Fix symmetry paragraph and schonflies symbols

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index 88e683f..21c322d 100644
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@@ -88,7 +88,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
  Wir beginnen, indem wir die Länge der Verschiebung \(|\vec{Q}| = Q\) setzen und \(|\vec{Q}'| = Q'\).
  Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q' = Q + 2x\).
  Da \(\vec{Q}\) eine Translation um ein Grundvektor ist , muss \(\vec{Q}'\) ein ganzes Vielfaches von \(\vec{Q}\) sein.
- Demnach ist auch die Länge
+ Demnach auch die Länge
  \[
     Q' = nQ = Q + 2x .
  \]
@@ -140,7 +140,7 @@ Im vorausgegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kri
 
 \subsubsection{Schönflies-Symbolik}
 
-Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem zugehörigen Schöönflies-Symbol bezeichnet.
+Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem zugehörigen Schönflies-Symbol bezeichnet.
  Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
  Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
  Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Untergruppen von Schönflies verwendet.
@@ -151,10 +151,10 @@ Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkass
    \item Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen, weil das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
      Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
    \item Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
-     Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum\footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.} \(i\) oder eine horizontale\footnote{Als Orientierungspunkt wird die Symmetrieachse höchster Ordnung (\(n\)) als vertikal definiert} Spiegelachse \(h\).
-   \item Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
-     \(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
+     Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum \(i\) oder eine horizontale Spiegelachse \(h\).
  \end{itemize}
+Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
+ \(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
 
 
 
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index a5b2fe2..0805d8b 100644
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@@ -28,16 +28,15 @@ Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-examp
 Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-  %% TODO
-  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
+  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen, sogenannte Symmetrieoperationen.
   Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander.
   Alle möglichen Symmetrieoperationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
 
 Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
 Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
-\(\mathds{1}\) ist auch äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen (ihre Inverse anzuwenden).
-%% TODO
+Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die intuitiv rückgängig macht, was \(g\) getan hat.
+Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inverse anzuwenden.
  Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, sie wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
 Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
 Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B.