new slides

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diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
index 93bcbd5..2eb3ce9 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
@@ -7,5 +7,6 @@
 chapter2 =								\
 	../slides/2/norm.tex						\
 	../slides/2/skalarprodukt.tex					\
+	../slides/2/cauchyschwarz.tex					\
 	../slides/2/chapter.tex
 
diff --git a/vorlesungen/slides/2/cauchyschwarz.tex b/vorlesungen/slides/2/cauchyschwarz.tex
new file mode 100644
index 0000000..a24ada8
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/cauchyschwarz.tex
@@ -0,0 +1,94 @@
+%
+% cauchyschwarz.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Cauchy-Schwarz-Ungleichung}
+\vspace{-15pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Satz (Cauchy-Schwarz)}
+$\langle\;,\;\rangle$ eine positiv definite, hermitesche Sesquilinearform
+\[
+{\color{darkgreen}
+|\operatorname{Re}\langle u,v\rangle|
+\le
+|\langle u,v\rangle|
+\le
+\|u\|_2\cdot \|v\|_2
+}
+\]
+Gleichheit genau dann, wenn $u$ und $v$ linear abhängig sind
+\end{block}
+\begin{block}{Dreiecksungleichung}
+\vspace{-12pt}
+\begin{align*}
+\|u+v\|_2^2
+&=
+\|u\|_2^2 + 2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle + \|v\|_2^2
+\\
+&\le
+\|u\|_2^2 + 2{\color{darkgreen}|\langle u,v\rangle|} + \|v\|_2^2
+\\
+&\le
+\|u\|_2^2 + 2{\color{darkgreen}\|u\|_2\cdot \|v\|_2} + \|v\|_2^2
+\\
+&=(\|u\|_2 + \|v\|_2)^2
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{proof}[Beweis]
+Die quadratische Funktion
+\begin{align*}
+Q(t)
+&=
+\langle u+tv,u+tv\rangle \ge 0
+\\
+\uncover<3->{
+Q(t)
+&=
+\|u\|_2^2 + 2t\operatorname{Re}\langle u,v\rangle + t^2\|v\|_2^2}
+\end{align*}
+\uncover<4->{hat ihr Minimum bei}%
+\begin{align*}
+\uncover<5->{
+t&=
+-\operatorname{Re}\langle u,v\rangle/\|v\|_2^2}
+\intertext{\uncover<6->{mit Wert}}
+\uncover<7->{
+Q(t)
+&=
+\|u\|_2^2
+-2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle^2/\|v\|_2^2}
+\\
+\uncover<7->{
+&\qquad + \operatorname{Re}\langle u,v\rangle^2/\|v\|_2^2}
+\\
+\uncover<8->{
+0
+&\le
+\|u\|_2^2-\operatorname{Re}\langle u,v\rangle^2/\|v\|_2^2}
+\\
+\uncover<9->{
+\operatorname{Re}\langle u,v\rangle^2
+&\le
+\|u\|_2^2\cdot\|v\|_2^2}
+\\
+\uncover<10->{
+\operatorname{Re}\langle u,v\rangle
+&\le
+\|u\|_2\cdot\|v\|_2}
+\qedhere
+\end{align*}
+\end{proof}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
index cfca9ab..4c86f39 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
@@ -5,3 +5,4 @@
 %
 \folie{2/norm.tex}
 \folie{2/skalarprodukt.tex}
+\folie{2/cauchyschwarz.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/norm.tex b/vorlesungen/slides/2/norm.tex
new file mode 100644
index 0000000..35d2513
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/norm.tex
@@ -0,0 +1,58 @@
+%
+% norm.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Norm}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Wozu}
+Ziel: Konvergenz von Folgen, Grenzwert in einem Vektorraum
+\end{block}
+\uncover<7->{%
+\begin{block}{Cauchy-Folge}
+Eine Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ von Vektoren in $V$ heisst
+{\em Cauchy-Folge},
+wenn es für alle $\varepsilon >0$ ein $N$ gibt mit
+\[
+\|x_n-x_m\| < \varepsilon\; \forall n,m>N
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-8pt}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Grenzwert}
+$x\in V$ heisst Grenzwert der Folge $x_n$, wenn es für alle $\varepsilon>0$
+ein $N$ gibt mit
+\[
+\| x-x_n\| < \varepsilon \;\forall n>N
+\]
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Definition}
+$V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum.
+Eine Funktion
+\[
+\|\cdot\| \colon V \to \mathbb{R}_{\ge 0} : v \mapsto \|v\|
+\]
+heisst eine {\em Norm}, wenn
+\begin{itemize}
+\item<3-> $\| v \|>0$ für $v\ne 0$
+\item<4-> $\|\lambda v\| = |\lambda|\cdot\|v\|$
+\item<5-> $\| u + v \| \le \|u\| + \|v\|$ (Dreiecksungleichung)
+\end{itemize}
+\uncover<6->{%
+Ein Vektorraum mit einer Norm heisst {\em normierter Raum}}
+\end{block}}
+\uncover<9->{%
+\begin{block}{Banach-Raum}
+Normierter Raum, in dem jede Cauchy-Folge einen Grenwzert hat
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/2/skalarprodukt.tex
new file mode 100644
index 0000000..2a9784f
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/skalarprodukt.tex
@@ -0,0 +1,93 @@
+%
+% skalarprodukt.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Skalarprodukt}
+\vspace{-15pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Positiv definite, symmetrische Bilinearform}
+$\langle \;\,,\;\rangle\colon V\times V\to \mathbb{R}$
+\begin{itemize}
+\item
+Bilinear:
+\begin{align*}
+\langle \alpha u+\beta v,w\rangle
+&=
+\alpha\langle u,w\rangle
++
+\beta\langle v,w\rangle
+\\
+\langle u,\alpha v+\beta w\rangle
+&=
+\alpha\langle u,v\rangle
++
+\beta\langle u,w\rangle
+\end{align*}
+\item
+Symmetrisch: $\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle$
+\item
+$\langle x,x\rangle >0 \quad\forall x\ne 0$
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Positive definite, hermitesche Sesquilinearform}
+$\langle \;\,,\;\rangle\colon V\times V\to \mathbb{C}$
+\begin{itemize}
+\item
+Sesquilinear:
+\begin{align*}
+\langle \alpha u+\beta v,w\rangle
+&=
+\overline{\alpha}\langle u,w\rangle
++
+\overline{\beta}\langle v,w\rangle
+\\
+\langle u,\alpha v+\beta w\rangle
+&=
+\alpha\langle u,v\rangle
++
+\beta\langle u,w\rangle
+\end{align*}
+\item
+Hermitesch: $\langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle}$
+\item
+$\langle x,x\rangle >0 \quad\forall x\ne 0$
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.28\textwidth}
+\begin{block}{$2$-Norm}
+$\|v\|_2^2 = \langle v,v\rangle$
+\\
+$\|v\|_2 = \sqrt{\langle v,v\rangle}$
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.78\textwidth}
+\begin{itemize}
+\item $\|v\|_2 = \sqrt{\langle v,v\rangle} > 0\quad\forall v\ne 0$
+\item $\| \lambda v \|_2
+=
+\sqrt{\langle \lambda v,\lambda v\rangle\mathstrut}
+=
+\sqrt{\overline{\lambda}\lambda\langle v,v\rangle}
+=
+|\lambda|\cdot \|v\|_2$
+\item
+\raisebox{-8pt}{
+$\begin{aligned}
+\|u+v\|_2^2 &= \|u\|_2^2 + 2{\color{red}\operatorname{Re}\langle u,v\rangle} + \|v\|_2^2
+\\
+(\|u\|_2+\|v\|_2)^2 &= \|u\|_2^2 + 2{\color{red}\|u\|_2\|v\|_2} + \|v\|_2^2
+\end{aligned}$}
+\end{itemize}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}