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author | JODBaer <JODBaer@github.com> | 2021-04-20 12:38:29 +0200 |
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committer | JODBaer <JODBaer@github.com> | 2021-04-20 12:38:29 +0200 |
commit | f9154b1070929ac3063a9676e11723e5ec0c8deb (patch) | |
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-rw-r--r-- | vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex | 77 |
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diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex new file mode 100644 index 0000000..6e36d1d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex @@ -0,0 +1,77 @@ +% +% zyklisch.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beispiel: Zyklische Gruppen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Gruppe} +\( +C_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} +\) +\end{block} +\begin{block}{Darstellungen von $C_n$} +Gegeben durch $\varrho_k(1)=e^{2\pi i k/n}$, +\[ +\varrho_k(l) = e^{2\pi ikl/n} +\] +\end{block} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Charaktere} +\vspace{-10pt} +\[ +\chi_k(l) = e^{2\pi ikl/n} +\] +haben Skalarprodukte +\[ +\langle \chi_k,\chi_{k'}\rangle += +\begin{cases} +1&\quad k= k'\\ +0&\quad\text{sonst} +\end{cases} +\] +Die Darstellungen $\chi_k$ sind nicht isomorph +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Orthonormalbasis} +Die Funktionen $\chi_k$ bilden eine Orthonormalbasis von $L^2(C_n)$ +\end{block} +\vspace{-4pt} +\begin{block}{Analyse einer Darstellung} +$\varrho\colon C_n\to \mathbb{C}^n$ eine Darstellung, +$\chi_\varrho$ der Charakter lässt zerlegen: +\begin{align*} +c_k +&= +\langle \chi_k, \chi\rangle = \frac{1}{n} \sum_{l} \chi_k(l) e^{-2\pi ilk/n} +\\ +\chi(l) +&= +\sum_{k} c_k \chi_k += +\sum_{k} c_k e^{2\pi ikl/n} +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-13pt} +\begin{block}{Fourier-Theorie} +\vspace{-3pt} +\begin{center} +\begin{tabular}{>{$}l<{$}l} +C_n&Diskrete Fourier-Theorie\\ +U(1)&Fourier-Reihen\\ +\mathbb{R}&Fourier-Integral +\end{tabular} +\end{center} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup |