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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-06-14 07:26:10 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2021-06-14 07:26:10 +0200 |
commit | 114633b43a0f1ebedbc5dfd85f75ede9841f26fd (patch) | |
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-rw-r--r-- | vorlesungen/slides/5/swbeweis.tex | 56 |
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diff --git a/vorlesungen/slides/5/swbeweis.tex b/vorlesungen/slides/5/swbeweis.tex new file mode 100644 index 0000000..927322b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/swbeweis.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +% +% swbeweis.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beweisidee Stone-Weierstrass} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t] +\begin{column}{0.5\textwidth} +\begin{enumerate} +\item<1-> +$\exists$ eine monoton wachsende Folge von Polynomen $u_n(t)\to \sqrt{t}$ +gleichmässig auf $[0,1]\subset{\color{darkgreen}\mathbb{R}}$ +\item<2-> +$f\in A$, dann kann man $|f| = \sqrt{f^2}$ beliebig genau approximieren +durch Funktionen +in $A$ +\item<3-> +$f,g\in A$, dann kann +\begin{align*} +\max(a,b)&={\textstyle\frac12}(f+g+|f-g|)\\ +\min(a,b)&={\textstyle\frac12}(f+g-|f-g|) +\end{align*} +in $A$ beliebig genau approximiert werden. +\end{enumerate} +\end{column} +\begin{column}{0.5\textwidth} +\begin{enumerate} +\setcounter{enumi}{3} +\item<4-> +Für $x,y\in D$ und $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gibt es $f\in A$ mit +$f(x)=\alpha$ und $f(y)=\beta$ +\item<5-> +Zu +$f\colon D\to\mathbb{R}$ stetig und $x\in D$ gibt es $g\in A$ mit $g(x)=f(x)$ +und $g(y) \le f(y)+\varepsilon$ für $y\ne x$ +\item<6-> +Für $f$ gibt es endlich viele Approximationen $g_i$ mit Punkten $x_i$ +wie in Schritt~4. +Dann ist $\max_i g_i$ eine Approximation von $f$, die beliebig genau in +$A$ approximiert werden kann. +\end{enumerate} +\end{column} +\end{columns} + +\vspace{10pt} +\uncover<7->{% +Schritt~2 braucht in {\color{red}$\mathbb{C}$} die komplex Konjugierte: +$|f|^2=f\overline{f}$} +\end{frame} +\egroup |