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author | JODBaer <JODBaer@github.com> | 2021-04-20 12:38:29 +0200 |
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committer | JODBaer <JODBaer@github.com> | 2021-04-20 12:38:29 +0200 |
commit | f9154b1070929ac3063a9676e11723e5ec0c8deb (patch) | |
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-rw-r--r-- | vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex | 108 |
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diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex new file mode 100644 index 0000000..ea90b6d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex @@ -0,0 +1,108 @@ +% +% chrakter.tex -- Charakter einer Darstellung +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Charakter einer Darstellung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.44\textwidth} +\begin{block}{Definition} +$\varrho\colon G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ eine Darstellung. +\\ +Der {\em Charakter} von $\varrho$ ist die Abbildung +\[ +\chi_{\varrho} +\colon +G\to \mathbb{C}^n +: +g\mapsto \chi_{\varrho}(g)=\operatorname{Spur}\varrho(g) +\] +\end{block} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Eigenschaften} +\begin{enumerate} +\item +$\chi_{\varrho}(e) = n$ +\item<6-> +$\chi_{\varrho}(g^{-1}) = \overline{\chi_{\varrho}(g)}$ +\item<15-> +$\chi_{\varrho}(hgh^{-1}) = \chi_{\varrho}(g)$ +\end{enumerate} +\uncover<21->{% +Aus 3. folgt, dass Charaktere {\em Klassenfunktionen} sind} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.52\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Begründung} +\begin{enumerate} +\item<3-> +$\chi_{\varrho}(e) += +\operatorname{Spur}\varrho(e) +\uncover<4->{= +\operatorname{Spur}I_n} +\uncover<5->{= +n} +$ +\item<6-> +$g$ hat endliche Ordnung, d.~h.~$g^k=e$ +\\ +\uncover<7->{% +$\lambda_i$ in der Jordan-NF erfüllen $\lambda_i^k=1$} +\\ +$\uncover<8->{\Rightarrow|\lambda_i|=1} +\uncover<9->{\Rightarrow \lambda_i^{-1} = \overline{\lambda_i}}$ +\begin{align*} +\uncover<10->{ +\llap{$\chi_{\varrho}(g^{-1})$} +&= +\operatorname{Spur}(\varrho(g^{-1}))} +\uncover<11->{= +\sum_{i} n_i\overline{\lambda_i}} +\\[-4pt] +&\uncover<12->{= +\overline{ +\sum_{i} n_i\lambda_i +}} +\uncover<13->{= +\operatorname{Spur}\varrho(g)} +\uncover<14->{= +\chi_{\varrho}(g)} +\end{align*} +\item<16-> +Durch Nachrechnen: +\begin{align*} +\chi_{\varrho}(hgh^{-1}) +&\uncover<17->{= +\operatorname{Spur} +( +\varrho(h) +\varrho(g) +\varrho(h^{-1}) +)} +\\ +&\uncover<18->{= +\operatorname{Spur} +( +\varrho(h^{-1}) +\varrho(h) +\varrho(g) +)} +\\ +&\uncover<19->{= +\operatorname{Spur}\varrho(g)} +\uncover<20->{= +\chi_{\varrho}(g)} +\end{align*} +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup |