Merge remote-tracking branch 'upstream/master' into mceliece

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diff --git a/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc
new file mode 100644
index 0000000..bc6882a
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/Makefile.inc
@@ -0,0 +1,32 @@
+#
+# Makefile.inc -- additional depencencies
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+chapter6 =								\
+	../slides/6/punktgruppen/ebene.tex				\
+	../slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex				\
+	../slides/6/punktgruppen/c.tex					\
+	../slides/6/punktgruppen/d.tex					\
+	../slides/6/punktgruppen/p.tex					\
+	../slides/6/punktgruppen/chemie.tex				\
+	../slides/6/punktgruppen/aufspaltung.tex			\
+									\
+	../slides/6/produkte/frei.tex					\
+	../slides/6/produkte/direkt.tex					\
+									\
+	../slides/6/normalteiler/normal.tex				\
+	../slides/6/normalteiler/konjugation.tex			\
+									\
+	../slides/6/permutationen/matrizen.tex				\
+									\
+	../slides/6/darstellungen/definition.tex			\
+	../slides/6/darstellungen/charakter.tex				\
+	../slides/6/darstellungen/summe.tex				\
+	../slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex			\
+	../slides/6/darstellungen/schur.tex				\
+	../slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex			\
+	../slides/6/darstellungen/zyklisch.tex				\
+									\
+	../slides/6/chapter.tex
+
diff --git a/vorlesungen/slides/6/chapter.tex b/vorlesungen/slides/6/chapter.tex
new file mode 100644
index 0000000..e1711d7
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/chapter.tex
@@ -0,0 +1,30 @@
+%
+% chapter.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi
+%
+
+\folie{6/punktgruppen/ebene.tex}
+\folie{6/punktgruppen/semidirekt.tex}
+\folie{6/punktgruppen/c.tex}
+\folie{6/punktgruppen/d.tex}
+\folie{6/punktgruppen/p.tex}
+\folie{6/punktgruppen/chemie.tex}
+\folie{6/punktgruppen/aufspaltung.tex}
+
+\folie{6/produkte/frei.tex}
+\folie{6/produkte/direkt.tex}
+
+\folie{6/normalteiler/normal.tex}
+\folie{6/normalteiler/konjugation.tex}
+
+\folie{6/permutationen/matrizen.tex}
+
+\folie{6/darstellungen/definition.tex}
+\folie{6/darstellungen/charakter.tex}
+\folie{6/darstellungen/summe.tex}
+\folie{6/darstellungen/irreduzibel.tex}
+\folie{6/darstellungen/schur.tex}
+\folie{6/darstellungen/skalarprodukt.tex}
+\folie{6/darstellungen/zyklisch.tex}
+
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex
new file mode 100644
index 0000000..ea90b6d
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex
@@ -0,0 +1,108 @@
+%
+% chrakter.tex -- Charakter einer Darstellung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Charakter einer Darstellung}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.44\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+$\varrho\colon G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ eine Darstellung.
+\\
+Der {\em Charakter} von $\varrho$ ist die Abbildung
+\[
+\chi_{\varrho}
+\colon
+G\to \mathbb{C}^n
+:
+g\mapsto \chi_{\varrho}(g)=\operatorname{Spur}\varrho(g)
+\]
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Eigenschaften}
+\begin{enumerate}
+\item
+$\chi_{\varrho}(e) = n$
+\item<6->
+$\chi_{\varrho}(g^{-1}) = \overline{\chi_{\varrho}(g)}$
+\item<15->
+$\chi_{\varrho}(hgh^{-1}) = \chi_{\varrho}(g)$
+\end{enumerate}
+\uncover<21->{%
+Aus 3. folgt, dass Charaktere {\em Klassenfunktionen} sind}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.52\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Begründung}
+\begin{enumerate}
+\item<3->
+$\chi_{\varrho}(e)
+=
+\operatorname{Spur}\varrho(e)
+\uncover<4->{=
+\operatorname{Spur}I_n}
+\uncover<5->{=
+n}
+$
+\item<6->
+$g$ hat endliche Ordnung, d.~h.~$g^k=e$
+\\
+\uncover<7->{%
+$\lambda_i$ in der Jordan-NF erfüllen $\lambda_i^k=1$}
+\\
+$\uncover<8->{\Rightarrow|\lambda_i|=1}
+\uncover<9->{\Rightarrow \lambda_i^{-1} = \overline{\lambda_i}}$
+\begin{align*}
+\uncover<10->{
+\llap{$\chi_{\varrho}(g^{-1})$}
+&=
+\operatorname{Spur}(\varrho(g^{-1}))}
+\uncover<11->{=
+\sum_{i} n_i\overline{\lambda_i}}
+\\[-4pt]
+&\uncover<12->{=
+\overline{
+\sum_{i} n_i\lambda_i
+}}
+\uncover<13->{=
+\operatorname{Spur}\varrho(g)}
+\uncover<14->{=
+\chi_{\varrho}(g)}
+\end{align*}
+\item<16->
+Durch Nachrechnen:
+\begin{align*}
+\chi_{\varrho}(hgh^{-1})
+&\uncover<17->{=
+\operatorname{Spur}
+(
+\varrho(h)
+\varrho(g)
+\varrho(h^{-1})
+)}
+\\
+&\uncover<18->{=
+\operatorname{Spur}
+(
+\varrho(h^{-1})
+\varrho(h)
+\varrho(g)
+)}
+\\
+&\uncover<19->{=
+\operatorname{Spur}\varrho(g)}
+\uncover<20->{=
+\chi_{\varrho}(g)}
+\end{align*}
+\end{enumerate}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/definition.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/definition.tex
new file mode 100644
index 0000000..9d93e7f
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/definition.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+%
+% definition.tex -- Definition einer Darstellung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Darstellung}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+$G$ eine Gruppe, $V$ ein $\Bbbk$-Vektorraum.
+\\
+\uncover<2->{%
+Ein Homomorphismus
+\[
+\varrho
+\colon
+G\to \operatorname{GL}(V)
+\]
+heisst {\em $n$-dimensionale Darstellung} der Gruppe $G$.}
+\end{block}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Idee}
+Algebra und Analysis in $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ nutzen, um
+mehr über $G$ herauszufinden
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
+\begin{block}{Beispiel $S_n$}
+$S_n$ die symmetrische Gruppe,
+$\sigma\mapsto A_{\tilde{f}}$ die
+Abbildung auf die zugehörige Permutationsmatrix
+ist eine $n$-dimensionale Darstellung von $S_n$
+\end{block}}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Beispiel Matrizengruppe}
+Eine Matrizengruppe $G$ ist eine Teilmenge von $M_n(\Bbbk)$.
+\\
+\uncover<6->{%
+$g\in G \Rightarrow g^{-1}\in G$, daher $G\subset\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$}
+\\
+\uncover<7->{%
+Die Einbettung
+\[
+G\to\operatorname{GL}_n(\Bbbk)
+:
+g \mapsto g
+\]
+ist eine Darstellung}\uncover<8->{, die sog.~{\em reguläre Darstellung}}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex
new file mode 100644
index 0000000..91d8a18
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex
@@ -0,0 +1,47 @@
+%
+% irreduzibel.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Irreduzible Darstellungen}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+Eine Darstellung $\varrho\colon G\to\operatorname{GL}(V)$ heisst
+irreduzibel, wenn es keine Zerlegung von $\varrho$ in zwei
+Darstellungen $\varrho_i\colon G\to\operatorname{GL}(U_i)$ ($i=1,2$)
+gibt derart, dass $\varrho = \varrho_1\oplus\varrho_2$
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Isomorphe Darstellungen}
+$\varrho_i$ sind {\em isomorphe} Darstellungen in $V_i$ wenn es
+$f\colon V_1\overset{\cong}{\to} V_2$ gibt mit
+\begin{align*}
+f \circ \varrho_i(g)\circ f^{-1} &= \varrho_2(g)
+\\
+\uncover<3->{%
+f \circ \varrho_i(g)\phantom{\mathstrut\circ f^{-1}}&= \varrho_2(g)\circ f 
+}
+\end{align*}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
+\begin{block}{Lemma von Schur}
+$\varrho_i$ zwei irreduzible Darstellungen und $f$ so, dass
+$f\circ \varrho_1(g)=\varrho_2(g)\circ f$ für alle $g$.
+Dann gilt
+\begin{enumerate}
+\item<5-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$
+\item<6-> $V_1=V_2,\varrho_1=\varrho_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$
+\end{enumerate}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex
new file mode 100644
index 0000000..144de4c
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex
@@ -0,0 +1,47 @@
+%
+% schur.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Folgerungen aus Schurs Lemma}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Mittelung einer Abbildung}
+$h\colon V_1\to V_2$
+\[
+h^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_2(g)^{-1} \circ h \circ \varrho_1(g)
+\]
+\begin{enumerate}
+\item<2-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$
+\item<3-> $V_1=V_2,\varrho_1=\varrho_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$
+\end{enumerate}
+\end{block}
+\uncover<4->{%
+\begin{block}{Matrixelemente für $\varrho_i$ nicht isomorph}
+$\varrho_i$ nicht isomorph, dann ist
+\[
+\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_1(g^{-1})_{kl}\varrho_2(g)_{uv}=0
+\]
+für alle $k,l,u,v$
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Matrixelemente $V_1=V_2$, $\varrho_i$ iso}
+Für $k=v$ und $l=u$  gilt
+\[
+\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_1(g^{-1})_{kl} \varrho_2(g)_{uv}
+=
+\frac1n
+\]
+und $=0$ sonst
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex
new file mode 100644
index 0000000..46cc8e9
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex
@@ -0,0 +1,42 @@
+%
+% skalarprodukt.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Skalarprodukt}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition des Skalarproduktes}
+$\varphi$, $\psi$ komplexe Funktionen auf $G$:
+\[
+\langle \varphi,\psi\rangle
+=
+\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \overline{\varphi(g)} \psi(g)
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Satz}
+\begin{enumerate}
+\item
+$\chi$ der Charakter einer irrediziblen Darstellung
+$\Rightarrow$ $\langle \chi,\chi\rangle=1$.
+\item<3->
+$\chi$ und $\chi'$ Charaktere nichtisomorpher Darstellungen
+$\Rightarrow$
+$\langle \chi,\chi'\rangle=0$
+\end{enumerate}
+\uncover<4->{%
+D.~h.~Charaktere irreduzibler Darstellungen sind orthonormiert
+}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex
new file mode 100644
index 0000000..b0d193f
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex
@@ -0,0 +1,89 @@
+%
+% Summe.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Direkte Summe}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Gegeben}
+Gegeben zwei Darstellungen
+\begin{align*}
+\varrho_1&\colon G \to \mathbb{C}^{n_1}
+\\
+\varrho_2&\colon G \to \mathbb{C}^{n_2}
+\end{align*}
+\end{block}
+\vspace{-12pt}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Direkte Summe der Darstellungen}
+%\vspace{-12pt}
+\begin{align*}
+\varrho_1\oplus\varrho_2
+&\colon
+G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2}
+\only<3|handout:0>{
+= \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2}}
+\uncover<4->{=:
+\mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2}}
+\hspace*{5cm}
+\\
+&\colon g\mapsto (\varrho_1(g),\varrho_2(g))
+\end{align*}
+\end{block}}
+\vspace{-12pt}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Charakter}
+%\vspace{-12pt}
+\begin{align*}
+\chi_{\varrho_1\oplus\varrho_2}(g)
+&=
+\operatorname{Spur}(\varrho_1\oplus\varrho_2)(g)
+\\
+&\uncover<6->{=
+\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}
++
+\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}}
+\\
+&\uncover<7->{=
+\chi_{\varrho_1}(g)
++
+\chi_{\varrho_2}(g)}
+\end{align*}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Tensorprodukt}
+$n_1\times n_2$-dimensionale
+Darstellung $\varrho_1\otimes\varrho_2$ mit Matrix
+\[
+\begin{pmatrix}
+\varrho_1(g)_{11} \varrho_2(g)
+	&\dots
+		&\varrho_1(g)_{1n_1} \varrho_2(g)\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+\varrho_1(g)_{n_11} \varrho_2(g)
+	&\dots
+		&\varrho_1(g)_{n_1n_1} \varrho_2(g)
+\end{pmatrix}
+\]
+\uncover<9->{Die ``Einträge'' sind $n_2\times n_2$-Blöcke}
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
+\begin{block}{Darstellungsring}
+Die Menge der Darstellungen $R(G)$  einer Gruppe hat
+einer Ringstruktur mit $\oplus$ und $\otimes$
+\\
+\uncover<11->{$\Rightarrow$
+Algebra zum Studium der möglichen Darstellungen von $G$ verwenden}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
new file mode 100644
index 0000000..312d0e8
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
@@ -0,0 +1,84 @@
+%
+% zyklisch.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Beispiel: Zyklische Gruppen}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Gruppe}
+\(
+C_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
+\)
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Darstellungen von $C_n$}
+Gegeben durch $\varrho_k(1)=e^{2\pi i k/n}$,
+\[
+\varrho_k(l) = e^{2\pi ikl/n}
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<3->{
+\begin{block}{Charaktere}
+%\vspace{-10pt}
+\[
+\chi_k(l) = e^{2\pi ikl/n}
+\]
+haben Skalarprodukte
+\[
+\langle \chi_k,\chi_{k'}\rangle
+=
+\begin{cases}
+1&\quad k= k'\\
+0&\quad\text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+Die Darstellungen $\chi_k$ sind nicht isomorph
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Orthonormalbasis}
+Die Funktionen $\chi_k$ bilden eine Orthonormalbasis von $L^2(C_n)$
+\end{block}}
+\vspace{-4pt}
+\uncover<6->{%
+\begin{block}{Analyse einer Darstellung}
+$\varrho\colon C_n\to \mathbb{C}^n$ eine Darstellung,
+$\chi_\varrho$ der Charakter lässt zerlegen:
+\begin{align*}
+c_k
+&=
+\langle \chi_k, \chi\rangle = \frac{1}{n} \sum_{l} \chi_k(l) e^{-2\pi ilk/n}
+\\
+\uncover<7->{
+\chi(l)
+&=
+\sum_{k} c_k \chi_k
+=
+\sum_{k} c_k e^{2\pi ikl/n}
+}
+\end{align*}
+\end{block}}
+\vspace{-13pt}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Fourier-Theorie}
+\vspace{-3pt}
+\begin{center}
+\begin{tabular}{>{$}l<{$}l}
+\uncover<9->{C_n&Diskrete Fourier-Theorie}\\
+\uncover<10->{U(1)&Fourier-Reihen}\\
+\uncover<11->{\mathbb{R}&Fourier-Integral}
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/normalteiler/konjugation.tex b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/konjugation.tex
new file mode 100644
index 0000000..70ce01f
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/konjugation.tex
@@ -0,0 +1,77 @@
+%
+% konjugation.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Konjugation}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{``Basiswechsel''}
+In der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$
+\[
+A' = TAT^{-1}
+\]
+$T\in\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$
+\\
+$A$ und $A'$ sind ``gleichwertig''
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Definition}
+$g_1,g_2\in G$ sind {\em konjugiert}, wenn es
+$h\in G$ gibt mit
+\[
+g_1 = hg_2h^{-1}
+\]
+\end{block}}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Beispiel}
+Konjugierte Elemente in $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ haben die
+gleiche Spur und Determinante
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
+\begin{block}{Konjugationsklasse}
+Die Konjugationsklasse von $g$ ist
+\[
+\llbracket g\rrbracket
+=
+\{h\in G\;|\; \text{$h$ konjugiert zu $g$}\}
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-7pt}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Klassenzerlegung}
+\begin{align*}
+G
+&=
+\{e\}
+\cup
+\llbracket g_1\rrbracket
+\cup
+\llbracket g_2\rrbracket
+\cup
+\dots
+\\
+&\uncover<6->{=
+C_e\cup C_1 \cup C_2\cup\dots}
+\end{align*}
+\end{block}}
+\vspace{-7pt}
+\uncover<7->{%
+\begin{block}{Klassenfunktionen}
+Funktionen, die auf Konjugationsklassen konstant sind
+\end{block}}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Beispiele}
+Spur, Determinante
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/normalteiler/normal.tex b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/normal.tex
new file mode 100644
index 0000000..42336b9
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/normalteiler/normal.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+%
+% normal.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Normalteiler}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Gegeben}
+Eine Gruppe $G$ mit Untergruppe $N\subset G$
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Bedingung}
+Welche Eigenschaft muss $N$ zusätzlich haben,
+damit 
+\[
+G/N
+=
+\{ gN \;|\; g\in G\}
+\]
+eine Gruppe wird.
+
+\uncover<3->{Wähle Repräsentaten $g_1N=g_2N$}
+\uncover<4->{%
+\begin{align*}
+g_1g_2N
+&\uncover<5->{=
+g_1g_2NN}
+\uncover<6->{=
+g_1g_2Ng_2^{-1}g_2N}
+\\
+&\uncover<7->{=
+g_1(g_2Ng_2^{-1})g_2N}
+\\
+&\uncover<8->{\stackrel{?}{=} g_1Ng_2N}
+\end{align*}}
+\uncover<9->{Funktioniert nur wenn $g_2Ng_2^{-1}=N$ ist}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<10->{%
+\begin{block}{Universelle Eigenschaft}
+Ist $\varphi\colon G\to G'$ ein Homomorphismus mit $\varphi(N)=\{e\}$%
+\uncover<11->{, dann gibt es einen Homomorphismus $G/N\to G'$:}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\coordinate (N) at (-2.5,0);
+\coordinate (G) at (0,0);
+\coordinate (quotient) at (2.5,0);
+\coordinate (Gprime) at (0,-2.5);
+\coordinate (e) at (-2.5,-2.5);
+\node at (N) {$N$};
+\node at (e) {$\{e\}$};
+\node at (G) {$G$};
+\node at (Gprime) {$G'$};
+\node at (quotient) {$G/N$};
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (N) -- (G);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (N) -- (e);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (e) -- (Gprime);
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm] (G) -- (Gprime);
+\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (G) -- (quotient);
+\uncover<11->{
+\draw[->,shorten >= 0.3cm,shorten <= 0.4cm,color=red] (quotient) -- (Gprime);
+\node[color=red] at ($0.5*(quotient)+0.5*(Gprime)$) [below right] {$\exists!$};
+}
+\node at ($0.5*(quotient)$) [above] {$\pi$};
+\node at ($0.5*(Gprime)$) [left] {$\varphi$};
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex b/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex
new file mode 100644
index 0000000..d40c396
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/permutationen/matrizen.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+%
+% matrizen.tex -- Darstellung der Permutationen als Matrizen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Permutationsmatrizen}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Permutationsabbildung}
+$\sigma\in S_n$ eine Permutation, definiere
+\[
+f
+\colon
+e_i \mapsto e_{\sigma(i)}
+\]
+($e_i$ Standardbasisvektor)
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Lineare Abbildung}
+$f$ kann erweitert werden zu einer linearen Abbildung
+\[
+\tilde{f}
+\colon
+\Bbbk^n \to \Bbbk^n
+:
+\sum_{k=1}^n a_i e_i
+\mapsto
+\sum_{k=1}^n a_i f(e_i)
+\]
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Permutationsmatrix}
+Matrix $A_{\tilde{f}}$ der linearen Abbildung $\tilde{f}$
+hat die Matrixelemente
+\[
+a_{ij}
+=
+\begin{cases}
+1&\qquad i=\sigma(j)\\
+0&\qquad\text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<4->{%
+\begin{block}{Beispiel}
+\vspace{-10pt}
+\[
+\begin{pmatrix}
+1&2&3&4\\
+3&2&4&1
+\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+0&0&0&1\\
+0&1&0&0\\
+1&0&0&0\\
+0&0&1&0
+\end{pmatrix}
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Homomorphismus}
+Die Abbildung
+$S_n\to\operatorname{GL}(\Bbbk)\colon \sigma \mapsto A_{\tilde{f}}$
+ist ein Homomorphismus
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/produkte/direkt.tex b/vorlesungen/slides/6/produkte/direkt.tex
new file mode 100644
index 0000000..c851335
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/produkte/direkt.tex
@@ -0,0 +1,66 @@
+%
+% direkt.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Direktes Produkt}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+Zwei Gruppen $H_1$ und $H_2$
+\\
+Gruppe $G=H_1\times H_2$ mit
+\begin{itemize}
+\item<2-> Elemente  $(h_1,h_2)\in H_1\times H_2$
+\item<3-> Neutrales Element $(e_1,e_2)$
+\item<4-> Inverses Elemente $(h_1,h_2)^{-1}=(h_1^{-1},h_2^{-1})$
+\end{itemize}
+heisst {\em direktes Produkt}
+\end{block}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Vertauschbarkeit}
+Das direkte Produkt ist ein Produkt, in dem Elemente von $H_1$ und
+$H_2$ vollständig vertauschbar sind
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<6->{%
+\begin{block}{Universelle Eigenschaft}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\coordinate (S) at (0,2.5);
+\coordinate (H1) at (-2.5,0);
+\coordinate (H2) at (2.5,0);
+
+\node at (H1) {$H_1$};
+\node at (H2) {$H_2$};
+\node at (0,0) {$H_1\times H_2$};
+\node at (S) {$S$};
+
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.8cm] (0,0) -- (H1);
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.8cm] (0,0) -- (H2);
+
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.25cm] (S) -- (H1);
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.25cm] (S) -- (H2);
+
+\node at ($0.5*(S)+0.5*(H1)$) [above left] {$f_1$};
+\node at ($0.5*(S)+0.5*(H2)$) [above right] {$f_2$};
+
+\uncover<7->{
+\draw[->,shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.25cm,color=red] (S) -- (0,0);
+\node[color=red] at ($0.36*(S)$) [left] {$f_1\times f_2$};
+\node[color=red] at ($0.36*(S)$) [right] {$\exists!$};
+}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex b/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex
new file mode 100644
index 0000000..6c23e6b
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/produkte/frei.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+%
+% template.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Freie Gruppen}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Gruppe aus Symbolen}
+Erzeugende Elemente $\{a,b,c,\dots\}$
+\\
+\uncover<2->{%
+Wörter = 
+Folgen von Symbolen $a$, $a^{-1}$, $b$, $b^{-1}$}
+\\
+\uncover<3->{
+{\em freie Gruppe}:
+\begin{align*}
+F&=\langle a,b,c,\dots\rangle
+\\
+&=
+\{\text{Wörter}\}
+/\text{Kürzungsregel}
+\end{align*}}
+\vspace{-10pt}
+\begin{itemize}
+\item<4-> neutrales Element: $e = \text{leere Symbolfolge}$
+\item<5-> Gruppenoperation: Verkettung
+\item<6-> Kürzungsregel:
+\begin{align*}
+xx^{-1}&\to e,
+&
+x^{-1}x&\to e
+\end{align*}
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<7->{%
+\begin{block}{Universelle Eigenschaft}
+$g_i\in G$, dann gibt es genau einen Homomorphismus
+\[
+\varphi
+\colon
+\langle g_i| 1\le i\le k\rangle
+\to
+G
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Quotient einer freien Gruppe}
+Jede endliche Gruppe ist Quotient einer freien Gruppe
+\[
+N
+\xhookrightarrow{}
+\langle g_i\rangle
+\twoheadrightarrow
+G
+\]
+oder
+\[
+G = \langle g_i\rangle / N
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<11->{%
+\begin{block}{Maximal nichtkommutativ}
+Die freie Gruppe ist die ``maximal nichtkommutative'' Gruppe
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/WasserstoffAufspaltung.pdf b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/WasserstoffAufspaltung.pdf
new file mode 100644
index 0000000..56cbf7b
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/WasserstoffAufspaltung.pdf
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/aufspaltung.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/aufspaltung.tex
new file mode 100644
index 0000000..633f700
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/aufspaltung.tex
@@ -0,0 +1,15 @@
+%
+% template.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Aufspaltung}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=0.66\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/WasserstoffAufspaltung.pdf}
+\end{center}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex
new file mode 100644
index 0000000..80790b1
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/c.tex
@@ -0,0 +1,49 @@
+%
+% c.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Drehgruppen}
+\vspace{-25pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.33\textwidth}
+\begin{block}{$C_n$}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/cn.jpg}
+\end{center}
+\begin{itemize}
+\item Eine $n$-zählige Achse
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{$C_{nv}$}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/cnv.jpg}
+\end{center}
+\begin{itemize}
+\item Eine $n$-zählige Achse
+\item $n$ dazu senkrechte Symmetrieebenen
+\end{itemize}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{$C_{nh}$}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/cnh.jpg}
+\end{center}
+\begin{itemize}
+\item Eine $n$-zählige Achse
+\item Eine dazu senkrechte Spiegelebene
+\end{itemize}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex
new file mode 100644
index 0000000..7f8b7a8
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/chemie.tex
@@ -0,0 +1,63 @@
+%
+% chemie.tex -- Anwendung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Anwendung: Energieniveaus eines Atoms}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Schrödingergleichung}
+Partielle Differentialgleichung für die Wellenfunktion
+eines Teilchens im Potential $V(x)$
+\[
+-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \Psi
++
+V(x)\Psi
+=
+E\Psi
+\]
+$V(x)$ = Potential der Atomkerne eines Molekuls
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Symmetrien}
+$g\in\operatorname{O}(3)$  wirkt auf $V$ und $\Psi$
+\begin{align*}
+(g\cdot V)(x) &= V(g\cdot x)
+\\
+(g\cdot \Psi)(x) &= \Psi(g\cdot x)
+\end{align*}
+Symmetrie von $V$: $g\cdot V=V$
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Lösungen}
+Eigenfunktionen $\Psi$ zum Eigenwert $E$
+\[
+g\cdot V=V
+\Rightarrow
+g\cdot \Psi
+\text{ Lösung}
+\]
+mit gleichem Eigenwert!
+\end{block}}
+\uncover<4->{%
+\begin{block}{Eigenräume}
+Die Symmetriegruppe $G\subset \operatorname{O}(3)$ eines Moleküls
+operiert auf dem Eigenraum
+\end{block}}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Externe Felder}
+Externe Felder zerstören die Symmetrie
+$\Rightarrow$
+die Energieniveaus/Spektrallinien spalten sich auf
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex
new file mode 100644
index 0000000..9dd0a7a
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/d.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+%
+% d.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Diedergruppen}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.33\textwidth}
+\begin{block}{$D_n$}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dn.jpg}
+\end{center}
+\vspace{-8pt}
+\begin{itemize}
+\item $C_n$ Achse
+\item $n$ $C_2$ Achse senkrecht dazu
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{$D_{nd}$}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dnd.jpg}
+\end{center}
+\vspace{-8pt}
+\begin{itemize}
+\item $D_n$ Achse
+\item $n$ winkelhalbierende Spiegelebenen der $C_2$-Achsen
+\end{itemize}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{$D_{nh}$}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/images/dnh.jpg}
+\end{center}
+\vspace{-8pt}
+\begin{itemize}
+\item $D_n$ Achse
+\item Spiegelbene senkrecht dazu
+\end{itemize}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/ebene.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/ebene.tex
new file mode 100644
index 0000000..3b715e4
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/ebene.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+%
+% ebene.tex -- Punktgruppen in der Ebene
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Punktgruppen in der Ebene}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Zyklische Gruppen}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\def\a{40}
+\def\r{2}
+\def\R{2.5}
+\fill[color=blue!20] (0,0) -- (0:{1.1*\R}) arc (0:\a:{1.1*\R}) -- cycle;
+\node[color=blue] at ({0.5*\a}:{0.8*\r}) {$\displaystyle\frac{2\pi}n$};
+\fill (0,0) circle[radius=0.08];
+\draw[color=red] (0:\r) -- (0:\R)
+	-- ({1*\a}:\r) -- ({1*\a}:\R)
+	-- ({2*\a}:\r) -- ({2*\a}:\R)
+	-- ({3*\a}:\r) -- ({3*\a}:\R)
+	-- ({4*\a}:\r) -- ({4*\a}:\R)
+	-- ({5*\a}:\r) -- ({5*\a}:\R)
+	-- ({6*\a}:\r) -- ({6*\a}:\R)
+	-- ({7*\a}:\r) -- ({7*\a}:\R)
+	-- ({8*\a}:\r) %-- ({8*\a}:\R)
+;
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\[
+C_n
+=
+\{\text{Drehungen um Winkel $2\pi/n$}\}
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Diedergruppen}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\def\a{40}
+\def\r{2}
+\def\R{2.5}
+\fill[color=blue!20] (0,0) -- (0:{1.1*\R}) arc (0:\a:{1.1*\R}) -- cycle;
+\node[color=blue] at ({0.5*\a}:{0.8*\r}) {$\displaystyle\frac{2\pi}n$};
+\fill (0,0) circle[radius=0.08];
+\draw[color=red] (0:\r) -- ({0.5*\a}:\R)
+	-- ({1*\a}:\r) -- ({1.5*\a}:\R)
+	-- ({2*\a}:\r) -- ({2.5*\a}:\R)
+	-- ({3*\a}:\r) -- ({3.5*\a}:\R)
+	-- ({4*\a}:\r) -- ({4.5*\a}:\R)
+	-- ({5*\a}:\r) -- ({5.5*\a}:\R)
+	-- ({6*\a}:\r) -- ({6.5*\a}:\R)
+	-- ({7*\a}:\r) -- ({7.5*\a}:\R)
+	-- ({8*\a}:\r) %-- ({8.5*\a}:\R)
+;
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\begin{align*}
+D_n
+&=
+\langle\text{Spiegelung},
+\text{Drehungen}\rangle
+\\
+&=
+C_2
+\ltimes
+C_n
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/Makefile b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..e909884
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/Makefile
@@ -0,0 +1,40 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all: 	cn.jpg cnv.jpg cnh.jpg dn.jpg dnd.jpg dnh.jpg
+
+cn.png:	common.inc cn.pov
+	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Ocn.png cn.pov
+cn.jpg:	cn.png
+	convert -extract 1050x1050+450+4 cn.png cn.jpg
+
+cnv.png:	common.inc cnv.pov
+	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Ocnv.png cnv.pov
+cnv.jpg:	cnv.png 
+	convert -extract 1050x1050+450+4 cnv.png cnv.jpg
+
+cnh.png:	common.inc cnh.pov
+	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Ocnh.png cnh.pov
+cnh.jpg:	cnh.png 
+	convert -extract 1050x1050+450+4 cnh.png cnh.jpg
+
+dn.png:	common.inc dn.pov
+	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Odn.png dn.pov
+dn.jpg:	dn.png 
+	convert -extract 1050x1050+450+4 dn.png dn.jpg
+
+dnd.png:	common.inc dnd.pov
+	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Odnd.png dnd.pov
+dnd.jpg:	dnd.png 
+	convert -extract 1050x1050+450+4 dnd.png dnd.jpg
+
+dnh.png:	common.inc dnh.pov
+	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Odnh.png dnh.pov
+dnh.jpg:	dnh.png 
+	convert -extract 1050x1050+450+4 dnh.png dnh.jpg
+
+
+
+
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cn.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cn.jpg
new file mode 100644
index 0000000..4ea4e92
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cn.jpg
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cn.pov b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cn.pov
new file mode 100644
index 0000000..39d65be
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cn.pov
@@ -0,0 +1,10 @@
+//
+// cn.pov
+//
+// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+
+#include "common.inc"
+
+koerper(0.4,0.6,0.6,0.5,0.8,-0.6,0.0)
+Vachse()
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnh.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnh.jpg
new file mode 100644
index 0000000..72181e8
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnh.jpg
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnh.pov b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnh.pov
new file mode 100644
index 0000000..65d27a4
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnh.pov
@@ -0,0 +1,11 @@
+//
+// cnh.pov
+//
+// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+
+#include "common.inc"
+
+koerper(0.6,0.8,0.6,0.6,0.8,-0.6,0.0)
+Vachse()
+Hebene()
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnv.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnv.jpg
new file mode 100644
index 0000000..fd81513
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnv.jpg
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnv.pov b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnv.pov
new file mode 100644
index 0000000..a87e075
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/cnv.pov
@@ -0,0 +1,11 @@
+//
+// cnv.pov
+//
+// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+
+#include "common.inc"
+
+koerper(0.4,0.6,0.6,0.5,0.8,-0.6,0.5)
+Vachse()
+Vebene()
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/common.inc b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/common.inc
new file mode 100644
index 0000000..ffd9e79
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/common.inc
@@ -0,0 +1,200 @@
+//
+// common.inc
+//
+// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+
+global_settings {
+	assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.22;
+#declare O = <0, 0, 0>;
+#declare at = 0.015;
+
+camera {
+	location <3, 3.2, -10>
+	look_at <0, 0, 0>
+	right 16/9 * x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+	<-21, 20, -50> color 0.7*White
+	area_light <10,0,0> <0,0,10>, 10, 10
+	adaptive 1
+	jitter
+}
+
+light_source {
+	<8, 80, -5> color 0.6*White
+	area_light <10,0,0> <0,0,10>, 10, 10
+	adaptive 1
+	jitter
+}
+
+sky_sphere {
+	pigment {
+		color rgb<1,1,1>
+	}
+}
+
+#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
+#declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
+#declare arrowlength = vlength(to - from);
+union { 
+	sphere {
+		from, 1.0 * arrowthickness
+	}
+	cylinder {
+		from,
+		from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+		arrowthickness
+	}
+	cone {  
+		from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+		2 * arrowthickness,
+		to,
+		0
+	}
+	pigment {
+		color c
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+#end
+#declare r = 1.2;
+
+arrow(< -r,  0,  0 >, <  r,  0,  0 >, at, Gray)
+arrow(<  0,  0, -r >, <  0,  0,  r >, at, Gray)
+arrow(<  0, -r,  0 >, <  0,  r,  0 >, at, Gray)
+
+#macro kranzpunkt(r, winkel, h)
+	< r * cos(winkel), h, r * sin(winkel) >
+#end
+
+#declare N = 13;
+#declare h = 0.6;
+
+#macro deckel(r, R, scherwinkel, h)
+	#declare phi = 0;
+	#declare phistep = 2 * pi / N;
+	#while (phi < (2 * pi) - phistep/2)
+		triangle {
+			<0, h, 0>,
+			kranzpunkt(r, phi, h),
+			kranzpunkt(R, phi + scherwinkel, h)
+		}
+		triangle {
+			<0, h, 0>,
+			kranzpunkt(R, phi + scherwinkel, h)
+			kranzpunkt(r, phi + phistep, h)
+		}
+		#declare phi = phi + phistep;
+	#end
+#end
+
+
+#macro mantel(roben, Roben, hoben, runten, Runten, hunten, scherwinkel)
+	#declare phi = 0;
+	#declare phistep = 2 * pi / N;
+	#while (phi < 2 * pi - phistep/2)
+		triangle {
+			kranzpunkt(runten, phi, hunten),
+			kranzpunkt(Runten, phi + scherwinkel, hunten),
+			kranzpunkt(roben, phi, hoben)
+		}
+		triangle {
+			kranzpunkt(Runten, phi + scherwinkel, hunten),
+			kranzpunkt(Roben, phi + scherwinkel, hoben),
+			kranzpunkt(roben, phi, hoben)
+		}
+		triangle {
+			kranzpunkt(Runten, phi + scherwinkel, hunten),
+			kranzpunkt(runten, phi + phistep, hunten),
+			kranzpunkt(Roben, phi + scherwinkel, hoben)
+		}
+		triangle {
+			kranzpunkt(runten, phi + phistep, hunten),
+			kranzpunkt(roben, phi + phistep, hoben),
+			kranzpunkt(Roben, phi + scherwinkel, hoben)
+		}
+		#declare phi = phi + phistep;
+	#end
+#end
+
+#declare scherwinkel = function(scherfaktor) { (scherfaktor * 2 * pi / N) };
+
+#macro koerper(roben, Roben, hoben, runten, Runten, hunten, scherfaktor)
+mesh {
+	deckel(roben, Roben, scherwinkel(scherfaktor), hoben)
+	deckel(runten, Runten, scherwinkel(scherfaktor), hunten)
+	mantel(roben, Roben, hoben, runten, Runten, hunten, scherwinkel(scherfaktor))
+	pigment {
+		color Gray
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+#end
+
+#macro Hvektor(a)
+	<cos(a*2*pi/N),0,sin(a*2*pi/N)>
+#end
+
+#declare VachseFarbe = rgb<1,0.6,0>;
+#declare HachseFarbe = rgb<0.8,0.2,0.8>;
+#declare VebeneFarbe = rgbf<0.2,0.8,1.0,0.7>;
+#declare HebeneFarbe = rgbf<0.2,0.4,0.2,0.7>;
+
+#macro ebene(richtung, farbe)
+intersection {
+	cylinder { <0, -1, 0>, <0, 1, 0>, 1.0 }
+	plane { vnormalize(richtung), 0.003 }
+	plane { -vnormalize(richtung), 0.003 }
+	pigment {
+		color farbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+#end
+
+#macro Vebene()
+	ebene(Hvektor(-1.25), VebeneFarbe)
+#end
+
+#macro Hebene()
+	ebene(<0,1,0>, HebeneFarbe)
+#end
+
+#macro achse(richtung, farbe)
+	cylinder { 	 1.1 * vnormalize(richtung),
+			-1.1 * vnormalize(richtung),
+			 1.5 * at
+		pigment {
+			color farbe
+		}
+		finish {
+			specular 0.9
+			metallic
+		}
+	}
+#end
+
+#macro Vachse()
+	achse(<0,1,0>, VachseFarbe)
+#end
+
+#macro Hachse()
+	achse(Hvektor(-1.5), HachseFarbe)
+#end
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dn.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dn.jpg
new file mode 100644
index 0000000..f895d44
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dn.jpg
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dn.pov b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dn.pov
new file mode 100644
index 0000000..36eed3e
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dn.pov
@@ -0,0 +1,12 @@
+//
+// dn.pov
+//
+// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+
+#include "common.inc"
+
+koerper(0.5,0.7,0.6,0.6,0.8,0,0.0)
+koerper(0.6,0.8,0,0.5,0.7,-0.6,1.0)
+Vachse()
+Hachse()
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnd.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnd.jpg
new file mode 100644
index 0000000..089e24f
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnd.jpg
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnd.pov b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnd.pov
new file mode 100644
index 0000000..f0ec115
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnd.pov
@@ -0,0 +1,13 @@
+//
+// dnd.pov
+//
+// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+
+#include "common.inc"
+
+koerper(0.5,0.7,0.6,0.6,0.8,0,0.25)
+koerper(0.6,0.8,0,0.5,0.7,-0.6,0.75)
+Vachse()
+Hachse()
+ebene(Hvektor(2.25), VebeneFarbe)
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnh.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnh.jpg
new file mode 100644
index 0000000..c62dbbb
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnh.jpg
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnh.pov b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnh.pov
new file mode 100644
index 0000000..6f14271
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/images/dnh.pov
@@ -0,0 +1,13 @@
+//
+// dnh.pov
+//
+// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+
+#include "common.inc"
+
+koerper(0.5,0.7,0.6,0.6,0.8,0,0.5)
+koerper(0.6,0.8,0,0.5,0.7,-0.6,0.5)
+Vachse()
+Hachse()
+Hebene()
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex
new file mode 100644
index 0000000..ea51e93
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/p.tex
@@ -0,0 +1,38 @@
+%
+% p.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Platonische Körper}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.33\textwidth}
+\begin{block}{$T = T_h \cap \operatorname{SO(3)}$}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/toi/T.jpg}
+\end{center}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{$O = O_h \cap \operatorname{SO(3)}$}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/toi/O.jpg}
+\end{center}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.33\textwidth}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{$I = I_h \cap \operatorname{SO(3)}$}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../slides/6/punktgruppen/toi/I.jpg}
+\end{center}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex
new file mode 100644
index 0000000..69c1173
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/semidirekt.tex
@@ -0,0 +1,80 @@
+%
+% semidirekt.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Semidirektes Produkt}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+Gegeben $H$ eine Gruppe, eine abelsche Gruppe $A$,
+$\vartheta\colon H\to\operatorname{Aut}(A)$.
+\[
+G
+=
+G\ltimes A
+=
+\{(h,a) \;|\; h\in H,a\in A\}
+\]
+heisst {\em semidirektes Produkt}.
+\begin{itemize}
+\item<2->
+Neutrales Element: $(e,0)$
+\item<3->
+Gruppenoperation
+\[
+(h_1,a_1)\cdot(h_2,a_2)
+=
+(h_1h_2, a_1 + \vartheta(h_1)a_2)
+\]
+\item<4->
+Inverse:
+$(h,a)^{-1}
+=
+(h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a)
+$
+\uncover<5->{%
+Kontrolle:
+\begin{align*}
+&\phantom{\mathstrut=\mathstrut}
+(h,a)\cdot (h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a)
+\\
+&\uncover<6->{=(hh^{-1},a-\vartheta(h)\vartheta(h)^{-1}a)}
+\uncover<7->{=(e,0)}
+\end{align*}}
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Drehungen und Spiegelungen von $\mathbb{R}^2$}
+Spiegelung: $C_2$
+Drehungen der: $\operatorname{SO}(2)$
+Drehungen und Spiegelungen:
+$C_2\ltimes \operatorname{SO}(2)=O(2)$
+\end{block}}
+\uncover<9->{%
+\begin{block}{Drehungen und Translationen}
+Drehungen: $H=\operatorname{SO}(2)$
+\\
+Translationen: $A=\mathbb{R}^2$
+\\
+Bewegungen der Ebene: $\operatorname{SO}(2)\ltimes \mathbb{R}^2$
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
+\begin{block}{Dopplereffekt und Laufzeit}
+Dopplereffekt: $\mathbb{R}^+$ (Skalierung)
+\\
+Laufzeit: $\mathbb{R}$ (Verschiebung)
+\\
+Skalierung und Verschiebung: $\mathbb{R}^+\ltimes \mathbb{R}$
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/I.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/I.jpg
new file mode 100644
index 0000000..70d2c17
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/I.jpg
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/O.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/O.jpg
new file mode 100644
index 0000000..45307c5
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/O.jpg
diff --git a/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/T.jpg b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/T.jpg
new file mode 100644
index 0000000..f710696
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/punktgruppen/toi/T.jpg