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index 0db5617..ad9bcc2 100644
--- a/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex
+++ b/buch/papers/clifford/0_ElevatorPitch.tex
@@ -1,2 +1,6 @@
-TODO...
-GA [Geometric Algebra i.a.W. Clifford Algebra] provides a unified language for the whole of physics and for much of mathematics and its applications that is conceptually and computationally superior to alternative mathematical systems in many application domains.
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+
+Der Nutzen, welche die Clifford Algebra hat, lässt sich am besten mit den Worten des modernen Begründers dieser erläutern.
+
+"GA [Geometric Algebra i.a.W. Clifford Algebra] provides a unified language for the whole of physics and for much of mathematics and its applications that is conceptually and computationally superior to alternative mathematical systems in many application domains." \cite{clifford:hestenes_GA} 
+
+Im folgenden hoffen wir den Leser von der Nützlichkeit und der geometrischen Schönheit der Clifford Algebra zu überzeugen.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex
index 88a5789..ac00a33 100644
--- a/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex
+++ b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex
@@ -1,7 +1,7 @@
 \section{Vektoroperationen\label{clifford:section:Vektoroperationen}}
 \rhead{Vektoroperationen}
 \subsection{Vektordarstellung\label{clifford:section:Vektordarstellung}}
-Vektoren können neben der üblichen Darstellung, auch als Linearkombination aus Basisvektoren dargestellt werden
+Vektoren können neben der üblichen Spaltendarstellung, auch als Linearkombination aus Basisvektoren
 \begin{equation}
     \begin{split}
     \textbf{a} 
@@ -31,12 +31,14 @@ Vektoren können neben der üblichen Darstellung, auch als Linearkombination aus
     \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i
     \qquad
     a_i \in \mathbb{R}
-    , \textbf{e}_i \in \mathbb{R}^n.
+    , \textbf{e}_i \in \mathbb{R}^n
     \end{split}
 \end{equation}
-Diese Basisvektoren sollen orthonormal sein und um die Darstellung zu vereinfachen werden sie durch $\textbf{e}_1 , \textbf{e}_2, ...$ ersetzt.
+dargestellt werden.
+Diese Basisvektoren werden so gewählt, dass sie orthonormal sind. 
+Um die Darstellung zu vereinfachen werden sie durch $\textbf{e}_1 , \textbf{e}_2, \dots$ ersetzt.
 \begin{beispiel}
-Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$
+Eine Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$ könnte wie folgt aussehen
     \begin{equation}
         \begin{pmatrix} 
         42 \\ 2 \\ 1291 \\ 4    
@@ -65,7 +67,7 @@ Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$
         + 
         1291\textbf{e}_3
         + 
-        4\textbf{e}_4
+        4\textbf{e}_4.
     \end{equation}
+Dieses Beispiel ist für einen vier dimensionalen Vektor, dies kann selbstverständlich für beliebig viele Dimensionen nach demselben Schema erweitert werden.
 \end{beispiel}
-Wobei Beispiel für einen vier dimensionalen Vektor ist, dies kann selbstverständlich für beliebig viele Dimensionen nach demselben Schema erweitert werden.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex
index cfb05d6..6c6fb7d 100644
--- a/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex
+++ b/buch/papers/clifford/2_QuadratVektoren.tex
@@ -1,54 +1,71 @@
 \subsection{Quadrat von Vektoren}
-Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen, was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt mag anfänglich unintuitiv wirken. 
+\subsubsection{Ziel der Multiplikation}
+Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen wie in Abbildung \ref{figure:addition}, was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt mag anfänglich unintuitiv wirken.
+\begin{figure}[htb]
+	\centering
+		\begin{tikzpicture}
+			\draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4);
+			\draw[blue,thick,->] (0,0)--(3.5,2) node[midway,above,sloped] {$\textbf{a}$};
+			\draw[red,thick,->] (3.5,2)--(1.5,3.8) node[midway,above,sloped] {$\textbf{b}$};
+			\draw[black,thick,->] (0,0)--(1.5,3.8)node[midway,above,sloped] {$\textbf{a} +\textbf{b} = \textbf{c} $};
+		\end{tikzpicture}
+		\caption{Addition von zwei Vektoren\label{figure:addition}}
+\end{figure}
 Was soll es schon heissen zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren? 
-\newline
 Im Folgenden werden wir versuchen diese Operation ähnlich intuitiv darzustellen.
-\newline
-Um sinnvoll eine neue Operation zwischen zwei Elementen einer Algebra, in diesem Fall Vektoren, zu definieren, muss man überlegen, was das Ziel dieser Operation ist. 
-Als grundsätzliches Ziel wird definiert, dass das Quadrat eines Vektor dessen Länge im Quadrat ergibt, da dies auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik,zum Beispiel bei komplexen Zahlen, auch so definiert ist.  
-\newline 
-Zusätzlich wollen wir auch das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz für Skalare beibehalten. Wobei das Kommutativgesetz leider, oder wie man sehen wird zum Glück, in der geometrischen Algebra im generellen nicht mehr gilt. Das heisst wir dürfen ausklammern \ref{eq:assoziativ} und die Position von Skalaren im Produkt ändern \ref{eq:kommSkalar}, allerdings nicht die Position der Vektoren \ref{eq:kommVector}.
+
+Um sinnvoll eine neue Operation zwischen zwei Elementen einer Algebra, in diesem Fall sind diese Elemente Vektoren, zu definieren, muss man überlegen, was das Ziel dieser Operation sein soll.
+ 
+Als grundsätzliches Ziel wird definiert, dass das Quadrat eines Vektor dessen Länge im Quadrat ergibt, da dies auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik,zum Beispiel bei komplexen Zahlen,so definiert ist.  
+
+Zusätzlich soll auch das Assoziativgesetz für die Multiplikation von Vektoren gelten, dass heisst wir dürfen ausklammern
 \begin{equation}
     \label{eq:assoziativ}
     \textbf{e}_i(\textbf{e}_j + \textbf{e}_k) 
     = 
-    \textbf{e}_i\textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_k 
+    \textbf{e}_i\textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_k.
 \end{equation}
+Allerdings gilt das Kommutativgesetz leider, oder wie man sehen wird zum Glück, nur für skalare Elemente 
 \begin{equation}
     \label{eq:kommSkalar}
     a\textbf{e}_ib\textbf{e}_j 
     = 
-    ab\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+    ab\textbf{e}_i\textbf{e}_j \qquad a,b \in \mathbb{R}
 \end{equation}
+und nicht für Vektoren
 \begin{equation}
     \label{eq:kommVector}
     \textbf{e}_i\textbf{e}_j 
     \neq 
-    \textbf{e}_j\textbf{e}_i
+    \textbf{e}_j\textbf{e}_i.
+\end{equation}
+\subsubsection{Quadrieren eines Vektors}
+Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors. Zuerst werden die Vektoren als Linearkombinationen geschrieben
+\begin{equation}
+	    \textbf{a}^2 = 
+		\left ( 
+		\sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i 
+		\right ) 
+		\left ( 
+		\sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i 
+		\right )
+		\label{eq:quad_a_1}.
+\end{equation}
+Das Quadrat kann nun in zwei Summen aufgeteilt werden
+\begin{equation}
+	\textbf{a}^2 =
+	\textcolor{red}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2\textbf{e}_i^2} 
+	+ 
+	\textcolor{blue}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j } 
+	\label{eq:quad_a_2},
+\end{equation}
+wobei die roten Summe die quadrierten Terme und die blaue Summe die Mischterme beinhaltet. Da $\textbf{e}_i^2 = 1$ gilt, weil das zuvor definierte Ziel des Quadrates eines Vektors dessen Länge ergibt und die Basisvektoren Länge 1 haben, wird dies nun eingesetzt
+\begin{equation}
+	\textbf{a}^2 = \textcolor{cyan}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \textcolor{orange}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j}.
+	\label{eq:quad_a_3}
 \end{equation}
-Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors.
-\begin{align}
-    \textbf{a}^2 &= 
-    \left ( 
-    \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i 
-    \right ) 
-    \left ( 
-    \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i 
-    \right )
-    \label{eq:quad_a_1}
-    \\
-    &= 
-    \textcolor{red}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2\textbf{e}_i^2} 
-    + 
-    \textcolor{blue}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j } 
-    \label{eq:quad_a_2}
-    \\
-    &= \textcolor{cyan}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \textcolor{orange}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j}.
-    \label{eq:quad_a_3}
-\end{align}
-
 \begin{beispiel}
-Quadrat eines Vektors in $\mathbb{R}^2$
+Das Quadrat des Vektor $a$ in $\mathbb{R}^2$ ist
 \begin{equation}
     \begin{split}
     \textbf{a}^2 
@@ -56,22 +73,17 @@ Quadrat eines Vektors in $\mathbb{R}^2$
     &= \textcolor{red}{a_1^2\textbf{e}_1^2 + a_2^2\textbf{e}_2^2} 
     + \textcolor{blue}{a_1\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}   \\\
     & = \textcolor{cyan}{a_1^2 + a_2^2} + \textcolor{orange}{a_1b\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}
-    \end{split}
+    \end{split}.
 \end{equation}
-
 \end{beispiel}
-Der Vektor wird in \ref{eq:quad_a_1} als Linearkombination geschrieben.
-Das Quadrat kann, wie in \ref{eq:quad_a_2} gezeigt, in zwei Summen aufteilen werden , wobei die roten Summe die quadrierten Terme und die blaue Summe die Mischterme beinhaltet. 
-\newline
-Da $\textbf{e}_i^2 = 1$ gilt, da zuvor vorausgesetzt wurde, dass man mit orthonormalen Einheitsvektoren arbeitet, wird dies nun eingesetzt ergibt sich \ref{eq:quad_a_3}
-\newline
-Die hellblaue Teil ist nun bereits Länge im Quadrat eines Vektors, also das Ziel der Multiplikation. 
-Daher muss der restliche Teil dieser Gleichung null ergeben. 
-Aus dieser Erkenntnis leiten wir in \ref{eq:Mischterme_Null} weitere Eigenschaften für die Multiplikation her.
+
+Die hellblaue Teil ist nun bereits die Länge im Quadrat, also das zuvor definierte Ziel der Multiplikation. 
+Daraus lässt sich schliessen, dass der restliche Teil dieser Gleichung null ergeben muss
 \begin{equation}
     \label{eq:Mischterme_Null}
-    \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j  = \textcolor{blue}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots =  0
+    \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j  = \textcolor{blue}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots =  0.
 \end{equation}
+Aus dieser Erkenntnis können weitere Eigenschaften für die Multiplikation hergeleitet werden.
 Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_2$ gleich null gesetzt. Somit fallen alle Terme bis auf den blauen weg. Wird dies weiter vereinfacht ergibt sich
 \begin{equation}
 \begin{split}
@@ -81,15 +93,13 @@ Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_
 \end{split}
 \end{equation}
 \begin{satz}
-    Die Multiplikation von Vektoren ist antikommutativ, wenn die multiplizierten Vektoren orthogonal sind.
+  Die Multiplikation von Vektoren ist antikommutativ, wenn die multiplizierten Vektoren orthogonal sind, es gilt also
     \begin{equation}
-        \textbf{e}_i\textbf{e}_j = -\textbf{e}_j\textbf{e}_i \qquad \textbf{e}_i \perp \textbf{e}_j
+        \textbf{e}_i\textbf{e}_j = -\textbf{e}_j\textbf{e}_i \quad \textrm{für} \quad \textbf{e}_i \perp \textbf{e}_j.
     \end{equation}
 \end{satz}
-Dieses Wissen reicht nun bereits um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen, was in \ref{tab:multip_vec} gemacht wurde.
+Dieses Wissen reicht nun bereits um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen, was in Tabelle \ref{tab:multip_vec} gemacht wurde.
 \begin{table}
-\caption{Multiplikationstabelle für Vektoren}
-\label{tab:multip_vec}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c| } 
  \hline
@@ -107,4 +117,6 @@ Dieses Wissen reicht nun bereits um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen
  \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
+\caption{Multiplikationstabelle für Vektoren}
+\label{tab:multip_vec}
 \end{table}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex
index 841dde4..0969b89 100644
--- a/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex
+++ b/buch/papers/clifford/3_MultiplikationVektoren.tex
@@ -1,11 +1,14 @@
 \subsection{Multiplikation von Vektoren}
-Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren,$u$ und $v$, miteinander multipliziert werden?
+Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren, $u$ und $v$
 \begin{equation}
     \textbf{u} = 
     \sum_{i=1}^{n} u_i \textbf{e}_i 
     \qquad 
     \textbf{v} = \sum_{i=1}^{n} v_i \textbf{e}_i
 \end{equation}
+ miteinander multipliziert werden? 
+ 
+ Wieder werden die Vektoren zuerst als Linearkombinationen darstellen und danach in zwei Summen aufgeteilt, eine Summe mit quadrierten Termen und eine Summe mit Mischtermen
 \begin{equation}
     \begin{split}
         \textbf{u}\textbf{v} 
@@ -18,12 +21,12 @@ Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren,$u$ und $v$, miteinander multipli
         \right) 
         = 
         \sum_{i=1}^n u_iv_i\underbrace{\textbf{e}_i^2}_{1} 
-        + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
+        + \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j,
     \end{split}
 \end{equation}
+wobei die Summe der quadrierten Termen bereits bekannt vorkommen könnte, es ist nämlich das Skalarprodukt von $u$ und $v$. Die Summe der Mischterme bilden etwas neues, dass wir das äussere Produkt von $u$ und $v$ nennen.
 \begin{beispiel}
     Multiplikation von Vektoren in $\mathbb{R}^2$
-\end{beispiel}
 \begin{equation}
     \begin{split}
         \textbf{u}\textbf{v} 
@@ -44,7 +47,7 @@ Was geschieht nun wenn zwei beliebige Vektoren,$u$ und $v$, miteinander multipli
         \underbrace{(u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2}_{\text{Äusseres Produkt}}
     \end{split}
 \end{equation}
-Der linke Teil dieser Multiplikation ergibt das Skalarprodukt der zwei Vektoren, der rechte Term ergibt etwas neues das sich das äussere Produkt der zwei Vektoren nennt.
+\end{beispiel}
 \subsubsection{Äusseres Produkt}
 Das äussere Produkt von zwei Vektoren wird mit einem $\wedge$ dargestellt
 \begin{equation}
@@ -53,123 +56,118 @@ Das äussere Produkt von zwei Vektoren wird mit einem $\wedge$ dargestellt
     \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
 \end{equation}
 \begin{beispiel}
-Äusseres Produkt von zwei Vektoren in $\mathbb{R}^3$
-\end{beispiel}
+Das äusseres Produkt von zwei Vektoren in $\mathbb{R}^3$ ist
 \begin{equation}
-    \begin{split}
-        u \wedge v 
-        &= 
-        u_1v_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 
-        + 
-        u_1v_3\textbf{e}_1\textbf{e}_3 
-        + 
-        u_2v_2\textbf{e}_2\textbf{e}_3 
-        + 
-        u_2v_1\textbf{e}_2\textbf{e}_1 
-        + 
-        u_3v_1\textbf{e}_3\textbf{e}_1 
-        +
-        u_3v_2\textbf{e}_3\textbf{e}_2 \\\ 
-        &= 
-        (u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2 
-        + 
-        (u_1v_3 - v_3u_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_3 
-        + 
-        (u_2v_3 - u_3v_2)\textbf{e}_2\textbf{e}_3
-    \end{split}
+	\begin{split}
+		u \wedge v 
+		&= 
+		u_1v_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 
+		+ 
+		u_1v_3\textbf{e}_1\textbf{e}_3 
+		+ 
+		u_2v_2\textbf{e}_2\textbf{e}_3 
+		+ 
+		u_2v_1\textbf{e}_2\textbf{e}_1 
+		+ 
+		u_3v_1\textbf{e}_3\textbf{e}_1 
+		+
+		u_3v_2\textbf{e}_3\textbf{e}_2 \\\ 
+		&= 
+		(u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2 
+		+ 
+		(u_1v_3 - v_3u_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_3 
+		+ 
+		(u_2v_3 - u_3v_2)\textbf{e}_2\textbf{e}_3.
+	\end{split}
 \end{equation}
-Im letzten Schritt des Beispiels wurden nun, mit Hilfe der antikommutativität des Produkts, die Vektorprodukte, welche die gleichen Einheitsvektoren beinhalten, zusammengefasst. Dieses Vorgehen kann man auch allgemein anwenden, wie in den Gleichungen \ref{eq:u_wedge_v}-\ref{eq:u_wedge_v_5} hergeleitet.
+\end{beispiel}
+
+Im letzten Schritt des Beispiels wurden nun, mit Hilfe der antikommutativität des Produkts, die Vektorprodukte, welche die gleichen Einheitsvektoren beinhalten, zusammengefasst. Dieses Vorgehen kann man auch allgemein anwenden, wie in den Gleichungen \eqref{eq:u_wedge_v}-\eqref{eq:u_wedge_v_5} hergeleitet. Die Summe,
 \begin{align}
         \textbf{u}\wedge \textbf{v}
         &= 
         \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  
-        u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
+        u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j,
         \label{eq:u_wedge_v}
-        \\
+        \intertext{wird in zwei verschiedene Summen aufgeteilt. 
+        	Wobei die linke Summe jeweils den Basisvektor mit dem höheren Index an erster Stelle und die rechte Summe diesen jeweils an zweiter Stelle hat}
         \label{eq:u_wedge_v_1}
         &= 
         \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
         + 
-        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\j < i\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
-        \\
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\j < i\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j. 
+        \intertext{Nun werden die Indexe der zweiten Summe vertauscht}
         \label{eq:u_wedge_v_2}
         &= 
         \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
         + 
-        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_j\textbf{e}_i
-        \\
-        \label{eq:u_wedge_v_3}
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_j\textbf{e}_i,
+       	\intertext{und diese wird nun mit Hilfe der Antikommutativität umgeformt zu}
         &= 
         \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_iv_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j 
         - 
-        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_i\textbf{e}_j
-        \\
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n u_jv_i\textbf{e}_i\textbf{e}_j.
+        \intertext{Nun können die zwei Summen wieder zusammengefasst werden}
         \label{eq:u_wedge_v_4}
         &= 
-        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n (u_iv_j -u_jv_i)\textbf{e}_i\textbf{e}_j
-        \\
-        \label{eq:u_wedge_v_5}
+        \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n (u_iv_j -u_jv_i)\textbf{e}_i\textbf{e}_j.
+        \intertext{Der Term in der Summe könnte einem bereits bekannt vorkommen, es ist nämlich die Determinante einer Matrix mit $u$ und $v$ als ihre Spalten}
         &= 
+        \label{eq:u_wedge_v_5}
         \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n \begin{vmatrix} 
         u_i & v_i \\
         u_j & v_j
-    \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+    \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j.
 \end{align}
-Die Summe aus \ref{eq:u_wedge_v_1} wird in \ref{eq:u_wedge_v} in zwei verschiedene Summen aufgeteilt. 
-Wobei die linke Summe jeweils den Basisvektor mit dem höheren Index an erster Stelle und die rechte Summe diesen jeweils an zweiter Stelle hat. 
-\newline
-Bei \ref{eq:u_wedge_v_2} werden die Indexe der zweiten Summe vertauscht, damit man nun bei beiden Teilen die gleiche Summe hat.
-Danach werden in \ref{eq:u_wedge_v_3}, mit Hilfe der Antikommutativität, die Einheitsvektoren der zweiten Summe vertauscht.
-\newline
-Nun können die Summen, wie in \ref{eq:u_wedge_v_4} wieder in eine Summe zusammengefasst werden.
-\newline
-Der Term in der Klammer in \ref{eq:u_wedge_v_4} kann auch als Determinante einer 2x2 Matrix dargestellt werden, was in \ref{eq:u_wedge_v_5} gemacht wird.
-\newline
-Die Determinante einer Matrix beschreibt welche von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, wie in Abbildung \ref{figure:det} dargestellt.
-\begin{figure}
-\centering
-\begin{tikzpicture}
-  \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4);
-  \draw[<->] (0,0)--(4,0) ;
-  \draw[<->] (0,0)--(0,4) ;
-  \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2);
-  \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north
-  west]{$\boldsymbol{u}$};
-  \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
-  \draw[black] (2,1.5)--(-0.5,2.5) node[anchor = east]{$\begin{vmatrix} 
-        u_i & v_i \\
-        u_j & v_j
-    \end{vmatrix} = u_iv_j - v_iu_j$};
-\end{tikzpicture}
-\caption{Geometrische Interpretation der Determinante einer 2x2 Matrix\label{figure:det}}
+Die Determinante einer Matrix beschreibt die Fläche, welche von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, wie in Abbildung \ref{figure:det} dargestellt.
+\begin{figure}[htb]
+	\centering
+	\begin{minipage}[t]{.45\linewidth}
+		\centering
+		\begin{tikzpicture}
+			\draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4);
+			\draw[<->] (0,0)--(4,0) ;
+			\draw[<->] (0,0)--(0,4) ;
+			\draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2);
+			\draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north
+			west]{$\boldsymbol{u}$};
+			\draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+			\draw[black] (2,1.5)--(1.8,3.2) node[anchor = south]{$\begin{vmatrix} 
+					u_i & v_i \\
+					u_j & v_j
+				\end{vmatrix} = u_iv_j - v_iu_j$};
+		\end{tikzpicture}
+		\caption{Geometrische Interpretation der Determinante einer $2 \times 2$ Matrix\label{figure:det}}
+	\end{minipage}%
+	\hfill%
+	\begin{minipage}[t]{.45\linewidth}
+		\centering
+		\begin{tikzpicture} 
+			\draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4);
+			\draw[<->] (0,0)--(4,0) node[right]{$x$};
+			\draw[<->] (0,0)--(0,4) node[above]{$y$};
+			\draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2);
+			\draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north
+			west]{$\boldsymbol{u}$};
+			\draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+			\draw[->] (2.15,1.5) arc (0:310:0.3);
+			\draw[black] (2,1.5)--(2.5,3.2) node[anchor = south]{$u\wedge v = \begin{vmatrix} 
+					u_i & v_i \\
+					u_j & v_j
+				\end{vmatrix} e_1e_2 = (u_iv_j - v_iu_j)\textbf{e}_1\textbf{e}_2$};
+		\end{tikzpicture}
+		\caption{Geometrische Interpretation des äusseren Produktes \label{figure:wedge}}
+	\end{minipage}
 \end{figure}
-\newline
 Das äussere Produkt besteht nun also aus der Summe 
-    $\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n$
+    \(\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i < j\end{subarray}}^n\)
     von Flächen 
-    $\begin{vmatrix} 
-        u_i & v_i \\
-        u_j & v_j
-    \end{vmatrix}$, welche in $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ aufgespannt sind, wie man in \ref{eq:u_wedge_v_5} sieht. 
+    \(\begin{vmatrix} 
+    	u_i & v_i \\
+    	u_j & v_j
+    \end{vmatrix}\)
+, welche in $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ aufgespannt sind, wie man in \ref{eq:u_wedge_v_5} sieht. 
 Dieses Produkt $\textbf{e}_i\textbf{e}_j$ der Basisvektoren interpretiert man als Umlaufrichtung.
 Wobei die gebildete Fläche in Richtung des ersten Vektors umschritten wird. 
-Dies ist in \ref{figure:wedge} dargestellt, wobei bei diesem Beispiel die Umlaufrichtung im Gegenuhrzeigersinn ist, da die Fläche in Richtung u umschritten wird. 
+Dies ist in Abbildung \ref{figure:wedge} dargestellt, wobei bei diesem Beispiel die Umlaufrichtung im Gegenuhrzeigersinn ist, da die Fläche in Richtung u umschritten wird. 
 Diese Fläche mit einer Richtung nennt man in der geometrischen Algebra einen Bivektor, da er eine Art zwei dimensionaler Vektor ist. 
-\begin{figure}
-\centering
-\begin{tikzpicture}
-  \draw[thin,gray!40] (0,0) grid (4,4);
-  \draw[<->] (0,0)--(4,0) node[right]{$x$};
-  \draw[<->] (0,0)--(0,4) node[above]{$y$};
-  \draw[line width=0,fill=gray!40] (0,0)--(3,1)--(4,3)--(1,2);
-  \draw[line width=2pt,blue,-stealth](0,0)--(3,1) node[anchor=north
-  west]{$\boldsymbol{u}$};
-  \draw[line width=2pt,red,-stealth](0,0)--(1,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
- \draw[->] (2.15,1.5) arc (0:310:0.3);
-  \draw[black] (2,1.5)--(-0.5,2.5) node[anchor = east]{$u\wedge v = \begin{vmatrix} 
-        u_i & v_i \\
-        u_j & v_j
-    \end{vmatrix} e_1e_2 = (u_iv_j - v_iu_j)\textbf{e}_1\textbf{e}_2$};
-\end{tikzpicture}
-\caption{Geometrische Interpretation des äusseren Produkt in $\mathbb{R}^2$\label{figure:wedge}}
-\end{figure}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex
index a19e983..f18b90d 100644
--- a/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex
+++ b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex
@@ -12,9 +12,9 @@ Ein Multivektor besteht aus den verschiedenen Bauteilen, wie zum Beispiel Vektor
     M = \sum \left ( \prod a_i\textbf{e}_j \right)
 \end{equation}
 \end{definition}
-Besteht eine Clifford Algebra aus n Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $\mathbb{G}^n$ beschrieben. 
+Besteht eine Clifford Algebra aus n Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $G_n(\mathbb{R})$ beschrieben. Dies wird so geschrieben da man eine neue Algebrastruktur um die Vektoren einführt.
 \begin{beispiel}
-Allgemeiner Multivektor in $\mathbb{G}^3$
+Allgemeiner Multivektor in $G_3(\mathbb{R})$
 \begin{equation}
     M = a 
     + 
@@ -26,34 +26,30 @@ Allgemeiner Multivektor in $\mathbb{G}^3$
 \end{equation}
 \end{beispiel}
 \begin{definition}
-Um das Produkt von Basisvektoren in Zukunft darzustellen wird folgende Notation definiert
+Für das Produkt von Basisvektoren wird folgende Notation definiert
     \begin{equation}
-        e_ie_j = e_{ij}
+        e_ie_j = e_{ij}.
     \end{equation}
 \end{definition}
-Nun da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $\mathbb{G}^n$ erstellt werden. In \ref{tab:multip} ist dies für  $\mathbb{G}^3$ gemacht.
+Nun da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $G_n(\mathbb{R})$ erstellt werden. In Tabelle \ref{tab:multip} ist dies für  $G_3(\mathbb{R})$ gemacht.
 \begin{table}
-    \caption{Multiplikationstabelle für $\mathbb{G^3}$}
     \label{tab:multip}
     \begin{center}
-    \begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c|c|c| } 
+    \begin{tabular}{ |c|ccc|ccc|c| } 
      \hline
      1 & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ &$\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$\\
      \hline
      $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$\\
-     \hline
      $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_{12}$ & 1 & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$\\
-     \hline
      $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{23}$ & 1 & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_{12}$\\
      \hline
      $\textbf{e}_{12}$ & -$\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_1$& $\textbf{e}_{123}$ & -1 & $-\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{13}$ &  $-\textbf{e}_{3}$\\
-     \hline
      $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{1}$ & $\textbf{e}_{23}$ & -1 & $-\textbf{e}_{12}$ &  $\textbf{e}_{2}$\\
-     \hline
      $\textbf{e}_{23}$ &  $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & -1 & $-\textbf{e}_{1}$ \\
      \hline
      $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-\textbf{e}_{3}$& $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{1}$ & -1 \\
      \hline
     \end{tabular}
     \end{center}
+ 	\caption{Multiplikationstabelle für $G_3(\mathbb{R})$}
 \end{table}
diff --git a/buch/papers/clifford/references.bib b/buch/papers/clifford/references.bib
index ff829d6..9090005 100644
--- a/buch/papers/clifford/references.bib
+++ b/buch/papers/clifford/references.bib
@@ -4,32 +4,13 @@
 % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
 %
 
-@online{clifford:bibtex,
-	title = {BibTeX},
-	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
-	date = {2020-02-06},
-	year = {2020},
-	month = {2},
-	day = {6}
-}
-
-@book{clifford:numerical-analysis,
-	title = {Numerical Analysis},
-	author = {David Kincaid and Ward Cheney},
-	publisher = {American Mathematical Society},
-	year = {2002},
-	isbn = {978-8-8218-4788-6},
-	inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
-	volume = {2}
-}
-
-@article{clifford:mendezmueller,
-        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
-        title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
-        journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
-        year = 2019,
-        volume = 47,
-        pages = {607--627},
-        url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
+@article{clifford:hestenes_GA,
+        author = { David Hestenes, Garret Eugene Sobczyk and James S. Marsh },
+        title = { Clifford Algebra to Geometric Calculus. A Unified Language for Mathematics and Physics },
+        journal = { American Journal of Physics },
+        year = 1985,
+        volume = 53,
+        pages = {24},
+        url = {https://www.researchgate.net/publication/258944244_Clifford_Algebra_to_Geometric_Calculus_A_Unified_Language_for_Mathematics_and_Physics}
 }
 
diff --git a/buch/papers/erdbeben/main.tex b/buch/papers/erdbeben/main.tex
index 8f9c8d5..95f1f4b 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/main.tex
+++ b/buch/papers/erdbeben/main.tex
@@ -3,30 +3,11 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:erdbeben}}
+\chapter{Erdbebenmessung\label{chapter:erdbeben}}
 \lhead{Thema}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
-
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
-
+\chapterauthor{Lukas Zogg und
+Fabio Veicelli}
 \input{papers/erdbeben/teil0.tex}
 \input{papers/erdbeben/teil1.tex}
 %\input{papers/erdbeben/teil2.tex}
diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex
index 8ac5d6d..8ce8ff2 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex
+++ b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex
@@ -3,19 +3,28 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %%
-\section{Teil 0\label{erdbeben:section:teil0}}
+\section{Was ist ein Erdbeben? \label{erdbeben:section:teil0}}
 \rhead{Erdbeben}
-\section{Erdbebenmessung}
-\subsection{Was ist ein Erdbeben}
-Fabio
+Für das Verständnis möchten wir zuerst erklären, was ein Erdbeben genau ist.
+Das soll uns helfen, eine Verknüpfung zwischen dem Naturphänomen und der mathematischen Problemstellung herzustellen.
+
+Unter einem Erdbeben verstehen wir eine Erschütterung des Erdkörpers.
+Dabei reiben zwei tektonische Platten aneinander, welche sich durch die Gesteinsverzahnung gegenseitig blockieren.
+Diese Haftreibung durch die Steine wird so lange aufgebaut, bis sie nicht mehr gehalten werden kann.
+Wenn dies passiert, entlädt sich die aufgebaute Spannung und setzt enorme Energien frei, die wir als Erdbeben wahrnehmen.
+Ein Erdbeben breitet sich vom Erdbebenherd in allen Richtungen gleich aus.
+Vergleichbar ist, wenn man einen Stein in einen Teich wirft und die Wellen beobachten kann, die sich ausbreiten.
+
 \subsection{Funktion eines Seismograph}
 Um ein Erdbeben kenntlich zu machen, werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. 
-Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, bleibt die gekoppelte Masse stehen aber das Gehäuse schwingt mit.
+Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, schwing das Gehäuse und dadurch auch die gekoppelte Masse. 
+Stoppt das Erdbeben, schwingt das Gehäuse nicht mehr. 
+Die Masse schwing jedoch in seiner Eigendynamik weiter. 
 Relativbewegung des Bodens kann damit als Auslenkung im Zeitverlauf gemessen werden.
 In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. 
-Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen mit eine Gehäuse, an dem zwei Federn und eine Masse befestigt ist. 
+Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen mit eine Gehäuse, an dem zwei Federn und eine Masse befestigt sind. 
 Ein Sensor unter der Masse misst die Position, bzw. die Auslenkung der Feder und der Masse.
-Dies bedeutet unser Seismograph kann nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. 
+Dies bedeutet, unser Seismograph kann nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. 
 
 \begin{figure}
  \begin{center}
@@ -30,7 +39,7 @@ Wir wollen jedoch die Beschleunigung $a(t)$ des Boden bzw. die Kraft $f(t)$ welc
 Anhand dieser Beschleunigung bzw. der Krafteinwirkung durch die Bodenbewegung wird später das Bauwerk bemessen.
 Dies bedeutet, die für uns interessante Grösse $f(t)$ wird nicht durch einen Sensor erfasst. 
 Jedoch können wir durch zweifaches ableiten der Positionsmessung $s(t)$ die Beschleunigung der Masse berechnen. 
-Das heisst: Die Messung ist zweifach Integriert die Kraft $f(t)$ + der Eigendynamik der Masse.
+Das heisst: Die Messung ist zweifach Integriert die Kraft $f(t)$ inklusive der Eigendynamik der Masse.
 Um die Bewegung der Masse zu berechnen, müssen wir Gleichungen für unser System finden.
 
 \subsection{Systemgleichung}
@@ -40,21 +49,21 @@ Diese lautet:
 m\ddot s + 2k \dot s + Ds = f
 \end{equation}
 mit den Konstanten $m$ = Masse, $k$ = Dämpfungskonstante und $D$  = Federkonstante.
-Um diese nun in die Systemmatrix umzuwandeln, wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung substituiert:
-\[ {x_1}=s \qquad
-{x_2}=\dot s,  \qquad\]
-Somit entstehen die Gleichungenür die Position $s(t)$ der Masse :
-\[ \dot {x_1} = {x_2}\] 
+Da die DGL linear ist, kann sie in die kompaktere und einfachere Matrix-Form umgewandelt werden. Dazu wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung substituiert:
+\[ {s_1}=s \qquad
+{s_2}=\dot s,  \qquad\]
+Somit entstehen die Gleichungen für die Position $s(t)$ der Masse :
+\[ \dot {s_1} = {s_2}\] 
 und
-\[ \dot x_2 = -\frac{D}{m} {x_1} -\frac{2k}{m} {x_2} + \frac{f} {m} \] für die Geschwindigkeit $v(t)$ der Masse.
+\[ \dot s_2 = -\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] für die Beschleunigung $a(t)$ der Masse.
 
 Diese können wir nun in der Form
-\[ {x_3}=-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \]
+\[ {s_3}=-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \]
 auch als Matrix-Vektor-Gleichung darstellen.
 Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. 
 Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen System. 
 Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt. 
-Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). 
+Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse, innere Beschleunigung, als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur, äussere Beschleunigung. 
 In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbebenanregung gleich kommt. 
 \begin{equation}
 \frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2}  \end{array}\right) = \left(
@@ -70,11 +79,13 @@ Durch Rücksubstituion ergibt sich:
  \begin{array}{ccc} 	
 0 & 1& 0 \\ 
 - \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
+0 & 0 & 0\\
 \end{array}\right)  \left(\begin{array}{c} s(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right).
 \end{equation}
 Wir wissen nicht wie sich die Kraft verhält. 
-Deshalb treffen wir die Annahme, das sich die Kraft über die Beobachtungszeit nicht verändert. 
-Diese unzutreffende Annahme wird später durch einen grossen Systemfehler kompensiert. 
+Deshalb treffen wir die Annahme, das sich die Kraft über die Beobachtungszeit nicht verändert.
+Diese Annahme ist nicht zulässig, jedoch ist dies das beste, was wir Annehmen können. 
+Diese unzutreffende Annahme wird späteren Berechnungen berücksichtigen werden
 Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile mit Nullen gefüllt, denn genau diese Werte wollen wir. 
 
 
diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
index 52872f6..e07800f 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
+++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
@@ -15,7 +15,7 @@
 
 \section{Kalman-Filter}
 Da wir die äussere Kraft nicht direkt messen können, benötigen wir ein Werkzeug, welches aus der gemessenen Position, die Krafteinwirkung auf unsere System schätzt. 
-Dies ist eine Typische Anwendung für den linearen Kalman-Filter.
+Dies ist eine typische Anwendung für das Kalman-Filter.
 Unser Ziel ist es, anhand der Messung die eigentlich interessante Grösse $f$ zu bestimmen. 
 Dabei wird durch eine deterministische Vorhersage, in dem der Zustand * Eigendynamik des Systems gerechnet. 
 Die Idee dahinter ist, dass das Kalman-Filter die nicht-deterministische Grösse $f$ anhand der Messung und der Vorhersage zu bestimmen.
@@ -27,7 +27,9 @@ Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei dene
 Einfachheitshalber beschränken wir uns auf den linearen Fall, da dadurch die wesentlichen Punkte bereits aufgezeigt werden. 
 
 \subsection{Geschichte}
-Das Kalman-Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand errechnen. Eine typische Anwendungen des Kalman-Filters ist Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern. Dies kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor.
+Das Kalman-Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt.
+Das Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. 
+Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand errechnen. Eine typische Anwendungen des Kalman-Filters ist Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern. Dies kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor.
 
 \subsection{Wahrscheinlichkeit}
 Das Kalman-Filter schätzt den wahrscheinlichsten Wert zwischen Normalverteilungen.
@@ -80,7 +82,7 @@ Sie ist also gewichtet und die best mögliche Schätzung.
 \end{figure}
 
 
-Was in 2 Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. 
+Was in zwei Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. 
 Dieses Prinzip mach sich das Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt. 
 
 \section{Filter-Matrizen}
@@ -105,7 +107,7 @@ Kovarianz: Cov(x, y) und Varianz: Var(x) = Cov(x, x)
 
 In unserem Fall ist der Anfangszustand gut bekannt. 
 Wir gehen davon aus, dass das System in Ruhe und in Abwesenheit eines Erdbeben startet, somit kann die Matrix mit Nullen bestückt werden. 
-Als Initialwert für die für die Kovarianzmatrix ergibt sich
+Als Initialwert für die Kovarianzmatrix ergibt sich
 
 \[ 
 {P_0 }=
@@ -127,7 +129,7 @@ Das Kalman-Filter benötigt für die Vorhersage des nächsten Zustandes eine Bes
 Die Dynamikmatrix bildet den Kern des Filters. Diese wurde weiter oben bereits beschrieben. 
 Dabei wollen wird die äussere Kraft des Systems ermitteln.
 Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, müssen wir annehmen das deren Ableitung 0 ist. 
-Die System Vektor-Gleichung lautet daher:
+Die System-Matrix lautet daher:
 \[ 
 A = \left(
  \begin{array}{ccc} 	
@@ -139,10 +141,12 @@ A = \left(
 Dabei soll der Kalman-Filter in diskreten Zeitschritten $\Delta t$ arbeiten. 
 Die Übergangs-Matrix erhalten wir aus der Systemdynamikmatrix mittels Exponentialfunktion: 
 \[\Phi = \exp(A\Delta t). \]
+Die Matrix $\Phi$ beschreibt die Übergänge zwischen zeitlich aufeinanderfolgenden Zuständen $x_{k-1}$ und $x_{k}$
 
 \subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix $Q$}
 Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie sich der Prozess verändert. 
-Kalman-Filter berücksichtigen Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. 
+Kalman-Filter berücksichtigen sowohl Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. 
+In der Matrix $Q$ geht es jedoch im die Unsicherheit die der Prozess mit sich bringt. 
 Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. 
 Für uns wäre dies:
 \[ 
@@ -158,22 +162,23 @@ Die Standabweichungen müssten statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht
 Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt und nicht die der Messung.
 
 \subsubsection*{Messmatrix $H$}
-Die Messmatrix gibt an, welche Parameter gemessen werden
+Die Messmatrix gibt an, welche Parameter gemessen werden. 
+$H$ ist die Gleichung die für die Vorhersage der Messung.
 In unserem Falle ist es die Position der Massen. 
 
 \[ H = (1, 0, 0) \]
 
 \subsubsection*{Messrauschkovarianz $R$}
-Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Positionsmessung. 
+Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name schon sagt, das Rauschen der Messung. 
 In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben ist $R$ lediglich:
 \[ R= ({\sigma_{sensor}}^2).
  \] 
 Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. 
-Für unsere Theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt da heutige Sensoren sehr genau messen können. 
+Für unsere theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt da heutige Sensoren sehr genau messen können. 
 
 \subsection{Fiter-Agorithmus}
 Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird das Filter initialisiert.
-Zuerst wird der nächste Zustand der Feder vorhergesagt, danach wird die Messung präzisiert und laufend zu aktualisieren. 
+Zuerst wird der nächste Zustand der Masse vorhergesagt, danach wird die Messung präzisiert und laufend aktualisiert. 
 Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. 
 Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. 
 Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt.
@@ -182,14 +187,14 @@ Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung
 Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. 
 Dies funktioniert mit dem Rechenschritt:
 \[ 
-{x_{k|k-1}}=\Phi \cdot {x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k|k-1}}.
+{x_{k-1}}=\Phi \cdot {x_{k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k-1}}.
  \] 
 
 Die Kovarianz $P_{pred}$ wird ebenfalls neu berechnet. Da wir ein mehrdimensionales System haben, kommt noch die Prozessunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ laufend verändert. 
 Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix mit dem aktualisierten Anfangsfehler. 
 Dazu wird noch die Prozessunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung
-\[ {P_{k|k-1}} = {\Phi_k}  {P_{k-1|k-1}} {\Phi_k} ^T + {Q_{k-1}} .\] 
-Es vergeht genau $dt$ Zeit, und dieser Vorgang wird wiederholt. 
+\[ {P_{k-1}} = {\Phi_k}  {P_{k-1}} {\Phi_k} ^T + {Q_{k-1}} .\] 
+Es vergeht genau $t$ Zeit, und dieser Vorgang wird wiederholt. 
 Dabei wird in den späteren Schritten überprüft, wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. 
 Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. 
 Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung.
@@ -199,10 +204,10 @@ Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für das Filter
 Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet.
 Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ mit der Vorhersage multipliziert
 
-\[{w_{k}}={z_{k}}-{H_{k}}\cdot{x_{k|k-1}}.\] 
+\[{w_{k}}={z_{k}}-{H}\cdot{x_{k-1}}.\] 
 
 Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. 
-Die Hilfsgröße Innovation beschreibt, wie genau die Vorhersage den aktuellen Messwert mittels der Systemmatrix $\phi$ beschreiben kann. 
+Die Hilfsgröße Innovation beschreibt, wie genau die Vorhersage den aktuellen Messwert mittels der Systemmatrix $\Phi$ beschreiben kann. 
 Für eine schlechte Vorhersage wird die dazugehörige Innovation gross, für eine genaue Vorhersage dagegen klein sein. 
 Entsprechende Korrekturen müssen dann gross bzw. nur gering ausfallen. 
 Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist intuitiv logisch, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte.
@@ -210,34 +215,34 @@ Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist intuitiv logisch, eine Innovation vo
 Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. 
 Hierbei wird die Unsicherheit $P$, die Messmatrix $H$ und die Messunsicherheit $R$ miteinander verrechnet. 
 \[ 
-{S_{k}}={H_{k}}{P_{k|k-1}}{H_{k}}^T+{R_{k}}
+{S_{k}}={H}{P_{k-1}}{H}^T+{R_{k}}
  \] 
 
 \subsubsection*{Aktualisieren}
-Im nächsten Schritt kommt nun die Wahrscheinlichkeit nach Gauss dazu. 
+Im nächsten Schritt kommt nun die Wahrscheinlichkeit dazu. 
 \[ 
-{K_{k}}= {{P_{k|k-1}} \cdot {H_{k}^T}}\cdot {S_{k}}^{-1} 
+{K_{k}}= {{P_{k-1}} \cdot {H_{k}^T}}\cdot {S_{k}}^{-1} 
  \] 
 Dieser Vorgang wird Kalman-Gain genannt. 
 Er sagt aus, welcher Kurve mehr Vertraut werden soll, dem Messwert oder der Systemdynamik.
-Das Kalman-Gain wird geringer wen der Messwert dem vorhergesagten Systemzustand entspricht. 
-Sind die Messwerte komplett anders als die Vorhersage, wo werden die Elemente in der Matrix $K$ grösser.
-Anhand der Informationen aus dem Kalman-Gain $K$ wird das System geupdated.
+Das Kalman-Gain wird geringer, wenn der Messwert dem vorhergesagten Systemzustand entspricht. 
+Sind die Messwerte komplett anders als die Vorhersage, werden die Elemente in der Matrix $K$ grösser.
+Anhand der Informationen aus dem Kalman-Gain $K$ wird das System aktualisiert.
 
 \[ 
-{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+({K_{k}}\cdot {w_{k}}) 
+{x_{k|k}}={x_{k-1}}+({K_{k}}\cdot {w_{k}}) 
  \] 
 
 Dazu kommt  eine neue Kovarianz für den nächste Vorhersageschritt:
 
 \[ 
-{P_{k|k}}=(I-({K_{k}} \cdot {H_{k}})) \cdot {P_{k|k-1}}  
+{P_{k}}=(I-({K_{k}} \cdot {H})) \cdot {P_{k-1}}  
  \] 
 
-Der ganze Ablauf wird nun zum Algorithmus und beginnt wieder mit der Vorhersage 
+Der ganze Algorithmus und beginnt wieder mit der Vorhersage 
 
 \[ 
-{x_{k|k-1}}=\Phi \cdot {x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k|k-1}}.
+{x_{k-1}}=\Phi \cdot {x_{k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k-1}}.
  \] 
 
 
@@ -246,20 +251,25 @@ Zusammenfassend kann das Kalman-Filter in offizieller Typus dargestellt werden.
 Dabei beginnt das Filter mit dem Anfangszustand für $k=0$
 
 1. Nächster Zustand vorhersagen
-\[{x_{k|k-1}}=\Phi \cdot {x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k|k-1}}.\] 
+\[{x_{k-1}}={\Phi} \cdot {x_{k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k-1}}.\] 
 
 2. Nächste Fehlerkovarianz vorhersagen
-\[{P_{k|k-1}}={\Phi _{k}} {P_{k-1|k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}.\] 
+\[{P_{k-1}}={\Phi} {P_{k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}.\] 
 
-3. Das Kalman Filter anwenden
-\[{K_{k}}= {P_{k|k-1}} \cdot {H_{k}^T}\cdot {S_{k}^{-1}}\] 
+3. Zustand wird gemessen
+\[{w_{k}}={z_{k}}-{H}\cdot{x_{k-1}}.\] 
 
-4. Schätzung aktualisieren
-\[{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+({K_{k}}\cdot {w_{k}}) \] 
+4. Innovation (= Messung -  Vorhersage)
+\[ {S_{k}}={H}{P_{k-1}}{H}^T+{R_{k}}\] 
 
-5. Fehlerkovarianz aktualisieren
-\[{P_{k|k}}=(I-({K_{k}}\cdot {H_{k}})) \cdot {P_{k|k-1}} \] 
+5. Das Kalman Filter anwenden
+\[{K_{k}}= {P_{k-1}} \cdot {H^T}\cdot {S_{k}^{-1}}\] 
 
+6. Schätzung aktualisieren
+\[{x_{k}}={x_{k-1}}+({K_{k}}\cdot {w_{k}}) \] 
 
-6. Die Outputs von $k$ werden die Inputs für ${k-1}$ und werden wieder im Schritt 1 verwendet
+7. Fehlerkovarianz aktualisieren
+\[{P_{k}}=(I-({K_{k}}\cdot {H})) \cdot {P_{k-1}} \] 
+
+8. Die Outputs von $k$ werden die Inputs für ${k-1}$ und werden wieder im Schritt 1 verwendet
 
diff --git a/buch/papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung.png b/buch/papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung.png
new file mode 100644
index 0000000..6c20bf4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung.png
diff --git a/buch/papers/munkres/figures/beispiel_munkres.png b/buch/papers/munkres/figures/beispiel_munkres.png
new file mode 100644
index 0000000..2303708
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/munkres/figures/beispiel_munkres.png
diff --git a/buch/papers/munkres/figures/bipartiter_graph.png b/buch/papers/munkres/figures/bipartiter_graph.png
new file mode 100644
index 0000000..87c164c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/munkres/figures/bipartiter_graph.png
diff --git a/buch/papers/munkres/main.tex b/buch/papers/munkres/main.tex
index 4dd20fa..8915a3d 100644
--- a/buch/papers/munkres/main.tex
+++ b/buch/papers/munkres/main.tex
@@ -3,34 +3,18 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:munkres}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Munkres-Algorithmus\label{chapter:munkres}}
+\lhead{Munkres-Algorithmus}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Marc Kühne}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
 
 \input{papers/munkres/teil0.tex}
 \input{papers/munkres/teil1.tex}
 \input{papers/munkres/teil2.tex}
 \input{papers/munkres/teil3.tex}
+\input{papers/munkres/teil4.tex}
+\input{papers/munkres/teil5.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/munkres/teil0.tex b/buch/papers/munkres/teil0.tex
index de522c7..1ef0538 100644
--- a/buch/papers/munkres/teil0.tex
+++ b/buch/papers/munkres/teil0.tex
@@ -3,20 +3,19 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 0\label{munkres:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{munkres:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
+\section{Geschichte\label{munkres:section:teil0}}
+\rhead{Geschichte}
+Die Ungarische Methode wurde 1955 von Harold Kuhn entwickelt und veröffentlicht.
+Der Name ``Ungarische Methode'' ergab sich, weil der Algorithmus
+weitestgehend auf den früheren Arbeiten zweier ungarischer Mathematiker
+basierte: Dénes Kőnig und Jenő Egerváry.
+James Munkres überprüfte den Algorithmus im Jahr 1957 und stellte fest,
+dass der Algorithmus (stark) polynomiell ist.
+Seitdem ist der Algorithmus auch als Kuhn-Munkres oder
+Munkres-Zuordnungsalgorithmus bekannt.
+Die Zeitkomplexität des ursprünglichen Algorithmus war $O(n^4)$,
+später wurde zudem festgestellt, dass er modifiziert werden kann,
+um eine  $O(n^3)$-Laufzeit zu erreichen.
 
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
 
 
diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex
index f4f5e39..7cbbbfd 100644
--- a/buch/papers/munkres/teil1.tex
+++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex
@@ -3,53 +3,19 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 1
+\section{Was ist die ungarische Methode?
 \label{munkres:section:teil1}}
 \rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{munkres:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{munkres:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{munkres:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{munkres:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
+Es ist ein kombinatorischer Optimierungsalgorithmus, der das Zuordnungsproblem
+in polynomieller Zeit löst.
+\begin{itemize}
+\item
+Polynom = vielgliedrig
+\end{itemize}
+Der Begriff polynomielle Laufzeit bedeutet, dass die Laufzeit des Programms
+wie $n^2$, $n^3$, $n^4$, etc.~wächst und vernünftig skaliert.
+Mit der ungarischen Methode können also lineare Optimierungsprobleme gelöst
+werden, die bei gewichteten Zuordnungen in bipartiten Graphen entstehen.
+Mit ihr kann die eindeutige Zuordnung von Objekten aus zwei Gruppen so
+optimiert werden, dass die Gesamtkosten minimiert werden bzw.~der
+Gesamtgewinn maximiert werden kann. 
diff --git a/buch/papers/munkres/teil2.tex b/buch/papers/munkres/teil2.tex
index 23536b9..29db8d7 100644
--- a/buch/papers/munkres/teil2.tex
+++ b/buch/papers/munkres/teil2.tex
@@ -3,38 +3,86 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 2 
+\section{Das Zuordnungsproblem
 \label{munkres:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
+\rhead{Das Zuordnungsproblem}
+Das (lineare) Zuordnungsproblem ist ein diskretes Optimierungsproblem aus
+der Graphentheorie.
+Es handelt sich um einen Spezialfall eines maximalen Matchings
+minimalen Gewichtes in einem bipartiten, gewichteten Graphen
+
+Vereinfacht gesagt sind Zuordnungsprobleme spezielle Transportprobleme.
+Der Unterschied zu klassischen Transportproblemen liegen darin,
+dass hier nicht Mengen möglichst kostenminimal von einem zum anderen
+Ort transportiert werden sollen, sondern es geht um die kostenminimale
+Zuordnung von z.~B.~Personen, oder Bau-Materialien auf bestimmte
+Orte, Stellen oder Aufgaben.
+Dabei sind alle Angebots- und Bedarfsmenge gleich 1 
+\begin{equation}
+a_{i}=b_{j}=1
+\end{equation}
+
+\subsection{Zuordnungsproblem in Netzwerkdarstellung
+\label{munkres:subsection:bonorum}}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung}
+\caption{Typische Netzwerkdarstellung eines Zuordnungsproblems.}
+\label{munkres:Vr2}
+\end{figure}
+
+\subsection{Matrix Formulierung
+\label{munkres:subsection:bonorum}}
+In der Matrixformulierung ist eine nicht-negative $n\times n$-Matrix
+gegeben, wobei das Element in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte
+die Kosten für die Zuweisung des $j$-ten Jobs an den $i$-ten Arbeiter
+darstellt.
+Wir müssen eine Zuordnung der Jobs zu den Arbeitern finden, so dass
+jeder Job einem Arbeiter zugewiesen wird und jeder Arbeiter einen
+Job zugewiesen bekommt, so dass die Gesamtkosten der Zuordnung
+minimal sind.
+Dies kann als Permutation der Zeilen und Spalten einer Kostenmatrix
+$C$ ausgedrückt werden, um die Spur einer Matrix zu minimieren:
+\begin{equation}
+\min(L,R)Tr (LCR)
+\end{equation}
+wobei $L$ und $R$ Permutationsmatrizen sind.
+Wenn das Ziel ist, die Zuordnung zu finden, die die maximalen Kosten
+ergibt, kann das Problem durch Negieren der Kostenmatrix $C$ gelöst
+werden.
+
+\subsection{Suche der optimalen Lösung
+\label{munkres:subsection:bonorum}}
+Ist eine maximale Zuordnung (maximales Matching) gefunden, so steht
+in jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element, das
+zur optimalen Lösung gehört, eine solche Gruppe von Positionen wird
+auch als Transversale der Matrix bezeichnet.
+Deshalb kann die Problemstellung auch anders formuliert werden: Man
+ordne die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so um, dass die Summe
+der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird.
+Hieraus wird sofort ersichtlich, dass es in einer 
+$n\times n$-Matrix genau so viele Möglichkeiten gibt, die Zeilen-
+bzw.~Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von $n$ Elementen
+gibt, also $n!$.
+Außer bei kleinen Matrizen ist es nahezu aussichtslos, die optimale
+Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden.
+Schon bei einer $10\times 10$-Matrix gibt es nahezu 3,63 Millionen (3.628.800)
+zu berücksichtigender Permutationen.
+
+\subsection{Formulierung Bipartiter Graph
 \label{munkres:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+Der Algorithmus ist einfacher zu beschreiben, wenn wir das Problem
+anhand eines bipartiten Graphen formulieren.
+Wir haben einen vollständigen zweistufigen Graphen $G=(S,T;E)$ mit
+$n$ Arbeiter-Eckpunkten ($S$) und $n$ Job-Scheitelpunkte ($T$), und
+jede Kante hat einen nichtnegativen Preis $c(i,j)$.
+Wir wollen ein perfektes Matching mit minimalen Gesamtkosten finden.
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/bipartiter_graph}
+\caption{$K_{3,3}$ vollständig bipartiter Graph mit 3 Knoten pro Teilmenge.}
+\label{munkres:Vr2}
+\end{figure}
 
diff --git a/buch/papers/munkres/teil3.tex b/buch/papers/munkres/teil3.tex
index b67ad74..806cd83 100644
--- a/buch/papers/munkres/teil3.tex
+++ b/buch/papers/munkres/teil3.tex
@@ -3,38 +3,102 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 3
+\section{Der Algorithmus in Form von bipartiten Graphen
 \label{munkres:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
+\rhead{Der Algorithmus in Form von bipartiten Graphen}
+Mit der ungarischen Methode können also lineare Optimierungsprobleme
+gelöst werden, die bei gewichteten Zuordnungen in bipartiten Graphen
+entstehen.
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
+Mit ihr kann die eindeutige Zuordnung von Objekten aus zwei Gruppen
+so optimiert werden, dass die Gesamtkosten minimiert werden bzw.~der
+Gesamtgewinn maximiert werden kann.
+
+Ein bipartiter Graph ist ein mathematisches Modell für Beziehungen
+zwischen den Elementen zweier Mengen.
+Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen» 
+
+\subsection{Beweis, dass der Algorithmus Fortschritte macht
+\label{munkres:subsection:malorum}}
+Wir müssen zeigen, dass der Algorithmus, solange das Matching nicht
+die maximal mögliche Größe hat, immer in der Lage ist, Fortschritte
+zu machen --- das heißt, entweder die Anzahl der übereinstimmenden
+Kanten zu erhöhen oder mindestens eine Kante zu straffen.
+Es genügt zu zeigen, dass bei jedem Schritt mindestens eine der
+folgenden Bedingungen erfüllt ist:
+
+\begin{itemize}
+\item
+$M$ die maximal mögliche Größe.
+\item
+$Gy$ enthält einen Erweiterungspfad.
+\item
+$G$ enthält einen losen Pfad: einen Pfad von einem Knoten in $Rs$
+zu einem Knoten in $T$ / $Z$ die aus einer beliebigen Anzahl von
+festen Kanten, gefolgt von einer einzelnen losen Kante, besteht.
+Die freie Kante einer freien Bahn ist also $Z$ (beinhaltet $T$),
+so garantiert es, dass Delta gut definiert ist.
+\end{itemize}
+Wenn $M$ die maximal mögliche Größe hat, sind wir natürlich fertig.
+Andernfalls muss es nach Berges Lemma im zugrundeliegenden Graphen
+$G$ einen Augmentierungspfad $P$ in Bezug auf $M$ geben.
+Dieser Pfad darf jedoch nicht in $G_y$ existieren: Obwohl jede
+geradzahlige Kante in $P$ durch die Definition von $M$ fest ist,
+können ungeradzahlige Kanten lose sein und in $G_y$ fehlen.
+Ein Endpunkt von $P$ liegt in $R_{S}$, der andere in $R_T$; w.l.o.g.,
+nehmen Sie an, es beginnt in $R_{S}$.
+Wenn jede Kante von $P$ dicht ist, dann bleibt sie ein augmentierender
+Pfad in $G_y$ und wir sind fertig.
+Andernfalls sei $uv$ die erste lose Kante auf $P$.
+Wenn $v$ kein Element von $Z$ ist, dann haben wir einen losen Pfad
+gefunden und sind fertig.
+Andernfalls ist $v$ von irgendeinem anderen Pfad $Q$ aus festen
+Kanten von einem Knoten in $R_{S}$ erreichbar.
+Sei $P_{v}$ der Teilpfad von $P$, der bei $v$ beginnt und bis zum
+Ende reicht, und sei $P'$ der Pfad, der gebildet wird, indem man
+entlang $Q$ gebildet wird, bis ein Scheitelpunkt auf $P_{v}$ erreicht
+wird, und dann weiter bis zum Ende von $P_{v}$.
+Beachten Sie, dass $P'$ ein erweiternder Pfad in $G$ mit mindestens
+einer losen Kante weniger als $P$ ist.
+$P$ kann durch $P'$ ersetzt und dieser Argumentationsprozess iteriert
+werden (formal, unter Verwendung von Induktion auf die Anzahl der
+losen Kanten), bis entweder ein erweiternder Pfad in $G_y$ oder ein
+losender Pfad in $G$ gefunden wird.
+
+\subsection{Beweis, dass die Anpassung des Potentials $y$ $M$ unverändert lässt
 \label{munkres:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
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+Um zu zeigen, dass jede Kante in $M$ nach der Anpassung von $y$
+erhalten bleibt, genügt es zu zeigen, dass für eine beliebige Kante
+in $M$ entweder beide Endpunkte oder keiner von ihnen in $Z$ liegen.
+Zu diesem Zweck sei $vu$ eine Kante in $M$ von $T$ nach $S$.
+Es ist leicht zu sehen, dass wenn $v$ in $Z$ ist, dann muss auch
+$u$ in $Z$ sein, da jede Kante in $M$ dicht ist.
+Nehmen wir nun an, dass $u$ kein Element von $Z$ und auch $v$ kein
+Element von $Z$ ist.
+$u$ selbst kann nicht in $R_{S}$ sein, da es der Endpunkt einer
+angepassten Kante ist, also muss es einen gerichteten Pfad von engen
+Kanten von einem Knoten in $R_{S}$ zu $u$ geben.
+Dieser Pfad muss $v$ vermeiden, da es per Annahme nicht in $Z$ ist,
+also ist der Knoten, der $u$ in diesem Pfad unmittelbar vorausgeht,
+ein anderer Knoten $v$ (ein Element von $T$) und $v$ ein Element
+von $u$ ist eine enge Kante von $T$ nach $S$ und ist somit in $M$.
+Aber dann enthält $M$ zwei Kanten, die den Knoten $u$ teilen, was
+der Tatsache widerspricht, dass $M$ ein Matching ist.
+Jede Kante in $M$ hat also entweder beide Endpunkte oder keinen
+Endpunkt in $Z$.
 
+\subsection{Beweis, dass $y$ ein Potential bleibt
+\label{munkres:subsection:malorum}}
+Um zu zeigen, dass y nach der Anpassung ein Potenzial bleibt, genügt
+es zu zeigen, dass keine Kante ihr Gesamtpotenzial über ihre Kosten
+hinaus erhöht.
+Dies ist für Kanten in $M$ bereits durch den vorangegangenen Absatz
+bewiesen.
+Man betrachtet also eine beliebige Kante $uv$ von $S$ nach $T$.
+Wenn $y(u)$ erhöht wird um $\Delta$, dann wird entweder $v\in
+\mathbb{Z}_n$ in diesem Fall wird $y(v)$ verringert um $\Delta$,
+wobei das Gesamtpotenzial der Kante unverändert bleibt, oder $v\in
+T\setminus Z$, wobei die Definition von $\Delta$ garantiert, dass
+$y(u)+y(v)+\Delta \le c(u,v)$
+Also $y$ bleibt ein Potential.
 
diff --git a/buch/papers/munkres/teil4.tex b/buch/papers/munkres/teil4.tex
new file mode 100644
index 0000000..3d76743
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/munkres/teil4.tex
@@ -0,0 +1,36 @@
+%
+% teil4.tex -- Beispiel-File für Teil 4
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Matrix-Interpretation
+\label{munkres:section:teil4}}
+\rhead{Matrix-Interpretation}
+Gegeben ist die quadratische Matrix $C=(c_{ij})$ der Grösse $n\times n$.
+Ohne Beschränkung der Allgemeinheit werden eine Zuordnung $j
+\rightarrow  s_j$, $j = 1, \dots, n$ mit minimaler Gesamtsumme
+$\sum_{j=1}^{n}c_{s_j,j}$ gesucht, wobei die $s_j$ eine Permutation
+von $\{1,\ldots ,n\}$ sind.
+Soll die Summe maximiert werden, dann kann $C$ durch $-C$ ersetzt werden.
+Die Grundlage dieses Verfahrens ist, dass sich die optimale Zuordnung
+unter bestimmten Änderungen der Matrix nicht ändert, sondern nur
+der Optimalwert.
+Diese Änderungen sind durch Knotenpotentiale bzw.~duale Variablen 
+\begin{equation}
+u_1 u_2,{\dots}, u_n
+\end{equation}
+
+für die Zeilen und 
+
+\begin{equation}v_1,v_2,\dots,v_n \end{equation} fuer die Spalten angegeben.
+Die modifizierte Matrix hat dann die Komponenten $\tilde{c}_{i,j}
+= c_{ij} - u_j - v_j$.
+
+In der Summe über jede kantenmaximale Zuordnung kommt jedes
+Knotenpotential genau einmal vor, so dass die Änderung der Zielfunktion
+eine Konstante ist.
+Sind die Einträge von $C$ nichtnegativ, und sind alle Knotenpotentiale
+ebenfalls nichtnegativ, so nennt man die modifizierte Matrix \~{C}
+auch eine Reduktion.
+Ziel ist, in der reduzierten Matrix möglichst viele Komponenten auf
+den Wert Null zu bringen und unter diesen die Zuordnung zu konstruieren.
diff --git a/buch/papers/munkres/teil5.tex b/buch/papers/munkres/teil5.tex
new file mode 100644
index 0000000..f8138f4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/munkres/teil5.tex
@@ -0,0 +1,14 @@
+%
+% teil5.tex -- Beispiel-File für Teil 5
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Ungarische Methode anhand eines Beispiels
+\label{munkres:section:teil5}}
+\rhead{Ungarische Methode anhand eines Beispiels}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=14cm]{papers/munkres/figures/beispiel_munkres}
+\caption{Händisches Beispiel des Munkres Algorithmus.}
+\label{munkres:Vr2}
+\end{figure}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/Makefile b/buch/papers/punktgruppen/Makefile
index f92dc95..03ad15a 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/Makefile
+++ b/buch/papers/punktgruppen/Makefile
@@ -11,11 +11,16 @@ SOURCES := \
 	symmetry.tex
 
 TIKZFIGURES := \
+	tikz/atoms-grid-still.tex \
+	tikz/atoms-grid-force.tex \
+	tikz/atoms-piezo-still.tex \
+	tikz/atoms-piezo-force-vertical.tex \
+	tikz/atoms-piezo-force-horizontal.tex \
 	tikz/combine-symmetries.tex \
 	tikz/lattice.tex \
-	tikz/piezo-atoms.tex \
 	tikz/piezo.tex \
 	tikz/projections.tex \
+	tikz/stereographic-projections.tex \
 	tikz/symmetric-shapes.tex
 
 FIGURES := $(patsubst tikz/%.tex, figures/%.pdf, $(TIKZFIGURES))
@@ -28,7 +33,7 @@ figures/%.pdf: tikz/%.tex
 	pdflatex --output-directory=figures $<
 
 .PHONY: standalone
-standalone: standalone.tex $(SOURCES)
+standalone: standalone.tex $(SOURCES) $(FIGURES)
 	mkdir -p standalone
 	cd ../..; \
 		pdflatex \
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
index 8cde9d7..fbb073e 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
@@ -11,8 +11,15 @@ dependencies-punktgruppen =	\
 	papers/punktgruppen/crystals.tex \
 	papers/punktgruppen/piezo.tex \
 	papers/punktgruppen/references.bib \
-    papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-force.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-still.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-horizontal.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-vertical.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-still.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex \
 	papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex \
 	papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex \
 	papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex \
-	papers/punktgruppen/tikz/projections.tex
+	papers/punktgruppen/tikz/projections.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/stereographic-projections.tex \
+	papers/punktgruppen/tikz/symmetric-shapes.tex
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 1aec16f..21e29c9 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Kristalle}
 %einleitung sollte noch an das ende von der Symmetrie angepasst werden
-Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können. 
+Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können.
 Wir werden uns aber nicht auf sein Äusseres fokussieren, sondern was ihn im Inneren ausmacht.
 Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
 \begin{definition}[Kristall]
@@ -12,117 +12,151 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/lattice}
     \caption{
         Zweidimensionales Kristallgitter.
-        \texttt{TODO: make wider and shorter}
         \label{fig:punktgruppen:lattice}
     }
 \end{figure}
 \subsection{Kristallgitter}
 Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}.
-Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in Zwei Dimensionen.
-Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
-Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt 
-und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, 
-endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
-Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also 
+Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes dargestellt und betrachten dies nur in zwei Dimensionen.
+Die eingezeichneten Vektoren \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
+Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
+Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor \(\vec{c}\) also
 \[
-    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   
+	\vec{r} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 = \sum_i n_i \vec{a}_i
 \]
-erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
-Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben ,
-ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
+erreicht werden sofern \(n_1,n_2,n_3 \in \mathbb{Z}\) sind.
+Sind die Vektoren  \(\vec{a}_1\), \(\vec{a}_2\), \(\vec{a}_3\) gegeben, ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
 
-\subsection{Translationssymmetrie}
+\subsection{Translationssymmetrie} 
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
-Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, 
-da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind. 
-Mit anderen worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
+Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. 
+Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
 \[
-    Q_i(G) = G + \vec{a_i}
-\] wobei der Vektor $a_i$ ein Grundvektor sein muss.
+    \vec{Q}_i(G) = G + \vec{a}_i
+\] wobei der Vektor $\vec{a}_i$ ein Grundvektor sein muss.
 Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, 
 können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination 
-der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
+der Vektoren $\vec{a}_1$ , $\vec{a}_2$ und $\vec{a}_3$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
 Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, 
 solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
-\subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
+\subsection{Limitierte Kristallsymmetrien} \label{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie}
  Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
- Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, 
- können nur Rotationssymmetrische Kristalle bestimmter Rotationswinkel erzeugt werden.
-
+ Was nicht direkt ersichtlich ist, dass bei beliebigen Grundvektoren nicht beliebige Symmetrien erstellt werden können.
+ Die geforderte Translationssymmetrie eines Kristalles schränkt weitere Symmetrien deutlich ein.
+  
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries}
     \caption{
         Translations und Rotationssymmetrisches Kristallgitter
-        \texttt{TODO: make wider and change color (yellow)}
     }
     \label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
 \end{figure}
 
- \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
- In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
+\begin{satz}
+   Die Rotationssymmetrien eines Kristalls sind auf 2-fach, 3-fach, 4-fach und 6-fach beschränkt.
+   Mit anderen Worten: Es sind nur Drehwinkel von
+    0\(^{\circ}\),
+    60\(^{\circ}\),
+    90\(^{\circ}\),
+    120\(^{\circ}\) und
+    180\(^{\circ}\)
+   erlaubt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+ In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
 
  \begin{itemize}
-     \item  $A$ ist unser erster Gitterpunkt. 
-
-     \item  $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
-            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss.
-     \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
-            Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. 
-            Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird.
-            An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
-      \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. 
-            Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
-            Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert
-            \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren. 
-            Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
-            auch auf $A'$ an. 
-            Dies dreht $A$ auf einen neuen Punkt.
-     \item $B'$ ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
-            Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet.
+     \item  \(A\) ist unser erster Gitterpunkt. 
+
+     \item  \(A'\) ist gegeben, weil wir \(A\) mit der Translation \(\vec{Q}\) um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
+            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der verschobenen Stelle sein muss.
+     \item \(B\) entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie \(C_n\) auf den Punkt \(A\) anwenden.
+         Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel \(360^\circ/n\). 
+         Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt \(A'\) abgedreht wird.
+         An der neuen Position \(B\) von \(A'\) muss also auch ein Punkt des Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
+     \item \(B\) ist unser Name für diesen neuen Punkt.
+         Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_n\) auch auf \(A'\) anwenden.
+         Also wenden wir \(C_n\) invertiert\footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.
+         Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
+         auch auf \(A'\) an. 
+         Dies dreht \(A\) auf einen neuen Punkt.
+     \item \(B'\) ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
+         Die  Translationssymmetrie zwischen \(B\) und \(B'\) ist hier als \(\vec{Q}'\) bezeichnet.
  \end{itemize}  
  Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
- Wir beginnen, indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen.
- Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass $|Q| = |Q'|+ 2x$.
- Ist $Q$ ein Grundvektor so muss $|Q'|$ ein ganzes vielfaches von $|Q|$ sein. Also 
+ Wir beginnen, indem wir die Länge der Verschiebung \(|\vec{Q}| = Q\) setzen und \(|\vec{Q}'| = Q'\).
+ Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q' = Q + 2x\).
+ Da \(\vec{Q}\) eine Translation um ein Grundvektor ist , muss \(\vec{Q}'\) ein ganzes vielfaches von \(\vec{Q}\) sein.
+ Demnach auch die Längen
  \[
-    |Q'| = n|Q| = |Q| + 2x
+    Q' = nQ = Q + 2x
  \]
- Die Strecke $x$ lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel $\alpha$ ausdrücken:
+ Die Strecke \(x\) lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel \(\alpha\) ausdrücken:
  \[
-    n|Q| = |Q| + 2|Q|\sin(\alpha - \pi/2)
+    nQ = Q + 2Q\sin(\alpha - \pi/2)
  \]
- Wir können mit $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, 
- was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangieren soll. 
+ Wir können durch \(Q\) dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, was auch Sinn macht, 
+ da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangiert.
  Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
  \[
-     n = 1 - 2\cos\alpha
+     n = 1 - 2\cos\alpha \quad\iff\quad
      \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1-n}{2}\right)
  \]
  Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
- \[
+ \(
      \alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}
- \]
+ \)
 ein.
+\end{proof}
 
 \begin{figure}
     \centering
-    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
-    \caption{Kristallklassen mit zugehöriger Schönfliesnotation}
-    \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
+    \includegraphics[height=6cm]{papers/punktgruppen/figures/stereographic-projections}
+    \caption{
+      Stereografische Projektion einer \(C_{i}\) Symmetrie. Es wird eine Linie vom magentafarbenen Punkt auf der oberen Hälfte der Kugel zum Südpol gezogen.
+      Wo die Linie die Ebene schneidet (\(z = 0\)), ist die Projektion des Punktes.
+      Die Koordinaten der Projektionen sind einfach zu berechnen: ein Punkt auf eine Kugel mit Radius \(r\) mit den Koordinaten \(x, y, z,\) wird auf \(xr/(r + z), yr/(r + z)\) projiziert.
+      Für den orangefarbenen Punkt unterhalb des Äquators wird die Linie zum Nordpol gezogen und die Projektionsformel hat stattdessen einen Nenner von \(r - z\).
+    }
+    \label{fig:punktgruppen:stereographic-projections}
 \end{figure}
 
 \subsection{Kristallklassen}
+
 Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
-Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
-\footnote{Alle $17$ möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt} 
-nur auf genau $32$ Arten punktsymmetrisch sein können.
-Diese $32$ möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
-Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
-welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
-Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
-Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden.  
+ Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische Symmetriegruppen bilden können.
+ Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+ Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen.
+ Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographischen Projektion ermöglicht (siehe Abbildung \ref{fig:punktgruppen:stereographic-projections}), wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden.
+
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
+    \caption{Kristallklassen mit zugehörigem Schönflies-Symbol}
+    \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Schönflies-Symbilok}
+
+Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem zugehörigen Schöönflies-Symbol bezeichnet.
+ Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
+ Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
+ Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Untergruppen von Schönflies verwendet.
+ Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
+ Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
+ Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
+ Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen, weil das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
+ Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
+ Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
+ Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum\footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.} \(i\) oder eine horizontale\footnote{Als Orientierungspunkt wird die Symmetrieachse höchster Ordnung (\(n\)) als vertikal definiert} Spiegelachse \(h\).
+ Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
+ \(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
+
 
 
 
+%% vim:spell spelllang=de showbreak=.. breakindent linebreak:
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-force.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-force.pdf
new file mode 100644
index 0000000..b3e6215
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-force.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-still.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-still.pdf
new file mode 100644
index 0000000..752014d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-still.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-horizontal.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-horizontal.pdf
new file mode 100644
index 0000000..313dc69
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-horizontal.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-vertical.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-vertical.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9a86b7c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-vertical.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-still.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-still.pdf
new file mode 100644
index 0000000..83b6590
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-still.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries.pdf
index 13f7330..6cd4e64 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries.pdf
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/lattice.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/lattice.pdf
index 6565be5..712d6f4 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/figures/lattice.pdf
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/lattice.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms.pdf
deleted file mode 100644
index 63da7a9..0000000
--- a/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms.pdf
+++ /dev/null
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf
index ca6192b..904250a 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/piezo.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf
index c9369b2..bc04313 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/projections.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/stereographic-projections.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/stereographic-projections.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7598265
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/stereographic-projections.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf b/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf
index 0b3ba54..3a8d9dd 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf
+++ b/buch/papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes.pdf
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
index 24212e7..b6a72b5 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
@@ -1,14 +1,26 @@
 \section{Einleitung}
 Es gibt viele Möglichkeiten sich in Kristallen zu verlieren.
-Auch wen man nur die mathematischen Betrachtunngsweisen berüksichtigt, hat man noch viel zu viele Optionen sich mit Kristallen zu beschäftigen.
-In diesem Kapitel ist daher der Fokus ``nur'' auf die Symmetrie gelegt.
-Zu beginn werden wir zeigen was eine Symmetrie ausmacht und dass sie noch weit mehr in sich verbirgt als nur schön auszusehen.
-Die vorgestellten Symmetrien sind äusserst gut geeignet um die Grundeigenschaften eines Kristalles zu Beschreiben.
-Mit etwas kiffligen geometrischen Überlegungen kann man zeigen wass in der Welt der Kristallographie alles möglich ist oder nicht.
-Die Einschränkungen sind durchaus wilkommen, dank ihnen halten sich die möglichen Kristallgitter in Grenzen und Lassen sich Kategorisieren.
-Kategorien sind nicht nur für einen besseren Überblich nützlich, sondern kann man aus ihnen auch auf Physikalische Eigenschaften schliessen, als spannendes Beispiel: Die Piezoelektrizität.
-Die Piezoelektrizität ist vielleicht noch nicht jedem bekannt, sie versteckt sich aber in diversen Altagsgegenständen zum Beispiel sorgen sie in den meisten Feuerzeugen für die Zündung.
-Ein Funken Interesse ist hoffentlich geweckt um sich mit dem scheinbar trivialen thema der Symmetrie auseinander zu setzten.
+Auch wen man nur die mathematischen Betrachtungsweisen berücksichtigt, 
+hat man noch viel zu viele Optionen sich mit Kristallen zu beschäftigen.
+In diesem Kapitel wird daher der Fokus ``nur'' auf die Symmetrie gelegt.
+Zu Beginn werden wir zeigen was eine Symmetrie ausmacht und 
+dass sie noch weit mehr in sich verbirgt als nur schön auszusehen.
+Die vorgestellten Symmetrien sind äusserst gut geeignet, 
+um die Grundeigenschaften eines Kristalles zu beschreiben.
+Mit etwas kniffligen geometrischen Überlegungen kann man zeigen, 
+was in der Welt der Kristallographie alles möglich ist oder nicht.
+Einschränkungen in Kristallsymmetrien sind durchaus willkommen, 
+da dank ihnen sich die möglichen Kristallgitter in Grenzen halten
+und sich kategorisieren lassen. 
+Kategorien sind nicht nur für einen besseren Überblick nützlich, 
+sondern kann man aus ihnen auch auf Physikalische Eigenschaften schliessen. 
+Als spannendes Beispiel: Die Piezoelektrizität.
+Die Piezoelektrizität ist vielleicht noch nicht jedem bekannt, 
+sie versteckt sich aber in diversen Altagsgegenständen 
+zum Beispiel sorgen sie in den meisten Feuerzeugen für die Zündung.
+Hiermit ist hoffentlich ein Funken Interesse geweckt 
+um sich mit dem scheinbar trivialen Thema der Symmetrie auseinander zu setzten.
 
 
 
+%% vim:linebreak breakindent showbreak=.. spell spelllang=de:
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/main.tex b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
index a6e246c..ea19421 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/main.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
@@ -18,6 +18,7 @@
 \nocite{punktgruppen:pinter-algebra}
 \nocite{punktgruppen:sands-crystal}
 \nocite{punktgruppen:lang-elt2}
+\nocite{punktgruppen:ouchem}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
index e6b595a..6defcdc 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -19,10 +19,17 @@ Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für
 
 \begin{figure}
     \centering
-    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms} 
+    \begin{tabular}{c |c}
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-piezo}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-still}} &
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-grid}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-still}} \\
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-vertical}}
+      \hspace{2mm}
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-horizontal}}
+      \hspace{3mm} & \hspace{3mm}
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-grid-f}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-force}} \\
+    \end{tabular}
     \caption{
         Kristallstrukturen mit und ohne piezoelektrischer Eigenschaft.
-        \texttt{TODO: adapt figure for paper with subfigure markers.}
     }
     \label{fig:punktgruppen:atomPiezo}
 \end{figure}
@@ -32,26 +39,29 @@ Die Polarisation resultiert über eine gesamte Oberfläche eines Kristalles, ent
 Wir wollen dazu die verschiedenen Kristallstrukturen auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} diskutieren.
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise Positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren. 
 %liste oder anderes format?..
-Struktur$(a)$ zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur $(b)$ ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. 
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
 Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil mitlleren Ladungsträger weiter auseinander gerdrückt werden.
-Als hilfe zur Vorstellung kann man $(b)$ zwischen zwei leitende Platten setzen, 
-so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird,
-während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
-$(d)$ ist nicht piezoelektrisch.
-Dies wird ersichtlich, wenn man $(d)$ unterdruck setzt und sich die Struktur zu $(e)$ verformt.
-Setzt man  $(e)$ gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden 
-und links umgekehrt.
-Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn der Kristall nach oben und periodisch wiederholt.
-Struktur $(c)$ zeigt $(a)$ in unter horizontaler Belastung. 
-Was in zwischen $(b)$ und $(c)$ zu beobachten ist, ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht,
-im Gegensatz zu $(b)$.
-Daraus kann man schlissen, dass $(a)$ keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. 
-Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von $(a)$ bestätigt werden. 
+Als hilfe zur Vorstellung kann man \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, 
+dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird, während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
+\subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} ist nicht piezoelektrisch.
+Dies wird ersichtlich, wenn man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} unterdruck setzt und sich die Struktur zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} verformt.
+Setzt man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten, 
+scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden und links umgekehrt.
+Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn die Struktur sich nach oben und unten periodisch wiederholt.
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zeigt \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} in unter horizontaler Belastung. 
+Was zwischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} und \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zu beobachten ist, 
+ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht, 
+im Gegensatz zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh}.
+Daraus kann man schlissen, dass \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, 
+weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. 
+Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} bestätigt werden. 
 
-\subsection{Punktsymmetrie}\footnote{In der Literatur wird ein Punktsymmetrisches Kristallgitter oft als Kristallgitter mit Inversionszentrum bezeichnet.}
+\subsection{Punktsymmetrie}
 Piezoelektrische Kristalle können nicht Punktsymmetrisch sein.
 Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden.
-Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst $(a)$ ein nicht Punktsymmetrischer Kristall mit einem Punktsymmetrischen $(d)$ verglichen worden.
+Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht Punktsymmetrischer Kristall 
+mit einem Punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid}verglichen worden.
 Als vereinfachte Erklärung kann mann sich wieder das Bild vor augen führen, eines Kristalles, 
 welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt.
 Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den Positiven auf der anderen seite landen,
@@ -70,5 +80,4 @@ Sollten Sie also eines Tages in die Situation geraten, in welcher Sie zwei versc
 und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen müssen,
 wobei Sie aber wissen, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist,
 versuche sie es mit dem anderen.
-Ich muss aber anmerken, dass aus den $21$ möglichen Kristallsymmetrien ohne Punktsymmetrie einer nicht piezoelektrisch ist.
-ein wenig glück brauchen Sie also immer noch.
+
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/references.bib b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
index 9edb8bd..a29640c 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/references.bib
+++ b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
@@ -33,3 +33,12 @@
 	inseries = {Vorlesungsskript zum Modul ELT},
 }
 
+@online{punktgruppen:ouchem,
+  title = {Symmetry in Crystallography},
+  author = {Dept. of Chemistry \& Biochemistry, Chemical Crystallography Laboratory, University of Oklahoma},
+  year = {2019},
+  month = {11},
+  day = {17},
+  url = {http://archive.today/2021.07.22-083802/http://xrayweb.chem.ou.edu/notes/symmetry.html},
+  urldate = {2021-07-22},
+}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 1dc6f98..0bb4aec 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -1,175 +1,134 @@
 \section{Symmetrie}
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
-ursprünglichen griechischen Wort
-\(\mathrm{\Sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
-\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
-verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
-locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
-präzise Bedeutung.
+ursprünglichen griechischen Wort \(\mathrm{\Sigma\upsilon\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,verhältnismässig} fast nicht verändert.
+In der Alltagssprache mag es ein locker definierter Begriff sein, in der Mathematik hat Symmetrie jedoch eine sehr präzise Bedeutung.
 \begin{definition}[Symmetrie]
-	Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer
-	bestimmten Operation invariant ist.
+  Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer bestimmten Operation invariant ist.
 \end{definition}
-Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
-einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
-ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.  
+Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit einigen geometrischen Beispielen beginnen.
+Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.
 
 \begin{figure}
-	\centering
-	\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes}
-	\caption{
-		Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
-		\label{fig:punktgruppen:geometry-example}
-	}
+  \centering
+  \includegraphics{papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes}
+  \caption{
+    Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
+    \label{fig:punktgruppen:geometry-example}
+  }
 \end{figure}
 
 \subsection{Geometrische Symmetrien}
 
-In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen,
-die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an
-deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.  Regelmässige
-Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete
-Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
-einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert
-lässt.  Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
-Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
-\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.  Dies ist
-hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die
-nun eingeführt wird.
-
-% Vieleicht eine kurze Einführung in für die Definition, ich habe das gefühl, dass in der Definition die Symmetrie-Operation und die Gruppe auf einmal erklährt wird 
-\subsubsection{Symetriegruppe}
-\texttt{TODO: review this paragraph, explain what is \(\mathds{1}\).}
+In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind.
+Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
+Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt.
+Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
 Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
-Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example}
-nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$ gedreht werden.
-Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
+Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
+Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
-	Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\)
-	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
-	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
-\end{definition} % ich lese diese  Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen
+  \(g\) und \(h\) sein umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
+  Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander.
+  Alle möglichen Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+\end{definition}
+
+Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
+Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
+\(\mathds{1}\) ist auch äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen (ihre Inverse anzuwenden).
+ Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, es wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
+Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
+Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B.
+durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition.
 
-% Nach meinem Geschmack könne es hier auch eine einleitung wie mein Beispiel geben dammit man den Text flüssiger lesen kann 
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
-	Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
-	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
-	Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die erzeugte
-	Untergruppe \(\langle g \rangle\) wird mit spitzen Klammern um den Erzeuger
-	bezeichnet.
+  \(g\) sei ein Element einer Symmetriegruppe \(G\).
+  Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird.
+  Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z} \right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
 \end{definition}
+\begin{beispiel}
+  Um die Syntax zu verstehen, betrachten wir eine durch \(a\) erzeugte Gruppe \(G = \langle a \rangle\).
+  Das bedeutet, dass \(G\) die Elemente \(a, aa, aaa, \ldots\) sowie \(a^{-1}, a^{-1}a^{-1}, \ldots\) und ein neutrales Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält.
+\end{beispiel}
+\begin{beispiel}
+  Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine Zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren.
+  Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) um einen Punkt.
+  Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
+  \[
+    C_n = \langle r \rangle
+      = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+  \]
+  der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen.
+  Das liegt daran, dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die Rotationssymmetrie bewahrt.
+  In ähnlicher Weise, aber weniger interessant  enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
+\end{beispiel}
 
-Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren.
-Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\)
-um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
-\[
-	C_n = \langle r \rangle
-		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
-\]
-der Drehungen eines \(n\)-Gons zu definieren. Das liegt daran,
-dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen, der
-die Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als
-wiederholte Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots
-r\circ r\).  Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem
-Erzeugendensystemen komplexere Strukturen aufbauen.
+Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystemen
+komplexere Strukturen aufbauen.
 
 \begin{definition}[Erzeugendensysteme]
-	% please fix this unreadable mess
-	Jede Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
-	Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
-	Symmetriegruppe sein.  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die
-	sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die
-	Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls
-	in den Klammern angegeben. Die erzeugende Elementen zusammen mit der
-	Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
+  Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
+  Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
+  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
+  Die Gleichungen sind ebenfalls in den Klammern angegeben.
+  Die erzeugende Elementen zusammen mit der Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
 \end{definition}
+\begin{beispiel}
+  Wir werden nun alle Symmetrien eines \(n\)-Gons beschreiben, was bedeutet, dass wir die Operationen \(r\) und \(\sigma\) kombinieren.
+  Die Definitionsgleichungen sind \(r^n = \mathds{1}\), \(\sigma^2 = \mathds{1}\) und \((\sigma r)^2 = \mathds{1}\).
+  Die ersten beiden sind ziemlich offensichtlich.
+  Die letzte wird oft auch als Inversion bezeichnet, weil die Anwendung von \(\sigma r\) dasselbe ist wie das Ziehen einer Linie von einem Punkt, die durch den Ursprung geht, und das Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts.
+  Wenn man dies zweimal macht, geht man zurück zum Anfangspunkt.
+  Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe 
+  \begin{align*}
+    D_n &= \langle r, \sigma : r^n = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle \\
+      &= \left\{
+          \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
+      \right\}.
+  \end{align*}
+\end{beispiel}
 
-\texttt{TODO: should put examples for generators?} \\
-
-Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
-\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
-der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
-\[
-	D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
-		= \left\{
-				\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
-		\right\}.
-\]
-
-Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer
-mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im
-Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der
-Spiegelachse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es
-Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
-Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
-Punktsymmetrie.
+Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird.
+Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der Spiegelachse.
+Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
+ Diesen Spezialfall, bei dem immer mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man Punktsymmetrie.
 \begin{definition}[Punktgruppe]
-	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
-	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
-	Punktgruppe ist.
+  Wenn es einen Punkt gibt, der von jeder Gruppenoperation unverändert gelassen wird, ist die Symmetriegruppe eine Punktgruppe.
 \end{definition}
 
 \subsection{Algebraische Symmetrien}
-Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
-möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die naheliegende Frage ist dann, könnte
-es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?  Natürlich, ja.
+Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich möglich ist, Gleichungen zu schreiben.
+Die anschliesende Frage ist dann, ob wir bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die sich auf die gleiche Weise verhalten.
+Die Antwort lautet natürlich ja.
 Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
-	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
-	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
-	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
-	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
-	\(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man sagt, dass der Homomorphismus
-	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
+  \(G\) und \(H\) seien  Gruppen mit unterschiedlichen Operationen \(\diamond\) bzw.
+  \(\star\).
+  Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).
+  Man sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
-	Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
-	komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
-	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
+  Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem komplexen Einheitskreis.
+  Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\) ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
 \end{beispiel}
 
 \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe]
-	Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe
-	auf eine Menge von Matrizen abbildet.
-	\[
-		\Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
-	\]
-	Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen
-	Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
+  Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe auf eine Menge von Matrizen abbildet.
+  \[
+    \Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
+  \]
+  Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
-	Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar. Die mit der Matrix 
-	\[
-		\Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
-			\cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
-			\sin(2\pi k/n) &  \cos(2\pi k/n)
-		\end{pmatrix}
-	\]
-	definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
-	\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
-	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
-	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+  Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar.
+  Die mit der Matrix 
+  \[
+    \Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
+      \cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
+      \sin(2\pi k/n) &  \cos(2\pi k/n)
+    \end{pmatrix}
+  \]
+  definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von \(C_n\).
+  In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und die zweite die Matrixmultiplikation.
+  Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
 \end{beispiel}
-
-\texttt{TODO: rewrite section on translational symmetry.}
-%% TODO: title / fix continuity
-% Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
-% eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
-% nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
-% Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
-% hat, wenn es die Gleichung 
-% \[
-% 	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
-% \]
-% für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
-% Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
-% zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
-% dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
-
-% \subsection{Sch\"onflies notation} 
-
-% vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de:
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-force.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-force.tex
new file mode 100644
index 0000000..05742cf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-force.tex
@@ -0,0 +1,42 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
+      node distance = 2mm,
+      charge/.style = {
+        circle, draw = black, thick,
+        minimum size = 5mm
+      },
+      positive/.style = { fill = red!50 },
+      negative/.style = { fill = blue!50 },
+    ]
+
+    \matrix[nodes = { charge }, row sep = 5mm, column sep = 1cm] {
+      \node[positive] (NW) {}; & \node[negative] (N) {}; & \node [positive] (NE) {}; \\
+      \node[negative] (W) {}; & \node[positive] {}; & \node [negative] (E) {}; \\
+      \node[positive] (SW) {}; & \node[negative] (S) {}; & \node [positive] (SE) {}; \\
+    };
+
+    \foreach \d in {NW, N, NE} {
+      \draw[orange, very thick, <-] (\d) to ++(0,.7);
+    }
+
+    \foreach \d in {SW, S, SE} {
+      \draw[orange, very thick, <-] (\d) to ++(0,-.7);
+    }
+
+    \draw[gray, dashed] (W) to (N) to (E) to (S) to (W);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-still.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-still.tex
new file mode 100644
index 0000000..4e43856
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-grid-still.tex
@@ -0,0 +1,33 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
+      node distance = 2mm,
+      charge/.style = {
+        circle, draw = black, thick,
+        minimum size = 5mm
+      },
+      positive/.style = { fill = red!50 },
+      negative/.style = { fill = blue!50 },
+    ]
+
+    \matrix[nodes = { charge }, row sep = 8mm, column sep = 8mm] {
+      \node[positive] {}; & \node[negative] (N) {}; & \node [positive] {}; \\
+      \node[negative] (W) {}; & \node[positive] {}; & \node [negative] (E) {}; \\
+      \node[positive] {}; & \node[negative] (S) {}; & \node [positive] {}; \\
+    };
+    \draw[gray, dashed] (W) to (N) to (E) to (S) to (W);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-horizontal.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-horizontal.tex
new file mode 100644
index 0000000..e4c3f93
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-horizontal.tex
@@ -0,0 +1,47 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
+      node distance = 2mm,
+      charge/.style = {
+        circle, draw = black, thick,
+        minimum size = 5mm
+      },
+      positive/.style = { fill = red!50 },
+      negative/.style = { fill = blue!50 },
+    ]
+
+    \node[charge, positive, yshift= 2.5mm] (C1) at ( 60:1.5cm) {};
+    \node[charge, negative, yshift= 2.5mm] (C2) at (120:1.5cm) {};
+    \node[charge, positive, xshift= 2.5mm] (C3) at (180:1.5cm) {};
+    \node[charge, negative, yshift=-2.5mm] (C4) at (240:1.5cm) {};
+    \node[charge, positive, yshift=-2.5mm] (C5) at (300:1.5cm) {};
+    \node[charge, negative, xshift=-2.5mm] (C6) at (360:1.5cm) {};
+
+    \draw[black] (C1) to (C2) to (C3) to (C4) to (C5) to (C6) to (C1);
+    % \draw[gray, dashed] (C2) to (C4) to (C6) to (C2);
+
+    \draw[orange, very thick, <-] (C6) to ++(.7,0);
+    \draw[orange, very thick, <-] (C3) to ++(-.7,0);
+
+    \node[black] (E) {\(\vec{E}_p\)};
+    \begin{scope}[node distance = .5mm]
+      \node[blue!50, right = of E] {\(-\)};
+      \node[red!50, left = of E] {\(+\)};
+    \end{scope}
+    % \draw[gray, thick, dotted] (E) to ++(0,2);
+    % \draw[gray, thick, dotted] (E) to ++(0,-2);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-vertical.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-vertical.tex
new file mode 100644
index 0000000..892ab42
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-force-vertical.tex
@@ -0,0 +1,52 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
+      node distance = 2mm,
+      charge/.style = {
+        circle, draw = black, thick,
+        minimum size = 5mm
+      },
+      positive/.style = { fill = red!50 },
+      negative/.style = { fill = blue!50 },
+    ]
+
+    \node[charge, positive, yshift=-2.5mm] (C1) at ( 60:1.5cm) {};
+    \node[charge, negative, yshift=-2.5mm] (C2) at (120:1.5cm) {};
+    \node[charge, positive, xshift=-2.5mm] (C3) at (180:1.5cm) {};
+    \node[charge, negative, yshift= 2.5mm] (C4) at (240:1.5cm) {};
+    \node[charge, positive, yshift= 2.5mm] (C5) at (300:1.5cm) {};
+    \node[charge, negative, xshift= 2.5mm] (C6) at (360:1.5cm) {};
+
+    \draw[black] (C1) to (C2) to (C3) to (C4) to (C5) to (C6) to (C1);
+    % \draw[gray, dashed] (C2) to (C4) to (C6) to (C2);
+
+    \foreach \d in {C1, C2} {
+      \draw[orange, very thick, <-] (\d) to ++(0,.7);
+    }
+
+    \foreach \d in {C4, C5} {
+      \draw[orange, very thick, <-] (\d) to ++(0,-.7);
+    }
+
+    \node[black] (E) {\(\vec{E}_p\)};
+    \begin{scope}[node distance = .5mm]
+      \node[red!50, right = of E] {\(+\)};
+      \node[blue!50, left = of E] {\(-\)};
+    \end{scope}
+    % \draw[gray, thick, dotted] (E) to ++(0,2);
+    % \draw[gray, thick, dotted] (E) to ++(0,-2);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-still.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-still.tex
new file mode 100644
index 0000000..2eb78ba
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/atoms-piezo-still.tex
@@ -0,0 +1,34 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
+      node distance = 2mm,
+      charge/.style = {
+        circle, draw = black, thick,
+        minimum size = 5mm
+      },
+      positive/.style = { fill = red!50 },
+      negative/.style = { fill = blue!50 },
+    ]
+
+    \foreach \x/\t [count=\i] in {60/positive, 120/negative, 180/positive, 240/negative, 300/positive, 360/negative} {
+      \node[charge, \t] (C\i) at (\x:1.5cm) {};
+    }
+
+    \draw[black] (C1) to (C2) to (C3) to (C4) to (C5) to (C6) to (C1);
+    \node[circle, draw=gray, fill=gray, outer sep = 0, inner sep = 0, minimum size = 3mm] {};
+    % \draw[gray, dashed] (C2) to (C4) to (C6) to (C2);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex
index 84e0a76..fa669ae 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/combine-symmetries.tex
@@ -13,6 +13,7 @@
 
 \begin{document}
 \begin{tikzpicture}[
+    >=latex, 
     dot/.style = {
       draw, circle, thick, black, fill = gray!40!white,
       minimum size = 2mm,
@@ -45,7 +46,7 @@
     (A2) ++(-.5,0) arc (180:60:.5);
   \draw[red!80!black, dashed, thick, ->] (A2) to (B2);
 
-  \draw[yellow!50!orange, thick, ->]
+  \draw[cyan!40!blue, thick, ->]
     (B1) to node[above, midway] {\(\vec{Q}'\)} (B2);
 
   \draw[gray, dashed, thick] (A1) to (A1 |- B1) node (Xl) {};
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex
index 9c05af3..a6b1876 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/lattice.tex
@@ -13,23 +13,24 @@
 
 \begin{document}
 \begin{tikzpicture}[
-	dot/.style = {
-	  draw, circle, thick, black, fill = gray!40!white,
-	  minimum size = 2mm,
-	  inner sep = 0pt,
-	  outer sep = 1mm,
-	},
+    >=latex, 
+    dot/.style = {
+      draw, circle, thick, black, fill = gray!40!white,
+      minimum size = 2mm,
+      inner sep = 0pt,
+      outer sep = 1mm,
+    },
   ]
 
   \begin{scope}
-	\clip (-2,-2) rectangle (3,4);
+	\clip (-2,-2) rectangle (7,2);
 	\foreach \y in {-7,-6,...,7} {
 	  \foreach \x in {-7,-6,...,7} {
 		\node[dot, xshift=3mm*\y] (N\x\y) at (\x, \y) {};
 	  }
 	}
   \end{scope}
-  \draw[black, thick] (-2, -2) rectangle (3,4);
+  \draw[black, thick] (-2, -2) rectangle (7,2);
 
   \draw[red!80!black, thick, ->] 
 	(N00) to node[midway, below] {\(\vec{a}_1\)} (N10);
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex
index 82a2710..1811392 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo-atoms.tex
@@ -13,6 +13,7 @@
 
 \begin{document}
   \begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
       node distance = 2mm,
       charge/.style = {
         circle, draw = black, thick,
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex
index 1d16ab7..6542f26 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/piezo.tex
@@ -12,12 +12,14 @@
 \usetikzlibrary{calc}
 
 \begin{document}
-\begin{tikzpicture}
+\begin{tikzpicture}[
+    >=latex, 
+  ]
   \begin{scope}[
         node distance = 0cm
     ]
     \node[
-        rectangle, fill = gray!60!white,
+        rectangle, fill = gray!20!white,
         minimum width = 3cm, minimum height = 2cm,
     ] (body) {\(\vec{E}_p = \vec{0}\)};
 
@@ -43,9 +45,9 @@
         xshift = 7cm
     ]
     \node[
-        rectangle, fill = gray!40!white,
+        rectangle, fill = gray!20!white,
         minimum width = 3cm, minimum height = 1.5cm,
-    ] (body) {\(\vec{E}_p = \vec{0}\)};
+    ] (body) {\(\vec{E}_p \neq \vec{0}\)};
 
     \node[
         draw, rectangle, thick, black, fill = red!50,
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/projections.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/projections.tex
index a763e77..64ab468 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/tikz/projections.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/projections.tex
@@ -13,6 +13,7 @@
 
 \begin{document}
 \begin{tikzpicture}[
+    >=latex, 
     classcirc/.style = {
       draw = gray, thick, circle,
       minimum size = 12mm,
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/stereographic-projections.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/stereographic-projections.tex
new file mode 100644
index 0000000..7d612fb
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/stereographic-projections.tex
@@ -0,0 +1,108 @@
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{tikz-3dplot}
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{shapes.misc}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\begin{document}
+
+\tdplotsetmaincoords{60}{130}
+\pgfmathsetmacro{\l}{2}
+
+\begin{tikzpicture}[
+    >=latex,
+    tdplot_main_coords,
+    dot/.style = {
+      black, fill = black, circle,
+      outer sep = 0, inner sep = 0,
+      minimum size = 1mm 
+    },
+    round/.style = {
+      draw = orange, thick, circle,
+      minimum size = 1mm,
+      inner sep = 0pt, outer sep = 0pt,
+    },
+    cross/.style = {
+      cross out, draw = magenta, thick,
+      minimum size = 1mm, 
+      inner sep = 0pt, outer sep = 0pt
+    },
+  ]
+
+  % origin
+  \coordinate (O) at (0,0,0);
+
+  % poles
+  \coordinate (NP) at (0,0,\l);
+  \coordinate (SP) at (0,0,-\l);
+
+  % axis
+  % \draw[->] (O) -- ++(1.5*\l,0,0);
+  % \draw[->] (O) -- ++(0,1.5*\l,0);
+  % \draw[->] (O) -- ++(0,0,1.5*\l);
+
+  % gray unit circle
+  \tdplotdrawarc[gray, thick]{(O)}{\l}{0}{360}{}{};
+  \draw[gray, dotted] (-\l, 0, 0) to (\l, 0, 0);
+  \draw[gray, dotted] (0, -\l, 0) to (0, \l, 0);
+
+  % meridians
+  \foreach \phi in {0, 30, 60, ..., 150}{
+    \tdplotsetrotatedcoords{\phi}{90}{0};
+    \tdplotdrawarc[lightgray, dashed, tdplot_rotated_coords]{(O)}{\l}{0}{360}{}{};
+  }
+
+  % dot above and its projection
+  \pgfmathsetmacro{\phi}{120}
+  \pgfmathsetmacro{\theta}{60}
+
+  \pgfmathsetmacro{\px}{cos(\phi)*sin(\theta)*\l}
+  \pgfmathsetmacro{\py}{sin(\phi)*sin(\theta)*\l}
+  \pgfmathsetmacro{\pz}{cos(\theta)*\l})
+
+  \coordinate (A) at (\px,\py,\pz);
+  \coordinate (Aproj) at ({\px * \l / (\l + \pz)}, {\py * \l / (\l + \pz)}, 0);
+
+  % dot below and its projection
+  \pgfmathsetmacro{\phi}{-60}
+  \pgfmathsetmacro{\theta}{120}
+
+  \pgfmathsetmacro{\px}{cos(\phi)*sin(\theta)*\l}
+  \pgfmathsetmacro{\py}{sin(\phi)*sin(\theta)*\l}
+  \pgfmathsetmacro{\pz}{cos(\theta)*\l})
+
+  \coordinate (B) at (\px,\py,\pz);
+  \coordinate (Bproj) at ({\px * \l / (\l - \pz)}, {\py * \l / (\l - \pz)}, 0);
+
+  % projection lines
+  \draw[gray] (A) to (SP);
+  \draw[gray] (SP) to (O) to (Aproj);
+
+  \draw[gray] (B) to (NP);
+  \draw[gray] (NP) to (O) to (Bproj);
+
+  % dots
+  \draw (O) node[dot] {};
+  \draw (SP) node[dot] {};
+  \draw (NP) node[dot] {};
+  \draw (A) node[dot, fill = magenta, minimum size = 1.5mm] {};
+  \draw (B) node[dot, fill = orange, minimum size = 1.5mm] {};
+
+  % projection markers
+  \draw[very thick, magenta] 
+    (Aproj) ++(.15,0) to ($(Aproj)+(-.15, 0)$)
+    (Aproj) ++(0,.15) to ($(Aproj) +(0, -.15)$);
+
+  \tdplotdrawarc[orange, very thick]{(Bproj)}{.1}{0}{360}{}{};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+% vim:ts=2 sw=2 et:
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/tikz/symmetric-shapes.tex b/buch/papers/punktgruppen/tikz/symmetric-shapes.tex
index b2c051f..688fb61 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/tikz/symmetric-shapes.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/tikz/symmetric-shapes.tex
@@ -14,6 +14,7 @@
 
 \begin{document}
 	\begin{tikzpicture}[
+      >=latex, 
 			node distance = 2cm,
 			shapetheme/.style = {
 				very thick, draw = black, fill = magenta!20!white,
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/Makefile.inc b/buch/papers/reedsolomon/Makefile.inc
index 6a676f8..ea51f7a 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/reedsolomon/Makefile.inc
@@ -6,9 +6,17 @@
 dependencies-reedsolomon =						\
 	papers/reedsolomon/packages.tex					\
 	papers/reedsolomon/main.tex					\
-	papers/reedsolomon/references.bib				\
-	papers/reedsolomon/teil0.tex					\
-	papers/reedsolomon/teil1.tex					\
-	papers/reedsolomon/teil2.tex					\
-	papers/reedsolomon/teil3.tex
+	papers/reedsolomon/einleitung.tex				\
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+	papers/reedsolomon/dtf.tex					\
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+	papers/reedsolomon/codebsp.tex					\
+	papers/reedsolomon/decohnefehler.tex				\
+	papers/reedsolomon/decmitfehler.tex				\
+	papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex				\
+	papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex				\
+	papers/reedsolomon/anwendungen.tex				\
+	papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex				\
+	papers/reedsolomon/references.bib				
+