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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index 2fcf199..ac2b85d 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -839,6 +839,83 @@ die Eigenschaft $A^{-1}A=I$ ganz allgemein gezeigt. \subsubsection{Determinante} XXX TODO +\begin{beispiel} +Die Inverse der Matrix +\begin{equation} +A=\begin{pmatrix} +1&a&a\\ +a&1&a\\ +a&a&1 +\end{pmatrix} +\label{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn1} +\end{equation} +ist mit Hilfe von Determinanten besonders einfach zu invertieren. +Die Determinante von $A$ ist nach der Sarrus-Formel +\[ +\det A += +1 + 2a^3 - 3a^2. +\] +Die adjungiert Matrix ist +\begin{align*} +A^{-1} +&= +\frac{1}{\det{A}} +\begin{pmatrix} +\det A_{11} & \det A_{21} & \det A_{31} \\ +\det A_{12} & \det A_{22} & \det A_{32} \\ +\det A_{13} & \det A_{23} & \det A_{33} +\end{pmatrix} +\\ +&= +\frac{1}{2a^3-3a^2+1} +\renewcommand\arraystretch{1.1} +\begin{pmatrix*}[r] +\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right| +& +-\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right| +& +\left|\begin{matrix}a&a\\1&a\end{matrix}\right| +\\ +-\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right| +& +\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right| +& +-\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right| +\\ +\left|\begin{matrix}a&1\\a&a\end{matrix}\right| +& +-\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right| +& +\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right| +\end{pmatrix*} +\\ +&= +\frac{1}{2a^3-3a^2+1} +\begin{pmatrix} +1-a^2 & a^2-a & a^2-a\\ +a^2-a & 1-a^2 & a^2-a\\ +a^2-a & a^2-a & 1-a^2 +\end{pmatrix} +\end{align*} +Mit $1-a^2=(1+a)(1-a)$ und $a^2-a=a(a-1)$ kann man dies noch etwas +vereinfachen, indem man den gemeinsamen Faktor $1-a$ ausklammern. +Man erhält so die Form +\begin{equation} +A^{-1} += +\frac{1-a}{2a^3-3a^2+1} +\begin{pmatrix} +1+a & -a & -a \\ + -a & 1+a & -a \\ + -a & -a & 1+a +\end{pmatrix}. +\label{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn2} +\end{equation} +für die Inverse einer Matrix der Form +\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn1}. +\end{beispiel} + % % Lineare Abbildungen % @@ -1133,3 +1210,8 @@ n-\operatorname{def}A. \subsubsection{Quotient} TODO: $\operatorname{im} A \simeq \Bbbk^m/\ker A$ + + + + + diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex index 2f8117e..c7147bf 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex @@ -128,6 +128,7 @@ $p_1$ und $p_2$ Nullteiler in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Ein Körper kann also nur entstehen, wenn $n$ eine Primzahl ist. \begin{definition} +\label{buch:endlichekoerper:def:galois-koerper} Ist $p$ eine Primzahl, dann heisst $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ der Galois-Körper der Ordnung $p$. \end{definition} diff --git a/buch/papers/ifs/images/FIC.pdf b/buch/papers/ifs/images/FIC.pdf new file mode 100644 index 0000000..1c76dfe --- /dev/null +++ b/buch/papers/ifs/images/FIC.pdf @@ -0,0 +1,2003 @@ +%PDF-1.6
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Comput. Harmon. Anal.}, - year = 2019, - volume = 47, - pages = {607--627}, - url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} -} - @Inbook{ifs:Rousseau2012, author= {Rousseau, Christiane and Saint-Aubin, Yvan @@ -64,4 +45,18 @@ url={https://doi.org/10.1007/978-3-642-30092-9_11} } +@article{ifs:pifs, + title = {Applications of Partitioned Iterated Function Systems in Image and Video Compression}, + journal = {Journal of Visual Communication and Image Representation}, + volume = 7, + number = {2}, + pages = {144-154}, + year = 1996, + issn = {1047-3203}, + doi = {https://doi.org/10.1006/jvci.1996.0014}, + url = {https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1047320396900140}, + author = {Guojun Lu and Toon Lin Yew}, + abstract = {Iterated function systems (IFS) have been used to compress image data. Because of difficulty in finding IFS in natural images, a technique based on partitioned IFS (PIFS) has been proposed for image compression. In this technique, an image to be compressed is divided into nonoverlapping blocks. For each block an affine transformation is found in the image. This set of affine transformations (called PIFS) corresponds to a unique image. In the simplest case, images are partitioned into fixed size blocks. In this paper, we investigate image and video compression techniques using variable block sizes based on the quadtree partition. One property of images generated using PIFS is scalability: they have fine detail in any scale. We exploit this property to reduce required compression time and improve compression performance. There are large amounts of temporal redundancy between fames of a video sequence. We describe a method to remove temporal redundancies effectively using a quadtree partitioning technique. We have implemented the above schemes to compress image and video sequences and will report our experimental results.} +} + diff --git a/buch/papers/ifs/teil0.tex b/buch/papers/ifs/teil0.tex index 7cb218f..833748c 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil0.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil0.tex @@ -3,9 +3,9 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 0\label{ifs:section:teil0}} +\section{Einleitung \label{ifs:section:teil0}} \rhead{Was ist ein Iteriertes Funktionsschema} -Mit der Hilfe von Iterierten Funktionsschemata mit nur wenigen Funktionen, komplexe Bilder beschreiben. +Mit der Hilfe von Iterierten Funktionsschemata (IFS) kann mit nur wenigen affinen Funktionen, komplexe Bilder beschreiben werden. In der Regel sind diese Bilder Fraktale. Wie es dazu kommt, und wie man mit IFS auch Bilder komprimieren kann, wollen wir in diesem Kapitel untersuchen. diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex index 54089ec..a75b529 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil1.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex @@ -6,29 +6,30 @@ \section{Fraktale \label{ifs:section:teil1}} \rhead{Problemstellung} -Bevor wir die IFS genauer ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an. +Bevor wir die IFS ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an. Über die genaue Definition von Fraktalen sind sich die Mathematiker nicht einig. In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften welche Kenneth Falconer in seinem Buch Fractal Geometry \cite{ifs:fractal-geometry} beschreibt. -Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten: +Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten: \begin{enumerate} \item $F$ hat eine unendlich feine Struktur \item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden. - \item Oftmals haf $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit. - \item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die Topologische Dimension - \item Viele Fraktale lassen sich einfach beschrieben + \item Oftmals hat $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit. + \item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die topologische Dimension + \item Viele Fraktale lassen sich auf eine simple Art definieren. Es genügen zum Beispiel nur wenige Funktionen, welche rekursiv ausgeführt werden, um ein Fraktal zu definieren. \end{enumerate} \subsection{Koch Kurve \label{ifs:subsection:lilkoch}} -Diese Eigenschaften möchten wir nun anhand der Koch Kurve näher anschauen. -In \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Wie man schon erahnen kann, besteht sie aus lauter kleineren Kopien von sich selber. +Diese Eigenschaften möchten wir nun am Beispiel der Koch Kurve näher anschauen. +In Abbildung \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Sie besteht aus lauter kleineren Kopien von sich selber. Den Konstruktionsvorgang ist in Abbildung \ref{ifs:kochconst} dargestellt. Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$. -Diese wird in ersten Schritt mit vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt. +Diese wird in ersten Schritt durch vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt. In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich. Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt. -Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist. +Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist. +Man spricht von einer selbstähnlichen Menge, wenn sich diese Menge überdecken lässt mit echten Teilmengen, die zur ganzen Menge ähnlich sind. \begin{figure} @@ -54,41 +55,80 @@ Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch \end{figure} Die resultierende Kurve hat ein paar interessante Eigenschaften. -Die Länge der Kurve lasst sich einfach berechnen. +Die Länge der Kurve der jeweiligen Iteration lässt sich mit \begin{align*} - l_0 = a ,\quad l_1 = a \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad ... , \quad - l_n = a * \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad + l_0 = a ,\quad l_1 = a \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad \cdots , \quad + l_n = a \cdot \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad \Rightarrow \quad \lim_{n\to\infty} a \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty \end{align*} -In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Somit divergiert die Länge gegen Unendlich. +berechnen. +In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Daraus resultiert, dass die Länge gegen $\infty$ divergiert. + + Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen \begin{align*} - A_0 = 0 , \quad A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\ - A_2 = A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\ - A_3 = A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1 + A_0 &= 0 \\ + A_1 &= \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\ + A_2 &= A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\ + A_3 &= A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1. \end{align*} Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist. -Daraus resultiert eine konvergierende Geometrische Reihe. +Die Gesamtfläche ist daher gegeben durch die konvergierende geometrische Reihe, \begin{align*} A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \\ - \lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2 \end{align*} -Wie wir sehen ist die Kochkurve ein Konstrukt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang. +mit dem Grenzwert +\begin{align*} + \lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2. +\end{align*} +Wie wir sehen ist die Koch-Kurve ein Objekt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang. + + Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. -Es gibt viele verschiedene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern. -Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur viele verschiedene Arten. +Es gibt viele verschiedene Methoden die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern. +Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur unterschiedliche Arten. In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension \cite{ifs:fractal-geometry}. +Die Ähnlichkeits-Dimension $D$ ist das Verhältnis der Logarithmen der Anzahl Kopien $N$ des Originales und deren Skalierungsfaktor $\epsilon$ + \begin{align*} - D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)} + D = - \frac{\log N}{\log \epsilon }. \end{align*} Mit ihr kann man einfach die Dimension selbstähnlicher Mengen bestimmen. -Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge. +Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge $l$, Abbildung \ref{ifs:trinagle}. Somit hat das Dreieck die Dimension $D = 2$. -Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon = 1/3$. +Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon =l \cdot 1/3$. +Ihre Ähnlichkeits-Dimension ist somit \begin{align*} - D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)} = - \frac{log(4)}{log(1/3)} \approx 1.2619 + D = - \frac{\log N }{\log \epsilon } = - \frac{\log 4 }{\log 1/3 } \approx 1.2619. \end{align*} -Wie wir nun sehen besitzt die Kochkurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. +Wie wir nun sehen besitzt die Koch-Kurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall. Sonst wäre die Frage nach einer 'richtigen' Definition einfach zu beantworten. +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + + % draw the background + \draw [line width=1.5pt, fill=gray!2] (0,0) -- (60:4) -- (4,0) -- cycle; + + \coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0); + \coordinate[label=right:$B$] (B) at (4,0); + \coordinate[label=above:$C$] (C) at (2,3.464); + + \coordinate[label=below:$l$](c) at ($ (A)!.5!(B) $); + \coordinate[label=left:$l$] (b) at ($ (A)!.5!(C) $); + \coordinate[label=right:$l$](a) at ($ (B)!.5!(C) $); + + \coordinate[label=below:$l/2$](d) at ($ (b)!.5!(a)$); + + % the triangle + \draw [line width=1.5pt] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; + \draw [line width=0.5pt] (a) -- (b); + \draw [line width=0.5pt] (a) -- (c); + \draw [line width=0.5pt] (c) -- (b); + + \end{tikzpicture} + \caption{Selbstähnlichkeit eines gleichseitigen Dreiecks} + \label{ifs:trinagle} +\end{figure} diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex index 143317a..fd10634 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil2.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex @@ -14,13 +14,13 @@ Zur Veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck. \caption{Sierpinski-Dreieck} \label{ifs:sierpinski10} \end{figure} -Wenn man das Dreieck genau anschaut, erkennt man schnell, dass es aus drei kleineren Kopien seiner selbst besteht. -Es ist also ein Selbstähnliches Konstrukt. +Es besteht aus drei kleineren Kopien von sich selbst. +Es ist also ein Selbstähnliches Gebilde. Diese Eigenschaft wollen wir uns zunutze machen. Wir definieren das Dreieck mit Kantenlänge 1 als Menge $X$. -Ausserdem bestimmen wir drei Funktionen, welche die gesamte Menge auf eine ihrer kleineren Kopien abbildet +Ausserdem bestimmen wir drei Funktionen \begin{align*} f_1(x,y) = @@ -63,13 +63,15 @@ Ausserdem bestimmen wir drei Funktionen, welche die gesamte Menge auf eine ihrer \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} - \end{pmatrix}\\ + \end{pmatrix}, \end{align*} +welche die gesamte Menge auf eine ihrer kleineren Kopien abbildet. $f_1$ bildet das Dreieck auf das Teilstück unten links ab, $f_2$ auf das Teilstück unten rechts und $f_3$ auf das obere Teilstück. -Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an, entsteht also wieder ein Sierpinski-Dreieck. +Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an \begin{align*} - X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X) + X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X), \end{align*} +entsteht also wieder ein Sierpinski-Dreieck. Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck. \begin{figure} \centering @@ -90,37 +92,44 @@ Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktion \label{ifs:sierpconst} \end{figure} Im Beispiel der Abbildung \ref{ifs:sierpconst} sehen wir, wie das Bild nach jeder Iteration dem Sierpinski-Dreieck ähnlicher wird. -Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Iterationen gegen null. +Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert gegen null. \subsection{Iterierte Funktionensysteme -\label{ifs:subsection:bonorum}} -In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern. +\label{ifs:subsection:IteratedFunktionensysteme}} +In diesem Abschnitt wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern. -$S_1,...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt +$S_1,\dots,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt \begin{align} |S_i(x) - S_i(y)| \leq c_i|x - y| \end{align} -für jedes i mit einem $c_i < 1$. Dann existiert eine eindeutige kompakte Menge $F$ für die gilt +für jedes i mit einem $c_i < 1$. +Der Banachsche Fixpunktsatz besagt, dass für solche Kontraktionen ein Eindeutiges $A$ existiert, für das $S(A) = A$ gilt. +Den Beweis kann man in \cite{ifs:Rousseau2012} nachlesen. +Hat man nicht nur eine sondern mehrere Kontraktionen, dann existiert eine eindeutige kompakte Menge $F$ für die gilt \begin{equation} - F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F) + F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F). \end{equation} -Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen ohne die leere Menge. +Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen $E$ ohne die leere Menge \begin{equation} - S(E) = \bigcup\limits_{i = 1}^m S_i(E) + S(E) = \bigcup\limits_{i = 1}^m S_i(E). + \label{ifs:transformation} \end{equation} -Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, und für jedes $i$ $S_i(E) \subset E$, gilt +Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, gilt \begin{equation} F = \bigcap\limits_{k = 1}^{\infty} S^k(E). + \label{ifs:ifsForm} \end{equation} In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt, gegen eine eindeutige Menge konvergiert. -Dies für jede Startmenge, solange diese ihre Transformierten wieder beinhaltet. -Auf den Beweis wird verzichtet. +Diese Menge ist auch als Attraktor eines IFS bekannt. +Der Beweis für die Existenz eines eindeutigen Attraktors ist in \cite{ifs:fractal-geometry} beschrieben. + \subsection{Beispiel: Barnsley-Farn} -Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein weiteres Fraktal, welches mit einem IFS generiert werden kann. +Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein Beispiel eines Fraktal, welches mit einem IFS generiert werden kann. Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine grosse Ähnlichkeit zum ganzen Farn haben. -\begin{align*} - {S_1(x,y)} +Die vier affinen Transformationen +\begin{align} + & {S_1(x,y)} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ @@ -129,9 +138,9 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross \begin{pmatrix} x\\ y\\ - \end{pmatrix}, \quad + \end{pmatrix}, \quad & {S_2(x,y)} - = + &= \begin{pmatrix} 0.85 & 0.04 \\ -0.04 & 0.85 \\ @@ -145,7 +154,7 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross 0 \\ 1.6 \end{pmatrix}\\ - {S_3(x,y)} + & {S_3(x,y)} = \begin{pmatrix} 0.2 & -0.26 \\ @@ -159,9 +168,9 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross \begin{pmatrix} 0 \\ 1.6 - \end{pmatrix}, \quad + \end{pmatrix}, \quad & {S_4(x,y)} - = + &= \begin{pmatrix} -0.15 & 0.28 \\ 0.26 & 0.24 \\ @@ -175,26 +184,51 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross 0 \\ 0.44 \end{pmatrix}\\ -\end{align*} -In der Abbildung \ref{ifs:farncolor} sehen wir die vier Transformationen farblich dargestellt. - + \label{ifs:farnFormel} +\end{align} +, welche für die konstruktion des Farns benötigt werden sind in der Abbildung \ref{ifs:farncolor} farblich dargestellt. +Das gesamte Farnblatt ist in der schwarzen Box. +Auf diese werden die Transformationen angewendet $S_1$ erstellt den Stiel des Farnblattes (rot). Die Transformation bildet das Gesamte Blatt auf die Y-Achse ab. $S_2$ (grün) erstellt den Hauptteil des Farnes. Sie verkleinert und dreht das gesamte Bild und stellt es auf das Ende des Stiels aus $S_1$. $S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten Links ab. -$S_4$ Spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab. +$S_4$ spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab. +\subsection{Erzeugung eines Bildes zu einem IFS} +Es gibt zwei verschiedene Methoden um das Bild zu einem IFS zu erzeugen. +Die erste Methode ist wahrscheinlich die intuitivste. +Wir beginnen mit einm Startbild, zum Beispiel ein Schwarzes Quadrat, und bilden dieses mit den affinen Transformationen des IFS ab. +Das neue Bild, dass entsteht, ist die nächste Iterierte. +Dieses wird wieder mit den Transformationen abgebildet. +Wir wiederholen den letzten schritt, bis wir zufrieden mit der neusten Iterierten sind. + +Diesen Vorgang haben wir beim Sierpinski-Dreieck in Abbildung \ref{ifs:sierpconst} gebraucht. +In Abbildung \ref{ifs:sierpinski10} ist die zehnte Iterierte zu sehen. +Weitere Iterationen hätten in dieser Darstellungsgrösse kaum mehr einen Unterschied gemacht. + -Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn \cite{ifs:barnsleyfern} noch eine weitere Methode ein, um IFS auszuführen. +Die zweite Methode ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}. Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Menge anzuwenden. -Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist diese Methode ziemlich rechenintensiv. -Eine Alternative ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}. -Bei dieser Methode werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt. +Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist die erste Methode ziemlich rechenintensiv. +Beim Chaosspiel werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt. Der Startpunkt kann dabei ein beliebiger Punkt in $E$ sein. Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation, welche zufällig gewählt wurde, angewendet. -Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, dass nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet. -Die Gewichtung erfolgt über den Anteil der Gesamtmasse. -Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt. +Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet. +Je mehr eine Transformation kontrahiert, desto weniger Punkte braucht es um die resultierende Teilabbildung darzustellen. +Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt. +Wir sehen auch in Abbildung \ref{ifs:farncolor} gut, dass der rote Stiel, $S_1$, einiges weniger Punkte braucht als der grüne Hauptteil des Blattes, $S_2$. + +In Abbildung \ref{ifs:farnNoWeight} wurden die vier gleich stark gewichtet. +Man sieht, dass trotzt gleich vieler Iterationen wie in Abbildung \ref{ifs:farn}, der Farn nicht so gut abgebildet wird. + +Am besten sieht man den Effekt einer schlechten Gewichtung in Abbildung \ref{ifs:farnrightWeight}. +Hier wurde $S_4$, welches für das rechte untere Teilblatt zuständig ist, mit nur $1\%$ statt $7\%$ gewichtet. +Man sieht, wie sich der Mangel an Punkten auf die anderen Abbildungen das Farnblattes auswirkt. +In jeder Kopie des ganzen Farns fehlen die Punkte für dieses rechte untere Teilblatt. + + + \begin{figure} \centering \makebox[\textwidth][c]{ @@ -204,7 +238,19 @@ Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ \end{figure} \begin{figure} \centering - \includegraphics[width=0.7\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor} - \caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn} + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor2} + \caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn in unterschiedlichen Farben} \label{ifs:farncolor} \end{figure} + +\begin{figure} + \centering + \subfigure[]{ + \label{ifs:farnNoWeight} + \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnnotweight}} + \subfigure[]{ + \label{ifs:farnrightWeight} + \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnrightwight}} + \caption{(a) Chaosspiel ohne Gewichtung (b) $S_4$ zu wenig gewichtet} + \label{ifs:farnweight} +\end{figure} diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex index 24f0751..78fb935 100644 --- a/buch/papers/ifs/teil3.tex +++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex @@ -9,33 +9,41 @@ Mit dem Prinzip dieser IFS ist es auch möglich Bilder zu Komprimieren. Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Fractals Everywhere einen wichtigen Beitrag zum Verständnis von Fraktalen geliefert hat. Das Ziel ist es ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat. -In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen.\cite{ifs:Rousseau2012} +In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen, wie sie in \cite{ifs:Rousseau2012} beschrieben ist. - -Bis jetzt wurde in Zusammenhang mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen auf die ganze Menge angewendet werden. -Dies muss jedoch nicht so sein. -Es gibt auch einen Attraktor, wenn die Transformationen nur Teile der Menge auf die ganze Menge abbilden. -Diese Eigenschaft wollen wir uns in der Fraktalen Bildkompression zunutze machen. -Sie ermöglicht uns Ähnlichkeiten zwischen kleineren Teilen des Bildes zunutze machen. Es ist wohl nicht falsch zu sagen, dass Ähnlichkeiten zur gesamten Menge, wie wir sie zum Beispiel beim Barnsley Farn gesehen haben, bei Bilder aus dem Alltag eher selten anzutreffen sind. -Doch wie Finden wir die richtigen Affinen Transformationen, welche als IFS das Bild als Attraktor haben? +Ein IFS, wie wir es in \ref{ifs:subsection:IteratedFunktionensysteme} definiert haben, wird uns also nicht weiter helfen. +Die Lösung dazu sind Partitionierte IFS (PIFS) \cite{ifs:pifs}. +In \ref{ifs:transformation} wurde definiert, dass die Kontraktionen $S_i$ bei IFS auf die gesamte Menge $E$ angewendet werden. +Bei einem PIFS wird der Attraktor in disjunkte Teilmengen aufgeteilt. +Für jede dieser Teilmengen $R_i$ braucht es dann eine grössere Teilmenge, welche mit einer affinen Transformation eine zu $R_i$ ähnliche Menge bildet. +Wir müssen nicht mehr Ähnlichkeiten zum ganzen Bild finden, sondern zwischen Teilen des Bildes. +Doch wie finden wir das PIFS, welches das Bild als Attraktor hat? \subsection{das Kompressionsverfahren \label{ifs:subsection:malorum}} -In der Beschreibung des Verfahrens wird sich auf Graustufenbilder bezogen. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert. +Wir beschränken das Verfahren für Graustufenbilder. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert. +Ein Graustufenbild kann man als Pixelraster mit einer x und y Achse verstehen. +Jedem dieser Pixel wird ein Grauwert zugeordnet. +Ein Bild ist also eine Funktion, die jedem Pixel einen Grauwert $z$ zuweist +\begin{align*} + z = f(x,y). +\end{align*} +Wir suchen ein PIFS welches das zu komprimierende Bild als Attraktor hat. In einem ersten Schritt teilen wir das Bild in disjunkte benachbarte $b \times b$ Pixel-Quadrate auf. Diese Blöcke nennen wir Range-Blöcke der Menge $R=\{R_0,R_1,...R_m\}$ Im nächsten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$ Pixel-Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. Im dritten und letzten Schritt wird für jeden Range-Block $R_i$ ein Domain-Block $D_j$ gesucht, welcher ihm am ähnlichsten ist. +Zwei Beispiele wie solche Domain-, und Range-Block Paare aussehen können, sehen wir in Abbildung \ref{ifs:FIC} \subsubsection{Finden des ähnlichsten $D_j$} -Zuerst brauchen wir die Transformation um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ Abzubilden. +Zuerst brauchen wir die Transformation \begin{align*} - T(x,y,z) = + T_i(x,y,z) = \begin{pmatrix} - a & b & 0 \\ - c & d & 0 \\ - 0 & 0 & s + a_i & b_i & 0 \\ + c_i & d_i & 0 \\ + 0 & 0 & s_i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ @@ -44,52 +52,86 @@ Zuerst brauchen wir die Transformation um ein Element aus $D$ auf ein Element vo \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} - \alpha \\ - \beta \\ - g + \alpha_i \\ + \beta_i \\ + g_i \end{pmatrix} \end{align*} -Diese Transformation bildet den Pixel $P$ auf Koordinate $(x,y)$ und Graustufe $z$ auf den Pixel $P'$ ab. - -Da wir mit Pixeln arbeiten, sind die Transformationen in der Ebene Beschränkt. -Diese wird durch die Parameter $a,b,c$ und $d$ bestimmt. -Mögliche Transformationen sind auf folgende Liste Beschränkt: +um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ Abzubilden. +Wenn wir die Grauwerte ausser acht lassen, haben wir die affine Abbildung +\begin{align} + t_i(x,y) = + \begin{pmatrix} + a_i & b_i \\ + c_i & d_i + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + x \\ + y + \end{pmatrix} + + + \begin{pmatrix} + \alpha_i \\ + \beta_i + \end{pmatrix}. +\label{ifs:affTrans} +\end{align} +Da wir mit Pixeln arbeiten, ist die Auswahl der möglichen Abbildungen begrenzt. +Wir sind auf folgende acht Abbildungen beschränkt: \begin{itemize} \item Identische Transformation, keine Änderung \item Drehung um 90, 180 oder 270 Grad. \item Spiegelung an der vertikalen, horizontalen und den Diagonalachsen. \end{itemize} -$\alpha$ und $\beta$ verschieben den Pixel an die richtige Stelle. Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möchten, müssen wir zuerst $G_j$ um $1/2$ skalieren. Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$ px Blöcke mit einem Pixel des Grautones deren Mittelwertes ersetzen. -Skaliert und transformiert erhalten wir $\tilde{D_j}$ -Die Parameter $s$ und $g$ beschreiben die Änderung des Grautones. $s$ verändert den Kontrast und $g$ verschiebt die Töne auf die richtige Helligkeit. -$s$ und $g$ werden mit der linearen Regression ermittelt. + +Die Parameter $s_i$ und $g_i$ beschreiben die Änderung des Grautones. $s$ verändert den Kontrast und $g$ verschiebt die Grautöne auf die richtige Helligkeit, sie bilden die lineare Funktion \begin{align*} - z' = sz + g \\ - f(\tilde{D_j}) \text{, Funktion um das Bild eins Blockes zu erhalten} \\ - s = \frac{cov(f(R_i), f(\tilde{D_j}))}{var(\tilde{D_j})} \\ - g = E(f(R_i)) - s E(f(\tilde{D_j})) + z' = s_i z + g_i. \end{align*} +Für die Bestimmung dieser Parameter führen wir zuerst die Bildfunktionen $f_{R_i}$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ein. +$f_{R_i}$ ist die Bildfunktion des Range-Blockes $R_i$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ist die Bildfunktion des zuerst Skalierten und dann mit \ref{ifs:affTrans} transformierten Domain-Blocks $D_j$. + +Wir suchen $s_i$ und $g_i$ so das +\begin{align*} + f_{R_i} = s_i \tilde{f_{R_i}} + g_i = \bar{f_{R_i}}. +\end{align*} +Die Parameter lassen sich mit +\begin{align*} + s = \frac{\operatorname{cov}(f_{R_i}), f(\tilde{f_{R_i}}))}{\operatorname{var}(\tilde{f_{R_i}})} \\ + g = E(f_{R_i}) - s E(f(\tilde{f_{R_i}})) +\end{align*} +berechnen. Mit diesen Parametern haben wir nun die Transformation vollständig bestimmt. -Um zu beurteilen ob der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transformation $T$ dem Range-Block $R_i$ genügend ähnlich ist, berechnet man den quadratischen Abstand $e$. +Um zu beurteilen wie ähnlich der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transformation $T$ dem Range-Block ist, berechnet man den quadratischen Abstand \begin{align*} - e = d(f(R_i), f(T(D_j))) + e = d(f_{R_i}, \bar{f_{R_i}}). \end{align*} Dieser Abstand sollte so klein wie möglich sein. -Die beste Kombination von $D_j$ und $T_i$ ist also diese, welche den kleinsten Abstand zum Block $R_i$ hat, und somit am ähnlichsten ist. -Am Ende des Verfahrens haben wir also für jeden $R_i$ einen passenden $D_i$ mit der zugehörigen Abbildung $T_i$ gefunden. +Wir bestimmen die Parameter $s$ und $g$ für jede der acht möglichen affinen Abbildungen und das mit jedem Domain-Block. +Die Kombination von $D_j$ und $T_i$, welche den kleinsten Abstand $e$ hat, ist die beste. + +Diese Schritte führen wir für jeden Range-Block $R_i$ aus. +Am Ende des Algorithmus haben wir für jeden Range-Block den zugehörigen Domain-Block und Transformation gefunden. + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/ifs/images/FIC} + \caption{Domain-, und Range-Block Paare in Grün und Rot} + \label{ifs:FIC} +\end{figure} \subsubsection{Rekonstruktion des Bildes} -Mit den Gefundenen Abbildungen lässt sich das Bild generieren. +Mit den gefundenen Abbildungen lässt sich das Bild generieren. Wir beginnen wie schon im letzten Kapitel mit einer beliebigen Startmenge. In unserem Fall ist dieses ein Bild $f_0$ derselben Grösse. Nun ersetzen wir jedes $R_i$ mit der Transformierten des zugehörigen Domain-Blocks $T(G_j)$. Dies wird verkürzt als Operator $W$ geschrieben. So erhalten wir ein neues Bild $f_1 = W(f_0)$. -Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen unterschied feststellen. Die Iteration hat nun ihren Fixpunkt, das Bild, erreicht. +Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen Unterschied feststellen. Die Iteration hat nun ihren Attraktor, das Bild, erreicht. \subsubsection{Farbbilder} Dieses Verfahren mit Graustufenbilder lässt sich ganz einfach auf Farbbilder erweitern. @@ -98,20 +140,20 @@ Teilt man ein Bild in die drei Farbkanäle auf, das heisst, es wird nur noch ein Nun wendet man auf jeden dieser Farbkanalbilder den Algorithmus an, und fügt nach der Rekonstruktion die Kanäle wieder zusammen. \subsubsection{Performance des Verfahren} -Dieser Grundalgorithmus der Fraktalen Bildkompression ist offensichtlich recht langsam und skaliert auch schlecht mit grösseren Bilder. -Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nie so schnell wie zum Beispiel das jpeg verfahren. +Dieser Grundalgorithmus der fraktalen Bildkompression ist recht langsam und skaliert auch schlecht für grössere Bilder. +Dies resultiert aus eigenen Experimenten. +Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nicht so schnell wie zum Beispiel das JPEG-Verfahren. +Es wurden bessere Algorithmen der fraktalen Bildkompression entwickelt, doch auch diese können, vor allem in der Laufzeit, noch nicht mit herkömmlichen Komprimierungsverfahren mithalten. \subsection{Beispiel} -Kommen wir nun zu einem Beispiel. -Wir Verwenden dafür den oben beschriebenen Algorithmus. +Wir Verwenden dafür den oben beschriebenen Algorithmus, welcher uns für jeden Range-Block die benötigten Parameter liefert. +Mit diesen lässt sich das Bild im Anschluss wieder Rekonstruieren. Die Range-Blöcke wurden $4\times4$ gewählt und die Dommain dementsprechend $8\times8$. Um etwas Zeit bei der Komprimierung zu ersparen, wurden nur disjunkte Domain-Blöcke gebraucht. Als erstes Beispiel wählen wir das 360x360px Bild von Rapperswil in Abbildung \ref{ifs:original}. -Der Algorithmus liefert uns für jeden Range-Block die benötigten Parameter. -Mit diesen lässt sich das Bild im Anschluss wieder Rekonstruieren. - -Als Startbild wird ein mittelgraues 360x360px Bild gewählt, Abbildung \ref{ifs:bild0}. -Nun lassen wir das IFS laufen. +Das Startbild ist ein mittelgraues 360x360px Bild, Abbildung \ref{ifs:bild0}. +Es kann jedoch ein beliebiges Startbild +Nun lassen wir das PIFS laufen. Wie wir in Abbildung \ref{ifs:rappirecoa} sehen, ist schon nach der ersten Iteration das Bild schon erkennbar. Nach der fünften Iteration , Abbildung \ref{ifs:rappirecoc} gibt es fast keinen Unterschied mehr zur letzten Iteration, wir können die Rekonstruktion beenden. \begin{figure} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex index 262297e..0339d9c 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex @@ -5,14 +5,14 @@ % \section{Codierung eines Beispiels \label{reedsolomon:section:codebsp}} -\rhead{Koerper Festlegen} +\rhead{Codierung eines Beispiels} Um die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes besser zu verstehen werden wir die einzelnen Probleme und ihre Lösungen anhand eines Beispiels betrachten. -Da wir in Endlichen Körpern Rechnen werden wir zuerst solch einen Körper festlegen. Dabei müssen wir die \textcolor{red}{Definition 4.6 (wie verweist man auf eine definition?)} berücksichtigen, die besagt, dass nur Primzahlen für endliche Körper in Frage kommen. -Wir legen für unser Beispiel den endlichen Körper mit $q = 11$ fest. +Da wir in endlichen Körpern rechnen, werden wir zuerst solch einen Körper festlegen. Dabei müssen wir die \textcolor{red}{Definition 4.6 (verweis auf eine Definition im Buch ohne label)} berücksichtigen, die besagt, dass nur Primzahlen für endliche Körper in Frage kommen. +Wir legen für unser Beispiel den endlichen Körper $\mathbb{F}_{q}$ mit $q = 11$ fest. Zur Hilfestellung können dazu die beiden Tabellen \ref{reedsolomon:subsection:adtab} und -\ref{reedsolomon:subsection:mptab} hinzugezogen werden. Diese Tabellen enthalten sämtliche Resultate aller gültigen Operationen \textcolor{red}{(Notiz: nach meinem Wissen gibt es ja nur addition und multiplikation als gültige operationen)}, die in diesem Körper durchgeführt werden können. -Aus der Definition der Endlichen Körper (ersichtlich auch in den Tabellen) folgt, dass uns nur die Zahlen \[\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\] zur verfügung stehen und somit $11 = 0$ gelten muss. +\ref{reedsolomon:subsection:mptab} hinzugezogen werden. Diese Tabellen enthalten die Resultate der arithmetischen Operationen im Körper $\mathbb{F}_{11}$, die durchgeführt werden können. +Aus der Definition der endlichen Körper (ersichtlich auch in den Tabellen) folgt, dass uns nur die Zahlen \[\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\] zur Verfügung stehen und somit $11 = 0$ gelten muss. % OLD TEXT %Alle folgenden Berechnungen wurden mit den beiden Restetabellen \ref{reedsolomon:subsection:adtab} und \ref{reedsolomon:subsection:mptab} durchgeführt. @@ -22,7 +22,7 @@ Aus der Definition der Endlichen Körper (ersichtlich auch in den Tabellen) folg %\input{papers/reedsolomon/restetabelle1} %\input{papers/reedsolomon/restetabelle2} -Anhand der Menge uns zur Verfügung stehenden Zahlen wird auch festgelegt, wie viele Zahlen ein Nachrichtenblock $n$, bestehend aus Nutzdatenteil und Fehlerkorrekturteil, umfassen kann. +Die Menge uns zur Verfügung stehender Zahlen legt auch fest, wie viele Zahlen ein Nachrichtenblock $n$, bestehend aus Nutzdatenteil und Fehlerkorrekturteil, umfassen kann. Der Nachrichtenblock im Beispiel besteht aus \[ n = q - 1 = 10 \text{ Zahlen}, @@ -52,16 +52,16 @@ k = n - 2t = 6\text{ Zahlen} \] übertragen. -Zusammenfassend haben wir einen Nachrichtenblock mit der Länge von 10 Zahlen definiert, der 6 Zahlen als Nutzlast beinhaltet und in der Lage ist aus 2 fehlerhafte Stellen im Block die ursprünglichen Nutzdaten zu rekonstruieren. Zudem werden wir im weiteren feststellen, dass dieser Code maximal vier Fehlerstellen erkennen, diese aber nicht rekonstruieren kann. +Zusammenfassend haben wir einen Nachrichtenblock mit der Länge von 10 Zahlen definiert, der 6 Zahlen als Nutzlast beinhaltet und in der Lage ist, aus 2 fehlerhafte Stellen im Block die ursprünglichen Nutzdaten zu rekonstruieren. Zudem werden wir im weiteren feststellen, dass dieser Code maximal vier Fehlerstellen erkennen, diese aber nicht rekonstruieren kann. -Wir legen nun die Nachricht +Wir legen nun für das Beispiel die Nachricht \[ m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1] \] fest, die wir gerne an einen Empfänger übertragen möchten, wobei die vorderen vier Stellen für die Fehlerkorrektur zuständig sind. -Solange diese Stellen vor dem Codieren und nach dem Decodieren den Wert null haben, so ist die Nachricht Fehlerfrei übertragen worden. +Solange diese Stellen vor dem Codieren und nach dem Decodieren den Wert null haben, so ist die Nachricht fehlerfrei übertragen worden. -Da wir in den folgenden Abschnitten mit Polynomen arbeiten, stellen wir die Nachicht auch noch als Polynom +Da wir in den folgenden Abschnitten mit Polynomen arbeiten, stellen wir die Nachricht auch noch als Polynom \[ m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1 \] @@ -77,8 +77,8 @@ dar. \subsection{Der Ansatz der diskreten Fouriertransformation \label{reedsolomon:subsection:diskFT}} -In einem vorherigen Kapitel \textcolor{red}{(???)} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulerische Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert. -Wir legen deshalb die Zahl $a$ fest. Diese Zahl soll die gleichen aufgaben haben, wie $e^{\frac{j}{2 \pi}}$ in der Diskreten Fouriertransformation, nur mit dem Unterschied, dass $a$ in $\mathbb{F}_{11}$ existiert. Dazu soll $a$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken, um +In einem vorherigen Abschnitt \textcolor{red}{(???)} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulerische Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert. +Wir wählen deshalb eine Zahl $a$, die die gleichen Aufgaben haben soll wie $e^{\frac{j}{2 \pi}}$ in der diskreten Fouriertransformation, nur mit dem Unterschied, dass $a$ in $\mathbb{F}_{11}$ ist. Dazu soll die Potenz von $a$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken, um \[ \mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \] @@ -118,27 +118,41 @@ umzuschreiben. Wenn wir jetzt sämtliche Zahlen von $\mathbb{F}_{11}$ in $a$ einsetzen \begin{center} -\begin{tabular}{c r c l} -%$a = 0 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0\}$ \\ -$a = 1 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}$ \\ -$a = 2 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6\}$ \\ -$a = 3 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4\}$ \\ -$a = 4 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 4, 5, 9, 3, 1, 4, 5, 9, 3\}$ \\ -$a = 5 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 5, 3, 4, 9, 1, 5, 3, 4, 9\}$ \\ -$a = 6 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2\}$ \\ -$a = 7 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8\}$ \\ -$a = 8 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 8, 9, 6, 4, 10, 3, 2, 5, 7\}$ \\ -$a = 9 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 9, 4, 3, 5, 1, 9, 4, 3, 5\}$ \\ -$a = 10 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10\}$ +\begin{tabular}{c c c c c c c} +$a = 1$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ +$a = 2$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6\}$ & $ = $ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ +$a = 3$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ +$a = 4$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 4, 5, 9, 3, 1, 4, 5, 9, 3\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ +$a = 5$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 5, 3, 4, 9, 1, 5, 3, 4, 9\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ +$a = 6$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2\}$ & $ = $ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ +$a = 7$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8\}$ & $ = $ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ +$a = 8$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 8, 9, 6, 4, 10, 3, 2, 5, 7\}$ & $ = $ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ +$a = 9$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 9, 4, 3, 5, 1, 9, 4, 3, 5\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ +$a = 10$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\ \end{tabular} \end{center} -so fällt uns auf, dass für $a$ die Zahlen $2,6,7,8$ erhalten, die tatsächlich den gesamten Zahlenraum von $\mathbb{F}_{11}$ abbilden. Solche Zahlen werden \em Primitive Einheitswurzel \em genannt. -Wenden wir diese Vorgehensweise auch für andere Endliche Körper an, so werden wir sehen, dass wir immer mindestens zwei solcher Einheitswurzel finden werden. Somit ist es uns überlassen, eine dieser Einheitswurzeln auszuwählen, mit der wir weiter rechnen wollen. Für das Beispiel wählen wir die Zahl $a^i = 8$. +%\begin{center} +%\begin{tabular}{c r c l} +%%$a = 0 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0\}$ \\ +%$a = 1 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}$ \\ +%$a = 2 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6\}$ \\ +%$a = 3 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4\}$ \\ +%$a = 4 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 4, 5, 9, 3, 1, 4, 5, 9, 3\}$ \\ +%$a = 5 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 5, 3, 4, 9, 1, 5, 3, 4, 9\}$ \\ +%$a = 6 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2\}$ \\ +%$a = 7 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8\}$ \\ +%$a = 8 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 8, 9, 6, 4, 10, 3, 2, 5, 7\}$ \\ +%$a = 9 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 9, 4, 3, 5, 1, 9, 4, 3, 5\}$ \\ +%$a = 10 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10\}$ +%\end{tabular} +%\end{center} +so fällt uns auf, dass für $a$ die Zahlen $2,6,7,8$ erhalten, die tatsächlich den gesamten Zahlenraum von $\mathbb{F}_{11}$ abbilden. Solche Zahlen werden \em primitive Einheitswurzel \em genannt. +Wenden wir diese Vorgehensweise auch für andere endliche Körper an, so werden wir sehen, dass wir immer mindestens zwei solcher Einheitswurzel finden werden. Somit ist es uns überlassen, eine dieser Einheitswurzel auszuwählen, mit der wir weiter rechnen wollen. Für das Beispiel wählen wir die Zahl $a = 8$. \subsubsection{Bildung einer Transformationsmatrix \label{reedsolomon:subsection:transMat}} -Mit der Wahl einer Einheitswurzel ist es uns jetzt möglich, unsere Nachricht zu Codieren. Daraus sollen wir dann einen Übertragungsvektor $v$ erhalten, den wir an den Empfänger schicken können. Für die Codierung müssen wir alle $a^i$ in das Polynom $m(X)$ einsetzen. Da wir $a^i = 8^i$ gewählt haben ergibt sich daraus +Mit der Wahl einer Einheitswurzel ist es uns jetzt möglich, unsere Nachricht zu Codieren. Daraus sollen wir dann einen Übertragungsvektor $v$ erhalten, den wir an den Empfänger schicken können. Für die Codierung müssen wir alle $a^i$ in das Polynom $m(X)$ einsetzen. Da wir $a^i = 8^i$ gewählt haben, ergibt sich daraus % %Damit wir unsere Nachricht codieren können, müssen wir $8^i$ in $m(X)$ einsetzen. % @@ -150,12 +164,13 @@ Mit der Wahl einer Einheitswurzel ist es uns jetzt möglich, unsere Nachricht zu $m(8^9) = 4 \cdot 7^5 + 7 \cdot 7^4 + 2 \cdot 7^3 + 5 \cdot 7^2 + 8 \cdot 7^1 + 1 = 4$ \end{tabular} \end{center} -unser Übertragungsvektor. Um das ganze noch ein wenig übersichtlicher zu gestalten können wir die Polynome zu einer Matrix zusammenfassen und bildet so unsere Transformationsmatrix $A$. +als unser Übertragungsvektor. \subsection{Allgemeine Codierung \label{reedsolomon:subsection:algCod}} +Um das Ganze noch ein wenig übersichtlicher zu gestalten können wir die Polynome zu einer Matrix zusammenfassen, die unsere Transformationsmatrix $A$ bildet. -Für die Codierung benötigen wir die Nachricht $m$, die Codiert werden soll sowie die Transformationsmatrix $A$. Daraus erhalten wir den Übertragungsvektor $v$. Setzen wir die Zahlen aus dem Beispiel ein erhalten wir folgende Darstellung. +Für die allgemeine Codierung benötigen wir die Nachricht $m$, die codiert werden soll, sowie die Transformationsmatrix $A$. Daraus erhalten wir den Übertragungsvektor $v$. Setzen wir die Zahlen aus dem Beispiel ein erhalten wir folgende Darstellung: \[ v = A \cdot m \qquad \Rightarrow \qquad v = \begin{pmatrix} 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\ @@ -173,6 +188,7 @@ v = A \cdot m \qquad \Rightarrow \qquad v = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 5 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} +. \] Für unseren Übertragungsvektor resultiert \[ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex index feaa027..a46d7da 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex @@ -5,17 +5,17 @@ % \section{Decodierung: Ansatz mit Fehlerkorrektur \label{reedsolomon:section:decmitfehler}} -\rhead{fehlerhafte rekonstruktion} +\rhead{Decodierung mit Fehler} Bisher haben wir die Decodierung unter der Bedingung durchgeführt, dass der Übertragungsvektor fehlerlos versendet und empfangen wurde. In der realen Welt müssen wir uns jedoch damit abfinden, dass kein Übertragungskanal garantiert fehlerfrei ist und das wir früher oder später mit Fehlern rechnen müssen. Genau für dieses Problem wurden Fehler korrigierende Codes, wie der Reed-Solomon-Code, entwickelt. In diesem Abschnitt betrachten wir somit die Idee der Fehlerkorrektur und wie wir diese auf unser Beispiel anwenden können. + Der Übertragungskanal im Beispiel weisst jetzt den Fehlervektor \[ u = [0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0] \] auf. - Senden wir jetzt unser Übertragungsvektor $v$ durch diesen Kanal addiert sich der Fehlervektor $u$ auf unsere Übertragung und wir erhalten \begin{center} @@ -73,10 +73,10 @@ als neuen, fehlerbehafteten Übertragungsvektor $w$ auf der Empfängerseite. % %\end{center} %als Übertragungsvektor auf der Empfängerseite erhalten. -Wir jetzt als Empfänger wissen jedoch nicht, dass der erhaltene Übertragungsvektor jetzt fehlerbehaftet ist und werden dementsprechend den Ansatz aus Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} anwenden. +Als Empfänger wissen wir jedoch nicht, dass der erhaltene Übertragungsvektor jetzt fehlerbehaftet ist und werden dementsprechend den Ansatz aus Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} anwenden. Wir stellen jedoch recht schnell fest, dass am decodierten Nachrichtenblock \[ -r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{\text{Syndrom}}5,4,5,7,6,7]. +r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{\text{Syndrom}}5,4,5,7,6,7] \] etwas nicht in Ordnung ist, denn die vorderen vier Fehlerkorrekturstellen haben nicht mehr den Wert null. Der Nachrichtenblock weisst jetzt ein \em Syndrom \em auf, welches anzeigt, dass der Übertragungsvektor fehlerhaft empfangen wurde. @@ -85,21 +85,29 @@ Der Nachrichtenblock weisst jetzt ein \em Syndrom \em auf, welches anzeigt, dass %\[ %r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerinfo}5,4,5,7,6,7]. %\] -Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie wir daraus den ursprünglich gesendeten Nachrichtenvektor zurückerhalten sollen. Laut der Definition über die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes können wir aus den Fehlerkorrekturstellen ein ``Lokatorpolynom'' berechnen, welches die Information enthält, welche stellen innerhalb des empfangenen Übertragungsvektors fehlerhaft sind. +Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie wir daraus den ursprünglich gesendeten Nachrichtenvektor zurückerhalten sollen. Laut der Definition über die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes können wir aus den Fehlerkorrekturstellen ein ``Lokatorpolynom'' berechnen, welches die Information enthält, welche Stellen innerhalb des empfangenen Übertragungsvektors fehlerhaft sind. \subsection{Das Fehlerstellenpolynom $d(X)$ \label{reedsolomon:subsection:fehlerpolynom}} -Bevor wir unser Lokatorpolynom berechnen können, müssen wir zuerst eine Möglichkeit finden, die Fehlerhaften von den Korrekten Stellen im Übertragungsvektor unterscheiden zu können. In einem ersten Versuch könnten wir $d$ berechnen mit +Bevor wir unser Lokatorpolynom berechnen können, müssen wir zuerst eine Möglichkeit finden, die fehlerhaften von den korrekten Stellen im Übertragungsvektor unterscheiden zu können. +In einem ersten Versuch berechnen wir die Differenz $d$ des empfangenen und dem gesendeten Übertragungsvektor mit +%Alle Stellen in $d$, die nicht null sind sind demnach fehler. +% +%In einem ersten Versuch könnten wir $d$ berechnen mit \begin{center} \begin{tabular}{r c l} $m(X)$ & $=$ & $4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$ \\ $r(X)$ & $=$ & $5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7$ \\ - $d(X)$ & $=$ & $r(X) - m(X)$. + $d(X)$ & $=$ & $r(X) - m(X)$ \end{tabular} \end{center} -Dies wird uns zwar andere sorgen wegen $m(X)$ bereiten, wir werden werden deshalb erst in Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor} darauf zurückkommen. +und nennen $d(X)$ als unseres Fehlerstellenpolynom. Dieses Polynom soll uns sagen, welche Stellen korrekt und welche fehlerhaft sind. -Setzen wir jetzt noch unsere Einheitswurzel aus dem Beispiel ein so erhalten wir +Durch das verwenden von $m(X)$ stossen wir auf weitere Probleme, da wir den Nachrichtenvektor auf der Empfängerseite nicht kennen (unser Ziel ist es ja genau diesen zu finden). Dieses Problem betrachten wir im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor} genauer. Um die Überlegungen in den folgenden Abschnitten besser zu verstehen sei $m(X)$ bekannt auf der Empfängerseite. + +%Dies wird uns zwar andere sorgen wegen $m(X)$ bereiten, wir werden werden deshalb erst in Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor} darauf zurückkommen. + +Setzen wir jetzt unsere Einheitswurzel aus dem Beispiel ein so erhalten wir % Old Text %\begin{align} % m(X) & = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1 \\ @@ -126,15 +134,15 @@ Für das einfache Bestimmen von Hand mag dies ja noch ausreichen, jedoch können \subsection{Mit dem grössten gemeinsamen Teiler auf Nullstellenjagd \label{reedsolomon:subsection:ggT}} -Zuerst betrachten wir mal den Satz von Fermat deren Funktionsweise wir in Abschnitt \ref{buch:section:galoiskoerper} kennengelernt haben. Der besagt, dass für +Zuerst betrachten wir den Satz von Fermat, dessen Funktionsweise wir in Abschnitt \ref{buch:section:galoiskoerper} kennengelernt haben. Der besagt, dass \[ f(X) = X^{q-1} -1 = 0 \] -wobei dies für jedes $q$ gilt. Setzen wir also das $q$ von unserem Beispiel ein +gilt für jedes $X$. Setzen wir das $q$ von unserem Beispiel ein \[ f(X) = X^{10}-1 = 0 \qquad \text{für } X = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \] -und stellen dies als Nullstellenform (\textcolor{red}{richtiger name für die Schreibweise?}) dar. So ergibt sich die Darstellung +und stellen dies als Faktorisierung dar. So ergibt sich die Darstellung \[ f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6)(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9). \] @@ -145,7 +153,7 @@ Wir können jetzt auch $d(X)$ nach der gleichen Überlegung darstellen als d(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)\textcolor{gray!40}{(X-a^3)}(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6)(X-a^7)\textcolor{gray!40}{(X-a^8)}(X-a^9) \cdot p(x), \] wobei diese Darstellung nicht mehr alle Nullstellen umfasst wie es noch in $f(X)$ der Fall war. -Dies liegt daran, dass wir ja zwei Fehlerstellen (grau markiert) haben, die nicht Null sind. Diese fassen wir zum Restpolynom $p(X)$ (\textcolor{red}{eventuell farblich kennzeichnen?}) zusammen. +Dies liegt daran, dass wir ja zwei Fehlerstellen (grau markiert) haben, die nicht Null sind. Diese fassen wir zum Restpolynom $p(X)$ zusammen. Wenn wir jetzt den grössten gemeinsamen Teiler von $f(X)$ und $d(X)$ berechnen, so erhalten wir mit \[ \operatorname{ggT}(f(X),d(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)\textcolor{gray!40}{(X-a^3)}(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6)(X-a^7)\textcolor{gray!40}{(X-a^8)}(X-a^9) @@ -174,7 +182,7 @@ l(X) = (X-a^3)(X-a^8) \] unser gesuchtes Lokatorpolynom. Es scheint so als müssten wir nur noch an den besagten Stellen den Übertragungsvektor korrigieren und wir währen fertig mit der Fehlerkorrektur. -Jedoch haben wir noch ein grundlegendes Problem, dass zu beginn aufgetaucht ist, wir aber beiseite geschoben haben. Die Rede ist natürlich vom Nachrichtenvektor $m(X)$, mit dem wir in erster Linie das wichtige Fehlerstellenpolynom $d(X)$ berechnet haben. +Jedoch haben wir noch ein grundlegendes Problem, dass zu Beginn aufgetaucht ist, wir aber beiseite geschoben haben. Die Rede ist natürlich vom Nachrichtenvektor $m(X)$, mit dem wir in erster Linie das wichtige Fehlerstellenpolynom $d(X)$ berechnet haben, auf der Empfängerseite aber nicht kennen. \subsection{Der problematische Nachrichtenvektor $m(X)$ \label{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor}} @@ -190,20 +198,18 @@ Wir könnten uns höchstens noch fragen, ob wir tatsächlich nichts über den Na \[ m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1] \] -fällt uns aber auf, dass wir doch etwas über diesen Vektor wissen, nämlich den Wert der ersten 2t (im Beispiel vier) stellen. -Im Normalfall sollen diese nämlich den Wert null betragen und somit sind nur die letzten k stellen (im Beispiel sechs) für uns unbekannt, dargestellt als +fällt uns aber auf, dass wir doch etwas über diesen Vektor wissen, nämlich den Wert der ersten $2t$ (im Beispiel vier) stellen. +Im Normalfall sollen diese nämlich den Wert null betragen und somit sind nur die letzten $k$ stellen (im Beispiel sechs) für uns unbekannt, dargestellt als \[ m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]. \] -Wie der Zufall es so will liegt an diesen vier Stellen auch die Information, wo die Fehlerstellen liegen. Daher reicht es auch aus +Nach der Definition des Reed-Solomon-Codes soll an genau diesen vier Stellen auch die Information befinden, wo die Fehlerstellen liegen. Daher reicht es auch aus % darum werden die stellen auch als fehlerkorrekturstellen bezeichnet \[ d(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X) \] so zu berechnen, dass wir die wichtigen vier Stellen kennen, der Rest des Polynoms jedoch im unbekannten Restpolynom $p(X)$ enthalten ist. -\textcolor{red}{ist das wechseln zwischen 2t,k aus dem allgemeinfall und vier,sechs aus dem beispiel zu verwirrend?} - \subsection{Die Berechnung der Fehlerstellen \label{reedsolomon:subsection:nachrichtenvektor}} @@ -294,6 +300,7 @@ Daraus erhalten wir die Faktoren \[ l(X) = 2X^2 + 5 \qquad \rightarrow \qquad l(X) = 2(X-5)(X-6). \] +\subsubsection{Schritt 3: Fehlerstellen bestimmen} Unser gesuchtes Lokatorpolynom hat also die Form \[ l(X) = (X-a^i)(X-a^j). diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex index 3b709f3..0470db0 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex @@ -5,7 +5,7 @@ % \section{Decodierung: Ansatz ohne Fehler \label{reedsolomon:section:decohnefehler}} -\rhead{fehlerlose rekonstruktion} +\rhead{Decodierung ohne Fehler} In diesem Abschnitt betrachten wie die Überlegung, wie wir auf der Empfängerseite die Nachricht aus dem empfangenen Übertragungsvektor erhalten. Nach einer einfachen Überlegung müssen wir den Übertragungsvektor decodieren, was auf den ersten Blick nicht allzu kompliziert sein sollte, solange wir davon ausgehen können, dass es während der Übertragung keine Fehler gegeben hat. Wir betrachten deshalb den Übertragungskanal als fehlerfrei. @@ -33,7 +33,7 @@ Definiert ist sie als \[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt \qquad \Rightarrow \qquad \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega. \] -Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:algdec} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$. +Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sfaktor} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$. \[ 8^1 \qquad \rightarrow \qquad 8^{-1} \] @@ -45,7 +45,7 @@ Mit einem solchen Problem haben wir uns bereits in Abschnitt \ref{buch:section:e \subsection{Inverse der primitiven Einheitswurzel \label{reedsolomon:subsection:invEinh}} -Die Funktionsweise des euklidischen Algorithmus ist im Kapitel \ref{buch:section:euklid} ausführlich beschrieben. +Die Funktionsweise des euklidischen Algorithmus ist im Abschnitt \ref{buch:section:euklid} ausführlich beschrieben. Für unsere Anwendung wählen wir die Parameter $a = 8$ und $b = 11$ ($\mathbb{F}_{11}$). Daraus erhalten wir @@ -76,21 +76,112 @@ Daraus erhalten wir \end{tabular} \end{center} -als Inverse der primitiven Einheitswurzel. Die inverse Transformationsmatrix $A^{-1}$ bilden wir indem wir jetzt die inverse primitive Einheitswurzel anstelle der primitiven Einheitswurzel in die Matrix einsetzen. +als Inverse der primitiven Einheitswurzel. Die inverse Transformationsmatrix $A^{-1}$ bilden wir, indem wir jetzt die inverse primitive Einheitswurzel anstelle der primitiven Einheitswurzel in die Matrix einsetzen: +\[ +\begin{pmatrix} + 8^0 & 8^0 & 8^0 & 8^0 & \dots & 8^0 \\ + 8^0 & 8^{-1} & 8^{-2} & 8^{-3} & \dots & 8^{-9} \\ + 8^0 & 8^{-2} & 8^{-4} & 8^{-6} & \dots & 8^{-18} \\ + 8^0 & 8^{-3} & 8^{-6} & 8^{-9} & \dots & 8^{-27} \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 8^0 & 8^{-9} & 8^{-18} & 8^{-27} & \dots & 8^{-81} \\ +\end{pmatrix} +\qquad +\Rightarrow +\qquad +\begin{pmatrix} + 7^0 & 7^0 & 7^0 & 7^0 & \dots & 7^0 \\ + 7^0 & 7^{1} & 7^{2} & 7^{3} & \dots & 7^{9} \\ + 7^0 & 7^{2} & 7^{4} & 7^{6} & \dots & 7^{18} \\ + 7^0 & 7^{3} & 7^{6} & 7^{9} & \dots & 7^{27} \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 7^0 & 7^{9} & 7^{18} & 7^{27} & \dots & 7^{81} \\ +\end{pmatrix} +\] -\subsection{Allgemeine Decodierung - \label{reedsolomon:subsection:algdec}} +\subsection{Der Faktor $s$ + \label{reedsolomon:subsection:sfaktor}} +Die diskrete Fouriertransformation benötigt für die Inverse einen Vorfaktor von $\frac{1}{2\pi}$. +Primitiv nehmen wir an, dass wir für die Inverse Transformationsmatrix ebenfalls einen benötigen. +Nur stellt sich jetzt die Frage, wie wir diesen Vorfaktor in unserem Fall ermitteln können. +Dafür betrachten wir eine Regel aus der Linearen Algebra, nämlich dass -Wir haben jetzt fast alles für eine erfolgreiche Rücktransformation beisammen. Wir haben aber noch nicht alle Aspekte der inversen diskreten Fouriertransformation befolgt, so fehlt uns noch einen Vorfaktor \[ -m = \textcolor{red}{s} \cdot A^{-1} \cdot v +A \cdot A^{-1} = E +\] +entsprechen muss. +Ist dies nicht der Fall, so benötigt $A^{-1}$ eben genau diesen Korrekturfaktor und ändert die Gleichung so zu +\begin{equation} + A \cdot s \cdot A^{-1} = E. + \label{reedsolomon:equation:sfaktor} +\end{equation} +%\[ +%A \cdot s \cdot A^{-1} = E. +%\] +Somit sollte es für uns ein leichtes Spiel sein, $s$ für unser Beispiel zu ermitteln: +\[ +\begin{pmatrix} + 8^0 & 8^0 & 8^0 & \dots & 8^0 \\ + 8^0 & 8^1 & 8^2 & \dots & 8^9 \\ + 8^0 & 8^2 & 8^4 & \dots & 8^{18} \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 8^0 & 8^9 & 8^{18} & \dots & 8^{81} \\ +\end{pmatrix} +\cdot +\begin{pmatrix} + 7^0 & 7^0 & 7^0 & \dots & 7^0 \\ + 7^0 & 7^{1} & 7^{2} & \dots & 7^{9} \\ + 7^0 & 7^{2} & 7^{4} & \dots & 7^{18} \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 7^0 & 7^{9} & 7^{18} & \dots & 7^{81} \\ +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + 10 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ + 0 & 10 & 0 & \dots & 0 \\ + 0 & 0 & 10 & \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & 10 \\ +\end{pmatrix} \] -den wir noch bestimmen müssen. -Glücklicherweise lässt der sich analog wie bei der inversen diskreten Fouriertransformation bestimmen und beträgt +Aus der letzten Matrix folgt, dass wir \[ -s = \frac{1}{10}. +s = \dfrac{1}{10} \] -Da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht können wir $s$ ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ in $\mathbb{F}_{11}$ ergibt. Somit lässt sich der Nachrichtenvektor einfach bestimmen mit +als unseren Vorfaktor setzen müssen um die Gleichung \ref{reedsolomon:equation:sfaktor} zu erfüllen. Da wir in $\mathbb{F}_{11}$ nur mit ganzen Zahlen arbeiten schreiben wir $\frac{1}{10}$ in $10^{-1}$ um und bestimmen diese Inverse erneut mit dem euklidischen Algorithmus und erhalten für $10^{-1} = 10$ als unseren Vorfaktor in $\mathbb{F}_{11}$. +% +%erfüllt wird. Wir schreiben den Bruch um in $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ und wenden darauf erneut den euklidischen Algorithmus an und erhalten somit den Vorfaktor $10^{-1} = 10 = s$ in $\mathbb{F}_{11}$. +% +%Um $s$ eindeutig zu bestimmen müssen wir $\frac{1}{10}$ nur noch in den Bereich von $\mathbb{F}_{11}$ verschieben. Wie sich herausstellt können wir das recht einfach bewerkstelligen, da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht. Daraus können wir $s$ mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ in $\mathbb{F}_{11}$ ergibt. +% +%Da $s$ jetzt ein Bruch ist brauchen wir ihn nur noch in $\mathbb{F}_{11}$ zu schieben. Praktischerweise können wir $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ darstellen +% +%Da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht können wir $s$ ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ in $\mathbb{F}_{11}$ ergibt. +% +%Daher nehmen wir an, dass wir für die Inverse Transformationsmatrix ebenfalls ein solcher Vorfaktor benötigen. Dieser Faktor hat seinen Ursprung in der Gleichung +%\[ +%A \cdot A^{-1} = E. +%\] +%Sollte diese Gleichung nicht aufgehen, so muss die Inverse mit +\subsection{Allgemeine Decodierung + \label{reedsolomon:subsection:algdec}} + +Wir haben jetzt alles für eine erfolgreiche Rücktransformation vom empfangenen Nachrichtenvektor beisammen. Die allgemeine Gleichung für die Rücktransformation lautet +\[ +m = s \cdot A^{-1} \cdot v. +\] +Setzen wir nun die Werte ein in +% +%Wir haben aber noch nicht alle Aspekte der inversen diskreten Fouriertransformation befolgt, so fehlt uns noch einen Vorfaktor +%\[ +%m = \textcolor{red}{s} \cdot A^{-1} \cdot v +%\] +%den wir noch bestimmen müssen. +%Glücklicherweise lässt der sich analog wie bei der inversen diskreten Fouriertransformation bestimmen und beträgt +%\[ +%s = \frac{1}{10}. +%\] +%Da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht können wir $s$ ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ in $\mathbb{F}_{11}$ ergibt. Somit lässt sich der Nachrichtenvektor einfach bestimmen mit \[ m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v \qquad \Rightarrow \qquad m = 10 \cdot \begin{pmatrix} 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0\\ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex index 146067a..19e5dd4 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex @@ -5,10 +5,10 @@ % \section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern \label{reedsolomon:section:endlichekoerper}} -\rhead{Problemstellung} - -\textcolor{red}{TODO: (warten auf den 1. Teil)} - +\rhead{Reed-Solomon in endlichen Körpern} +\[ +\textcolor{red}{\text{TODO: (warten auf den 1. Teil)}} +\] Das Rechnen in endlichen Körpern bietet einige Vorteile: \begin{itemize} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex b/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex index 4e39de5..b006f21 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex @@ -4,7 +4,7 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{$\mathbb{F}_{11}$ Hilfstabellen +\section{Hilfstabellen für $\mathbb{F}_{11}$ \label{reedsolomon:section:hilfstabellen}} \rhead{Hilfstabellen} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/main.tex b/buch/papers/reedsolomon/main.tex index fa20936..4e2fd60 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/main.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/main.tex @@ -1,10 +1,10 @@ % % main.tex -- Paper zum Thema <reedsolomon> % -% (c) 2020 Hochschule Rapperswil +% (c) 2021 Joshua Bär und Michael Steiner, Hochschule Rapperswil % \chapter{Reed-Solomon-Code\label{chapter:reedsolomon}} -\lhead{Thema} +\lhead{Reed-Solomon-Code} \begin{refsection} \chapterauthor{Joshua Bär und Michael Steiner} @@ -39,9 +39,9 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren \input{papers/reedsolomon/decohnefehler} \input{papers/reedsolomon/decmitfehler} \input{papers/reedsolomon/rekonstruktion} -\input{papers/reedsolomon/nachschlagewerk} -\input{papers/reedsolomon/hilfstabellen} +\input{papers/reedsolomon/zusammenfassung} %\input{papers/reedsolomon/anwendungen} -> geplant +\input{papers/reedsolomon/hilfstabellen} \nocite{reedsolomon:weitz} \nocite{reedsolomon:informationkommunikation} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/nachschlagewerk.tex b/buch/papers/reedsolomon/nachschlagewerk.tex deleted file mode 100644 index 60b857e..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/nachschlagewerk.tex +++ /dev/null @@ -1,4 +0,0 @@ -\section{Nachschlagewerk - \label{reedsolomon:section:nachschlagen}} -\rhead{nachschlagewerk} -todo: auflistung von z.b nachrichtenvektor, übertragungsvektor usw. inklusiver erklärung was es ist falls man beim lesen den faden verliert
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex index 89a700f..04e748c 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex @@ -6,8 +6,8 @@ % \section{Nachricht Rekonstruieren \label{reedsolomon:section:rekonstruktion}} -\rhead{Rekonstruktion} -Im letzten Kapitel haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die fehlerhaften Stellen lokalisieren können. +\rhead{Rekonstruktion der Nachricht} +Im letzten Abschnitt haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die fehlerhaften Stellen lokalisieren können. Mit diesen Stellen soll es uns nun möglich sein, aus dem fehlerhaften empfangenen Nachrichtenvektor wieder unsere Nachricht zu rekonstruieren. Das Lokatorpolynom \[ @@ -21,7 +21,7 @@ Als Ausgangslage verwenden wir die Matrix, mit der wir den Nachrichtenvektor urs Unser Ziel ist es wie auch schon im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} eine Möglichkeit zu finden, wie wir den Übertragungsvektor decodieren können. Aufgrund der Fehlerstellen müssen wir aber davon ausgehen, das wir nicht mehr den gleichen Weg verfolgen können wie wir im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} angewendet haben. -Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen. +Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen: \[ \textcolor{gray}{ \begin{pmatrix} @@ -47,8 +47,9 @@ Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen. \begin{pmatrix} m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\ \end{pmatrix} +. \] -Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher kein weiterer Nutzen. +Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher keinen weiterer Nutzen. Aus diesem Grund werden diese Stellen aus dem Vektor entfernt, was wir hier ohne Probleme machen können, da dieser Code ja über Fehlerkorrekturstellen verfügt, deren Aufgabe es ist, eine bestimmte Anzahl an Fehler kompensieren zu können. Die dazugehörigen Zeilen in der Matrix werden ebenfalls entfernt, da die Matrix gleich viele Zeilen wie im Übertragungsvektor aufweisen muss, damit man ihn decodieren kann. @@ -183,3 +184,5 @@ m = [4,7,2,5,8,1] \] zurück, den wir ursprünglich versendet haben. +Wir möchten noch anmerken, dass es mehrere Wege für die Rekonstruktion des Nutzdatenteils gibt, diese aber alle auf dem Lokatorpolynom basieren. + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex b/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex new file mode 100644 index 0000000..568356f --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex @@ -0,0 +1,15 @@ +\section{Zusammenfassung + \label{reedsolomon:section:zf}} +\rhead{Zusammenfassung} +Dieser Abschnitt beinhaltet eine Übersicht über die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes für beliebige endliche Körper. + +TODO: + +\subsubsection{Schritt 1: primitives Element} + +\subsubsection{Schritt 2: Codierung} + +\subsubsection{Schritt 3: Decodierung ohne Fehler} + +\subsubsection{Schritt 4: Decodierung mit Fehler} + diff --git a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex index 0cb1433..b1588ff 100644 --- a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex +++ b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex @@ -29,7 +29,7 @@ Belastet man den Boden mit einer Spannung so wird diese in den Boden geleitet und von diesem kompensiert. Im Boden entstehen unterschiedlich hohe Zusatzspannungen. Diese Zusatzspannung breitet sich räumlich im Boden aus. -Im Falle einer konstanten Flächenlast $\sigma$ (siehe Abbildung 1.1) breitet sich die Zusatzspannung zwiebelartig aus. +Im Falle einer konstanten Flächenlast $\sigma$ siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild4} breitet sich die Zusatzspannung zwiebelartig aus. \begin{figure} \centering @@ -38,7 +38,7 @@ Im Falle einer konstanten Flächenlast $\sigma$ (siehe Abbildung 1.1) breitet si \label{fig:Bild4} \end{figure} -Mit der Tiefe $t$ nimmt diese permanent ab (siehe Abbildung 1.2). +Mit der Tiefe $t$ nimmt diese permanent ab (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild5}). Wie diese Geometrie der Ausbreitung ist, kann durch viele Modelle und Ansätze näherungsweise beschrieben werden. Diese Zusatzspannung $\sigma$ ist im Wesentlichen abhängig von $(x,y,t)$. Je nach Modell werden noch andere Parameter berücksichtigt. @@ -74,7 +74,7 @@ berechnet werden mit: \end{align*} Diese Zusammenhänge sind wie erwähnt unter anderem im Lehrbuch [\cite{spannung:Grundlagen-der-Geotechnik}] beschrieben. In der praktischen Geotechnik wird man allerdings weitaus schwierigere Situationen antreffen. -Ein Beispiel wäre eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen ist (siehe Abbildung 1.3). +Ein Beispiel wäre eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen ist (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild3}). Die Ausbreitung der Zusatzspannung $\sigma(x,y,t)$ würde hier deutlich komplizierter ausfallen. Dies bedeutet auch eine komplexere Setzung der Bodenoberfläche infolge einer Flächenlast $\sigma$. Aus allen zusätzlichen Spannungen müssen die adäquaten Dehnungen mit Hilfe einer Spannungsgleichung berechnet werden. diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex index ffc9009..7647252 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil0.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \section{Der Spannungszustand\label{spannung:section:Der Spannungsustand}} \rhead{Der Spannungszustand} -Ein Spannungszustand ist durch alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken, definiert (siehe Abbildung 1.4). +Ein Spannungszustand ist durch alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken, definiert (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild2}). Änderungen der äusseren Kräfte verändern die inneren Spannungszustände im Material. Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können, wird ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels modellhaft vorgestellt. Man spricht auch von einem Elementarwürfel, da dieser elementar klein ist. @@ -27,7 +27,7 @@ Daher gibt es auch den entsprechenden Dehnungszustand. \section{Spannungszustand\label{spannung:section:Spannungsustand}} \rhead{Spannungszustand} -Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung 1.5). +Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung~\ref{spannung:Bild1}). Das Hook'sche Gesetz beschreibt genau diesen 1D Spannungszustand. Nach Hooke gilt: \[ diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex index 921d2b8..6326eab 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil2.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex @@ -155,6 +155,17 @@ Die allgemeine Spannungsgleichung lautet nun: \overline{\overline{C}}\cdot\vec{\varepsilon} . \] + +Als Indexnotation +\[ +\sigma_{ij} += +\sum_{k=1}^3 +\sum_{l=1}^3 +C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl} +\] +kann dies ebenfalls geschrieben werden. + Die Konstanten $C$ werden nun nach dem Hook'schen Gesetz mit Hilfe des Elastizitätsmoduls $E$ definiert. Da dieser Modul durch die eindimensionale Betrachtung definiert ist, muss für die dreidimensionale Betrachtung eine weitere Kennzahl eingeführt werden. @@ -208,17 +219,8 @@ definiert ist. Trägt man die Konstanten in die Matrix ein, ergibt sich \varepsilon_{32} \\ \varepsilon_{33} \end{pmatrix} -, -\] -welche ebenfalls als Indexnotation mit -\[ -\sigma_{ij} -= -\sum_{k=1}^3 -\sum_{l=1}^3 -C_{ijkl}\cdot\varepsilon_{kl} +. \] -ausgedrückt werden kann. Die Normalspannung $\sigma_{22}$ lässt sich exemplarisch als \[ \sigma_{22} @@ -308,7 +310,7 @@ und entsprechend = \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ - & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ + & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \text{sym} & & \varepsilon_{33} \end{pmatrix} \qquad @@ -397,8 +399,8 @@ Somit lässt sich die reduzierte allgemeine Spannungsgleichung mit \] beschreiben. Die Konstanten $C$ werden wieder nach dem Hook'schen Gesetz definiert. -Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist: -\[ +Dies ergibt die Spannungsformel, welche weit möglichst vereinfacht ist: +\begin{equation} \begin{pmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ @@ -426,7 +428,8 @@ Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist: \varepsilon_{12} \end{pmatrix} . -\] +\label{spannung:Spannungsgleichung} +\end{equation} Im Elastizitätstensor fallen zwei $3\times3$ Blöcke auf, welche nur Einträge mit $0$ haben. Der Tensor besagt also, dass diese jeweiligen Dehnungen keinen Einfluss auf unsere Spannung haben. diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex index 8d99733..3e456c3 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil3.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex @@ -14,29 +14,31 @@ Folglich gilt: Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht. Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden. Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung -\[ +\begin{equation} p = \frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3} +\label{spannung:Invariante_p} , -\] +\end{equation} welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist. Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung -\[ +\begin{equation} q = \sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}} +\label{spannung:Invariante_q} . -\] +\end{equation} Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt. -Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als +Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_p} als \[ p = \frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3} \] vereinfacht werden. -Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung (Nr) als +Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_q}als \[ q = @@ -44,7 +46,7 @@ q \] vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten. -Die Invarianten können mit der Spannungsformel (Nr..xxx) berechnet werden. +Die Invarianten können mit der Spannungsformel \eqref{spannung:Spannungsgleichung} berechnet werden. Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren. Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten. So ergibt sich @@ -81,7 +83,7 @@ Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglich Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$ kann mit einer Verzerrung verglichen werden. Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise -\[ +\begin{equation} \begin{pmatrix} q\\ p @@ -95,11 +97,12 @@ Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise \varepsilon_{s}\\ \varepsilon_{v} \end{pmatrix} -\] -(sollte nummeriert sein) vereinfachen. +\label{spannung:Matrixschreibweise} +\end{equation} +vereinfachen. Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor. Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden. -Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen. +Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen. Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch. Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben. diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex index d524f13..2f2e4ce 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil4.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex @@ -34,7 +34,7 @@ Die Spannung $\sigma_{11}$ wird durch die aufgebrachte Kraft mit \frac{F}{A} \] und die Dehnung $\varepsilon_{11}$ jeweils mit den entsprechenden Setzungen berechnet. -Diese Randbedingungen können in die vereinfachte Gleichung (Nrxxx) eingesetzt werden. +Diese Randbedingungen können in die vereinfachte Gleichung \eqref{spannung:Matrixschreibweise} eingesetzt werden. Diese lautet nun: \[ \begin{pmatrix} @@ -67,7 +67,7 @@ und berechnen. Mit diesen Gleichungen hat man das Gleichungssystem um $E_{OED}$ und $\sigma_{33}$ zu berechnen. Die Poisson-Zahl muss als Kennwert gemäss der Bodenklasse gewählt werden. -Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung 1.7). +Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung~\ref{spannung:DiagrammOedometer-Versuch}). Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark. Mit diesem ermittelten $E_{OED}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen. |
