typos

4 files changed, 18 insertions, 5 deletions

diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
index 2a9b4a9..4ccea89 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
@@ -149,7 +149,10 @@ Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums nur für
 einige wenige, niedrige Dimensionen überhaupt möglich ist.
 Für die Division sind die Einschränkungen noch gravierender, die einzigen
 Dimensionen $>1$, in denen ein Produkt mit einer Division definiert werden
-kann, sind $2$, $4$ und $8$.
+kann\footnote{Der Beweis dieser Aussage ist ziemlich schwierig und wurde
+erst im 20.~Jahrhundert mit Hilfe der Methoden der algebraischen Topologie
+erbracht. Eine Übersicht über den Beweis kann in Kapitel~10 von
+\cite{buch:ebbinghaus} gefunden werden.}, sind $2$, $4$ und $8$.
 Nur in Dimension $2$ ist ein kommutatives Produkt möglich, dies muss das
 Produkt der komplexen Zahlen sein.
 
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
index cdd1693..2fcf199 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
@@ -256,7 +256,7 @@ aufgespannte Raum.
 Die Gleichung~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}
 drückt aus, dass sich der Vektor $b$ auf der rechten Seite als
 Linearkombination der Spaltenvektoren ausdrücken lässt.
-Oft ist eine solche Darstellung auf nur eine Art und Weise.
+Oft ist eine solche Darstellung auf nur eine Art und Weise möglich.
 Betrachten wir daher jetzt den Fall, dass es zwei verschiedene
 Linearkombinationen der Vektoren $a_1,\dots,a_n$ gibt, die beide den
 Vektor $b$ ergeben.
@@ -1084,7 +1084,7 @@ Das Bild einer $m\times n$-Matrix $A$ ist die Menge
 \]
 \end{definition}
 
-Zwei Vektoren $a,b\in\operatorname{im}$ haben Urbilder $u,w\in V$ mit
+Zwei Vektoren $a,b\in\operatorname{im} f$ haben Urbilder $u,w\in V$ mit
 $f(u)=a$ und $f(w)=b$.
 Für Summe und Multiplikation mit Skalaren folgt
 \[
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
index afe64f7..d951221 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
@@ -21,7 +21,7 @@ Damit man mit einem Skalarprodukt rechnen kann wie mit jedem anderen
 Produkt, müssen man auf beiden Seiten des Zeichesn ausmultiplizieren können:
 \begin{align*}
 (\lambda x_1 + \mu x_2)\cdot y &= \lambda x_1\cdot y + \mu x_2\cdot y\\
-x\cdot (\lambda y_1 + \mu x_2) &= \lambda x\cdot y_1 + \mu x\cdot y_2.
+x\cdot (\lambda y_1 + \mu y_2) &= \lambda x\cdot y_1 + \mu x\cdot y_2.
 \end{align*}
 Man kann dies interpretieren als Linearität der Abbildungen 
 $x\mapsto x\cdot y$ und $y\mapsto x\cdot y$.
@@ -73,7 +73,7 @@ $\mathbb{Q}$-Vektorräume zu beschränken.
 
 Man lernt in der Vektorgeometrie, dass sich mit einer Bilinearform
 $f\colon V\times V\to\mathbb{R}$ 
-die Länge eines definieren lässt, indem man $\|x\|^2 = f(x,x)$
+die Länge eines Vektors $x$ definieren lässt, indem man $\|x\|^2 = f(x,x)$
 setzt.
 Ausserdem muss $f(x,x)\ge 0$ sein für alle $x$, was die Bilinearität
 allein nicht garantieren kann.
diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib
index 35d3c47..b58af7d 100644
--- a/buch/chapters/references.bib
+++ b/buch/chapters/references.bib
@@ -105,3 +105,13 @@ abstract = "In this paper, we present Google, a prototype of a large-scale searc
 	year={1960},
 	publisher={Academic Press}
 }
+
+@book{buch:ebbinghaus,
+	title = {Zahlen},
+	year = 1983,
+	inseries = {Grundwissen Mathematik},
+	volume = 1,
+	publisher = {Springer-Verlag},
+	author = { Hans-Dieter Ebbinghaus et al },
+	isbn = { 3-540-12666-X }
+}