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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-09-26 21:58:35 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-09-26 21:58:35 +0200
commitab041981be0dda16f683abc640a7c78eec5c4137 (patch)
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-rw-r--r--buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex42
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diff --git a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
index 20220cb..30a229f 100644
--- a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
+++ b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
@@ -110,15 +110,39 @@ Durch die geometrische Algebra sieht man nun, wieso es wichtig ist, bei Quaterni
\begin{beispiel}
Eine Drehung eines Vektors $\mathbf{v}= 1\mathbf{e}_2$ um $90^\circ$ um die $\mathbf{e}_1$-Achse und danach $90^\circ$ um die $\mathbf{e}_2$-Achse.
Dafür nehmen wir zuerst die Einheitsquaternion
- \begin{align*}
- \mathbf{q}_{23} &= \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{23}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{23}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23})\\
- \mathbf{q}_{23}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23})
- \end{align*}
- welche um die $\mathbf{e}_{2}$-$\mathbf{e}_{3}$-Ebene um $90^\circ$ dreht und danach die Einheitsquaternion
- \begin{align*}
- \mathbf{q}_{31} &= \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{31}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{31}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31})\\
- \mathbf{q}_{31}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31}),
- \end{align*}
+ \[
+ \begin{aligned}
+ \mathbf{q}_{23}
+ &=
+ \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{23}) = e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{23}}
+ &
+ &=
+ \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23})
+ \\
+ \mathbf{q}_{23}^{-1}
+ &
+ &
+ &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23})
+ \end{aligned}
+ \]
+welche um die $\mathbf{e}_{2}$-$\mathbf{e}_{3}$-Ebene um $90^\circ$ dreht und danach die Einheitsquaternion
+ \[
+ \begin{aligned}
+ \mathbf{q}_{31}
+ &=
+ \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{31})
+ =
+ e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{31}}
+ &
+ &=
+ \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31})
+ \\
+ \mathbf{q}_{31}^{-1}
+ &
+ &
+ &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31}),
+ \end{aligned}
+ \]
welche um die $\mathbf{e}_{3}$-$\mathbf{e}_{1}$-Ebene um $90^\circ$ dreht.
Um die vollständige Drehung zu beschreiben, können die Einheitsquaternionen multipliziert werden, wobei die Reihenfolge der Ausführung beachtet werden muss.
Somit ist