Info über Mannigfaltigkeiten hinzufügen

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diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.pdf
index f0a9879..d769cca 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.pdf
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.pdf
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex
index a13d7c7..c8eb4a3 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex
@@ -104,7 +104,8 @@
 \draw[<-,color=white,opacity=0.8,line width=5pt] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5);
 \draw[<-,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5);
 
-\node at (0,-5.8) {$\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$};
+\node at (0,-5.9)
+	{$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$};
 
 \end{tikzpicture}
 \end{document}
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
index 1268ce2..48d6b43 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
@@ -6,6 +6,105 @@
 \section{Lie-Gruppen
 \label{buch:section:lie-gruppen}}
 \rhead{Lie-Gruppen}
+Die in bisherigen Beispielen untersuchten Matrizengruppen zeichnen sich
+durch zusätzliche Eigenschaften aus.
+Die Gruppe
+\[
+\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) 
+=
+\{ A \in M_n(\mathbb{R})\;|\; \det A \ne 0\}
+\]
+besteht aus den Matrizen, deren Determinante nicht $0$ ist.
+Da die Menge der Matrizen mit $\det A=0$ eine abgeschlossene Menge
+in $M_n(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{n^2}$ ist, ist
+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$,
+sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit.
+Dies gilt jedoch auch für alle anderen Matrizengruppen, die in diesem
+Abschnitt genauer untersucht werden sollen.
+
+\subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen
+\label{buch:subsection:mannigfaltigkeitsstruktur-der-matrizengruppen}}
+Eine Matrizengruppe wird automatsich zu einer Mannigfaltigkeit,
+wenn es gelingt, eine Karte für eine Umgebung des neutralen Elements
+zu finden.
+Dazu muss gezeigt werden, dass sich aus einer solchen Karte für jedes
+andere Gruppenelement eine Karte für eine Umgebung ableiten lässt.
+Sei also $\varphi_e\colon U_e\mathbb{R}^N$ eine Karte für die Umgebung
+$U_e\subset G$ von $e\in G$.
+Für $g\in G$ ist dann die Abbildung
+\[
+\varphi_g
+\colon
+U_g
+=
+gU_e
+\to
+\mathbb{R}
+:
+h\mapsto \varphi_e(g^{-1}h)
+\]
+eine Karte für die Umgebung $U_g$ des Gruppenelementes $g$.
+schreibt man $l_{g}$ für  die Abbildung $h\mapsto gh$, dann
+kann man die Kartenabbildung auch $\varphi_g = \varphi_e\circ l_{g^{-1}}$
+schreiben.
+
+Die Kartenwechsel-Abbildungen für zwei Karten $\varphi_{g_1}$
+und $\varphi_{g_2}$ ist die Abbildung
+\[
+\varphi_{g_1,g_2}
+=
+\varphi_{g_1}\circ \varphi_{g_2}^{-1}
+=
+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ (\varphi_e\circ l_{g_2^{-1}})^{-1}
+=
+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2^{-1}}^{-1} \varphi_e^{-1}
+=
+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2}\varphi_e^{-1}
+=
+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}g_2}\varphi_e^{-1}
+\]
+mit der Ableitung
+\[
+D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} D\varphi_e^{-1}
+=
+D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} (D\varphi_e)^{-1}.
+\]
+Die Abbildung $l_{g_1^{-1}g_2}$ ist aber nur die Multiplikation mit
+einer Matrix, also eine lineare Abbildung, so dass der Kartenwechsel
+nichts anderes ist als die Darstellung der Matrix der Linksmultiplikation
+$l_{g_1^{-1}g_2}$ im Koordinatensystem der Karte $U_e$ ist.
+Differenzierbarkeit der Kartenwechsel ist damit sichergestellt,
+die Matrizengruppen sind automatisch differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
+
+Die Konstruktion aller Karten aus einer einzigen Karte für eine
+Umgebung des neutralen Elements zeigt auch, dass es für die Matrizengruppen
+reicht, wenn man die Elemente in einer Umgebung des neutralen
+Elementes parametrisieren kann.
+Dies ist jedoch nicht nur für die Matrizengruppen möglich.
+Wenn eine Gruppe gleichzeitig eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
+ist, dann können Karten über die ganze Gruppe transportiert werden,
+wenn die Multiplikation mit Gruppenelementen eine differenzierbare
+Abbildung ist.
+Solche Gruppen heissen auch Lie-Gruppen gemäss der folgenden Definition.
+
+\begin{definition}
+\index{Lie-Gruppe}%
+Eine {\em Lie-Gruppe} ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
+Mannigfaltigkeit ist derart, dass die Abbildungen
+\begin{align*}
+G\times G \to G &: (g_1,g_2)\mapsto g_1g_2
+G\to G &: g \mapsto g^{-1}
+\end{align*}
+differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind.
+\end{definition}
+
+Die Abstraktheit dieser Definition täuscht etwas über die 
+Tatsache hinweg, dass sich mit Hilfe der Darstellungstheorie
+jede beliebige Lie-Gruppe als Untermannigfaltigkeit einer 
+Matrizengruppe verstehen lässt.
+Das Studium der Matrizengruppen erlaubt uns daher ohne grosse
+Einschränkungen ein Verständnis für die Theorie der Lie-Gruppen
+zu entwickeln.
 
 \subsection{Drehungen in der Ebene
 \label{buch:gruppen:drehungen2d}}
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
index b686791..e7c3240 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
@@ -405,7 +405,7 @@ umrechnen können auf die Kugelkoordinaten.
 Dazu muss seine Umrechnungsformel von kartesischen Koordinaten
 auf Kugelkoordinaten differenzierbar sein.
 
-Diese Idee wird vom Konzept der Mannigfaltigkeit verallgemeinert.
+Diese Idee wird durch das Konzept der Mannigfaltigkeit verallgemeinert.
 Eine $n$-dimensionale {\em Mannigfaltigkeit} ist eine Menge $M$ von Punkten,
 die lokal, also in der Umgebung eines Punktes, mit möglicherweise mehreren
 verschiedenen Koordinatensystemen versehen werden kann.
@@ -413,14 +413,30 @@ Ein Koordinatensystem ist eine umkehrbare Abbildung einer offenen Teilmenge
 $U\subset M$ in den Raum $\mathbb{R}^n$.
 Die Komponenten dieser Abbildung heissen die {\em Koordinaten}.
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/karten.pdf}
+\caption{Karten
+$\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to \mathbb{R}^2$
+und
+$\varphi_\beta\colon U_\beta\to \mathbb{R}^2$
+auf einem Torus.
+Auf dem Überschneidungsgebiet $\varphi_\alpha^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$
+ist der Kartenwechsel $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ wohldefiniert
+und muss differnzierbar sein, wenn eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
+entstehen soll.
+\label{buch:gruppen:fig:karten}}
+\end{figure}
+
 \begin{definition}
 Eine Karte auf $M$ ist eine umkehrbare Abbildung
-$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$.
+$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$ (siehe auch
+Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:karten}).
 Ein differenzierbarer Atlas ist eine Familie von Karten $\varphi_\alpha$
 derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$
 überdecken, und dass die Kartenwechsel Abbildungen
 \[
-\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}
+\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}
 \colon
 \varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)
 \to
@@ -513,8 +529,65 @@ konstruieren, der $S^n$ zu einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit macht.
 \end{beispiel}
 
 \subsubsection{Tangentialraum}
-
-\subsubsection{Einbettung und Karten}
+Mit Hilfe einer Karte $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{R}^n$
+kann das Geschehen in einer Mannigfaltigkeit in den vertrauten 
+$n$-dimensionalen Raum $\mathbb{B}^n$ transportiert werden. 
+Eine Kurve $\gamma\colon \mathbb{R}\to M$, die so parametrisiert sein
+soll, dass $\gamma(t)\in U_\alpha$ für $t$ in einer Umgebung $I$ von $0$ ist,
+wird von der Karte in eine Kurve
+$\gamma_\alpha=\varphi_\alpha\circ\gamma\colon I\to \mathbb{R}^n$ 
+abgebildet,
+deren Tangentialvektor wieder ein Vektor in $\mathbb{R}^n$ ist.
+
+Eine zweite Karte $\varphi_\beta$ führt auf eine andere Kurve
+mit der Parametrisierung
+$\gamma_\beta=\varphi_\beta\circ\gamma\colon I \to \mathbb{R}^n$ 
+und einem anderen Tangentialvektor.
+Die beiden Tangentialvektoren können aber mit der Ableitung der
+Koordinatenwechsel-Abbildung
+$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon
+\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \mathbb{R}^n$
+ineinander umgerechnet werden.
+Aus
+\[
+\gamma_\beta
+=
+\varphi_\beta\circ \gamma
+=
+(
+\varphi_\beta
+\circ
+\varphi_\alpha^{-1}
+)
+\circ
+\varphi_\alpha\circ\gamma
+=
+\varphi_{\beta\alpha}
+\circ
+\varphi_\alpha\circ\gamma
+=
+\varphi_{\beta\alpha}\circ\gamma_\alpha
+\]
+folgt durch Ableitung nach dem Kurvenparameter $t$, dass
+\[
+\frac{d}{dt}\gamma_\beta(t)
+=
+D\varphi_{\beta\alpha} \frac{d}{dt}\gamma_\alpha(t).
+\]
+Die Ableitung $D\varphi_{\beta\alpha}$ von $\varphi_{\beta\alpha}$ 
+an der Stelle $\gamma_\alpha(t)$ berechnet also aus dem Tangentialvektor
+einer Kurve in der Karte $\varphi_\alpha$ den Tangentialvektor der
+Kurve in der Karte $\varphi_\beta$.
+
+Die Forderung nach Differenzierbarkeit der Kartenwechselabbildungen
+$\varphi_{\beta\alpha}$ stellt also nur sicher, dass die Beschreibung
+eines Systemes mit Differentialgleichungen in verschiedenen
+Koordinatensystemen auf die gleichen Lösungskurven in der
+Mannigfaltigkeit führt.
+Insbesondere ist die Verwendung von Karten ist also nur ein Werkzeug,
+mit dem die Unmöglichkeit einer globalen Besschreibung einer
+Mannigfaltigkeit $M$ mit einem einzigen globalen Koordinatensystem
+ohne Singularitäten umgangen werden kann.
 
 \subsection{Der Satz von Noether
 \label{buch:subsection:noether}}