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7 files changed, 257 insertions, 5 deletions
diff --git a/vorlesungen/06_spektral2/slides.tex b/vorlesungen/06_spektral2/slides.tex index 86cd59f..905c47d 100644 --- a/vorlesungen/06_spektral2/slides.tex +++ b/vorlesungen/06_spektral2/slides.tex @@ -12,15 +12,19 @@ %\folie{2/skalarprodukt.tex} \folie{2/operatornorm.tex} -\section{Matrix-Analysis} +\section{Potenzreihen} \folie{5/konvergenzradius.tex} \folie{5/krbeispiele.tex} +\folie{5/spektrum.tex} \folie{5/spektralgelfand.tex} \folie{5/Aiteration.tex} \folie{5/satzvongelfand.tex} + +\section{Polynomapproximation} +\folie{5/normal.tex} +\folie{5/normalbeispiel.tex} +\folie{5/normalbeispiel34.tex} \folie{5/stoneweierstrass.tex} \folie{5/swbeweis.tex} -\folie{5/spektrum.tex} % XXX polynome auf dem spektrum % XXX Motiviation für *-Operation -\folie{5/normal.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc index bea2feb..5b849ec 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/5/Makefile.inc @@ -29,6 +29,8 @@ chapter5 = \ \ ../slides/5/spektrum.tex \ ../slides/5/normal.tex \ + ../slides/5/normalbeispiel.tex \ + ../slides/5/normalbeispiel34.tex \ ../slides/5/unitaer.tex \ \ ../slides/5/konvergenzradius.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex index 314269d..cdf2ea5 100644 --- a/vorlesungen/slides/5/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/5/chapter.tex @@ -37,4 +37,6 @@ \folie{5/hyperbolisch.tex} \folie{5/spektrum.tex} \folie{5/normal.tex} +\folie{5/normalbeispiel.tex} +\folie{5/normalbeispiel34.tex} \folie{5/approximation.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/5/normalbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/5/normalbeispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..e130c15 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/normalbeispiel.tex @@ -0,0 +1,108 @@ +% +% normalbeispiel.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beispiele für normale Matrizen} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.49\textwidth} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Symmetrisch und Antisymmetrisch} +$A\in M_n(\mathbb{C})$ +\begin{align*} +A&=\pm A^t &&\Rightarrow &AA^* &=A\overline{A^t} =\pm A\overline{A} +\\ + & && & &=\pm\overline{A}A =\overline{A^t}A +\\ + & && & &=A^*A +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.49\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Orthogonal} +$A\in M_n(\mathbb{R})\;\Rightarrow\; A^*=A^t$ +\begin{align*} +AA^t&=I &&\Rightarrow& AA^*&=AA^t=I\\ + & && & &=A^tA=A^*A +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.49\textwidth} +\uncover<1->{% +\begin{block}{Hermitesch und Antihermitesch} +$A\in M_n(\mathbb{C})$ +\begin{align*} +A&=\pm A^* &&\Rightarrow &AA^* &=\pm A^2=A^*A +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.49\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Unitär} +$A\in M_n(\mathbb{C})$ +\begin{align*} +AA^*&=I &&\Rightarrow& AA^*=I=A^*A +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +%\uncover<5->{% +%\begin{block}{Weitere} +%$N\in M_n(\mathbb{C})$ nilpotent, $N^k=0$\uncover<11->{ +%$\Rightarrow$ +%normal für $l=k-l\Rightarrow l=\frac{k}{2}$} +%\uncover<6->{% +%\[ +%\left. +%\begin{aligned} +%A &=N^l+(N^t)^{k-l} +%\\ +%A^t&=(N^t)^l+N^{k-1} +%\end{aligned} +%\right\} +%\uncover<7->{% +%\Rightarrow +%\left\{ +%\begin{aligned} +%\mathstrut +%A^t A +%&\only<8>{= +%((N^t)^l+N^{k-l}) (N^l+(N^t)^{k-l})} +%\uncover<9->{= +%{\color<10>{darkgreen}(N^t)^lN^l} +%\only<9>{+ +%{\color{orange}(N^t)^k}} +%+ +%{\color<10>{darkred}N^{k-l}(N^t)^{k-l}} +%\only<9>{+ +%{\color{orange}N^k}}} +%\\ +%\mathstrut +%A A^t +%&\only<8>{= +%(N^l+(N^t)^{k-l})((N^t)^l+N^{k-l})} +%\uncover<9->{= +%{\color<10>{darkred}N^l(N^t)^l} +%+ +%\only<9>{{\color{orange}N^k} +%+ +%{\color{orange}(N^t)^k} +%+} +%{\color<10>{darkgreen}(N^t)^{k-l}N^{k-l}}} +%\end{aligned} +%\right.} +%\hspace{20cm} +%\]} +%\end{block}} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/5/normalbeispiel34.tex b/vorlesungen/slides/5/normalbeispiel34.tex new file mode 100644 index 0000000..f2647b0 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/normalbeispiel34.tex @@ -0,0 +1,80 @@ +% +% normalbeispiel34.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0} +\begin{frame}[t] +\frametitle{Beispiele normaler Matrizen für $n=3$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.49\textwidth} +\begin{align*} +A +&= +\begin{pmatrix} +\alpha&\beta & 0 \\ + 0 &\alpha&\beta \\ +\beta & 0 &\alpha +\end{pmatrix}, +\; +A^t= +\begin{pmatrix} +\alpha& 0 &\beta \\ +\beta &\alpha& 0 \\ + 0 &\beta &\alpha +\end{pmatrix} +& +\uncover<2->{% +&\Rightarrow\left\{ +\begin{aligned} +AA^t&=\begin{pmatrix} +\alpha^2+\beta^2 & \alpha\beta & \alpha\beta \\ +\alpha\beta & \alpha^2+\beta^2 & \alpha\beta \\ +\alpha\beta & \alpha\beta & \alpha^2+\beta^2 +\end{pmatrix} +\\ +&\phantom{ooooooooooooooo}\| +\\ +A^tA&=\begin{pmatrix} +\alpha^2+\beta^2 & \alpha\beta & \alpha\beta \\ +\alpha\beta & \alpha^2+\beta^2 & \alpha\beta \\ +\alpha\beta & \alpha\beta & \alpha^2+\beta^2 +\end{pmatrix} +\end{aligned}\right.} +\\ +\uncover<3->{ +A&=\alpha I + \beta O}\uncover<4->{, O=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}\in \operatorname{O}(3)} +& +\uncover<5->{ +&\Rightarrow +\left\{ +\begin{aligned} +AA^*&= \alpha^2I^2 + \beta^2 +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ \only<6->{I} }{} \only<-5>{OO^*} ++ \alpha\beta(O+O^*)\\ +A^*A&= \alpha^2I^2 + \beta^2 +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ \only<6->{I} }{} \only<-5>{O^*O} ++ \alpha\beta(O^*+O) +\end{aligned} +\right.} +\\ +\uncover<7->{A&=U+V^*,\text{normal}}\uncover<10->{\text{, } +{\color{darkgreen}UV}={\color{darkgreen}VU}} +& +&\uncover<8->{\Rightarrow +\left\{ +\begin{aligned} +AA^* &= UU^* + {\color<9->{darkgreen}UV} + {\color<9->{darkred}V^*U^*} + V^*V +\\ +A^*A &= U^*U + {\color<9->{darkred}U^*V^*} + {\color<9->{darkgreen}VU} + VV^* +\end{aligned} +\right.} +\end{align*} +\end{column} +\begin{column}{0.49\textwidth} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/5/swbeweis.tex b/vorlesungen/slides/5/swbeweis.tex new file mode 100644 index 0000000..927322b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/5/swbeweis.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +% +% swbeweis.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beweisidee Stone-Weierstrass} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t] +\begin{column}{0.5\textwidth} +\begin{enumerate} +\item<1-> +$\exists$ eine monoton wachsende Folge von Polynomen $u_n(t)\to \sqrt{t}$ +gleichmässig auf $[0,1]\subset{\color{darkgreen}\mathbb{R}}$ +\item<2-> +$f\in A$, dann kann man $|f| = \sqrt{f^2}$ beliebig genau approximieren +durch Funktionen +in $A$ +\item<3-> +$f,g\in A$, dann kann +\begin{align*} +\max(a,b)&={\textstyle\frac12}(f+g+|f-g|)\\ +\min(a,b)&={\textstyle\frac12}(f+g-|f-g|) +\end{align*} +in $A$ beliebig genau approximiert werden. +\end{enumerate} +\end{column} +\begin{column}{0.5\textwidth} +\begin{enumerate} +\setcounter{enumi}{3} +\item<4-> +Für $x,y\in D$ und $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gibt es $f\in A$ mit +$f(x)=\alpha$ und $f(y)=\beta$ +\item<5-> +Zu +$f\colon D\to\mathbb{R}$ stetig und $x\in D$ gibt es $g\in A$ mit $g(x)=f(x)$ +und $g(y) \le f(y)+\varepsilon$ für $y\ne x$ +\item<6-> +Für $f$ gibt es endlich viele Approximationen $g_i$ mit Punkten $x_i$ +wie in Schritt~4. +Dann ist $\max_i g_i$ eine Approximation von $f$, die beliebig genau in +$A$ approximiert werden kann. +\end{enumerate} +\end{column} +\end{columns} + +\vspace{10pt} +\uncover<7->{% +Schritt~2 braucht in {\color{red}$\mathbb{C}$} die komplex Konjugierte: +$|f|^2=f\overline{f}$} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 90138a1..d079a05 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -5,7 +5,7 @@ % %\folie{5/verzerrung.tex} %\folie{5/plan.tex} -\folie{5/planbeispiele.tex} +%\folie{5/planbeispiele.tex} %\folie{5/approximation.tex} % XXX Visualisierung Cayley-Hamilton-Produkte @@ -18,4 +18,4 @@ % XXX polynome auf dem spektrum % XXX Motiviation für *-Operation %\folie{5/normal.tex} - +\folie{5/normalbeispiel34.tex} |