new slides

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diff --git a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc
index 76b9032..0858369 100644
--- a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc
@@ -23,6 +23,8 @@ chapter5 =								\
 	../slides/5/cayleyhamilton.tex					\
 									\
 	../slides/5/spektrum.tex					\
+	../slides/5/normal.tex						\
+	../slides/5/unitaer.tex						\
 									\
 	../slides/5/konvergenzradius.tex				\
 	../slides/5/krbeispiele.tex					\
diff --git a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex
index 46597e5..c19222c 100644
--- a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex
@@ -29,3 +29,5 @@
 \folie{5/logarithmusreihe.tex}
 \folie{5/exponentialfunktion.tex}
 \folie{5/hyperbolisch.tex}
+\folie{5/spektrum.tex}
+\folie{5/normal.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/5/normal.tex b/vorlesungen/slides/5/normal.tex
new file mode 100644
index 0000000..7245608
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/5/normal.tex
@@ -0,0 +1,69 @@
+%
+% normal.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Normale Operatoren}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Frage}
+$f,g\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$.
+\\
+In welchen Punkten müssen $f$ und $g$ übereinstimmen, damit
+$f(A)=g(A)$?
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Definition $f(A)$}
+$f$ durch eine Folge von Polynomen
+appoximieren: $p_n\to f$
+\[
+f(A) = \lim_{n\to\infty}p_n(A)
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-15pt}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Vermutung}
+Falls $f(z)=g(z)$ für $z\in\operatorname{Sp}(A)$,
+dann ist $f(A)=g(A)$
+
+\smallskip
+\uncover<4->{%
+{\usebeamercolor[fg]{title}Stimmt für: } $A$ diagonalisierbar
+}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<5->{%
+\begin{block}{Beispiel}
+\[
+A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}, \quad
+\operatorname{Sp}(A)=\{2\}
+\]
+\uncover<6->{%
+\begin{align*}
+f(z)&=(z-2)^2 &g(z)&=z-2
+\\
+\uncover<7->{
+f(A)&=0&g(A)&=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+}
+\end{align*}}
+\end{block}}
+\vspace{-18pt}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Normal}
+$A$ heisst {\em normal}, wenn $AA^*=A^*A$
+\begin{itemize}
+\item<9->
+symmetrische Matrizen: $A=A^*$
+\item<10->
+unitäre Matrizen: $A^*=A^{-1}\Rightarrow
+AA^*=AA^{-1}=A^{-1}A=A^*A$
+\end{itemize}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/5/spektrum.tex b/vorlesungen/slides/5/spektrum.tex
index f427c9a..6cbdd7f 100644
--- a/vorlesungen/slides/5/spektrum.tex
+++ b/vorlesungen/slides/5/spektrum.tex
@@ -25,23 +25,35 @@ $A-\lambda I$ nicht invertierbar
 \right\}
 \]
 \end{block}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Endlichdimensionale Räume}
 \vspace{-15pt}
 \begin{align*}
 &\lambda\in\operatorname{Sp}A
 \\
+\uncover<3->{
 \Leftrightarrow\quad&\text{$(A-\lambda I)$ nicht invertierbar}
+}
 \\
+\uncover<4->{
 \Leftrightarrow\quad&\text{$(A-\lambda I)$ singulär}
+}
 \\
+\uncover<5->{
 \Leftrightarrow\quad&\ker(A-\lambda I)\ne 0
+}
 \\
+\uncover<6->{
 \Leftrightarrow\quad&\exists v\in V, v\ne 0, Av=\lambda v
+}
 \end{align*}
+\uncover<7->{%
 $\Rightarrow$ $\operatorname{Sp}A$ ist die Menge der Eigenwerte
-\end{block}
+}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
 \begin{block}{Unendlichdimensional}
 Es gibt eine Folge $x_n\in V$ von Einheitsvektoren
 $\|x_n\|=1$
@@ -49,7 +61,8 @@ mit
 \begin{align*}
 \lim_{n\to\infty} (A - \lambda)x_n &= 0
 \end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<9->{%
 \begin{block}{Spektrum und Norm}
 \[
 \operatorname{Sp}(A)
@@ -57,7 +70,7 @@ mit
 \{\lambda\in\mathbb{C}\;|\;
 |\lambda|\le \|A\|\}
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/5/unitaer.tex b/vorlesungen/slides/5/unitaer.tex
new file mode 100644
index 0000000..36e3be2
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/5/unitaer.tex
@@ -0,0 +1,75 @@
+%
+% unitaer.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Unitäre Matrizen}
+\vspace{-15pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Eigenwerte}
+$U$ unitär lässt das Skalarprodukt invariant
+\[
+\langle Ux,Uy\rangle
+=
+\langle x,y\rangle
+\]
+\uncover<2->{%
+$\lambda$ ein Eigenwert mit Eigenvektor $v$:
+\begin{align*}
+\langle u,v\rangle
+&=
+\langle Uu,Uv\rangle
+\uncover<3->{= \langle \lambda u,\lambda v\rangle}
+\uncover<4->{= |\lambda|^2 \langle u,v\rangle}
+\\
+\uncover<5->{\Rightarrow\;|\lambda|&=1}
+\end{align*}}
+\end{block}
+\uncover<6->{%
+\begin{block}{Diagonalisierbar}
+Unitäre Matrizen sind über $\mathbb{C}$ diagonalisierbar
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Grosse Jordan-Blöcke?}
+Falls es Vektoren $v,w$ gibt mit
+\begin{align*}
+\uncover<7->{ Uv&=\lambda v}
+\\
+\uncover<8->{ Uw&=\lambda w + v}
+\intertext{\uncover<9->{Skalarprodukt:}}
+\uncover<10->{
+\langle v,w\rangle
+&=
+\langle Uv,Uw\rangle}
+\\
+\uncover<11->{
+&=
+\langle \lambda v,\lambda w\rangle
++
+\langle\lambda v,v\rangle}
+\\
+\uncover<12->{
+&=
+|\lambda|^2 \langle v,w\rangle
++
+\langle\lambda v,v\rangle}
+\\
+\uncover<13->{
+&=
+\langle v,w\rangle
++
+\lambda \| v\|^2}
+\\
+\uncover<14->{
+\Rightarrow\quad
+0&=\|v\|^2\quad\Rightarrow\quad \|v\|=0}
+\end{align*}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex
index 7137c5a..5f08a8f 100644
--- a/vorlesungen/slides/test.tex
+++ b/vorlesungen/slides/test.tex
@@ -91,7 +91,9 @@
 % XXX Stone-Weierstrass
 % XXX \folie{5/stoneweierstrass.tex}
 % XXX Spektrum einer Matrix
-\folie{5/spektrum.tex}
+%\folie{5/spektrum.tex}
+\folie{5/normal.tex}
+\folie{5/unitaer.tex}
 % XXX Approximation einer Funktion auf dem Spektrum
 % XXX \folie{5/spektrumapproximation.tex}
 % XXX Approximation einer Matrix in der erzeugten Algebra