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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex index b066969..e3731d5 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex @@ -164,7 +164,7 @@ X^2+8X+15 X^2+X+1\mod 7. \] Das Polynom $X^2+X+1$ ist daher über $\mathbb{F}_7$ reduzibel und -das Polynom $X^3-1\in\mathbb{F}_7$ zerfällt daher in Linearfaktoren +das Polynom $X^3-1\in\mathbb{F}_7$ zerfällt in Linearfaktoren $X^3-1=(X+6)(X+3)(X+5)$. \end{beispiel} diff --git a/buch/papers/uebersicht.tex b/buch/papers/uebersicht.tex index 31f2c58..64b8863 100644 --- a/buch/papers/uebersicht.tex +++ b/buch/papers/uebersicht.tex @@ -46,6 +46,8 @@ wie die man die einzelnen Ideen an vertrauteren Beispielen aus der elementaren Algebra und der Fourier-Theorie verstehen kann. Die Übertragung in einen Polynomring über einem endlichen Körper ist dann nicht mehr schwierig. +Die Analogie wird deutlich, wenn man das Codierungsverfahren und +die diskrete Fourier-Transformation beide als Matrizen schreibt. Wer glaubt, mit linearen Abbildungen lassen sich nur gradlinige Objekte beschreiben, liegt völlig falsch. @@ -58,7 +60,7 @@ Bildern ableiten. Es gibt zwar noch keine ernstzunehmenden Quantencomputer, aber man weiss bereits, dass ein leistungsfähriger Quantencomputer viele der heute im Internet üblichen Verschlüsselungsverfahren, allen voran das RSA-Verfahren, -brechen könnten. +brechen könnte. Das McEliece-Kryptosystem kombiniert verschiedene Arten von Matrizen mit zufälligem Rauschen und einem fehlerkorrigierenden Code. Wie {\em Reto Fritsche} erklärt, kommt dabei ein Verschlüsselungsverfahren @@ -80,8 +82,8 @@ So gibt es zum Beispiel ein Euler-Formel, für Drehungen und Spiegelungen kann die selbe Abbildungsformel verwendet werden und die Zusammensetzung von Transformationen ist eine Multiplikation in einer Algebra, die aus den Vektoren konstruiert worden ist. -In drei Dimensionen ist diese Algebra der Quaternionen sehr -beliebt zum Beispiel in der Computergraphik. +In drei Dimensionen ist diese Algebra der Quaternionen zum Beispiel +in der Computergraphik sehr beliebt. Man soll sein Haus nicht auf Sand bauen, sagt eine Redensart. Etwas mathematischer heisst das, dass man den Spannungszustand, @@ -92,7 +94,7 @@ Dazu muss man erst eine geeignete Darstellung finden. dazu eigentlich über die Welt der Matrizen hinaus gehen muss und sich mit sogenannten Tensoren herumschlagen muss. Dank sinnvollen Annahmen über die reale Situation im Boden -kann man aber wieder auf eine handlichere Beschreibung zurückkommen, +kann man aber auf eine handlichere Beschreibung zurückkommen, die wieder nur Matrizen verwendet. Ausserdem ergeben sich daraus spezielle Blockstrukturen der Matrizen. @@ -102,11 +104,13 @@ kann beträchtliche Schäden anrichten. Daher wird die seismische Aktivität weiltweit überwacht. Ein Seismograph enthält eine schwingungsfähige Masse, die die Bewegungen aufzeichen kann. -Doch welcher Teil der aufgezeichneten Bewegung kommt vom Erdbeben, +Doch welcher Teil der aufgezeichneten Bewegung kommt vom Erdbeben und welcher Teil ist Eigenschwingung der Messmasse? Dieser Frage gehen {\em Fabio Viecelli} und {\em Lukas Zogg} nach. Die Antwort gelingt mit einem Klassiker unter den Ingenieur-Methoden: dem Kalman-Filter. +Die Autoren stellen die für den Filter nötigen Matrizen zusammen +und illustrieren mit Hilfe von Simulationen, wie er funktioniert. Eine Matrix kann dazu verwende werden, die Kosten zusammenzustellen, die die Lösung einzelner Aufgaben durch verschiedene Anbieter |