Merge pull request #95 from rfritsche/mceliece

Mceliece

5 files changed, 373 insertions, 142 deletions

diff --git a/buch/papers/mceliece/aufbau.tex b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
index 200cb7b..0849fc1 100644
--- a/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
+++ b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
@@ -11,16 +11,6 @@ Das McEliece-Kryptosystem besteht aus folgenden Elementen:
 \label{mceliece:subsection:d_k}}
 In diesem Vektor der Länge $k$ sind die zu verschlüsselnden Daten enthalten.
 
-Beispiel:
-\[d_4=
-\begin{pmatrix}
-    1\\
-    1\\
-    1\\
-    0 
-\end{pmatrix}
-\]
-
 \subsection{Binäre Zufallsmatrix $S_k$
 \label{mceliece:subsection:s_k}}
 $S_k$ ist eine Binäre Zufallsmatrix der Grösse $k \times k$.
@@ -30,26 +20,6 @@ wobei danach mithilfe des Gauss-Algorithmus deren Inverse bestimmt werden kann.
 Da eine solche Matrix möglicherweise singulär ist, muss in diesem Fall eine neue Zufallsmatrix erzeugt werden.
 Für grössere Matrizen existieren bessere Methoden, auf welche hier nicht weiter eingegangen wird \cite{mceliece:GenerationRandMatrix}.
 
-Beispiel:
-\[S_4=
-    \begin{pmatrix}
-        0 & 0 & 1 & 1\\
-        0 & 0 & 0 & 1\\
-        0 & 1 & 0 & 1\\
-        1 & 0 & 0 & 1
-    \end{pmatrix}
-\]
-
-\[
-    S_4^{-1}=
-    \begin{pmatrix}
-        0 & 1 & 0 & 1\\
-        0 & 1 & 1 & 0\\
-        1 & 1 & 0 & 0\\
-        0 & 1 & 0 & 0\\
-    \end{pmatrix}
-\]
-
 \subsection{Linear-Code-Generatormatrix $G_{n,k}$
 \label{mceliece:subsection:g_nk}}
 Das wichtigste Element des McEliece-Systems ist ein fehlerkorrigierender Code,
@@ -63,52 +33,11 @@ wird das Codewort länger als das Datenwort,
 es wird also Redundanz hinzugefügt,
 um die Fehlerkorrektur möglich zu machen.
 
-Beispiel
-\[
-    G_{7,4}=
-    \begin{pmatrix}
-        1 & 0 & 0 & 0\\
-        1 & 1 & 0 & 0\\
-        0 & 1 & 1 & 0\\
-        1 & 0 & 1 & 1\\
-        0 & 1 & 0 & 1\\
-        0 & 0 & 1 & 0\\
-        0 & 0 & 0 & 1
-    \end{pmatrix}
-\]
-
 \subsection{Permutations-Matrix $P_n$
 \label{mceliece:subsection:p_n}}
 Mit der zufällig generierten Permutationsmatrix $P_n$ wird die Reihenfolge der Bits geändert.
 Mit der Inversen $P_n^{-1}$ kann die Bitvertauschung rückgängig gemacht werden.
 
-Beispiel
-\[
-    P_7=
-    \begin{pmatrix}
-        0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
-        0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
-        0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
-        0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
-        0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
-        1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
-        0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0
-    \end{pmatrix}
-\]
-,
-\[
-    P_7^{-1}=P_7^t=
-    \begin{pmatrix}
-        0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
-        1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
-        0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
-        0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
-        0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
-        0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
-        0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
-    \end{pmatrix}
-\]
-
 \subsection{Public-Key $K_{n,k}$
 \label{mceliece:subsection:k_nk}}
 Der öffentliche Schlüssel, welcher zum Verschlüsseln verwendet wird,
@@ -117,20 +46,6 @@ berechnet sich aus den bereits bekannten Matrizen wiefolgt:
     K_{n,k}=P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\,.
 \]
 
-Beispiel
-\[
-    K_{7,4}=
-    \begin{pmatrix}
-        0 & 0 & 1 & 0\\
-        1 & 0 & 0 & 1\\
-        0 & 0 & 1 & 1\\
-        1 & 1 & 1 & 1\\
-        0 & 1 & 0 & 1\\
-        0 & 1 & 0 & 0\\
-        1 & 0 & 0 & 0
-    \end{pmatrix}
-\]
-
 \subsection{Fehler-Vektor $e_n$
 \label{mceliece:subsection:e_n}}
 Dieser Vektor der Länge $n$ besteht aus $t$ Einsen, welche zufällig innerhalb des Vektors angeordnet sind,
@@ -138,24 +53,10 @@ alle anderen Einträge sind Null.
 Dieser Fehlervektor besitzt also gleich viele Einer,
 wie die Anzahl Fehler, die der Linearcode der Generatormatrix $G_{n,k}$ zu korrigieren vermag.
 
-Beispiel
-\[
-    E_7=
-    \begin{pmatrix}
-        0\\
-        0\\
-        1\\
-        0\\
-        0\\
-        0\\
-        0
-    \end{pmatrix}
-\]
-
 \subsection{Daten-Vektor $d_k$
 \label{mceliece:subsection:d_k}}
-In diesem Vektor der länge $k$ ist die Nachricht (oder einen Teil davon) enthalten.
+In diesem Vektor der Länge $k$ ist die Nachricht (oder einen Teil davon) enthalten.
 
 \subsection{Code-Vektor $c_n$
 \label{mceliece:subsection:c_n}}
-In diesem Vektor der länge $n$ ist die verschlüsselte Nachricht (oder einen Teil davon) enthalten.
\ No newline at end of file
+In diesem Vektor der Länge $n$ ist die verschlüsselte Nachricht (oder einen Teil davon) enthalten.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/mceliece/einleitung.tex b/buch/papers/mceliece/einleitung.tex
index cebb8ed..e900837 100644
--- a/buch/papers/mceliece/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/mceliece/einleitung.tex
@@ -6,11 +6,11 @@
 \section{Einleitung
 \label{mceliece:section:einleitung}}
 \rhead{Einleitung}
-Beim McEliece-Kryptosystem handelt es sich um ein asymetrisches Verschlüsselungsverfahren, welches erlaubt,
+Beim McEliece-Kryptosystem handelt es sich um ein asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren, welches erlaubt,
 Daten verschlüsselt über ein Netzwerk zu übermitteln, ohne dass vorab ein gemeinsamer,
 geheimer Schlüssel unter den Teilnehmern ausgetauscht werden müsste.
-Eine andere, bereits erläuterte Variante einer asymetrischen Verschlüsselung ist das Diffie-Hellman-Verfahren \ref{buch:subsection:diffie-hellman}.
-Im Gegensatz zu Diffie-Hellman gilt das McEliece-System als Quantencomputerresistent
+Eine andere, bereits erläuterte Variante einer asymmetrischen Verschlüsselung ist das Diffie-Hellman-Verfahren \ref{buch:subsection:diffie-hellman}.
+Im Gegensatz zu Diffie-Hellman gilt das McEliece-System als quantencomputerresistent
 und das Verschlüsseln/Entschlüsseln von Nachrichten wird hauptsächlich mit Matrizenoperationen durchgeführt.
 
 
diff --git a/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py b/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py
index bac3b42..c8d5e9d 100644
--- a/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py
+++ b/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py
@@ -187,14 +187,10 @@ def decode_linear_code(c, g, syndrome_table):
     q, r=divmod(Poly(c), g)
     q=np.r_[q.coef%2, np.zeros(len(c)-len(q)-len(g)+1)]
     r=np.r_[r.coef%2, np.zeros(len(g)-len(r))]
-    syndrome_index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)])
-    while syndrome_index > 0:
-        c=c ^ syndrome_table[syndrome_index]
-        q, r=divmod(Poly(c), g)
-        q=np.r_[q.coef%2, np.zeros(len(c)-len(q)-len(g)+1)]
-        r=np.r_[r.coef%2, np.zeros(len(g)-len(r))]
-        syndrome_index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)])
-    return np.array(q, dtype=int)
+    syndrome_index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)]) #binary to decimal
+    q_corr, r_corr=divmod(Poly(syndrome_table[syndrome_index]), g)
+    q_corr=np.r_[q_corr.coef%2, np.zeros(len(c)-len(q_corr)-len(g)+1)]
+    return q.astype(int) ^ q_corr.astype(int)
     
 def encode_linear_code(d, G):
     '''
@@ -324,4 +320,4 @@ if __name__ == '__main__':
     
     print(f'msg_rx: {msg_rx}')
         
-        
\ No newline at end of file
+        
diff --git a/buch/papers/mceliece/fazit.tex b/buch/papers/mceliece/fazit.tex
index 186708b..eb96288 100644
--- a/buch/papers/mceliece/fazit.tex
+++ b/buch/papers/mceliece/fazit.tex
@@ -10,20 +10,20 @@ Ein kurzer Vergleich des McEliece-Systems
 mit dem oft verwendeten RSA-System soll zeigen, wo dessen Vor- und Nachteile liegen.
 
 \subsection{Resourcen}
-Eine Eigenheit des McEliece-Systems ist das hinzufügen von Rauschen (mit Fehlervektor $e_n$).
-Damit diese mit dem Lienarcode-Decoder wieder entfernt werden können,
+Eine Eigenheit des McEliece-Systems ist das Hinzufügen von Rauschen (mit Fehlervektor $e_n$).
+Damit diese mit dem Linearcode-Decoder wieder entfernt werden können,
 wird Redundanz benötigt,
 weshalb dessen Kanalefizienz (Nutzbits/Übertragungsbits) sinkt.
 Die Schlüsselgrösse des McEliece-Systems ist deshalb so riesig, weil es sich um eine zweidimensionale Matrix handelt, währenddem RSA mit nur zwei Skalaren auskommt.
 Das McEliece-System benötigt dafür weniger Rechenaufwand beim Verschlüsseln/Entschlüsseln, da die meisten Operationen mit Matrixmultiplikationen ausgeführt werden können (Aufwand ist in binären Operationen pro Informationsbit)\cite{mceliece:CodeBasedCrypto}.
 Beim Rechenaufwand sei noch erwähnt,
-dass asymetrische Verschlüsselungen meist nur dazu verwendet werden,
-um einen Schlüssel für eine symetrische Verschlüsselung auszutauschen.
+dass asymmetrische Verschlüsselungen meist nur dazu verwendet werden,
+um einen Schlüssel für eine symmetrische Verschlüsselung auszutauschen.
 \begin{center}
-\begin{tabular}{c|c|c}
-                                &McEliece (n=2048, k=1718, t = 30)  &RSA (2048, e = 216 + 1)\\
+\begin{tabular}{l|c|c}
+                                &McEliece ($n=2048$, $k=1718$, $t = 30$)  &RSA ($2048$, $e = 216 + 1$)\\
     \hline
-    Schlüssegrösse: (Public)    &429.5 KByte                        &0.5 KByte              \\
+    Schlüssegrösse (Public):    &429.5 KByte                        &0.5 KByte              \\
     Kanaleffizienz:             &83.9 \%                            &100 \%                 \\
     Verschlüsselungsaufwand:    &1025                               &40555                  \\
     Entschlüsselungsaufwand:    &2311                               &6557176, 5
@@ -31,7 +31,7 @@ um einen Schlüssel für eine symetrische Verschlüsselung auszutauschen.
 \end{center}
 
 \subsection{Sicherheit}
-Grosse unterschiede zwischen den beiden Kryptosystemen gibt es jedoch bei der Sicherheit.
+Grosse Unterschiede zwischen den beiden Kryptosystemen gibt es jedoch bei der Sicherheit.
 Der Kern der RSA-Verschlüsselung beruht auf dem Problem, eine grosse Zahl in ihre beiden Primfaktoren zu zerlegen.
 Bei genügend grossen Zahlen ist diese Zerlegung auch mit den heute besten verfügbaren Computern kaum innerhalb vernünftiger Zeit zu lösen.
 Weiter ist aber bekannt,
@@ -43,7 +43,7 @@ Für das ``Syndrome decoding'' sind bis heute keine Methoden bekannt,
 welche nennenswerte Vorteile gegenüber dem Durchprobieren (brute-force) bringen,
 auch nicht mithilfe eines Quantencomputers.
 \begin{center}
-\begin{tabular}{c|c|c}
+\begin{tabular}{l|c|c}
                               &McEliece          &RSA              \\
 \hline
     Grundlage Verschlüsselung &Syndrome decoding &Integer factoring\\
@@ -54,4 +54,4 @@ auch nicht mithilfe eines Quantencomputers.
 Die Verbreitung des McEliece-Kryptosystems ist zurzeit äusserst gering.
 Das liegt einerseits an der immensen Grösse des öffentlichen Schlüssels,
 andererseits wird aber auch in naher Zukunft nicht mit einem genügend starken Quantencomputer gerechnet,
-welcher andere asymetrische Verschlüsselungen gefährden würde.
+welcher andere asymmetrische Verschlüsselungen gefährden würde.
diff --git a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex
index 7c69b13..8288e7f 100644
--- a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex
+++ b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex
@@ -12,8 +12,11 @@ bei dem Bob an Alice eine verschlüsselte Nachticht über ein öffentliches Netz
 
 \subsection{Vorbereitung
 \label{mceliece:section:vorbereitung}}
-Damit der Nachrichtenaustausch stattfinden kann, muss Alice (Empfängerin)
-zuerst ein Schlüsselpaar definieren.
+Bevor einen Datenaustausch zwischen Sender und Empfänger stattfinden kann,
+muss abgemacht werden, welche Länge $n$ das Code-Wort und welche Länge $k$ das Datenwort hat
+und wie viele Bitfehler $t$ (angewendet mit Fehlervektor $e_n$)
+für das Rauschen des Code-Wortes $c_n$ verwendet werden.
+Danach generiert Alice (Empfängerin) ein Schlüsselpaar.
 Dazu erstellt sie die einzelnen Matrizen $S_k$, $G_{n,k}$ und $P_n$.
 Diese drei einzelnen Matrizen bilden den privaten Schlüssel von Alice
 und sollen geheim bleiben.
@@ -25,36 +28,36 @@ und wird anschliessend Bob zugestellt.
 \label{mceliece:section:verschl}}
 Bob berechnet nun die verschlüsselte Nachricht $c_n$, indem er seine Daten $d_k$
 mit dem öffentlichen Schlüssel $K_{n,k}$ von Alice multipliziert
-und anschliessend durch eine Addition mit einem Fehlervektor $e_n$ einige Bitfehler hinzufügt.
+und anschliessend durch eine Addition mit einem Fehlervektor $e_n$ einige Bitfehler hinzufügt:
 \[
     c_n\,=\,K_{n,k}\cdot d_k + e_n\,.
 \]
-Dabei wird für jede Nachricht (oder für jedes Nachrichtenfragment)
+Dabei wird für jede Nachricht (oder für jedes Nachrichtenfragment) $d_k$
 einen neuen, zufälligen Fehlervektor generiert.
 Die verschlüsselte Nachricht $c_n$ wird anschliessend Alice zugestellt.
 
 \subsection{Entschlüsselung
 \label{mceliece:section:entschl}}
 Alice entschlüsselt die erhaltene Nachricht in mehreren einzelnen Schritten.
-Um etwas Transparenz in diese Prozedur zu bringen, wird der öffentliche Schlüssel $K_{n,k}$ mit seinen Ursprungsmatrizen dargestellt.
+Um etwas Transparenz in diese Prozedur zu bringen, wird der öffentliche Schlüssel $K_{n,k}$ mit seinen Ursprungsmatrizen dargestellt:
 \begin{align*}
     c_n\,&=\,K_{n,k}\cdot d_k + e_n \\
-    &= P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e_n
+    &= P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e_n\,.
 \end{align*}
 Zuerst wird der Effekt der Permutationsmatrix rückgängig gemacht,
-indem das Codewort mit dessen Inversen $P_n^{-1}$ multipliziert wird.
+indem das Codewort mit dessen Inversen $P_n^{-1}$ multipliziert wird:
 \begin{align*}
     c_{n}''\,=\,P_n^{-1}\cdot c_n\,&= P_n^{-1}\cdot P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\
-                                         &= G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\
+                                         &= G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n\,. \\
 \end{align*}
 Eine weitere Vereinfachung ist nun möglich,
 weil $P_n^{-1}$ einerseits auch eine gewöhnliche Permutationsmatrix ist
 und andererseits ein zufälliger Fehlervektor $e_n$ multipliziert mit einer Permutationsmatrix
-wiederum einen gleichwertigen, zufälligen Fehlervektor $e_n'$ ergibt.
+wiederum einen zufälligen Fehlervektor gleicher Länge und mit der gleichen Anzahl Fehlern $e_n'$ ergibt:
 \begin{align*}
     c_{n}''\,&=\,G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\
-             &=\,G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n\quad \quad \quad | \,
-    e'_n\,=\,P_n^{-1}\cdot e_n
+             &=\,G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n \quad \text{mit} \quad
+    e'_n\,=\,P_n^{-1}\cdot e_n\,.
 \end{align*}
 Dank des fehlerkorrigierenden Codes, der durch die implizite Multiplikation mittels $G_{n,k}$ auf die Daten angewendet wurde,
 können nun die Bitfehler, verursacht durch den Fehlervektor $e'_n$,
@@ -62,22 +65,353 @@ entfernt werden.
 Da es sich bei diesem Schritt nicht um eine einfache Matrixmultiplikation handelt,
 wird die Operation durch eine Funktion dargestellt.
 Wie dieser Decoder genau aufgebaut ist,
-hängt vom verwendeten Linearcode ab.
+hängt vom verwendeten Linearcode ab:
 \begin{align*}
     c_{k}'\,&=\text{Linear-Code-Decoder($c''_n$)}\\
             &=\text{Linear-Code-Decoder($G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n$)}\\
-            &=S_{k}\cdot d_k
+            &=S_{k}\cdot d_k\,.
 \end{align*}
 Zum Schluss wird das inzwischen fast entschlüsselte Codewort $c'_k$ mit der inversen der zufälligen Binärmatrix $S^{-1}$ multipliziert,
-womit der Inhalt der ursprünglichen Nachricht nun wiederhergestellt wurde.
+womit der Inhalt der ursprünglichen Nachricht nun wiederhergestellt wurde:
 \begin{align*}
-                            c_{k}'\,&=S_{k}\cdot d_k \quad | \cdot S_k^{-1}\\
     d'_{k}\,=\,S_{k}^{-1} \cdot c'_k&=S_{k}^{-1} \cdot S_{k}\cdot d_k\\
-                                    &=d_k
+                                    &=d_k\,.
 \end{align*}
+Möchte ein Angreifer die verschlüsselte Nachricht knacken, muss dieser die drei privaten Matrizen $S_k$, $G_{n,k}$ und $P_n$ kennen.
+Aus dem öffentlichen Schlüssel lassen sich diese nicht rekonstruieren
+und eine systematische Analyse der Codeworte wird durch das Hinzufügen von zufälligen Bitfehlern zusätzlich erschwert.
 
 \subsection{Beispiel}
+Die Verschlüsselung soll mittels einem numerischen Beispiel demonstriert werden. 
+Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four} beschrieben.
+\begin{itemize}
+    \item Daten- und Fehlervektor
+    \begin{itemize}
+        \item[]
+        \[d_4=
+        \begin{pmatrix}
+            1\\
+            1\\
+            1\\
+            0 
+        \end{pmatrix}
+        ,\,
+        e_7=
+        \begin{pmatrix}
+            0\\
+            0\\
+            1\\
+            0\\
+            0\\
+            0\\
+            0
+        \end{pmatrix}
+        \]
+    \end{itemize}
+    \item Private Matrizen:
+    \begin{itemize}
+        \item[]
+        \[S_4=
+            \begin{pmatrix}
+                0 & 0 & 1 & 1\\
+                0 & 0 & 0 & 1\\
+                0 & 1 & 0 & 1\\
+                1 & 0 & 0 & 1
+            \end{pmatrix},\,
+            S_4^{-1}=
+            \begin{pmatrix}
+                0 & 1 & 0 & 1\\
+                0 & 1 & 1 & 0\\
+                1 & 1 & 0 & 0\\
+                0 & 1 & 0 & 0\\
+            \end{pmatrix},
+        \]
+        \item[]
+        \[
+            G_{7,4}=
+            \begin{pmatrix}
+                1 & 0 & 0 & 0\\
+                1 & 1 & 0 & 0\\
+                0 & 1 & 1 & 0\\
+                1 & 0 & 1 & 1\\
+                0 & 1 & 0 & 1\\
+                0 & 0 & 1 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 1
+            \end{pmatrix},\,
+        \]
+        \item[]
+        \[
+            P_7=
+            \begin{pmatrix}
+                0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
+                1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
+                0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0
+            \end{pmatrix}
+        ,\,
+            P_7^{-1}=P_7^t=
+            \begin{pmatrix}
+                0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
+                1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
+                0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+                0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
+            \end{pmatrix}
+        \]
+    \end{itemize}
+    \item Öffentlicher Schlüssel:
+    \begin{itemize}
+        \item[]
+        \begin{align*}
+            K_{7,4}&=P_{7}\cdot G_{7,4}\cdot S_{4}=\\
+            \begin{pmatrix} %k
+                0 & 0 & 1 & 0\\
+                1 & 0 & 0 & 1\\
+                0 & 0 & 1 & 1\\
+                1 & 1 & 1 & 1\\
+                0 & 1 & 0 & 1\\
+                0 & 1 & 0 & 0\\
+                1 & 0 & 0 & 0
+            \end{pmatrix}
+            &=
+            \begin{pmatrix} %p
+                0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
+                1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
+                0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0
+            \end{pmatrix}
+            \cdot
+            \begin{pmatrix} %g
+                1 & 0 & 0 & 0\\
+                1 & 1 & 0 & 0\\
+                0 & 1 & 1 & 0\\
+                1 & 0 & 1 & 1\\
+                0 & 1 & 0 & 1\\
+                0 & 0 & 1 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 1
+            \end{pmatrix}
+            \cdot
+            \begin{pmatrix} %s
+                0 & 0 & 1 & 1\\
+                0 & 0 & 0 & 1\\
+                0 & 1 & 0 & 1\\
+                1 & 0 & 0 & 1
+            \end{pmatrix}
+        \end{align*}
+    \end{itemize}
+    \item Verschlüsselung:
+    \begin{itemize}
+        \item[]
+        \begin{align*}
+            c_7&=K_{7,4}\cdot d_4 + e_7=\\
+        \begin{pmatrix} %c
+            1\\
+            1\\
+            0\\
+            1\\
+            1\\
+            1\\
+            1
+        \end{pmatrix}
+        &=
+        \begin{pmatrix} %k
+            0 & 0 & 1 & 0\\
+            1 & 0 & 0 & 1\\
+            0 & 0 & 1 & 1\\
+            1 & 1 & 1 & 1\\
+            0 & 1 & 0 & 1\\
+            0 & 1 & 0 & 0\\
+            1 & 0 & 0 & 0
+        \end{pmatrix}
+        \cdot
+        \begin{pmatrix} %d
+            1\\
+            1\\
+            1\\
+            0 
+        \end{pmatrix}
+        +
+        \begin{pmatrix} %e
+            0\\
+            0\\
+            1\\
+            0\\
+            0\\
+            0\\
+            0
+        \end{pmatrix} 
+        \end{align*}
+    \end{itemize}
+    \item Entschlüsselung (Permutation rückgängig machen):
+    \begin{itemize}
+        \item[]
+        \begin{align*}
+            c_{7}''&=P_7^{-1}\cdot c_7=\\
+            \begin{pmatrix} %c''
+                0\\
+                1\\
+                1\\
+                1\\
+                1\\
+                1\\
+                1
+            \end{pmatrix}
+            &=
+            \begin{pmatrix} %p^-1
+                0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+                1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
+                0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
+                0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
+                0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
+            \end{pmatrix}
+            \cdot
+            \begin{pmatrix} %c
+                1\\
+                1\\
+                0\\
+                1\\
+                1\\
+                1\\
+                1
+            \end{pmatrix}
+        \end{align*}
+    \end{itemize}
+    \item Entschlüsselung (Bitfehlerkorrektur mit Linearcode):
+    \begin{itemize}
+        \item[]
+        \begin{align*}
+            c_{7}'\,&=\text{Linear-Code-Decoder($c''_7$)}=\\
+            \begin{pmatrix} %c'
+                1\\
+                0\\
+                1\\
+                1
+            \end{pmatrix}
+            &=\text{Linear-Code-Decoder(}
+            \begin{pmatrix}
+                0\\
+                1\\
+                1\\
+                1\\
+                1\\
+                1\\
+                1
+            \end{pmatrix}
+            \text{)}
+        \end{align*}
+    \end{itemize}
+    \item Entschlüsselung (Umkehrung des $S_4$-Matrix-Effekts):
+    \begin{itemize}
+        \item[]
+        \begin{align*}
+            d'_{4}&=S_{4}^{-1} \cdot c'_4 \,(= d_4)\\
+            \begin{pmatrix}
+                1\\
+                1\\
+                1\\
+                0
+            \end{pmatrix}
+            &=
+            \begin{pmatrix} %s^-1
+                0 & 1 & 0 & 1\\
+                0 & 1 & 1 & 0\\
+                1 & 1 & 0 & 0\\
+                0 & 1 & 0 & 0\\
+            \end{pmatrix}
+            \cdot
+            \begin{pmatrix} %c'
+                1\\
+                0\\
+                1\\
+                1
+            \end{pmatrix}
+        \end{align*}
+    \end{itemize}
+\end{itemize}
 
-TODO:
--alle Beispielmatrizen- und Vektoren hierhin zügeln, numerisches Beispiel kreieren\\
--erläutern des 7/4-codes (ja/nein)?
\ No newline at end of file
+
+\subsubsection{7/4-Code
+\label{mceliece:subsection:seven_four}}
+Beim 7/4-Code handelt es sich um einen linearen Code,
+der ein Bitfehler korrigieren kann.
+Es gibt unterschiedliche Varianten zum Erzeugen eines 7/4-Codes,
+wobei der hier verwendete Code mithilfe des irreduziblen Generator-Polynoms $P_g = x^3 +x + 1$ generiert wird.
+Somit lässt sich das Code-Polynom $P_c$ berechnen, indem das Daten-Polynom $P_d$ mit dem Generatorpolynom $P_g$ multipliziert wird (Codiervorgang):
+\[
+    P_c=P_g \cdot P_d\,.
+\]
+Damit diese Multiplikation mit Matrizen ausgeführt werden kann, werden die Polynome in mit Vektoren dargestellt (Kapitel \ref{buch:section:polynome:vektoren}):
+\[
+    P_g = \textcolor{red}{1}\cdot x^0 + \textcolor{blue}{1}\cdot x^1 + \textcolor{green}{0}\cdot x^2 + \textcolor{orange}{1}\cdot x^3 \implies
+    [\textcolor{red}{1}, \textcolor{blue}{1} ,\textcolor{green}{0}, \textcolor{orange}{1}] = g_4\,.
+\]
+Auch das Daten-Polynom wird mit einem Vektor dargestellt: $P_d = d_0 \cdot x^0 + d_1 \cdot x^1 + d_2 \cdot x^2 + d_3 \cdot x^3 \implies [d_0, d_1, d_2, d_3] = d_4$\,.
+Der Vektor $g_4$ wird nun in die sogenannte Generatormatrix $G_{7,4}$ gepackt,
+sodass die Polynommultiplikation mit $d_4$ mittels Matrixmultiplikation realisiert werden kann:
+
+\[
+    c_7=G_{7,4} \cdot d_4=
+    \begin{pmatrix}
+            \textcolor{red}{1} &                    0  &                    0  &                    0  \\
+           \textcolor{blue}{1} &    \textcolor{red}{1} &                    0  &                    0  \\
+          \textcolor{green}{0} &   \textcolor{blue}{1} &    \textcolor{red}{1} &                    0  \\
+         \textcolor{orange}{1} &  \textcolor{green}{0} &   \textcolor{blue}{1} &    \textcolor{red}{1} \\
+                            0  & \textcolor{orange}{1} &  \textcolor{green}{0} &   \textcolor{blue}{1} \\
+                            0  &                    0  & \textcolor{orange}{1} &  \textcolor{green}{0} \\
+                            0  &                    0  &                    0  & \textcolor{orange}{1} 
+    \end{pmatrix}
+    \begin{pmatrix}
+        d_0\\        
+        d_1\\
+        d_2\\
+        d_3
+    \end{pmatrix}
+    =
+    \begin{pmatrix}
+        c_0\\        
+        c_1\\
+        c_2\\
+        c_3\\
+        c_4\\
+        c_5\\
+        c_6\\
+    \end{pmatrix}\,.
+\]
+Beim nun entstandenen Code-Vektor $c_7=[c_0, ..., c_6]$ entsprechen die Koeffizienten dem dazugehörigen Code-Polynom $P_c=c_0\cdot x^0+...+c_6\cdot x^6$.
+Aufgrund der Multiplikation mit dem Generatorpolynom $P_g$ lässt sich das Codewort auch wieder restlos durch $P_g$ dividieren.
+Wird dem Codewort nun einen Bitfehler hinzugefügt, entsteht bei der Division durch $P_g$ einen Rest.
+Beim gewählten Polynom beträgt die sogenannte Hamming-Distanz drei, das bedeutet,
+dass vom einen gültigen Codewort zu einem anderen gültigen Codewort drei Bitfehler auftreten müssen.
+Somit ist es möglich, auf das ursprüngliche Bitmuster zu schliessen, solange maximal ein Bitfehler vorhanden ist.
+Jeder der möglichen acht Bitfehler führt bei der Division zu einem anderen Rest,
+womit das dazugehörige Bit identifiziert und korrigiert werden kann,
+indem beispielsweise die Bitfehler mit dem dazugehörigen Rest in der sogenannten Syndrom-Tabelle (Tabelle \ref{mceliece:tab:syndrome}) hinterlegt werden.
+\begin{table}
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|l|l|}
+            \hline
+            Syndrom (Divisionsrest)     &korrespondierender Bitfehler\\
+            \hline
+            1 ($[1,0,0]$)               &$[1,0,0,0,0,0,0]$\\    
+            2 ($[0,1,0]$)               &$[0,1,0,0,0,0,0]$\\    
+            3 ($[1,1,0]$)               &$[0,0,0,1,0,0,0]$\\    
+            4 ($[0,0,1]$)               &$[0,0,1,0,0,0,0]$\\    
+            5 ($[1,0,1]$)               &$[0,0,0,0,0,0,1]$\\    
+            6 ($[0,1,1]$)               &$[0,0,0,0,1,0,0]$\\    
+            7 ($[1,1,1]$)               &$[0,0,0,0,0,1,0]$\\
+            \hline
+
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+    \caption{\label{mceliece:tab:syndrome}Syndrom-Tabelle 7/4-Code}
+\end{table}