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diff --git a/vorlesungen/03_mseanalysis/slides.tex b/vorlesungen/03_mseanalysis/slides.tex index 7a49363..5dbfb2a 100644 --- a/vorlesungen/03_mseanalysis/slides.tex +++ b/vorlesungen/03_mseanalysis/slides.tex @@ -5,16 +5,16 @@ % \section{Matrixnormen} -%\folie{2/norm.tex} -%\folie{2/skalarprodukt.tex} -%\folie{2/cauchyschwarz.tex} -%\folie{2/polarformel.tex} -%\folie{2/funktionenraum.tex} -%\folie{2/operatornorm.tex} -%\folie{2/funktionenalgebra.tex} -%\folie{2/linearformnormen.tex} -%\folie{2/frobeniusnorm.tex} -%\folie{2/frobeniusanwendung.tex} +\folie{2/norm.tex} +\folie{2/skalarprodukt.tex} +\folie{2/cauchyschwarz.tex} +\folie{2/polarformel.tex} +\folie{2/funktionenraum.tex} +\folie{2/operatornorm.tex} +\folie{2/funktionenalgebra.tex} +\folie{2/linearformnormen.tex} +\folie{2/frobeniusnorm.tex} +\folie{2/frobeniusanwendung.tex} \section{Approximation mit Polynomen} % XXX Stone-Weierstrass @@ -29,22 +29,15 @@ % XXX \folie{5/gelfandtransformation.tex} \section{Potenzreihen} -% XXX Konvergenzradius -% XXX \folie{5/konvergenzradius.tex} -% XXX Gelfand-Radius -% XXX \folie{5/gelfandradius.tex} -% XXX Gleichheit von Konvergenz-Radius und Gelfand-Radius (braucht JNF) -% XXX \folie{5/satzvongelfand.tex} +\folie{5/konvergenzradius.tex} +\folie{5/krbeispiele.tex} +\folie{5/spektralgelfand.tex} +\folie{5/satzvongelfand.tex} \section{Differentialgleichungen} -% XXX Potenzreihenmethode zur Lösung von Differentialgleichungen -% XXX \folie{5/potenzreihenmethode.tex} -% XXX Exponentialfunktion -% XXX \folie{5/exponentialfunktion.tex} -% XXX Exponentialreihe -% XXX \folie{5/exponentialreihe.tex} -% XXX Logarithmus -% XXX \folie{5/logarithmusreihe.tex} +\folie{5/potenzreihenmethode.tex} +\folie{5/exponentialfunktion.tex} +\folie{5/logarithmusreihe.tex} % XXX Sinus und Cosinus, Eulerscher Satz % XXX \folie{5/sinuscosinus.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc index e635c42..1707e67 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc @@ -22,6 +22,8 @@ chapter5 = \ ../slides/5/reellenormalform.tex \ ../slides/5/cayleyhamilton.tex \ \ + ../slides/5/konvergenzradius.tex \ + ../slides/5/krbeispiele.tex \ ../slides/5/spektralgelfand.tex \ ../slides/5/Aiteration.tex \ ../slides/5/satzvongelfand.tex \ @@ -30,5 +32,6 @@ chapter5 = \ ../slides/5/potenzreihenmethode.tex \ ../slides/5/logarithmusreihe.tex \ ../slides/5/exponentialfunktion.tex \ + ../slides/5/hyperbolisch.tex \ ../slides/5/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex index fab6a28..46597e5 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex @@ -19,6 +19,8 @@ \folie{5/jordan.tex} \folie{5/reellenormalform.tex} \folie{5/cayleyhamilton.tex} +\folie{5/konvergenzradius.tex} +\folie{5/krbeispiele.tex} \folie{5/spektralgelfand.tex} \folie{5/Aiteration.tex} \folie{5/satzvongelfand.tex} @@ -26,3 +28,4 @@ \folie{5/potenzreihenmethode.tex} \folie{5/logarithmusreihe.tex} \folie{5/exponentialfunktion.tex} +\folie{5/hyperbolisch.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/5/exponentialfunktion.tex b/vorlesungen/slides/5/exponentialfunktion.tex index 698d8a5..caae16b 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/exponentialfunktion.tex +++ b/vorlesungen/slides/5/exponentialfunktion.tex @@ -10,6 +10,7 @@ \vspace{-15pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \only<1-6>{% +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{$x(t) \in\mathbb{R}$} \vspace{-10pt} @@ -21,7 +22,7 @@ x(0) &= c&&\in\mathbb{R} \uncover<2->{x(t) &= ce^{at}} \end{align*} \end{block} -\end{column}} +\end{column}}{}} \begin{column}{0.48\textwidth} \uncover<3->{% \begin{block}{$X(t) \in M_n(\mathbb{R})$} @@ -45,6 +46,7 @@ vier Funktionen $x_{ij}(t)$}} \end{block}} \end{column} \only<7-9>{% +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Beispiel: Diagonalmatrix} %$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ @@ -60,7 +62,7 @@ Lösung: x_{ij}(t) =c_{ij}e^{\lambda_i t} \]} \end{block} -\end{column}} +\end{column}}{}} \uncover<10->{% \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Beispiel: Jordan-Block} @@ -70,10 +72,11 @@ A&=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix} \rlap{$\displaystyle,\; X(t) = +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ \only<22>{ e^{\lambda t} \begin{pmatrix} 1&t/\lambda\\ 0&1 \end{pmatrix} -} +}}{} \only<23>{ \frac{e^{\lambda t}}{\lambda} \begin{pmatrix} \lambda&t\\ 0&\lambda \end{pmatrix} @@ -100,13 +103,16 @@ x_{2i}(t)&=c_{2i}e^{\lambda t} \dot{x}_{1i}(t)&=\lambda x_{1i}(t) + c_{2i}e^{\lambda t} } \\ -\only<16-17>{x_{1i\only<16>{,h}}(t)} +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ +\only<16-17>{x_{1i\only<16>{,h}}(t)}}{} \only<18->{\dot{x}_{1i}(t)} & +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ \only<16-17>{=c\only<17>{(t)}\lambda e^{\lambda t}} \only<18>{=\dot{c}(t)\lambda e^{\lambda t} + c(t)\lambda^2 e^{\lambda t}} +}{} \only<19->{=\lambda x_{1i}(t) + \dot{c}(t)\lambda e^{\lambda t}} \\ \uncover<20->{\Rightarrow diff --git a/vorlesungen/slides/5/hyperbolisch.tex b/vorlesungen/slides/5/hyperbolisch.tex new file mode 100644 index 0000000..905082a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/hyperbolisch.tex @@ -0,0 +1,105 @@ +% +% hyperbolisch.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Hyperbolische Funktionen} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Differentialgleichung} +\vspace{-10pt} +\begin{align*} +\ddot{y} &= y +\;\Rightarrow\; +\frac{d}{dt} +\begin{pmatrix}y\\y_1\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}y\\y_1\end{pmatrix} +\\ +y(0)&=a,\qquad y'(0)=b +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-10pt} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Lösung} +\vspace{-13pt} +\begin{align*} +\lambda^2-1&=0 +\uncover<3->{ +\qquad\Rightarrow\qquad \lambda=\pm 1 +} +\\ +\uncover<4->{ +y(t)&=Ae^t+Be^{-t}} +\uncover<5->{ +\Rightarrow +\left\{ +\arraycolsep=1.4pt +\begin{array}{rcrcr} +A&+&B&=&a\\ +A&-&B&=&b +\end{array} +\right.} +\\ +&\uncover<6->{ +=\frac{a+b}2e^t + \frac{a-b}2e^{-t}} +\\ +&\uncover<7->{= +a{\color{darkgreen}\frac{e^t+e^{-t}}2} + b{\color{red}\frac{e^t-e^{-t}}2}} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.49\textwidth} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Potenzreihe} +\vspace{-12pt} +\begin{align*} +K&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} +\uncover<10->{\quad\Rightarrow\quad K^2=I} +\\ +\uncover<9->{ +e^{Kt} +&= +I+K+\frac1{2!}K^2 + \frac{1}{3!}K^3 + \frac{1}{4!}K^4+\dots +} +\\ +\uncover<11->{ +&= +\biggl( 1+\frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!}+\dots \biggr)I +} +\\ +\uncover<11->{ +&\qquad ++\biggl(t+\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}+\dots\biggr)K +} +\\ +\uncover<12->{ +&= +I{\,\color{darkgreen}\cosh t} + K{\,\color{red}\sinh t} +} +\\ +\uncover<13->{ +\begin{pmatrix}y(t)\\y_1(t)\end{pmatrix} +&= +e^{Kt}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} +} +\uncover<14->{ += +\begin{pmatrix} +a{\,\color{darkgreen}\cosh t} + b{\,\color{red}\sinh t}\\ +a{\,\color{red}\sinh t} + b{\,\color{darkgreen}\cosh t} +\end{pmatrix} +} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/5/konvergenzradius.tex b/vorlesungen/slides/5/konvergenzradius.tex new file mode 100644 index 0000000..a0b4b3a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/konvergenzradius.tex @@ -0,0 +1,109 @@ +% +% konvergenzradius.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\setbeamercolor{column}{bg=blue!20} +\def\punkt#1{ + \fill[color=blue!30] #1 circle[radius=0.05]; + \draw[color=blue] #1 circle[radius=0.05]; +} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Konvergenzradius} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Potenzreihen} +$f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ (komplex differenzierbar) +\begin{equation} +f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_kz^k +\label{reihe} +\end{equation} +\end{block} +\vspace{-8pt} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Konvergenz} +\eqref{reihe} konvergiert für $|z| < {\color{darkgreen}R}$, +\[ +\frac{1}{{\color{darkgreen}R}} += +\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{\frac1k} +\] +\end{block}} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Polstellen} +{\color{darkgreen}$R$} ist der Radius des grössten Kreises um $O$, +auf dessen Rand eine +{\color{blue}Polstelle} der Funktion $f(z)$ liegt +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\r{2.5} +\uncover<2->{ + \fill[color=red!20] (0,0) circle[radius=\r]; + \draw[color=red] (0,0) circle[radius=\r]; +} +\draw[->] (-2.6,0) -- (2.9,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}]; +\draw[->] (0,-2.6) -- (0,2.9) coordinate[label={$\operatorname{Im}z$}]; + +\uncover<2->{ + \draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.05cm] (0,0) -- (100:\r); + \draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.05cm] (0,0) -- (220:\r); + \node[color=darkgreen] at ($0.5*(100:\r)$) [left] {$R$}; + \node[color=darkgreen] at ($0.5*(220:\r)+(-0.1,0.1)$) + [below right] {$R$}; + + \fill[color=white] (0,0) circle[radius=0.05]; + \draw (0,0) circle[radius=0.05]; +} + +\node at (2.8,2.8) {$\mathbb{C}$}; + +\uncover<3->{ + \punkt{(100:\r)} + \punkt{(220:\r)} + + \begin{scope} + \clip (-2.6,-2.6) rectangle (2.9,2.9); + + \punkt{(144.2527:2.7232)} + %\punkt{(226.1822:2.5164)} + \punkt{(173.7501:3.4140)} + \punkt{(267.4103,2.7668)} + \punkt{(137.7328:3.1683)} + %\punkt{(30.1155:3.3629)} + %\punkt{(139.1036:2.5366)} + \punkt{(167.4964:3.0503)} + \punkt{(289.2650:3.4324)} + \punkt{(120.1911:3.2966)} + %\punkt{(292.3422:2.7550)} + \punkt{(141.4877:2.6494)} + \punkt{(70.8326:2.9005)} + \punkt{(56.0758:3.2098)} + \punkt{(99.0585:3.2340)} + \punkt{(299.7242:2.5990)} + \punkt{(158.8802:2.6539)} + \punkt{(235.2721:2.9476)} + \punkt{(108.0584:2.8344)} + \punkt{(220.0117:2.7679)} + + \end{scope} + + \begin{scope}[yshift=-3.2cm,xshift=-1.0cm] + \punkt{(0,-0.05)} + \node at (0,0) [right] {$=$ Polstelle}; + \end{scope} +} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 07b5379..66f5ade 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -76,20 +76,14 @@ %\folie{5/cayleyhamilton.tex} \section{Matrixnormen} -% XXX Vektornormen %\folie{2/norm.tex} -% XXX Skalarprodukt und L^2-Norm %\folie{2/skalarprodukt.tex} -% XXX Cauchy-Schwarz-Ungleichung %\folie{2/cauchyschwarz.tex} %\folie{2/funktionenraum.tex} -% XXX Polarformel %\folie{2/polarformel.tex} -% XXX Normen, die sich aus der Vektornorm ableiten lassen %\folie{2/operatornorm.tex} %\folie{2/funktionenalgebra.tex} %\folie{2/linearformnormen.tex} -% XXX Frobenius-Norm %\folie{2/frobeniusnorm.tex} %\folie{2/frobeniusanwendung.tex} @@ -106,22 +100,18 @@ % XXX \folie{5/gelfandtransformation.tex} \section{Potenzreihen} -% XXX Konvergenzradius -% XXX \folie{5/konvergenzradius.tex} +% Konvergenzradius +%\folie{5/konvergenzradius.tex} +%\folie{5/krbeispiele.tex} %\folie{5/spektralgelfand.tex} -% XXX Gleichheit von Konvergenz-Radius und Gelfand-Radius (braucht JNF) -\folie{5/Aiteration.tex} -\folie{5/satzvongelfand.tex} -% Logarithmus +%\folie{5/Aiteration.tex} +%\folie{5/satzvongelfand.tex} %\folie{5/logarithmusreihe.tex} \section{Differentialgleichungen} -% Potenzreihenmethode zur Lösung von Differentialgleichungen %\folie{5/potenzreihenmethode.tex} -% Exponentialfunktion %\folie{5/exponentialfunktion.tex} -% XXX Exponentialreihe -% XXX \folie{5/exponentialreihe.tex} % XXX Sinus und Cosinus, Eulerscher Satz % XXX \folie{5/sinuscosinus.tex} +\folie{5/hyperbolisch.tex} |