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-rw-r--r--buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex288
1 files changed, 165 insertions, 123 deletions
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex
index 732cee5..61324f7 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex
@@ -15,6 +15,7 @@
\date{26.04.2021}
\subject{Mathematisches Seminar}
\setbeamercovered{transparent}
+ %\setbeamercovered{invisible}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\begin{frame}[plain]
\maketitle
@@ -83,7 +84,11 @@
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}
+<<<<<<< Updated upstream
%-------------------------------------------------------------------------------
+=======
+
+>>>>>>> Stashed changes
\section{Diskrete Fourier Transformation}
\begin{frame}
\frametitle{Idee}
@@ -179,26 +184,38 @@
Indem in einem endlichen Körper gerechnet wird.
}
\end{frame}
+<<<<<<< Updated upstream
%-------------------------------------------------------------------------------
+=======
+
+\section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}
+
+>>>>>>> Stashed changes
\begin{frame}
\frametitle{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}
\begin{itemize}
- \item Warum Endliche Körper?
+ \onslide<1->{\item Warum endliche Körper?}
- \qquad bessere Laufzeit
+ \onslide<1->{\qquad konkrete Zahlen $\rightarrow$ keine Rundungsfehler}
- \vspace{10pt}
+ \onslide<1->{\qquad digitale Fehlerkorrektur}
- \item Nachricht = Nutzdaten + Fehlerkorrekturteil
+ \onslide<1->{\qquad bessere Laufzeit}
\vspace{10pt}
- \item den Fehlerkorrekturteil brauchen wir im Optimalfall nicht
+ \onslide<1->{\item Nachricht = Nutzdaten + Fehlerkorrekturteil}
\vspace{10pt}
- \item Im Fehlerfall sollen wir aus der Nachricht ein Lokatorpolynom berechnen können, welches die Fehlerhaften Stellen beinhaltet
+ \onslide<1->{\item aus Fehlerkorrekturteil die Fehlerstellen finden}
+
+ \onslide<1->{\qquad $\Rightarrow$ gesucht ist ein Lokatorpolynom}
+
+% \vspace{10pt}
+
+% \onslide<1->{\item Im Fehlerfall sollen wir aus der Nachricht ein Lokatorpolynom berechnen können, welches die fehlerhaften Stellen beinhaltet}
% Wir sollten im Fehlerfall in der Lage sein, aus der Nachricht ein Lokatorpolynom zu berechnen, welches die Fehlerhaften Stellen beinhaltet
@@ -212,35 +229,35 @@
% sollten wir fehler bekommen, was uns die korrekturstellen mitgeteilt wird, dann ist es unsere aufgabe ein lokatorpolynom zu finden, welches uns verrät, auf welchen zeilen der Fehler aufgetreten ist
\end{frame}
-%-------------------------------------------------------------------------------
+%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Definition eines Beispiels}
\begin{itemize}
- \item Endlicher Körper $q = 11$
+ \only<1->{\item endlicher Körper $q = 11$}
\only<1->{ist eine Primzahl}
- \only<1->{beinhaltet die Zahlen $\mathbb{Z}_{11} = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$}
+ \only<1->{beinhaltet die Zahlen $\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item Nachrichtenblock $n = q-1$}
+ \only<1->{\item Nachrichtenblock $=$ Nutzlast $+$ Fehlerkorrekturstellen
- wird an den Empfänger gesendet
+ $n = q - 1 = 10$ Zahlen}
\vspace{10pt}
- \only<1->{\item max. Fehler $z = 2$}
+ \only<1->{\item Max.~Fehler $z = 2$
- maximale Anzahl von Fehler, die wir noch korrigieren können
+ maximale Anzahl von Fehler, die wir noch korrigieren können}
\vspace{10pt}
\only<1->{\item Nutzlast $k = n -2t = 6$ Zahlen}
- Fehlerstellen $2t = 4$ Zahlen
+ \only<1->{Fehlerkorrkturstellen $2t = 4$ Zahlen}
\only<1->{Nachricht $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$}
@@ -250,52 +267,54 @@
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Codierung eines Beispiels}
\begin{frame}
\frametitle{Codierung}
\begin{itemize}
- \item Ansatz aus den Komplexen Zahlen mit der Fouriertransformation
+ \only<1->{\item Ansatz aus den komplexen Zahlen mit der diskreten Fouriertransformation}
\vspace{10pt}
- \item $\mathrm{e}$ existiert nicht in $\mathbb{Z}_{11}$
+ \only<1->{\item Eulersche Zahl $\mathrm{e}$ existiert nicht in $\mathbb{F}_{11}$}
\vspace{10pt}
- \item wir suchen $a$ so, dass $a^i$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{Z}_{11}$ abdeckt
+ \only<1->{\item Wir suchen $a$ so, dass $a^i$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken
- $\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = [a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9]$
+ $\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}$}
\vspace{10pt}
- \item wir wählen $a = 8$
+ \only<1->{\item Wir wählen $a = 8$}
- $\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = [1,8,9,6,4,10,3,2,5,7]$
+ \only<1->{$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{1,8,9,6,4,10,3,2,5,7\}$}
- 8 ist eine Primitive Einheitswurzel
+ \only<1->{$8$ ist eine primitive Einheitswurzel}
\vspace{10pt}
- \item $m(8^0) = 4\cdot1 + 7\cdot1 + 2\cdot1 + 5\cdot1 + 8\cdot1 + 1 = 5$
+ \only<1->{\item $m(8^0) = 4\cdot1 + 7\cdot1 + 2\cdot1 + 5\cdot1 + 8\cdot1 + 1 = 5$}
- $\Rightarrow$ \qquad können wir auch als Matrix schreiben
+ \only<1->{$\Rightarrow$ \qquad können wir auch als Matrix schreiben}
\end{itemize}
\end{frame}
-%-------------------------------------------------------------------------------
+%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Codierung}
\begin{itemize}
- \item Übertragungsvektor $V$
+ \only<1->{\item Übertragungsvektor $v$}
- \item $V = A \cdot m$
+ \only<1->{\item $v = A \cdot m$}
\end{itemize}
\[
- V = \begin{pmatrix}
+ \only<1->{
+ v = \begin{pmatrix}
8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& 8^6& 8^7& 8^8& 8^9\\
8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
@@ -311,29 +330,34 @@
\begin{pmatrix}
1 \\ 8 \\ 5 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\
\end{pmatrix}
+ }
\]
-
+ \only<1->{
\begin{itemize}
- \item $V = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+ \item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
\end{itemize}
-
+ }
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Decodierung ohne Fehler}
\begin{frame}
\frametitle{Decodierung ohne Fehler}
\begin{itemize}
- \item Der Empfänger erhält den unveränderten Vektor $V = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+ \only<1->{\item Der Empfänger erhält den unveränderten Vektor
+ $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
\vspace{10pt}
- \item Wir suchen die Inverse der Matrix A
+ \only<1->{\item Wir suchen die Inverse der Matrix $A$}
+
+ \vspace{10pt}
\end{itemize}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.50\textwidth}
-
+ \only<1->{
Inverse der Fouriertransformation
\vspace{10pt}
\[
@@ -341,25 +365,26 @@
\]
\vspace{10pt}
\[
- f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega
+ \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega
\]
-
+ }
\end{column}
\begin{column}{0.50\textwidth}
-
- Inverse von a
+ \only<1->{
+ Inverse von $a$}
\vspace{10pt}
+ \only<1->{
\[
8^{1} \Rightarrow 8^{-1}
\]
-
- Inverse finden wir über den Eulkidischen Algorithmus
+ }
+ \only<1->{Inverse finden wir über den Eulkidischen Algorithmus}
\vspace{10pt}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
-%-------------------------------------------------------------------------------
+%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Der Euklidische Algorithmus}
@@ -385,8 +410,8 @@
\begin{column}{0.50\textwidth}
\begin{center}
-
- \begin{tabular}{| c | c c | c | c c |}
+ \only<1->{
+ \begin{tabular}{| c | c c | c | r r |}
\hline
$k$ & $a_i$ & $b_i$ & $q_i$ & $c_i$ & $d_i$\\
\hline
@@ -395,17 +420,17 @@
$1$& $11$& $8$& $1$& $1$& $0$\\
$2$& $8$& $3$& $2$& $-1$& $1$\\
$3$& $3$& $2$& $1$& $3$& $-2$\\
- $4$& $2$& $1$& $2$& $-4$& $3$\\
+ $4$& $2$& $1$& $2$& \textcolor<3->{blue}{$-4$}& \textcolor<3->{red}{$3$}\\
$5$& $1$& $0$& & $11$& $-8$\\
\hline
\end{tabular}
-
+ }
\vspace{10pt}
\begin{tabular}{rcl}
- $-4\cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$\\
- $7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$\\
- $8^{-1}$ &$=$& $7$
+ \only<1->{$\textcolor{blue}{-4} \cdot 8 + \textcolor{red}{3} \cdot 11$ &$=$& $1$}\\
+ \only<1->{$7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$}\\
+ \only<1->{$8^{-1}$ &$=$& $7$}
\end{tabular}
@@ -417,17 +442,17 @@
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
- \frametitle{Decodirung mit Inverser Matrix}
+ \frametitle{Decodierung mit Inverser Matrix}
\begin{itemize}
- \item $V = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+ \only<1->{\item $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
- \item $m = 1/10 \cdot A^{-1} \cdot V$
+ \only<1->{\item $m = 1/10 \cdot A^{-1} \cdot v$}
- \item $m = 10 \cdot A^{-1} \cdot V$
+ \only<1->{\item $m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v$}
\end{itemize}
-
+ \only<1->{
\[
m = \begin{pmatrix}
7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0& 7^0\\
@@ -446,85 +471,95 @@
5 \\ 3 \\ 6 \\ 5 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 10 \\ 4 \\
\end{pmatrix}
\]
-
+ }
+ \only<1->{
\begin{itemize}
\item $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$
\end{itemize}
-
+ }
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Decodierung mit Fehler}
\begin{frame}
\frametitle{Decodierung mit Fehler - Ansatz}
\begin{itemize}
- \item Gesendet: $V = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+ \only<1->{\item Gesendet: $v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$}
- \item Empfangen: $W = [5,3,6,8,2,10,2,7,1,4]$
+ \only<1->{\item Empfangen: $w = [5,3,6,\textcolor{red}{8},2,10,2,7,\textcolor{red}{1},4]$}
+
+ \only<1->{\item Rücktransformation: $r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerinfo}5,4,5,7,6,7]$}
- \item Rücktransformation: $r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerstellen}5,4,5,7,6,7]$
\end{itemize}
- Wie finden wir die Fehler?
+ \only<1->{Wie finden wir die Fehler?}
+ \only<1->{
\begin{itemize}
\item $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$
\item $r(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7$
+ %\only<7->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$}
+
\item $e(X) = r(X) - m(X)$
+
\end{itemize}
-
+ }
+
\begin{center}
-
+ \only<1->{
\begin{tabular}{c c c c c c c c c c c}
\hline
$i$& $0$& $1$& $2$& $3$& $4$& $5$& $6$& $7$& $8$& $9$\\
\hline
- $r(a^{i})$& $5$& $3$& $6$& $8$& $2$& $10$& $2$& $7$& $1$& $4$\\
- $m(a^{i})$& $5$& $3$& $6$& $5$& $2$& $10$& $2$& $7$& $10$& $4$\\
- $e(a^{i})$& $0$& $0$& $0$& $3$& $0$& $0$& $0$& $0$& $2$& $0$\\
+ $r(a^{i})$& \only<1->{$5$& $3$& $6$& $8$& $2$& $10$& $2$& $7$& $1$& $4$}\\
+ $m(a^{i})$& \only<1->{$5$& $3$& $6$& $5$& $2$& $10$& $2$& $7$& $10$& $4$}\\
+ $e(a^{i})$& \only<1->{$0$& $0$& $0$& $3$& $0$& $0$& $0$& $0$& $2$& $0$}\\
\hline
\end{tabular}
-
+ }
\end{center}
-
+
+ \only<1->{
\begin{itemize}
\item Alle Stellen, die nicht Null sind, sind Fehler
\end{itemize}
-
+ }
+
\end{frame}
-%-------------------------------------------------------------------------------
+%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
\begin{itemize}
- \item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$
+ \only<1->{\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$}
\vspace{10pt}
- \item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$
+ \only<1->{\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$}
\vspace{10pt}
- \item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+ \only<1->{\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
- \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$
+ \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$}
\vspace{10pt}
- \item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+ \only<1->{\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
- \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$
+ \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$}
\vspace{10pt}
- \item $\operatorname{ggT}$ gibt uns eine Liste der Nullstellen, an denen es keine Fehler gegeben hat
+ \only<1->{\item $\operatorname{ggT}$ gibt uns eine Liste der Nullstellen, an denen es keine Fehler gegeben hat}
\vspace{10pt}
- $\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+ \only<1->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
- \qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9)$
+ \qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9)$}
\end{itemize}
@@ -574,33 +609,33 @@
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
- \frametitle{kennen wir $e$?}
+ \frametitle{Kennen wir $e(X)$?}
\begin{itemize}
- \item $e$ ist unbekannt auf der Empfängerseite
+ \only<1->{\item $e(X)$ ist unbekannt auf der Empfängerseite}
\vspace{10pt}
- \item $e(X) = r(X) - m(X)$ \qquad $\rightarrow$ \qquad $m(X)$ ist unbekannt?
+ \only<1->{\item $e(X) = r(X) - m(X)$ \qquad $\rightarrow$ \qquad $m(X)$ ist unbekannt?}
\vspace{10pt}
- \item $m$ ist nicht gänzlich unbekannt: $m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]$
+ \only<1->{\item $m$ ist nicht gänzlich unbekannt: $m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]$
- In den bekannten Stellen liegt auch die Information, wo es Fehler gegeben hat
+ In den bekannten Stellen liegt auch die Information, wo es Fehler gegeben hat}
\vspace{10pt}
- \item daraus folgt $e(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)$
+ \only<1->{\item Daraus folgt $e(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)$}
\vspace{10pt}
- \item $f(X) = X^{10} - 1 = X^{10} + 10$
+ \only<1->{\item $f(X) = X^{10} - 1 = X^{10} + 10$}
\vspace{10pt}
- \item jetzt können wir den $\operatorname{ggT}$ von $f(X)$ und $e(X)$ berechnen
+ \only<1->{\item Jetzt können wir den $\operatorname{ggT}$ von $f(X)$ und $e(X)$ berechnen}
\end{itemize}
\end{frame}
@@ -608,8 +643,8 @@
\begin{frame}
\frametitle{Der Euklidische Algorithmus (nochmal)}
- $\operatorname{ggT}(f(X),e(X))$ hat den Grad 8
-
+ \only<1->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X))$ hat den Grad $8$}
+ \only<1->{
\[
\arraycolsep=1.4pt
\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
@@ -620,7 +655,8 @@
& & & &6X^8&+&0X^7&+&p(X)& & & & & & & & & & & & \\
\end{array}
\]
-
+ }
+ \only<1->{
\[
\arraycolsep=1.4pt
\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
@@ -629,14 +665,14 @@
&& 7X^8&+& p(X)& & & & & & & & & & & & & & & & \\
\end{array}
\]
-
+ }
\vspace{10pt}
- $\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = 6X^8$
+ \only<1->{$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = 6X^8$}
\vspace{10pt}
- $\operatorname{kgV}$ durch den erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen
+ \only<1->{ $\operatorname{kgV}$ durch den erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen }
\end{frame}
@@ -653,7 +689,7 @@
& & $0$& $1$\\
$0$& $9X + 5$& $1$& $0$\\
$1$& $10X + 3$& $9X+5$& $1$\\
- $2$& & $2X^2 + 0X + 5$& $10X + 3$\\
+ $2$& & \textcolor<2->{blue}{$2X^2 + 0X + 5$}& $10X + 3$\\
\hline
\end{tabular}
@@ -662,49 +698,54 @@
\vspace{10pt}
\begin{tabular}{ll}
- Somit erhalten wir den Faktor& $d(X) = 2X^2 + 5$\\
- Faktorisiert erhalten wir& $d(X) = 2(X-5)(X-6)$\\
- Lokatorpolynom& $d(X) = (X-a^i)(X-a^i)$
+ \only<1->{Somit erhalten wir den Faktor& $d(X) = 2X^2 + 5$\\}
+ \only<1->{Faktorisiert erhalten wir& $d(X) = 2(X-5)(X-6)$\\}
+ \only<1->{Lokatorpolynom& $d(X) = (X-a^i)(X-a^i)$}
\end{tabular}
\vspace{10pt}
-
+ \only<1->{
\begin{center}
$a^i = 5 \qquad \Rightarrow \qquad i = 3$
$a^i = 6 \qquad \Rightarrow \qquad i = 8$
\end{center}
-
- $D = [3,8]$
+ }
+ \only<1->{$d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$}
\end{frame}
-%-------------------------------------------------------------------------------
+%-------------------------------------------------------------------------------
+\section{Nachricht Rekonstruieren}
\begin{frame}
\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
\begin{itemize}
- \item $W = [5,3,6,8,2,10,2,7,1,4]$
+ \only<1->{\item $w = [5,3,6,8,2,10,2,7,1,4]$}
- \item $D = [3,8]$
+ \only<1->{\item $d(X) = (X-\textcolor<4->{red}{a^3})(X-\textcolor<4->{red}{a^8})$}
\end{itemize}
-
+ \only<1->{
\[
+ \textcolor{gray}{
\begin{pmatrix}
- 5 \\ 3 \\ 6 \\ 8 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 1 \\ 4 \\
+ a^0 \\ a^1 \\ a^2 \\ \textcolor<4->{red}{a^3} \\ a^4 \\ a^5 \\ a^6 \\ a^7 \\ \textcolor<4->{red}{a^8} \\ a^9 \\
+ \end{pmatrix}}
+ \begin{pmatrix}
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ \textcolor<4->{red}{8} \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ \textcolor<4->{red}{1} \\ 4 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& 8^6& 8^7& 8^8& 8^9\\
8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
- 8^0& 8^3& 8^6& 8^9& 8^{12}& 8^{15}& 8^{18}& 8^{21}& 8^{24}& 8^{27}\\
+ \textcolor<4->{red}{8^0}& \textcolor<4->{red}{8^3}& \textcolor<4->{red}{8^6}& \textcolor<4->{red}{8^9}& \textcolor<4->{red}{8^{12}}& \textcolor<4->{red}{8^{15}}& \textcolor<4->{red}{8^{18}}& \textcolor<4->{red}{8^{21}}& \textcolor<4->{red}{8^{24}}& \textcolor<4->{red}{8^{27}}\\
8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
- 8^0& 8^8& 8^{16}& 8^{24}& 8^{32}& 8^{40}& 8^{48}& 8^{56}& 8^{64}& 8^{72}\\
+ \textcolor<4->{red}{8^0}& \textcolor<4->{red}{8^8}& \textcolor<4->{red}{8^{16}}& \textcolor<4->{red}{8^{24}}& \textcolor<4->{red}{8^{32}}& \textcolor<4->{red}{8^{40}}& \textcolor<4->{red}{8^{48}}& \textcolor<4->{red}{8^{56}}& \textcolor<4->{red}{8^{64}}& \textcolor<4->{red}{8^{72}}\\
8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
\end{pmatrix}
\cdot
@@ -712,13 +753,14 @@
m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
\end{pmatrix}
\]
-
+ }
+ \only<1->{
\begin{itemize}
\item Fehlerstellen entfernen
\end{itemize}
-
+ }
\end{frame}
-%-------------------------------------------------------------------------------
+%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
@@ -728,25 +770,25 @@
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
- 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0\\
- 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& 8^6& 8^7& 8^8& 8^9\\
- 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
- 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
- 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
- 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
- 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
- 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+ 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& 8^0& \textcolor<3->{green}{8^0}& \textcolor<3->{green}{8^0}& \textcolor<3->{green}{8^0}& \textcolor<3->{green}{8^0}\\
+ 8^0& 8^1& 8^2& 8^3& 8^4& 8^5& \textcolor<3->{green}{8^6}& \textcolor<3->{green}{8^7}& \textcolor<3->{green}{8^8}& \textcolor<3->{green}{8^9}\\
+ 8^0& 8^2& 8^4& 8^6& 8^8& 8^{10}& \textcolor<3->{green}{8^{12}}& \textcolor<3->{green}{8^{14}}& \textcolor<3->{green}{8^{16}}& \textcolor<3->{green}{8^{18}}\\
+ 8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor<3->{green}{8^{24}}& \textcolor<3->{green}{8^{28}}& \textcolor<3->{green}{8^{32}}& \textcolor<3->{green}{8^{36}}\\
+ 8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor<3->{green}{8^{30}}& \textcolor<3->{green}{8^{35}}& \textcolor<3->{green}{8^{40}}& \textcolor<3->{green}{8^{45}}\\
+ 8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor<3->{green}{8^{36}}& \textcolor<3->{green}{8^{42}}& \textcolor<3->{green}{8^{48}}& \textcolor<3->{green}{8^{54}}\\
+ 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor<3->{green}{8^{42}}& \textcolor<3->{green}{8^{49}}& \textcolor<3->{green}{8^{56}}& \textcolor<3->{green}{8^{63}}\\
+ 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor<3->{green}{8^{54}}& \textcolor<3->{green}{8^{63}}& \textcolor<3->{green}{8^{72}}& \textcolor<3->{green}{8^{81}}\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
- m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+ m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor<2->{green}{m_6} \\ \textcolor<2->{green}{m_7} \\ \textcolor<2->{green}{m_8} \\ \textcolor<2->{green}{m_9} \\
\end{pmatrix}
\]
-
+ \only<1->{
\begin{itemize}
\item Nullstellen entfernen
\end{itemize}
-
+ }
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
@@ -754,7 +796,7 @@
\[
\begin{pmatrix}
- 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+ 5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor<2->{red}{7} \\ \textcolor<2->{red}{4} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
@@ -764,8 +806,8 @@
8^0& 8^4& 8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
8^0& 8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
8^0& 8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
- 8^0& 8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}\\
- 8^0& 8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}\\
+ \textcolor<2->{red}{8^0}& \textcolor<2->{red}{8^7}& \textcolor<2->{red}{8^{14}}& \textcolor<2->{red}{8^{21}}& \textcolor<2->{red}{8^{28}}& \textcolor<2->{red}{8^{35}}\\
+ \textcolor<2->{red}{8^0}& \textcolor<2->{red}{8^9}& \textcolor<2->{red}{8^{18}}& \textcolor<2->{red}{8^{27}}& \textcolor<2->{red}{8^{36}}& \textcolor<2->{red}{8^{45}}\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
@@ -774,11 +816,11 @@
\]
\vspace{5pt}
-
+ \only<1->{
\begin{itemize}
\item Matrix in eine Quadratische Form bringen
\end{itemize}
-
+ }
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
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