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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-02-25 11:32:52 +0100
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-02-25 11:32:52 +0100
commit7c20e14c7fe17b8a5489888d682e7b021c52a72f (patch)
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-rw-r--r--buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex33
-rw-r--r--buch/common/teilnehmer.tex14
2 files changed, 40 insertions, 7 deletions
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
index c4bf402..f378aaf 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -237,7 +237,40 @@ n+1&= n \cup \{n\} = \{0,\dots,n-1\} \cup \{n\} = \{0,1,\dots,n\}
&\phantom{n}\vdots
\end{align*}
+\subsubsection{Natürliche Zahlen als Äquivalenzklassen}
+Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die natürlichen Zahlen aus
+der leeren Menge schrittweise sozusagen ``von unten'' aufgebaut.
+Wir können aber auch eine Sicht ``von oben'' einnehmen.
+Dazu definieren wir, was eine endliche Menge ist und was es heisst,
+dass endliche Mengen gleiche Mächtigkeit haben.
+\begin{definition}
+Eine Menge $A$ heisst {\em endlich}, wenn es jede injektive Abbildung
+$A\to A$ auch surjektiv ist.
+\index{endlich}%
+Zwei endliche Mengen $A$ und $B$ heissen {\em gleich mächtig},
+\index{gleich mächtig}%
+in Zeichen $A\sim B$, wenn es eine Bijektion
+$A\to B$ gibt.
+\end{definition}
+Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie die früher definierten
+natürlichen Zahlen nicht braucht, diese werden jetzt erst konstruiert.
+Dazu fassen wir in der Menge aller endlichen Mengen die gleich mächtigen
+Mengen zusammen, bilden also die Äquivalenzklassen der Relation $\sim$.
+Der Vorteil dieser Sichtweise ist, dass die natürlichen Zahlen ganz
+explizit als die Anzahlen von Elementen einer endlichen Menge entstehen.
+Eine natürlich Zahl ist also eine Äquivalenzklasse
+$\llbracket A\rrbracket$, die alle endlichen Mengen enthält, die die
+gleiche Mächtigkeit wie $A$ haben.
+Zum Beispiel gehört dazu auch die Menge, die im vorangegangenen
+Abschnitt aus der leeren Menge aufgebaut wurde.
+
+Die Mächtigkeit einer endlichen Menge $A$ ist die Äquivalenzklasse, in der
+die Menge drin ist: $|A| = \llbracket A\rrbracket\in \mathbb{N}$ nach
+Konstruktion von $\mathbb{N}$.
+Aus logischer Sicht etwas problematisch ist allerdings, dass wir
+von der ``Menge aller endlichen Mengen'' sprechen ohne uns zu versichern,
+dass dies tatsächlich eine zulässige Konstruktion ist.
diff --git a/buch/common/teilnehmer.tex b/buch/common/teilnehmer.tex
index 2033f2a..7ccee20 100644
--- a/buch/common/teilnehmer.tex
+++ b/buch/common/teilnehmer.tex
@@ -9,18 +9,18 @@ Marius Baumann, % E
Reto Fritsche, % E
Ahmet Güzel%, % E
\\
-Pascal Honegger, % I
+%Pascal Honegger, % I
Alain Keller, % E
-Jan Marbach%, % E
+Jan Marbach, % E
+Andrea Mozzin Vellen%, % E
\\
-Andrea Mozzin Vellen, % E
Naoki Pross, % E
-Michael Schmid % MSE
+Michael Schmid, % MSE
+Pascal Andreas Schmid%, % B
\\
-Pascal Andreas Schmid, % B
Thierry Schwaller, % E
-Michael Steiner%, % E
+Michael Steiner, % E
+Tim Tönz%, % E
\\
-Tim Tönz, % E
Fabio Viecelli, % B
Lukas Zogg%, % B