erzielt werden kann.
-Trotz der Schnelligkeit der Greedy-Algorithmen, können viele Probleme nicht optimal gelöst werden.
-Vereinfacht wird beim Dijkstra-Algorithmus, ausgehend von einem Startknoten so lange dem kürzesten Pfad gefolgt, bis der Zielknoten erreicht wird. Dabei muss für jeden besuchten Knoten die Kostenfunktion als auch der Pfad dahin (vorheriger Knoten) gespeichert werden.
-Dadurch wird hingegen garantiert, dass, wenn der Zielknoten erreicht wird, auch der kürzeste Pfad gefunden wurde.
-Grundlegende Voraussetzung für den Dijkstra-Algorithmus ist die strikte Positivität der Kantengewichte. Andernfalls würde ein wiederholtes Ablaufen einer Kante mit negativem Gewicht zu einer stetigen Reduktion der Kostenfunktion führen, was zu einer unendlichen Schlaufe führen würde.
+Einerseits wird zwischen optimalen und nicht-optimalen Algorithmen unterschieden. Ein Suchalgorithmus gilt als optimal, falls er einen günstigsten Pfad zwischen zwei Knoten findet. Es gilt zu beachten, dass im Falle des Vorhandenseins von mehrerern Pfaden mit identischer, minimaler Summe der Kantengewichte zwischen zwei Knoten, mindestens einer dieser Pfade gefunden wird.
 
-Gegeben sei ein Netzwerk mit $n$ Knoten und dem Startknoten $a$.
-Alle Kanten sind mit $k(i, j)$ bewertet.
-Gesucht wird der kürzeste Pfad zwischen dem Startknoten und allen übrigen Knoten im Netz.
-$D(i)$ ist die kürzeste Distanz vom Startknoten $a$ zum Knoten $i, V(i)$ ist der unmittelbare Vorgängerknoten vom Knoten $i$ auf dem kürzesten Weg vom Startknoten $a$ zum Konten $i$ und die Menge $M$ ist die Menge einer bestimmten Auswahl an Knoten.
+Weiter wird zwischen informierten und uninformierten Algorithmen differenziert. Während uninformierte Suchalgorithmen den Suchraum schematisch auf Basis der Eigenschaften des Graphen absuchen, bis eine günstigste Lösung gefunden wurde, verwenden informierte Suchalgorithmen eine Heuristik zur Abschätzung der Suchrichtung. Oftmals wird bei informierten Algorithmen ein Verlust der Optimalität zugunsten einer verbesserten Rechenzeit in Kauf genommen. Es exisitieren jedoch auch Heurstiken, die eine optimale Lösung gewährleisten.
 
-Dabei gilt
-\begin{equation}M={a}\end{equation}
-\begin{equation}D(a)=0\end{equation} wobei
-\begin{equation}D(i)=\infty\end{equation} und
-\begin{equation}i \neq a \end{equation}
-Ausserdem gilt \begin{equation}V(i)=(-) \text{für alle Knoten $i$}\end{equation}\\
+Eine besondere Art von Suchalgorithmen stellen die sogenannten Greedy-Algorithmen, zu deutsch gierige Algorithmen, dar. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie stets den zurzeit günstigsten Folgezustand auswählen. Dadurch sind sie in der Regel äusserst effizient, garantieren bei vielen Problemstellungen jedoch keine optimale Lösung.
 
-%THEORIE...
-Iteration
+\subsection{Dijkstra-Algorithmus}
+Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Informatikprofessor Edsger Dijkstra. Er gehört zur Klasse der uninformierten Greedy-Algorithmen. Zudem ist die Optimalität bei strikt positiven Kantengewichten gewährleistet.
+Vorteilhaft ist die einfache Implementierung. Abhängig von der Programmiersprache sind zwischen 30 und 40 Zeilen an Code ausreichend, damit er den kürzesten Pfad zwischen einem Startknoten $a$ und Zielknoten $b$ finden kann. 
 
-1. Auswahl eines Knotens \begin{equation} K\in M \text{mit} D(K)=D(i);i\in M\end{equation}
+Die für dieses Paper verwendete programmierte Funktion (MATLAB) verwendet eine abgewandelte Form der gewichteten Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt:
+Der Matrix-Eintrag $A_{i,j}$ enthält das Kantengewicht der Kante von Knoten $j$ nach $i$ auf. Falls keine Kante zwischen $j$ und $i$ vorhanden ist, beträgt der Eintrag $\infty$. Dies vereinfacht die Implementierung zur Bestimmung des nächst-günstigsten Pfades.
+Zudem werden zwei Hilfs-Vektoren $\vec{d}$ und $\vec{b}$ der Länge $n$ eingeführt, wobei $n$ die Anzahl Knoten des Graphen ist. Im Vektoreintrag $\vec{d}(i)$ wird das kummulierte Kantengewicht zur Erreichung von Knoten $i$ vom Startknoten $a$ gespeichert. Der Eintrag $\vec{d}(a)$ beträgt somit $0$. Im Vektor $\vec{b}$ wird zudem vermerkt, falls ein Knoten bereits als Ziel eines kürzesten Pfads gefunden wurde und somit für die weitere Suche nicht mehr berücksichtigt werden muss ($\vec{b}(i)=1$, sonst $\vec{b}(i)=0$).
 
-2. Für alle Nachfolger $N(j)$ vom Knoten $K$ gilt:
-\begin{equation}D(K) + k_Kj < D(j)\end{equation} dann wird \begin{equation}D(j) = D(K) + k_Kj, V(j) = K\end{equation} gesetzt und somit wird der Knoten $j$ in die Menge $M$ aufgenommen.
+Ausgehend vom Startknoten $a$ wird nun anhand der Matrix $A$ in der Spalte $a$ nach dem kleinsten Eintrag gesucht. Somit wird der Folgeknoten $c$ gefunden. Dieser Vorgang wird nun wiederholt, wobei jedoch sämtliche von Knoten $a$ und $c$ erreichbaren Knoten berücksichtigt werden, die noch nicht besucht wurden. In anderen Worten alle nicht verschwindenden Einträge $i$ der Spalten $a$ und $c$ der Matrix $A$, für welche gilt $\vec{b}(i)=0$. Ausschlaggebend für die folgende Auswahl ist die Summe der kummulierten Kantengewichte und des Kantengewichts des nächsten Knotens. Als Beispiel zur Erreichung von Knoten $k$ über Knoten $j$:
+\begin{equation}
+\vec{d}(k)=\vec{d}(j)+A(k,j)
+\end{equation}
+Diese Iteration wird solange durchgeführt, bis der Folgeknoten dem Zielknoten entspricht.
 
-3. Der ausgewählte Knoten \begin{equation}K\in M\text{wird aus der Menge herausgelöscht}\end{equation}\\
-Diese drei Schritte werden so lange wiederholt bis gilt
-\begin{equation}M=\{\}\end{equation}
+\subsection{A*-Algorithmus}
+Der A*-Algorithmus basiert auf dem Dijkstra-Algorithmus, verwendet jedoch eine Heuristik zur Abschätzung der günstigsten Suchrichtung. Somit handelt es sich um einen informierten Greedy-Algorithmus, der abhängig von der verwendeten Heuristik auch optimal sein kann. Er wurde von Peter Hart, Nils Nilsson und Bertram Raphael entwickelt.
 
-\subsubsection{A*-Algorithmus}
-Suchalgorithmen werden nach einfachen (uninformierte) und heuristischen (informierten) Algorithmen unterschieden. Während einfache Algorithmen den Suchraum intuitiv durchsuchen, beziehen heuristische Algorithmen Wissen über den Suchraum mit ein.
-Der A*-Algorithmus geht auf seine Erfinder Peter Hart, Nils Nilsson und Bertram Raphael zurück, die den Algorithmus erstmals im Jahr 1968 beschrieben.
-Der A*-Algorithmus ist ein heuristischer Suchalgorithmus, der den kürzesten Pfad zwischen zwei Knoten in einem Graphen mit positiven Kantengewichten berechnet.
-Im Gegensatz zu einfachen Suchalgorithmen, wird beim A*-Algorithmus eine Schätzfunktion, die sogenannte Heuristik, verwendet. Dies ermöglicht ein zielgerichtetes Suchen und gleichzeitig wird die Laufzeit verringert.
-Ausserdem findet der A*-Algorithmus immer eine optimale Lösung, sofern eine vorhanden ist.
-Der A*-Algorithmus wird als Verallgemeinerung gehandhabt und gilt als Erweiterung des Dijkstra-Algorithmus.
+\subsection{Anwendung A*-Algorithmus}
+Wie oben erwähnt basiert der A*-Algorithmus auf dem Shortest-Path-Algorithmus von Dijkstra. Gemäss dem Algorihtmus von Dijkstra werden von einem Startknoten aus die jeweiligen Nachbarknoten, die Nachbarknoten der Nachbarknoten usw. verarbeitet. Die Kantengewichte werden dabei aufsummiert und die Priorität wird auf die Kante gelegt, die das geringste Gewicht aufweist. Mit diesem Verfahren wird sichergestellt, dass die erste gefundene Lösung auch eine optimale Lösung darstellt.\\
 
-\subsubsection{Anwendung A*-Algorithmus}
-Wie oben erwähnt basiert der A*-Algorithmus auf dem Shortest-Path-Algorithmus von Dijkstra. Gemäss dem Algorihtmus von Dijkstra werden von einem Startknoten aus die jeweiligen Nachbarknoten, die Nachbarknoten der Nachbarknoten usw. verarbeitet. Die Kantengewichte werden dabei aufsummiert und die Priorität wird auf die Kante gelegt, die das geringste Gewicht aufweist. Mit diesem Verfahren wird sichergestellt, dass die erste gefundene Lösung auch die optimalste Lösung darstellt.\\
+Der A*-Algorithmus unterscheidet sich vom Dijkstra-Algorithmus dahingehend, dass bei der Auswahl des Folgeknotens, nicht nur die Summe der Kantengewichte $\vec{d}(j)+A(k,j)$, sondern zusätzlich die für jeden Knoten definierte Abschätzfunktion $f(k)$ hinzuaddiert wird. Dies passiert jedoch nur bei der \emph{Auswahl} des Folgeknotens. Der Wert von $f(k)$ wird nicht im Eintrag $\vec{d}(k)$ gespeichert. Somit wird gewährleistet, dass der gefundene Pfad, der Summe der Kantengewichte entspricht. Ein Beispiel dafür, wie eine Abschätzfunktion gebildet werden kann findet sich in Abschnitt \ref{sec:verkehr/euklidische}
 
-Die Kantengewichte werden für jeden Knoten in Form einer Funktion dargestellt
-\begin{equation}f(n)=g(n)\end{equation} mit
-\begin{equation}g(n)=\text{Summe aller Kantengewichte vom Startknoten bis n}\end{equation}\\
-Der A*-Algorithmus erweitert die Vorgehensweise des Algorithmus von Dijkstra um die Heuristik $h(n)$, die für jeden Knoten $n$ die geschätzte Entfernung zum Zielknoten beschreibt.
-Somit gilt:
-\begin{equation}f(n)=g(n)+h(n)\end{equation}\\
-Wie auch der Algorithmus von Dijkstra findet der A*-Algorithmus die optimalste Lösung.
+\subsection{Euklidische Heuristik}
+\label{sec:verkehr/euklidische}
+Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar. Unter Verwendung dieser Heuristik gilt der A*-Algorithmus als optimal.
 
-\subsubsection{Floyd-Warshall-Algorithmus}
-Der Floyd-Warshall-Algorithmus, auch Tripel-Algorithmus genannt, wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt.
-Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die kürzesten , beziehungsweise die optimalsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algrithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph aber keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis.
-Ein Kreis (Zyklus) in einem Graphen ist ein Weg, bei dem Start- und Endpunkt den gleichen Knoten aufweisen. Dieser wird negativ, wenn die Summe der gewichteten Kanten kleiner als Null wird.\\
-Der Floyd-Warshall-Algorithmus besteht grundsätzlich aus Floyd's Berechnung der kürzesten Distanzen zwischen zwei Knoten und Warshall's Konstruktion der kürzesten Wege. Werden diese beiden Teilgebiete zusammengefügt, ergibt sich der Floyd-Warshall-Algorithmus.
+Bei der euklidischen Heuristik wird die Abschätzfunktion $f(k)$ für jeden Knoten $k$ durch euklidische Distanz zum Zielknoten $b$ gebildet.
+\begin{equation}
+f(k)=\sqrt{(x_k-x_b)^2+(y_k-y_b)^2}
+\end{equation}
+
+Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten von Verkehrsnetzen zur Berechnung der Distanz verwendet werden können, ist bei virtuellen Netzwerken (z.B. Servernetzen) entweder nicht möglich, oder nicht relevant. Hier können hingegen andere Eigenschaften des Netzwerks verwendet werden, auf welche in diesem Paper nicht weiter eingegangen wird.
 
-\subsubsection{Anwendung Floyd-Warshall-Algorithmus}
+\subsection{Floyd-Warshall-Algorithmus}
+Der Floyd-Warshall-Algorithmus, auch Tripel-Algorithmus genannt, wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt.
+Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die günstigsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algrithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ein Kreis, sprich ein Weg mit identischem Start- und Zielknoten, ist negativ, falls die Summe der Kantengewichte des Weges kleiner als null ist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis.
 
-Wie oben erwähnt, besteht der Floyd-Warshall-Algorithmus aus dem Teil von Floyd zur Berechnung der kürzesten Pfade und dem Teil von Warshall zur Konstruktion der kürzesten Pfade.
+\subsection{Anwendung Floyd-Warshall-Algorithmus}
 
 %THEORIE...
-Als erstes wird eine Gewichtsmatrix $W$ mit den Matrixeinträgen $W[i, j]$ erstellt.
+In einem ersten Schritt wird eine Gewichtsmatrix $W$ mit den Matrixeinträgen $W[i, j]$ erstellt.
 Der Algorithmus berechnet danach in einer Hauptschleife alle Knoten $k$ von 1 bis $n$.
 Dabei versucht er in jeder Iteration alle Wege von $i$ nach $j$ durch die Wege $(i, k)$ und $(k, j)$ zu verbessern.
-Falls dieser mögliche Umweg zu einer Verbesserung führt, wird der Algorithmus aktualisiert.
+Falls dieser mögliche Umweg zu einer Verbesserung führt, wird der entsprechende Eintrag aktualisiert.
 
 Die aktuelle Gewichtung der Pfade wird mit
-\begin{equation}d[i, j]=min[d[i,j], d[i,k] + d[k,i]]\end{equation}
+\begin{equation}d[i, j]=\min[d[i,j], d[i,k] + d[k,i]]\end{equation}
 ermittelt.
 
-\subsubsection{Euklidische Heuristik}
-Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar.
-Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten von Verkehrsnetzen zur Berechnung der Distanz verwendet werden können, ist bei virtuellen Netzwerken (z.B. Servernetzen) entweder nicht möglich, oder nicht relevant.
 
-\subsection{PageRank-Algorithmus}
-Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc..
-Beim PageRank-Algorithmus handelt es sich um den Algorithmus von Google, aus dem die Google-Matrix abgeleitet wird.
-Die Google-Matrix ist eine immens grosse Matrix mit Millionen Zeilen und Spalten, die für die schnelle und vor allem exakte Bestimmung der PageRanks (Gewichtung) eine grosse Bedeutung hat.
-Der PageRank-Algorithmus analysiert und gewichtet beispielsweise die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur.
-Der PageRank wird umso höher, je mehr hochwertige Links auf eine Webseite verweisen und je höher die Gewichtung einer Webseite ist, desto grösser ist der Effekt.\\
-Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess. Ausgegangen wird von der Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt.
 
-%THEORIE...
-Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseinander, wie eine Suchmaschine wie Google Suchresultate bewertet und somit sortieren soll. Öfters aufgerufene Resultate sollen schliesslich höher gewichtet werden. Dabei wird angenommen, dass eine Website populärer ist, je mehr andere Websites darauf verweisen.
+\section{PageRank-Algorithmus}
+Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc.
+Beim PageRank-Algorithmus handelt es sich nicht um einen Suchalgorithmus, stattdessen werden Knoten aufgrund der Vernetzung des vorliegenden Graphen bewertet.
+Verwendet wird er beispielsweise um die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur zu bewerten und relevante Suchergebnisse zu ermittteln. Der PageRank wird umso höher, je mehr hochwertige Links auf eine Webseite verweisen und je höher die Gewichtung einer Webseite ist, desto grösser ist der Effekt.\\
+Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess. Ausgegangen wird von der Adjazenz-Matrix $A$, für welche folgendes gilt:
 
 \begin{equation}
 A_{i,j}=\left\{ \begin{matrix}
@@ -103,16 +79,20 @@ A_{i,j}=\left\{ \begin{matrix}
 \label{verkehr:Adja}
 \end{equation}
 
+%THEORIE...
+Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseinander, wie eine Suchmaschine wie Google Suchresultate bewertet und somit sortieren soll. Öfters aufgerufene Resultate sollen schliesslich höher gewichtet werden. Dabei wird angenommen, dass eine Website populärer ist, je mehr andere Websites darauf verweisen.
+
+
 
-Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1...n\right\}\end{equation}
+Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1\dots n\right\}\end{equation}
 Beim PageRank-Algorithmus wird eine abgewandelte Form der Adjazenz-Matrix verwendet.
-Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt.
-\begin{equation} P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \end{equation}
+Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt:
+\( P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \)
 Anschliessend multipliziert man diese Matrix $P$ mit einem Spaltenvektor $\Vec{r_0}$ mit $n$ Einträgen, für welchen gilt:
-\begin{equation} \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1...n\right\} \end{equation}
+\( \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1\dots n\right\} \)
 Dieser Vektor stellt ein neutrales Ranking dar. Alle Knoten werden gleich gewichtet.
-Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das "erste" Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt.
-\begin{equation} \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\end{equation}
-somit
-\begin{equation} \Vec{r_i} = P^i\cdot\Vec{r_0}\end{equation}
-Der Vektor $\Vec{r_i}$ konvergiert zu einem Eigenvektor von $P$ und stellt das abschliessende Ranking dar.
+Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das ``erste'' Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt:
+\( \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\)
+und somit allgemein:
+\( \Vec{r_i} = P^i\cdot\Vec{r_0}\)
+Der Vektor $\Vec{r_i}$ konvergiert zu einem Eigenvektor von $P$ der das abschliessende Ranking darstellt.